第8章無窮級數(shù)練習題解析

1、第8章無窮級數(shù)練習題習題8.11判斷題（對的劃，錯的劃“x” ）(1)級數(shù)部分和的極限已求出， 則級數(shù)收斂.若部分和的極限不存在,(2)oOO0若級數(shù)7（Un _Vn）收斂，則級數(shù)v Un與級數(shù)Vn都收斂.則級數(shù)發(fā)散.（）（）nTnT(3)改變級數(shù)的有限項不會改變級數(shù)的和.當lim un =0時，級數(shù) n :.0、 un不一定收斂n經(jīng)2 用級數(shù)的“刀”形式填空(1)1! 2! 3!,即(2) 1(3)丄.丄In 22In3即3ln 41-10 -43 判斷下列各級數(shù)的收斂性，并求收斂級數(shù)的和(1)744 _-尹一In 3 二 In4 二2(4) 1-3In5 二-.3亠4亠57.第7頁共20頁

2、m，在多次抽氣時，每次抽出的空氣質(zhì)量為上次剩余質(zhì)量的20%連續(xù)不斷地抽，抽出的空氣質(zhì)量最多是多少?QO (5) ( nn ).n 4X 114 .級數(shù)7 （一 ）是否收斂？若收斂，求其和 n nn 4 235制造燈泡需要抽去玻璃泡中的空氣，設(shè)燈泡中原有空氣的質(zhì)量習題8.2In2 22nQO(2)n =1(4) 2 . (1ni nCO(1)、n 410.9n1odn=18rn 5n 6oo(3) 、n 432n - 53 判斷下列級數(shù)是否收斂1qQ(1 )7 (-1廣二n =12sin n4判斷下列級數(shù)的收斂性(1)(2)(3)n 4 n(n 2)n z4(-1).1arcs in - 3nQ

3、Ozn -1n21COn00 6n(6) i 乂n2山n(5)(7)111丄,(a,b 0) 2a b 3a b(8)QOzn dn(n 1)(n2)( n 3)(10)1 1_十527 2c 2 c 3 x 2x3x1 ” 1 3 3233nx(3)2X X r 232 323丄3 33+4 34n亠n 3n習題8.31 求下列幕級數(shù)的收斂區(qū)間3nX. .3n23(5)+2 4 6(2n)(6) (-1)n 42n 1X2n 1:2nnT2n(8)oOzn 4(X 1)nn 3n(9)J(1)nn 4oOnT2nXn n21(10)応n丿1心n!丿第9頁共20頁2 利用逐項求導(dǎo)數(shù)或逐項求積分

4、或逐項相乘的方法，求下列級數(shù)在收斂區(qū)間上的和函數(shù)第13頁共20頁(1)COZn 42n -12n2n 2 X357 x -3572341 22 33 42913(3) X -5913(5) 1 22 3x 3 4x24 5x3 ：(6)zIn 二n、 Xn!習題8.41 將下列函數(shù)展開為(1) e2x x的幕級數(shù)，并指出其收斂域 ax(a . 0,且a = 1) (3) sin * 2(4) ln(a x) (a 0) (5) sin2 x 提示:(6) (1 x)ln(1 x) （8）平dt (7)x dt0 1 t4 (9)oe 2dt 第#頁共20頁2 將下列函數(shù)展開為 X的幕級數(shù)，并指

5、出其收斂半徑(2) arcsin x .(1). a2 x (a 0) (3) In(x 1 x2).（2）5 1 2 （取前三項）3 用級數(shù)的展開式，近似計算下列各值(1). e (取前五項)（3）sin18 （取前兩項）4 計算下列積分的近似值（計算前三項）1 2(1)2 ex dx (2)Vinx , dx 0 x(3)1 exe dx)/1 x第15頁共20頁習題8.51.填空處它的傅里葉級數(shù)與(1 )若f(x)在L-：,二上滿足收斂定理的條件，則在連續(xù)點f (Xo )X(2)設(shè)周期函數(shù)f(x)(-黒蟲X：:二)，則它的傅里葉系數(shù)2第17頁共20頁a。anbn(3) 用周期為2二的函數(shù)

6、f (x)的傅里葉系數(shù)公式，求周期為丨的函數(shù)g(t)的傅里葉級數(shù)，應(yīng)作代換t =二(4) 周期為丨的函數(shù)f(x)的傅里葉系數(shù) a0二，an二 bn2 把下列周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)0(1) u(t)= 1一二 t : 00 乞 t :二x-1,x 1,- t : 00 乞 t ：二x(4) f(X)二 COS (-二 _ X ：二).2卜1(5) f(X)二 x1,-2 _ X :： -1-1 _ X ：: 11 x 2(6) f (x) =1 x2,- 1 mx ： 1 2 23將函數(shù)f(x)=ex(-1空x乞1)展開成傅氏級數(shù)4 將函數(shù)f(X)二二- x(0空x乞二)分別展開成正弦級數(shù)和余

7、弦級數(shù)5 將周期為4的單向窄脈沖信號,展開成傅里葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式，其表達式10,2 蘭t 21 1f(t)=e,gctc 二2 210,-蘭t v22復(fù)習題八(A)組1 判斷題(對的劃，錯的劃“X” )0(1 )若limun=o,則級數(shù)V Un收斂.()Y心QOQ0(2)若級數(shù)a Un發(fā)散，則級數(shù)a CUn (C=0為常數(shù))也發(fā)散.()n Tn T(3 )改變級數(shù)的有限多個項，級數(shù)的斂散性不變.()QOQ0(4) 若級數(shù)7 Un收斂，則7 (u2n4 U2n)收斂.()n Tn z!(5) 若f (x)是周期函數(shù)為2二的函數(shù)，且滿足收斂定理的條件，則在任意點x處f (x)的傅氏級數(shù)收斂于f(x

8、).()2 用“收斂”或“發(fā)散”填空QOO0(1)若級數(shù)a Un收斂，則a (Un 0.001).n斗n #第23頁共20頁級數(shù)一n n寸n +1旳an(3)當 0 ： a :：: 1 時，級數(shù)nn二 1 + a級數(shù)f1)nn 1:Fn - 1(5)級數(shù)oO13 單項選擇題(1)下列級數(shù)中，收斂的是(A)(廿;(B)n 4、n；：_(-1)nn2n2下列級數(shù)中，絕對收斂的是(oO(C)、n 4(D)扛 n 1n= 3n 2(A)二 3 ;(B) f 3n 2n $ nn & n(C)二(一1嚴n(D)f (-1)nln(1 n)xn(3)幕級數(shù)v 的收斂區(qū)間是(n n(A) -1,1 1;(

9、BM-1,1 ；(C)-1,11；(D)-1,1 2函數(shù)f(x)二展開成x的幕級數(shù)是:x2n(A)；(B)n =1 n!二(-1)nx2n ； nw n!oo(0 、 ,n珀n!(D；.=(-1)nxn nw n!設(shè)f (x)的周期為2二，它在L 二，二的表達式f(x)=2x,(-蔥心x ： :),則f (x)的傅氏展開式為()(A)-(_1)n 12sin nx;n n(B)八日)n dn 1sinnx; n(C)Wnxn呂n-1)二，k Z)；(D)2 sinnxn t n-1)二，k Z).4判別下列各級數(shù)的斂散性(1)&21 (a 0) n a21ji(2) 門 tann1 n 22(

10、3)CO n tann 4COzcos n二 sin (5)oOzn an!2n - 1J： (-1)ns n - In nx的幕級數(shù)2(2) f(X)二COS 2x (B)組1 用已知函數(shù)的展開式，將下列函數(shù)展開成(1) f (x)二 x3e* 1(3)f (x)：1 匚X2(4)f(x)二1X2 -2x_32 用已知函數(shù)的展開式，將下列函數(shù)展開成(1)1fwx - 2的幕級數(shù)(2) f (x) =1 n x 3 將下列周期函數(shù)展開成傅里葉級數(shù)(1) f (x)二 sin ax(-二 _ x ：二)(a為非整數(shù)的常數(shù))第#頁共20頁2 2（2） f（X）-二一X （-二 X ：:二）. f（X）= x3（-二 X ：:二）.X4 把周期函數(shù),一2乞x：0展開成傅氏級數(shù)20 乞 x ： 2第27頁共20頁丄cTt,0 蘭 x 45將q(t) = 分別展開成正弦型級數(shù)和余弦型級數(shù).-,匚蘭t蘭匚.4422 16 將f (x) =1 -x (0 x)分別展開成正弦型級數(shù)和余弦型級數(shù).n一一，一兀蘭 x v 0 47 把函數(shù)f(X)= 幵展開成傅氏級數(shù)，并由它導(dǎo)出71,0XAzn1113 1 1111(1) 1 -(2) 二二1+一 + 435765 7_ 911138 將