1.5.1二次函數(shù)的應(yīng)用(1)

1、第第1 1課時(shí)課時(shí) 二次函數(shù)的應(yīng)用（二次函數(shù)的應(yīng)用（1 1） 湘教版 九年級(jí)下冊(cè) 一座拱橋的縱截面是拋物線的一部分，拱橋的跨度是4.9米， 水面寬是4米時(shí)，拱頂離水面2米，如圖想了解水面寬度變化時(shí)， 拱頂離水面的高度怎樣變化,你能建立函數(shù)模型來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題嗎？ 4.9m 4m 2m 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 這是什么樣的函數(shù)呢？這是什么樣的函數(shù)呢？ 你能想出辦法來(lái)嗎？ 建立函數(shù)模型建立函數(shù)模型 拱橋的縱截面是拋物線應(yīng)拱橋的縱截面是拋物線應(yīng) 當(dāng)是某個(gè)二次函數(shù)的圖象當(dāng)是某個(gè)二次函數(shù)的圖象 4.9m 4m 2m 怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？怎樣建立直角坐標(biāo)系比較簡(jiǎn)單呢？ 從圖看出，這條拋物線是哪從圖看出，這條

2、拋物線是哪 種形式的二次函數(shù)的圖象？種形式的二次函數(shù)的圖象？ 2 4 212 1 A 以拱頂為原點(diǎn)，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸 為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖 由于頂點(diǎn)坐標(biāo)是（由于頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0.0），）， 因此這個(gè)二次函數(shù)的形式為因此這個(gè)二次函數(shù)的形式為 2 yax 2 4 212 1 A 如何確定如何確定a是多少？是多少？ 因此，因此， 其中其中 x是水面寬度的一半，是水面寬度的一半，y是拱頂是拱頂 離水面高度的相反數(shù)，這樣我們可以了解到水面寬變化時(shí)，離水面高度的相反數(shù)，這樣我們可以了解到水面寬變化時(shí)， 拱頂離水面高度怎樣變化拱頂離水面高度怎樣變化 2 1 2 yx 已知水面寬已知水面寬4米時(shí)，拱頂離水

3、米時(shí)，拱頂離水 面高面高2米，因此點(diǎn)米，因此點(diǎn)A（2，-2）在拋）在拋 物線上由此得出物線上由此得出 2 22a 2 1 a解得 由于拱橋的跨度為由于拱橋的跨度為4.94.9米，因此自變量米，因此自變量x的取值范圍是：的取值范圍是： (1)(1)當(dāng)水面寬當(dāng)水面寬3 3米時(shí)，拱頂離水面高多少米？米時(shí)，拱頂離水面高多少米？ 2 2 1 xy (-2.45x2.45) . 2 3 3xm時(shí)，解：當(dāng)水面寬 .125.1 8 9 2 3 2 1 2 y 即拱頂離水面高1.125m 2 4 212 1 2 2 1 xy (2)(2)當(dāng)拱頂離水面高當(dāng)拱頂離水面高1 1米時(shí)，水面寬多少米？米時(shí)，水面寬多少米？

4、 . 11ym時(shí)，解：當(dāng)拱頂離地面高 2,2, 2 1 1 21 2 xxx解得 .22m即水面寬 A 2 4 212 1 3 2 2 1 xy A (3)水面下降水面下降1m時(shí)，水面寬度增加了多少？時(shí)，水面寬度增加了多少？ N M 解：當(dāng)水面下降1m時(shí),水面的縱坐 標(biāo)為y=-3,這時(shí)有: 2 5 . 03x .6,6 21 xx解得 .62m這時(shí)水面寬度MN 當(dāng)水面下降1m時(shí),水面寬度增加了m)462( .)462(mAB-MN B 例例1 一自動(dòng)噴灌設(shè)備的噴流情況如右圖所示，設(shè)水管一自動(dòng)噴灌設(shè)備的噴流情況如右圖所示，設(shè)水管AB 在高出地面在高出地面1.5米的米的B處有一自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，噴

5、出的水處有一自動(dòng)旋轉(zhuǎn)的噴水頭，噴出的水 流成拋物線形。噴頭流成拋物線形。噴頭B與水流最高點(diǎn)與水流最高點(diǎn)C的連線與水管的連線與水管AB之之 間夾角為間夾角為135(即即ABC=135)且水流最高點(diǎn)且水流最高點(diǎn)C比噴頭比噴頭B 高高2米。試求水流落點(diǎn)米。試求水流落點(diǎn)D與與A點(diǎn)的距離（精確到點(diǎn)的距離（精確到0.1米）米） 舉舉 例例 解：如圖所示，以A為坐標(biāo)原點(diǎn),AD所在直線為x軸，AB所在直線為 y軸建立平面直角坐標(biāo)系。 連接BC，則ABC=135，過(guò)C點(diǎn)作CEx軸于點(diǎn)E，又過(guò)B點(diǎn)作 BFCE，垂足為F，依題意可證四邊形AEFB為矩形， ABF=90， CBF=135-90=45， BCF=45，

6、RtCBF為等腰直角三角形， 又由題意易知AB=1.5米，CF=2米， BF=CF=2米，則B（0,1.5），C（2,3.5） 設(shè)該圖象解析式為y=a（x-h）+k， 則y=a（x-2）+3.5，將B（0,1.5）代入可求得a=-0.5 y=-0.5（x-2）+3.5設(shè)D（m，0）代入， 得m= +24.6米（負(fù)值已舍去）即DA=4.6米7 議一議議一議議一議議一議議一議議一議 建立二次函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟是什么？ 實(shí)際問(wèn)題實(shí)際問(wèn)題建立二次函數(shù)模型建立二次函數(shù)模型 利用二次函數(shù)的利用二次函數(shù)的 圖象和性質(zhì)求解圖象和性質(zhì)求解 實(shí)際問(wèn)題的解實(shí)際問(wèn)題的解 1.是某拋物線形懸索橋的截面示意圖

7、，已知懸索橋兩端主是某拋物線形懸索橋的截面示意圖，已知懸索橋兩端主 塔高塔高150m，主塔之間的距離為，主塔之間的距離為900m試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲嚱⑦m當(dāng)?shù)闹苯亲?標(biāo)系，求出該拋物線形橋所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式標(biāo)系，求出該拋物線形橋所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)表達(dá)式. 900m 150m 練習(xí)練習(xí) 2.小妍想將一根小妍想將一根72cm長(zhǎng)的彩帶剪成兩段，分別圍成兩個(gè)正長(zhǎng)的彩帶剪成兩段，分別圍成兩個(gè)正 方形，則她要怎么剪才能讓這兩個(gè)正方形的面積和最??？方形，則她要怎么剪才能讓這兩個(gè)正方形的面積和最??？ 此時(shí)的面積和為多少？此時(shí)的面積和為多少？ 72cm 彩帶彩帶 圍成圍成 2.一位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃筐水平距離一

8、位籃球運(yùn)動(dòng)員在離籃筐水平距離4m處跳起投籃，球處跳起投籃，球 沿沿 一條拋物線運(yùn)行，球的出手高度為一條拋物線運(yùn)行，球的出手高度為1.8m。當(dāng)球運(yùn)行的水。當(dāng)球運(yùn)行的水 平平 距離為距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最高高度，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)。時(shí)，達(dá)到最高高度，然后準(zhǔn)確落入籃筐內(nèi)。 已已 知籃筐中心離地面的距離為知籃筐中心離地面的距離為3.05m，你能求出球所能達(dá)到，你能求出球所能達(dá)到 的最大高度約是多少嗎？（精確到的最大高度約是多少嗎？（精確到0.01m） 動(dòng)腦筋動(dòng)腦筋 如圖，用8米長(zhǎng)的鋁材做一個(gè)日字形窗框，試 問(wèn)：窗框的寬度和高各為多少時(shí)，窗框的透光面 積S(m2)最大，最大面積是多少？(假設(shè)鋁材的寬度

9、 不計(jì))并畫(huà)出函數(shù)的大致圖象. .變化隨矩形一邊長(zhǎng)的變化而框的面積 材己確定，而窗分析：由于做窗框的鋁 S . 2 38 ,:m x xm 則窗框的高為設(shè)窗框的寬為解 2 38x x 則窗框的透光面積為： 2 38 . x xS ,4 2 3 2 xx ) 3 8 0( x 2 38x x 配方得： xxS4 2 3 2 . 3 8 3 4 2 3 2 x , 0 2 3 a. 3 8 , 3 4 最大 時(shí)當(dāng)Sx m2 2 3 4 38 此時(shí)高為 時(shí)，高為當(dāng)窗框的寬為mm2, 3 4 . 3 8 2 m最大透光面積為窗框的透光面積最大， 例例2 如圖用總長(zhǎng)為如圖用總長(zhǎng)為60m的籬笆圍成一個(gè)矩形

10、花園，矩形花的籬笆圍成一個(gè)矩形花園，矩形花 園面積園面積S 隨矩形一邊長(zhǎng)隨矩形一邊長(zhǎng)L的變化而變化。的變化而變化。 （1）你能求出）你能求出S與與L之間的函數(shù)關(guān)系嗎？之間的函數(shù)關(guān)系嗎？ 解：解：S=L(30-L) = -L2+30L 60m 圍成圍成 L (30-L)S花園面積 花園面積 (0L30) S= -L2+30L L (30-L) （2）此矩形的面積能是）此矩形的面積能是200m嗎？若能，請(qǐng)求出嗎？若能，請(qǐng)求出 此矩形的長(zhǎng)、寬各是多少？此矩形的長(zhǎng)、寬各是多少？ 解：能，當(dāng)解：能，當(dāng)S=200時(shí)，時(shí)，200= -L2+30L 解得解得L1=10，L2=20. 寬為寬為20m或或10m.

11、 即長(zhǎng)為即長(zhǎng)為10m，寬為寬為20m或長(zhǎng)為或長(zhǎng)為20m，寬為寬為10m. （3）此矩形的面積能是）此矩形的面積能是250m嗎？若能，請(qǐng)求出嗎？若能，請(qǐng)求出L的值；的值； 若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由。 解：不能，當(dāng)解：不能，當(dāng)S=250時(shí)，時(shí)，250= -L2+30L, 0，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根， 即即矩形的面積不能為250m。 S= -L2+30L L (30-L) （4）當(dāng)）當(dāng)L是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積是多少米時(shí)，場(chǎng)地的面積S最大？最大值是多少？最大？最大值是多少？ 當(dāng)當(dāng)L=15米時(shí)，場(chǎng)地面積米時(shí)，場(chǎng)地面積S最大為最大為225平方米。平方米。 解：解：S= -L2+30L

12、 .225 ) 1(4 300) 1(4 4 4 ,15 ) 1(2 30 2 22 a bac a b S= -L2+30L L (30-L) 例例3 在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為在一面靠墻的空地上用長(zhǎng)為24米的籬笆，圍成中間隔有二道米的籬笆，圍成中間隔有二道 籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬AB為為x米，面積為米，面積為S平方米。平方米。 (1)求求S與與x的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍；的函數(shù)關(guān)系式及自變量的取值范圍； (2)當(dāng)當(dāng)x取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？取何值時(shí)所圍成的花圃面積最大，最大值是多少？ (3)若墻的最大可用長(zhǎng)度為若墻的最大可用長(zhǎng)度為8

13、米，則求圍成花圃的最大面積。米，則求圍成花圃的最大面積。 A BC D 解解： (1) AB為為x米、籬笆長(zhǎng)為米、籬笆長(zhǎng)為24米米 花圃長(zhǎng)花圃長(zhǎng)BC為（為（24-4x）米）米 . (3) 墻的可用長(zhǎng)度為墻的可用長(zhǎng)度為8米米, (2)當(dāng)x 時(shí)，S最大值 36（平方米） 3 2 a b a bac 4 4 2 Sx（24 - 4x） 4x224 x （0 x6） 024 - 4x 8 4x3時(shí)，時(shí)，S隨隨x的增大的增大 而減小而減小, (1)設(shè)矩形的一邊AB=xm，那么AD 邊的長(zhǎng)度如何表示？ (2)設(shè)矩形的面積為ym2，當(dāng)x取何值 時(shí)，y的最大值是多少? 何時(shí)面積最大 1.如圖,在一個(gè)直角三角形

14、的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其中 AB和AD分別在兩直角邊上. M N 40m 30m AB CD 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) (1).設(shè)矩形的一邊BC=xm,那么AB邊的 長(zhǎng)度如何表示？ (2).設(shè)矩形的面積為ym2,當(dāng)x取何值 時(shí),y的最大值是多少? 2.如圖,在一個(gè)直角三角形的內(nèi)部作一個(gè)矩形ABCD，其頂 點(diǎn)A和點(diǎn)D 分別在兩直角邊上,BC在斜邊上. A B C D M N P 40m 30m xm H G 3.某建筑物的窗戶(hù)如圖所示,它的上半部是半圓,下半部是矩 形,制造窗框的材料總長(zhǎng)為15m.當(dāng)x等于多少時(shí),窗戶(hù)通過(guò)的光 線最多?此時(shí),窗戶(hù)的面積是多少? x y .152 2 1 3224:xxxy由解.