北師大版八年級(下)數(shù)學(xué)知識點歸納總結(jié),推薦文檔

1、八年級下冊第一章三角形的證明第 1 節(jié)等腰三角形一、全等三角形的性質(zhì)與判定1、全等三角形的性質(zhì)定理 1全等三角形的對應(yīng)邊相等。定理 2全等三角形的對應(yīng)角相等。推論 1全等三角形的面積相等。推論 2全等三角形的周長相等。2、全等三角形的判定公理 1兩邊夾角對應(yīng)相等的兩個三角形全等（sas）公理 2兩角及其夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（asa）公理 3三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（sss）定理 1兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等（aas）定理 2斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。（hl）二、等腰三角形的性質(zhì)與判定1、等腰三角形的性質(zhì)定理 等腰三角形的兩個底角相等。（等邊對等

2、角）推論 1等腰三角形頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合。（三線合一）推論 2等腰三角形兩腰上的中線、兩腰上的高、兩個底角的平分線都相等，并且它們的交點到底邊兩端點距離相等。【說明】等腰直角三角形的兩個底角相等且等于 45。等腰三角形的底角只能為銳角，不能為鈍角或直角，但頂角可為鈍角或直角。等腰三角形的三邊關(guān)系：設(shè)腰長為 a，底邊長為 b，周長為 c，則 b a c 22等腰三角形的三角關(guān)系：設(shè)頂角為c，底角為a、b，則c180180 - a2a1802b，ab 22、等腰三角形的判定定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。（等角對等邊）三、

3、等邊三角形的性質(zhì)與判定1、等邊三角形的性質(zhì)定理 1等邊三角形的三條邊都相等。定理 2等邊三角形的三個內(nèi)角都相等，并且每個角都等于 60。推論：在直角三角形中，如果有一個銳角等于 30，那么它所對直角邊等于斜邊一半。2、等邊三角形的判定定義：三條邊都相等的三角形叫做等邊三角形。定理：三個角都相等的三角形是等邊三角形。推論：有一個角等于 60的等腰三角形是等邊三角形。四、反證法小明認(rèn)為，在一個三角形中，如果兩個角不相等，那么這兩個角所對的邊也不相等。- 99 -你認(rèn)為這個結(jié)論成立嗎？如果成立，你能證明它嗎？ 小明是這樣想的：你能理解他的推理過程嗎？小明在證明時，先假設(shè)命題的結(jié)論不成立，然后由此推導(dǎo)

4、出了與定義、基本事實、已有定理或已知條件相矛盾的結(jié)果，從而證明命題的結(jié)論一定成立。這種證明方法叫做反證法。第 2 節(jié)直角三角形一、直角三角形的性質(zhì)與判定1、直角三角形的性質(zhì)定理 1：直角三角形的兩個銳角互余。（角的特征）定理 2：直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。（勾股定理）（邊的特征） 2、直角三角形的判定定義：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形。定理 1：有兩個角互余的三角形是直角三角形。二、已知一條直角邊和斜邊作直角三角形1、尺規(guī)作圖已知：如圖 1-2-16 所示，線段 a，c（ac），直角 求作：rtabc，使c，bca，abc 作法：定理 2：如果三角形兩邊的平方和等于

5、第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形。2、直角三角形全等的判定定理 斜邊和一條直角邊分別相等的兩個直角三角形全等。（hl）三、互逆命題與互逆定理在兩個命題中，如果一個命題的條件和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和條件，那么這兩個命題稱為互逆命題，其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。相對于逆命題來說，另一個命題就為原命題。如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是真命題，那么它也是一個定理，我們稱它們?yōu)榛ツ娑ɡ?。其中一個定理稱為另一個定理的逆定理。相對于逆定理來說，另一個命題就為原定理。第 3 節(jié)線段的垂直平分線一、線段的垂直平分線1、性質(zhì)定理線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。2、判定定理到一

6、條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。3、三角形三條邊的中垂線性質(zhì)定理：三角形三邊的垂直平分線相交于一點，并且這一點到三個頂點的距離相等。二、已知底邊及底邊上的高作等腰三角形已知：如圖 1-3-11（1）所示，線段 a、h求作：abc，使 abac，bca，高 adh作法：作線段 bca；作線段 bc 的垂直平分線 mn 交 bc 于 d 點；在 mn 上截取線段 da，使 dah；連接 ab、ac，則abc 就是所求作的三角形（如圖 1-3-11（2）所示）三、過一點作已知直線的垂線1、過直線上一點作已知直線的垂線已知：直線 l 和 l 上一點 p，求作：直線 l 的垂線，使

7、它經(jīng)過點 p作法：以點 p 為圓心，以任意長為半徑作弧，交直線 l 于點 a 和點 b；作線段 ab 的垂直平分線 mn，則直線 mn垂直于直線 l，且經(jīng)過點 p。（如圖 1-3-12 所示）2、過直線外一點作已知直線的垂線已知：直線 l 和直線 l 外一點 p求作：直線 l 的垂線，使它經(jīng)過點 p作法：任取一點 k，使點 k 與點 p 分居直線 l 的兩側(cè)；以點 p 為圓心，pk 長為半徑作弧，交直線 l 于點a 和點 b；作線段 ab 的垂直平分線 mn，則直線 mn 垂直于直線 l，且經(jīng)過點 p。（如圖 1-3-13 所示）第 4 節(jié)角平分線一、角平分線1、性質(zhì)定理：角平分線上的點到這個

8、角的兩邊的距離相等。2、判定定理：在一個角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上。3、三角形三個內(nèi)角的平分線性質(zhì)定理三角形的三條角平分線相交于一點，并且這一點到三條邊的距離相等?！菊f明】列表比較三角形三邊的垂直平分線和三條角平分線的性質(zhì)定理三角形的分類三邊垂直平分線三個內(nèi)角平分線三角形銳角三角形交于三角形內(nèi)一點交于三角形內(nèi)一點直角三角形交于三角形外一點鈍角三角形交于斜邊的中點交點性質(zhì)到三個頂點的距離相等到三條邊的距離相等二、用尺規(guī)作一個角的平分線（回顧）已知：aob求作：射線 oc，使aocboc作法：以點 o 為圓心，以任意長為半徑作弧，交oa于點 d，交 ob 于點 e；1分別以

9、點 d、e 為圓心，以大于2de 的長為半徑作弧，兩弧在aob 的內(nèi)部交于點 p；過點 p 作射線 oc，則aocboc，即 oc 是aob 的平分線第二章一元一次不等式與一元一次不等式組第 1 節(jié)不等關(guān)系一、不等式的概念一般地，用符號“”（或“”），“”（或“”）連接的式子叫做不等式。需要說明的是，用“”連接的式子也是不等式?！菊f明】“不大于”指的是“等于或小于”，通常用符號“”表示；“不小于”指的是“等于或大于”， 通常用符號“”表示。二、不等式的分類1、絕對不等式：在任何條件下都成立的不等式。如 53，x20，|y|1 等。2、矛盾不等式：在任何條件下都不成立的不等式。如 23，a20

10、等。3、條件不等式：在一定條件下才能成立的不等式。如 x20，當(dāng) x2 時不等式成立；當(dāng) x2 時不等式不成立。三、常見的不等式基本語言的含義1、若 x0，則 x 是正數(shù)2、若 x0，則 x 是負(fù)數(shù)3、若 x0，則 x 是非負(fù)數(shù)4、若 x0，則 x 是非正數(shù)5、若 xy0，則 x 大于 y6、若 xy0，則 x 小于 y7、若 xy0，則 x 不小于 y8、若 xy0，則 x 不大于 yxx9、若 xy0（或 0），則 x、y 同號； 10、若 xy0（或 0），則 x、y 異號yy第 2 節(jié)不等式的基本性質(zhì)一、不等式的基本性質(zhì)1、文字?jǐn)⑹霾坏仁降幕拘再|(zhì) 1不等式的兩邊都加（或減）同一個整式

11、，不等號的方向不變。不等式的基本性質(zhì) 2不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變。不等式的基本性質(zhì) 3不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變。2、字母表示不等式的基本性質(zhì) 1：如果 ab，那么 acbc；如果 ab，那么 acbcab不等式的基本性質(zhì) 2：如果 ab，c0，那么 acbc， ccab如果 ab，c0，那么 acbc， ccab不等式的基本性質(zhì) 3：如果 ab，c0，那么 acbc， ccab如果 ab，c0，那么 acbc， cc二、不等式的其他性質(zhì)1、如果 ab，那么 ba；如果 ab，那么 ba（對稱性）2、如果 ab，bc，那么 ac；如果

12、ab，bc，那么 ac；（傳遞性）3、如果 ab，cd，那么 acbd；如果 ab，cd，那么 acbd；4、如果 ab0，cd0，那么 acbd；如果 ab0，cd0，那么 acbd； 5、如果 ab0，cd0，那么 acbd；如果 ab0，cd0，那么 acbd； 6、如果 ab0，那么|a|b|；如果 ab0，那么|a|b|；7、如果 ab0，那么 an bn （n 為正整數(shù)）；8、如果 ab0，那么 an bn （n 為正奇數(shù)）；如果 ab0，那么 an bn （n 為正偶數(shù)）；三、不等式的三個基本性質(zhì)與等式的兩個基本性質(zhì)比較1、相同點：不管是等式還是不等式，在它們的兩邊都加（或減）同

13、一個數(shù)或同一個整式，結(jié)果仍然成立。2、不同點：對于等式來說，在等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)（或負(fù)數(shù)），等式仍然成立；但對于不等式來說，在不等式的兩邊都乘（或除以）同一個正數(shù)，不等號的方向不變，而在不等式的兩邊都乘（或除以）同一個負(fù)數(shù)，不等號要改變方向。第 3 節(jié)不等式的解集一、不等式的解能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。如，6 是不等式 x5 的解，7，8，9，10 也是不等式 x5 的解?！菊f明】不等式的解可能是有限個，也可能是無限個，還可能不存在，即無解。例如，不等式x2 0 的解只有一個為 x0，不等式 x21 的解有無數(shù)個，而不等式 x4 0 無解。二、不等式的解集1、

14、定義一個含有未知數(shù)的不等式的所有解組成這個不等式的解集。例如，不等式 x15 的解集是 x4，不等式 x2 0 的解集是 x0，不等式 x2 0 的解集是空集。2、表示方法（1） 用不等式表示一般地，一個含有未知數(shù)的不等式有無數(shù)個解，它的解集是某個范圍，這個范圍可以用一個簡單的不等式 xa（xa）或 xa（xa）的形式表示出來。（2） 用數(shù)軸表示在數(shù)軸上表示不等式的解集的步驟a、畫數(shù)軸b、定界點：若解集包含“界點”，則用實心圓點；若解集不包含“界點”，則用空心圓圈。c、定方向：相對于“界點”而言，大于向右畫，小于向左畫。在數(shù)軸上表示不等式的解集的方法三、解不等式1、定義：求不等式的解集的過程叫

15、做解不等式。2、主要依據(jù)：不等式的基本性質(zhì)第 4 節(jié)一元一次不等式一、一元一次不等式的概念不等式的左右兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是 1，像這樣的不等式，叫做一元一次不等式。步驟變形名稱具體做法去分母在不等式兩邊同時乘以各分母的最小公倍數(shù)去括號先去小括號，再去中括號，最后去大括號移項把含有未知數(shù)的項移到不等號左邊，其他項移到不等號右邊合并同類項把不等式化成 axb（a0）或 axb（a0）的形式明】解一將未知數(shù)的系數(shù)化為 1元一次不等式的bb在方程兩邊同時除以未知數(shù)的系數(shù) a，得 x 或 x注意事項aa二、解一元一次不等式的基本步驟【說（1） 去分母時，不等號兩邊各項都

16、要乘各分母最小公倍數(shù)，不要漏乘不帶分母的項。（2） 在步驟和中，如果乘數(shù)或除數(shù)是負(fù)數(shù)，要把不等號的方向改變。（3） 在數(shù)軸上表示不等式的解集時，要注意不等號以及端點的情況。第 5 節(jié)一元一次不等式與一次函數(shù)一、一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)之間的聯(lián)系從“數(shù)”的角度看，求一元一次方程 kxb0 的解，相當(dāng)于一次函數(shù) ykxb，當(dāng)y0 時，求自變量 x 的值；求一元一次不等式 kxb0 的解集，相當(dāng)于一次函數(shù)ykxb，當(dāng) y0 時，求自變量 x 的取值范圍；求一元一次不等式 kxb0 的解集，相當(dāng)于一次函數(shù) ykxb，當(dāng) y0 時，求自變量 x 的取值范圍。從“形”的角度看，求一元一次方程

17、 kxb0 的解，相當(dāng)于確定直線 ykxb 與 x 軸交點的橫坐標(biāo)；求一元一次不等式 kxb0 的解集，相當(dāng)于確定直線 ykxb 在 x 軸上方時的自變量 x 的取值范圍；求一元一次不等式 kxb0 的解集，相當(dāng)于確定直線ykxb 在 x 軸下方時的自變量 x 的取值范圍。二、利用圖象法解一元一次不等式1、用圖象法解不等式：2x33x72、歸納總結(jié)在同一直角坐標(biāo)系畫出一次函數(shù) y1k1xb1 與 y2k2xb2 的圖象，交點的橫坐標(biāo)就是一元一次方程的 k1xb1k2xb2 解；y1y2 的部分所對應(yīng)的自變量 x 的取值范圍就是一元一次不等式 k1xb1k2xb2 的解集；y1y2 的部分所對應(yīng)

18、的自變量 x 的取值范圍就是一元一次不等式 k1xb1k2xb2 的解集。三、一元一次不等式的應(yīng)用【例】我校打算在“五一”期間組織黨員和教研組長到南戴河去旅游，參加旅游的人數(shù)估計為 1025 人，甲、乙兩家旅行社的服務(wù)質(zhì)量相同，且報價都是每人 200 元。經(jīng)過協(xié)商， 甲旅行社表示可給予每位游客七五折優(yōu)惠；乙旅行社表示可先免去一位游客的旅游費用， 其余游客八折優(yōu)惠。如果你是校長，你會選擇哪一家旅行社呢？解：設(shè)此次參加旅游的人數(shù)是 x 人，選擇甲旅行社時，所需費用為 y1 元，選擇乙旅行社時，所需的費用為 y2 元，根據(jù)題意得y12000.75x， 即 y1150x y22000.8（x1），即

19、y2160x160當(dāng) y1y2 時，150x160x160，解得 x16； 當(dāng) y1y2 時，150x160x160，解得 x16； 當(dāng) y1y2 時，150x160x160，解得 x16。因為參加旅游的人數(shù)為 1025 人，所以當(dāng) x16 時，甲乙兩家旅行社的收費相同； 當(dāng) 10x15 時，選擇乙旅行社；當(dāng) 17x25 時，選擇甲旅行社。第 6 節(jié)一元一次不等式組一、一元一次不等式組一般地，關(guān)于同一未知數(shù)的幾個一元一次不等式合在一起，組成一個一元一次不等式組?！菊f明】（1）不等式組中的所有的不等式必須都是一元一次不等式。（2） 不等式組中的所有的一元一次不等式都只含有同一個未知數(shù)。（3） 不

20、等式組中的一元一次不等式的個數(shù)為兩個或兩個以上。二、一元一次不等式組的解集1、概念一元一次不等式組中各個不等式的解集的公共部分，叫做這個一元一次不等組的解集。2、表示方法確定一個不等式組的解集的方法是先將幾個不等式的解集在同一個數(shù)軸上表示出來， 然后再找出它們的公共部分。三、解不等式組1、概念求解不等式組解集的過程，叫做解不等式組。2、例題解：（1）解不等式，得 x2（2）解不等式，得 x3解不等式，得 x2解不等式，得 x3在同一條數(shù)軸上表示不等在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集為：式的解集為：所以，原不等式組的解集無解。所以，原不等式組的解集為 x3四、一元一次不等式組的應(yīng)用【例】某高一新生中

21、有若干住宿生，分若干間宿舍。若每間住 4 人，則有 21 人無處?。蝗裘块g住 7 人，則還有 1 間沒住滿。求住宿生的人數(shù)。解：設(shè)有宿舍 x 間，則住宿生人數(shù)為（4x21）人，根據(jù)題意得解這個不等式組，得 7x 9 13因為房間數(shù)只能取正整數(shù)，所以 x 只能取 8 或 9當(dāng) x8 時，4x2153； 當(dāng) x9 時，4x2157答：住宿生的人數(shù)為 53 人或 57 人。第三章圖形的平移與旋轉(zhuǎn)第 1 節(jié)圖形的平移一、平移的相關(guān)概念1、平移的定義在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動稱為平移。2、平移的條件（1）方向（任意方向）（2）距離3、平移的實質(zhì)圖形上的每一個點都沿著同一

22、個方向移動了相同的距離。4、平移的性質(zhì)平移改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小。這說明平移前后的兩個圖形是全等的，因此得到了如下性質(zhì)：（1） 平移前后的兩個圖形對應(yīng)點所連的線段平行（或在同一條直線上）且相等。（2） 平移前后的兩個圖形對應(yīng)線段平行（或在同一條直線上）且相等。（3） 平移前后的兩個圖形對應(yīng)角相等。二、平移作圖1、平移作圖的類型（1） 已知原圖和一對對應(yīng)點，作平移后的圖形?！纠?1】如圖 1 所示，經(jīng)過平移，abc 的頂點 a 移到了點 d。指出平移方向和平移的距離。畫出平移后的三角形。解：如圖 2 所示，連接 ad，平移的方向是點 a 到點 d 的方向，平移的距離是線段 a

23、d 的長度。如圖 2 所示，過點 b、c 分別作線段 be、cf，使他們與線段 ad 平行且相等，連接de、df、ef，則def 就是abc 平移后的圖形。（2） 已知原圖和一對對應(yīng)邊，作平移后的圖形?！纠?2】如圖 1 所示，經(jīng)過平移，abc 的邊 ab 移到了 ef，畫出平移后的三角形。解：如圖 2 所示，連接 ae、bf，過 c 點作線段 cgbf，且 cgbf，連接 fg、eg，則efg就是abc 平移后的圖形。（3） 已知原圖和平移方向、平移距離，作平移后的圖形。【例 3】如圖 1 所示，將abc 按箭頭所示方向平移 4cm，畫出平移后的圖形。（保留作圖痕跡， 不必寫作法）解：如圖

24、2 所示，def 就是abc 平移后的圖形。2、平移作圖的條件（1） 圖形原來的位置（2） 平移的方向（3） 平移的距離三、坐標(biāo)系中的平移1、一個圖形沿 x 軸方向平移或沿 y 軸方向平移（1） 圖形的平移引起坐標(biāo)的變化坐標(biāo)系中原圖形的坐標(biāo)平移方向平移距離對應(yīng)點的坐標(biāo)（x，y）沿 x 軸方向向右a 個單位長度（a0）（xa，y）向左（xa，y）沿 y 軸方向向上（x，ya）向下（x，ya）【說明】左右平移縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)左減右加；上下平移橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)上加下減。（2） 坐標(biāo)的變化引起圖形的變化縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)分別增加（或減少）a 時，圖形向右（或向左）平移 a 個單位；橫坐標(biāo)不變，縱坐

25、標(biāo)分別增加（或減少）a 時，圖形向上（或向下）平移 a 個單位。2、一個圖形依次沿 x 軸方向、y 軸方向平移（1） 圖形的平移引起坐標(biāo)的變化原圖形的坐標(biāo)平移方向與平移距離對應(yīng)點的坐標(biāo)（x，y）向右平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度（xa，yb）向右平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度（xa，yb）向左平移 a 個單位長度，向上平移 b 個單位長度（xa，yb）向左平移 a 個單位長度，向下平移 b 個單位長度（xa，yb）【說明】一個圖形依次沿 x 軸方向、y 軸方向平移后所得的圖形，可以看作是由原圖形經(jīng)過一次平移得到的。平移的距離等于向 x 軸、y 軸平移距離的平方和

26、的算術(shù)平方根。平移的方向是起始位置到終止位置時每對對應(yīng)點的方向。（2） 坐標(biāo)的變化引起圖形的變化橫坐標(biāo)增加 a，縱坐標(biāo)增加 b 時，圖形先向右平移 a 個單位，再向上平移 b 個單位。橫坐標(biāo)增加 a，縱坐標(biāo)減少 b 時，圖形先向右平移 a 個單位，再向下平移 b 個單位。橫坐標(biāo)減少 a，縱坐標(biāo)增加 b 時，圖形先向左平移 a 個單位，再向上平移 b 個單位。橫坐標(biāo)減少 a，縱坐標(biāo)減少 b 時，圖形先向左平移 a 個單位，再向下平移 b 個單位。第 2 節(jié)圖形的旋轉(zhuǎn)一、旋轉(zhuǎn)的相關(guān)概念1、旋轉(zhuǎn)的定義在平面內(nèi)，將一個圖形繞著某一個定點按某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動稱為旋轉(zhuǎn)（rotation）

27、。2、旋轉(zhuǎn)的三要素（1） 旋轉(zhuǎn)中心：旋轉(zhuǎn)時的定點稱為旋轉(zhuǎn)中心。（2） 旋轉(zhuǎn)方向：順時針、逆時針（3） 旋轉(zhuǎn)角：轉(zhuǎn)動的角稱為旋轉(zhuǎn)角?！菊f明】如圖 1 所示，abo 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn)得到cdo，則： 點 a 的對應(yīng)點是點 c ，點 b 的對應(yīng)點是點 d ；線段 oa 的對應(yīng)線段是線段 oc ； 線段 ob 的對應(yīng)線段是線段 od ； 線段 ab 的對應(yīng)線段是線段 cd ；a 的對應(yīng)角是 c ；b 的對應(yīng)角是 d ；aob 的對應(yīng)角是 cod ； 旋轉(zhuǎn)中心是點 o；旋轉(zhuǎn)的角是aoc 或bod。如圖 2 所示，abc 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn)得到def，則： 點 a 的對應(yīng)點是點 d ，點 b 的對應(yīng)

28、點是點 e ； 點 c 的對應(yīng)點是點 f ；線段 ab 的對應(yīng)線段是線段 de ； 線段 bc 的對應(yīng)線段是線段 ef ； 線段 ac 的對應(yīng)線段是線段 df ；a 的對應(yīng)角是 d ；b 的對應(yīng)角是 e ；c 的對應(yīng)角是 f ；旋轉(zhuǎn)中心是點 o；旋轉(zhuǎn)的角是aod 或boe 或cof。旋轉(zhuǎn)中心在旋轉(zhuǎn)過程中保持不動，旋轉(zhuǎn)中心可以在圖形上，可以在圖形外，還可以在圖形內(nèi)。旋轉(zhuǎn)角的角度范圍為 0x360。3、旋轉(zhuǎn)的實質(zhì)圖形上的每一個點都繞著旋轉(zhuǎn)中心沿相同方向旋轉(zhuǎn)了相同的角度。4、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)改變了圖形的位置，但不改變圖形的形狀和大小，這說明旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形是全等的，因此得到如下性質(zhì)：（1） 對應(yīng)點到

29、旋轉(zhuǎn)中心的距離相等。（2） 任意一組對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角都是旋轉(zhuǎn)角，它們都相等。（3） 對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等。二、旋轉(zhuǎn)作圖1、旋轉(zhuǎn)作圖的類型（1）已知原圖、旋轉(zhuǎn)中心和一對對應(yīng)點，作旋轉(zhuǎn)后的圖形?！纠?1】如圖 1 所示，abc 繞 o 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，頂點 a 旋轉(zhuǎn)到了點 d，試確定旋轉(zhuǎn)后的三角形?！纠?2】如圖 1 所示，abc 繞 o 點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后，ac 邊旋轉(zhuǎn)到了 de 的位置，試確定旋轉(zhuǎn)后的三角形。（3）已知原圖、旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角，作旋轉(zhuǎn)后的圖形。【例 3】已知如圖 1 所示，abc 和旋轉(zhuǎn)中心 o，請作出abc 繞點 o 順時針旋轉(zhuǎn) 60后的三角

30、形abc2、旋轉(zhuǎn)作圖的條件（1）原圖形的位置（2）旋轉(zhuǎn)中心（3）旋轉(zhuǎn)方向（4）旋轉(zhuǎn)角度三、鐘表的旋轉(zhuǎn)1、秒針勻速旋轉(zhuǎn)一周需要 1 分鐘，恰好轉(zhuǎn)過 360，即每分鐘轉(zhuǎn)過 360；2、分鐘勻速旋轉(zhuǎn)一周需要 60 分鐘，恰好轉(zhuǎn)過 360，即每分鐘轉(zhuǎn)過 6；3、時針勻速旋轉(zhuǎn)一大格需要 60 分鐘，恰好轉(zhuǎn)過 30，即每分鐘轉(zhuǎn)過 0.5。第 3 節(jié)中心對稱一、中心對稱1、中心對稱的概念如果把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn) 180，它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱。這個點叫做它們的對稱中心?！菊f明】中心對稱是對兩個圖形來說的，它表示兩個圖形之間的對稱關(guān)系。2、中心對稱的性質(zhì)因為成中

31、心對稱的兩個圖形能夠重合，所以這兩個圖形是全等的，因此有如下性質(zhì)：（1） 成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點所連線段經(jīng)過對稱中心，且被對稱中心平分。（2） 成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)線段平行（或在一條直線上）且相等。（3） 成中心對稱的兩個圖形中，對應(yīng)角相等。3、確定成中心對稱的兩個圖形的對稱中心的方法（1） 連接任意一對對稱點，取這條線段的中點，這個中點即為對稱中心。（2） 連接任意兩對對稱點，兩條線段的交點即為對稱中心。二、中心對稱圖形1、中心對稱圖形的概念把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn) 180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。【說明】中心

32、對稱圖形是對一個圖形來的說的。2、中心對稱圖形的性質(zhì)（1） 中心對稱圖形上的每一對對應(yīng)點所連成的線段都被對稱中心平分。（2） 任何一條經(jīng)過對稱中心的直線都把一個中心對稱圖形分成全等的兩部分。3、作中心對稱圖形的步驟（1） 確定對稱中心（2） 找出所給圖形中的關(guān)鍵點（3） 作出這些關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點（4） 按原圖順序連接所作的對稱點，完成中心對稱圖形。三、旋轉(zhuǎn)對稱圖形1、旋轉(zhuǎn)對稱圖形的概念把一個圖形繞著某個點旋轉(zhuǎn)一定角度后，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做旋轉(zhuǎn)對稱圖形。這個點叫做它的對稱中心。旋轉(zhuǎn)的角度叫做旋轉(zhuǎn)角?！菊f明】（1）一個旋轉(zhuǎn)對稱圖形旋轉(zhuǎn)后與自身重合，旋轉(zhuǎn)的

33、角度不一定是唯一的。如圓繞著圓心旋轉(zhuǎn)任意角度都能與自身重合。（2）旋轉(zhuǎn)對稱圖形不一定是中心對稱圖形，但中心對稱圖形一定是旋轉(zhuǎn)對稱圖形。2、旋轉(zhuǎn)對稱圖形的性質(zhì)（1） 旋轉(zhuǎn)對稱圖形上的每一對對應(yīng)點到對稱中心的距離都相等。（2） 任意相鄰的對應(yīng)點與對稱中心所連線段的夾角都相等。第 4 節(jié)簡單的圖案設(shè)計一、欣賞圖案1、從美觀的角度來欣賞體會圖形的藝術(shù)美及其蘊涵的設(shè)計意義。2、從數(shù)學(xué)的角度觀察與思考把圖案分解成一些簡單的圖案，如三角形、圓、線段、多邊形等，再看它們經(jīng)過怎樣的圖形變換可得到原圖案。【例 1】欣賞圖 1 中的圖案，并分析這個圖案形成的過程。二、圖案的設(shè)計1、依據(jù)：軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)、中心對稱

34、2、步驟（1） 整體構(gòu)思圖案的設(shè)計要突出“主題”，即設(shè)計圖案的意圖，要求簡捷、自然、別致。確定整幅圖案的形狀和“基本圖案”。構(gòu)思圖案的形成過程：首先構(gòu)思該圖案由哪幾部分構(gòu)成，再構(gòu)思如何運用平移、旋轉(zhuǎn)、對稱等方法實現(xiàn)由“基本圖案”到各部分圖案的組合，并作出草圖。（2） 具體作圖根據(jù)草圖，運用尺規(guī)作圖的方法準(zhǔn)確地作出圖案，有條件的可用幾何畫板或用專業(yè)的畫圖軟件在電腦上繪制出滿意的圖案。（3） 對圖案進行適當(dāng)?shù)男揎?，如著色等?！纠?2】如圖 2 所示，用給定的幾種圖形設(shè)計圖案。要求設(shè)計的圖案至少要能體現(xiàn)平移、旋轉(zhuǎn)或軸對稱的關(guān)系，并簡單說明圖案所表示的含義。解：如下圖所示，既體現(xiàn)平移關(guān)系，又能體現(xiàn)軸對

35、稱關(guān)系；反映軸對稱關(guān)系；體現(xiàn)的是旋轉(zhuǎn)關(guān)系。第四章因式分解第 1 節(jié)因式分解一、因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做因式分解?！菊f明】（1）因式分解的對象必須是多項式，即只有多項式才有可能因式分解。（2） 因式分解的結(jié)果要用幾個整式的積的形式表示。如 a2b21(ab)(ab)11是恒等變形，而不是因式分解。又如 x2xx2(1x1)也不是因式分解，因為 1不是整式，而是分式。x（3） 因式分解必須分解到每個因式都不能再分解為止。如 a4b4(a2b2)(a2b2)就沒分解完畢，因為 a2b2 還能再分解，正確應(yīng)為 a4b4(a2b2) (ab)(ab)二、因式分解與整

36、式乘法的關(guān)系（互逆）【說明】（1）積化和差是乘法，整式乘法是運算；和差化積是分解，因式分解非運算。（2）利用整式乘法可以檢驗因式分解的結(jié)果是否正確。第 2 節(jié)提公因式法一、公因式1、公因式的概念多項式各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式?！菊f明】（1）公因式可以是數(shù)字，可以是字母，也可以是單項式和多項式。（2）公因式與各項的符號沒有關(guān)系。2、公因式的確定（1） 確定公因式的數(shù)字因數(shù)。當(dāng)多項式各項系數(shù)是整數(shù)時，各項系數(shù)的最大公約數(shù)就是公因式的系數(shù)。（2） 確定公因式的字母及其指數(shù)。公因式的字母應(yīng)是多項式各項都含有的字母，其指數(shù)應(yīng)取各項中最低的。二、提公因式法1、提公因式法的概念如果一

37、個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種因式分解的方法叫做提公因式法。2、提公因式法的步驟（1） 確定多項式各項的公因式。（2） 用多項式的各項分別去除以公因式，所得的商作為另一個因式的各項。（3） 把多項式寫成公因式與另一個因式的積的形式。【說明】多項式有幾項，提公因式后所剩的因式也有幾項。多項式的某項與公因式相同時，提公因式后該項保留因式是 1 而不是 0。3、提公因式法與單項式乘以多項式的關(guān)系第 3 節(jié)公式法一、公式法的概念根據(jù)因式分解與整式乘法的關(guān)系，我們可以利用乘法公式把某些多項式因式分解，這種因式分解的方法叫做公式法。二、因式

38、分解中的公式內(nèi)容1、平方差公式（1）字母表示：a2b2(ab)(ab)（2）文字表述：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，2、完全平方公式（1）字母表示：a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2a22abb2(ab)2（2） 文字表述：兩個數(shù)的平方和，加上（或減去）這兩個數(shù)的積的 2 倍，等于這兩個數(shù)的和（或差）的平方。三、公式的運用1、平方差公式：系數(shù)能開方，指數(shù)要成雙，減號在中央2、完全平方公式：首平方，尾平方，積的 2 倍加（減）在中央。第 4 節(jié)其他方法因式分解一、分組法因式分解【例 1】a33a23a2方法：a33a23a2方法：a33a23a2a32a2a2

39、2aa2a32a2a22aa2a2(a2)a(a2)(a2)(a3a2a)(2a22a2)(a2)(a2a1)a(a2a1)2(a2a1)(a2)(a2a1)二、十字相乘法因式分解【例 2】x210x21x25x6(11) x2(37)x37(11) x2(2)(3)x(2)(3)(x3)(x7)(x2)(x3)m25m14m24m12(11) m2(27)m(2)7(11) m2(62)m(6)2(m2)(m7)(m6)(m2)三、換元法因式分解【例 3】(x25x6)(x27x6)3x2方法：令 x25x6m，則方法：令 x26m，則原式m(m2x)3x2原式(m5x)(m7x)3x2m2

40、2mx3x2m212mx32x2(mx)( m3x)(m4x)( m8x)(x25x6x)( x25x63x)(x24x6)( x28x6)(x24x6)( x28x6)四、配方法因式分解【例 4】a5a1m44a5a2a2a1m444m24m2a2(a31)(a2a1)(m44m24)4m2a2(a1)(a2a1)(a2a1)(m22)2(2m)2(a3a2)(a2a1)(a2a1)(m22m2)(m22m2)(a2a1)(a3a21)【說明】立方差公式：a3b3(ab) (a2abb2)立方和公式：a3b3(ab) (a2abb2)完全立方公式：(ab)3a33a2b3ab2b3(ab)3

41、a33a2b3ab2b3五、拆項法因式分解【例 5】x39x226x24x32x3x32x27x214x12x24x3x3x3(x32x2)(7x214x)(12x24)(x3x)(3x3)x2(x2)7x(x2)12(x2)x(x21)3(x1)(x2)(x27x12)x (x1)(x1)3(x1)(x2)(x3)(x4)(x2x) (x1)3(x1)(x1) (x2x3)一、分式的概念第五章分式與分式方程第 1 節(jié)認(rèn)識分式a一般地，用a、b 表示兩個整式，ab 可以表示成 的形式。如果 b 中含有字母，ba那么稱為分式。其中 a 稱為分式的分子，b 稱為分式的分母。b【說明】（1）分?jǐn)?shù)線起

42、到除號和括號的作用。（2） 對于任意一個分式，分母都不能為零。（3） 分式的分子可以含有字母，也可以不含字母，但分式的分母中必須要含有字母。3（4） 是常數(shù)不是字母，因此是整式而不是分式。p（5） 判斷一個代數(shù)式是否為分式，不能把原式變形后再判斷，必須依據(jù)原來的形式進xy行判斷，如的分母中含有字母，我們認(rèn)定它為分式，而不能看化簡后的結(jié)果。y二、分式有、無意義及分式的值為 0 的條件1、分式有意義的條件：分母不等于 02、分式無意義的條件：分母等于 03、分式的值為 0 的條件：分子等于 0 且分母不等于 0三、分式的基本性質(zhì)1、內(nèi)容：分式的分子與分母都乘（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值

43、不變。2、公式： b = b m (m 0)b = b m (m 0)aa maa m【說明】m 可以是數(shù)字，可以是字母，也可以是單項式，還可以是多項式，只要不為 0 即可。四、分式的約分1、分式的約分：把一個分式的分子和分母的公因式約去，這種變形叫做分式的約分。2、最簡分式：當(dāng)分式的分子和分母沒有公因式時，這樣的分式稱為最簡分式。3、約分的要求：使結(jié)果成為最簡分式或整式。第 2 節(jié)分式的乘除法一、分式的乘法法則1、文字表述兩個分式相乘，把分子相乘的積作為積的分子，把分母相乘的積作為積的分母。2、字母表示二、分式的乘方法則1、文字表述b d = bd acac分式乘方要把分子、分母分別乘方。2

44、、字母表示三、分式的除法法則1、文字表述兩個分式相除，把除式的分子和分母顛倒位置后再與被除式相乘。2、字母表示四、分式的乘除法的混合運算b d = b c = bc acadad1、在一個算式中含有分式的乘方、乘法、除法時，先算乘方，再算乘除，有多項式時應(yīng)先因式分解，再約分。2、一般情況下，分式乘除法混合運算的順序為：按從左到右的順序進行，有括號時，應(yīng)先算括號里面的?！菊f明】結(jié)果中的分母，既可以是乘積的形式，也可以是多項式。負(fù)因式的個數(shù)為偶數(shù)時，結(jié)果符號為正；負(fù)因式的個數(shù)為奇數(shù)時，結(jié)果符號為負(fù)。如果分式的分子（或分母）的符號是負(fù)號時，應(yīng)把負(fù)號提到分式的前面。分式運算的結(jié)果必須是最簡分式或整式。

45、第 3 節(jié)分式的加減法一、同分母分式的加減法法則1、文字表述同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。2、字母表示二、異分母分式的加減法法則1、異分母分式的通分（1） 通分的定義b c = b c aaa根據(jù)分式的基本性質(zhì)，異分母分式可以化為同分母分式，這一過程稱為分式的通分。（2） 通分的方法（步驟）將所有分式的分母化成積的形式，當(dāng)分母為多項式時，應(yīng)因式分解。確定最簡公分母，即各分母的所有因式的最高次冪的積。2、異分母分式的加減法法則（1） 文字表述異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進行計算。（2） 字母表示三、分式的化簡求值【例 1】先化簡，再求值

46、xx +1b d = bc ad = bc ad acacacac（1） (+1) ，其中 x = 2x2 - 2x +1x2 -1（2）2a + 2a -1 (a +1) +a2 -1 a2 - 2a +1，a 從1，1 和 2 三個數(shù)中任取一個合適的代入求值。nmnm【例 2】已知 m - 2n = 0 ，求代數(shù)式(1+ -) (1- -) 的值。mm - nmm + n第 4 節(jié)分式方程一、分式方程1、概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解分式方程（1） 基本思路：化分式方程為整式方程（一元一次方程）（2） 一般步驟：“一去二解三驗”去分母：方程兩邊同時乘以最簡公分母，將其化為

47、整式方程。解這個整式方程：得到未知數(shù)的值。檢驗：有兩個方法。a、把求得的值代入原方程，看方程的左邊與右邊是否相等。若相等，則是原方程的根，若不相等，則不是原方程的根。b、把求得的值代入最簡公分母，看最簡公分母是否為零。若等于零，則是增根， 若不等于零，則是原方程的根?！菊f明】在將分式方程化為整式方程時，產(chǎn)生的使原分式方程的分母為零的解，我們稱它為原分式方程的增根。產(chǎn)生增根的原因是，我們在方程兩邊同乘了一個使分母為零的整式。因為解分式方程可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程必須檢驗。二、分式方程的應(yīng)用1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟（1） 審：審題。分析題中已知什么，求什么，明確各數(shù)量之間的關(guān)系。（2）

48、 設(shè)：設(shè)未知數(shù)。一般求什么，就設(shè)什么為 x（其他未知數(shù)也可以）。（3） 找：找等量關(guān)系。找出能夠表示應(yīng)用題全部題意的一個等量關(guān)系。（4） 列：列方程。根據(jù)所找的等量關(guān)系列出方程。（5） 解：解方程。解所列方程，求出未知數(shù)的值。（6） 驗：檢驗。檢驗所求得的值是否為所列方程的根。（7） 答：檢驗所求的根是否符合題意，寫出答案（包括單位）。2、應(yīng)用舉例【例 1】賈奇同學(xué)借了一本書，共 280 頁，要在兩周的借期內(nèi)讀完，當(dāng)她讀了正好一半時發(fā)現(xiàn)，平均每天要多讀 21 頁才能在借期內(nèi)正好讀完，求她讀前一半時，平均每天讀多少頁？解：設(shè)她讀前一半時平均每天讀 x 頁，則她讀后一半時平均每天讀(x21)頁，根

49、據(jù)題意得140 + 140= 14xx + 21解這個方程，得 x = 14經(jīng)檢驗， x = 14 是所列方程的根，且符合題意答：她讀前一半時，平均每天讀 14 頁?！纠?2】從甲地到乙地共 100km，其中開始的 30km 是平路，接下來的 30km 是上坡路，余下的又是平路。小剛騎自行車從甲地出發(fā)經(jīng)過 2h 到達(dá)甲乙兩地的中點，再經(jīng)過 1h50min 到達(dá)乙地，求小剛在平地上的速度。5040解：設(shè)小剛在平地上的速度為 x km/h，根據(jù)題意，得2 - 30 = 2(1-)解這個方程，得 x = 30x60x經(jīng)檢驗， x = 30 是所列分式方程的根且符合題意。答：小剛在平地上的速度是 30

50、 km/h。第六章平行四邊形第 1 節(jié)平行四邊形的性質(zhì)一、認(rèn)識平行四邊形1、定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、表示方法：四邊形 abcd 是平行四邊形，記作“abcd”，讀作“平行四邊形 abcd”。3、對角線：平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫做它的對角線。【說明】一個平行四邊形有 兩 條對角線。4、面積公式：sah（a 表示平行四邊形的邊長，h 表示這條邊上的高）二、平行四邊形的性質(zhì)1、平行四邊形是中心對稱圖形，兩條對角線的交點是它的對稱中心。2、平行四邊形的對邊平行且相等。3、平行四邊形的對角相等，鄰角互補。4、平行四邊形的對角線互相平分。第 2 節(jié)平行四邊形的判定一

51、、平行四邊形的判定1、兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。（定義）2、兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形。3、一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形。4、兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形。5、對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。二、平行線之間的距離1、定義如果兩條直線平行，則從其中一條直線上任意一點到另一條直線的垂線段的長度叫做平行線之間的距離。2、性質(zhì)：平行線之間的距離處處相等。3、推論：夾在兩條平行線之間的平行線段一定相等。第 3 節(jié)三角形的中位線一、三角形中位線的定義連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線?！菊f明】三角形的中位線是線段，一個三角形有三條中位線。二、三角形的中位線定理三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半?！菊f明】（1）三條中位線將原三角形分割成四個全等的小三角形。每個小三角形的周長都為原三角形周長的一半，每個小三角形的面積都是原三角形面積的四分之一。（2）順次連接任意四邊形的中點所組成的四邊形是平行四邊形。第 4 節(jié)多邊形的內(nèi)角和與外角和一、認(rèn)識多邊