1.4有阻尼的受迫振動(dòng)

1、 第四節(jié)第四節(jié) 有阻尼的受迫振動(dòng)有阻尼的受迫振動(dòng) 定義：定義： 受迫振動(dòng)：有阻尼的系統(tǒng)在外界控制的持續(xù)激受迫振動(dòng)：有阻尼的系統(tǒng)在外界控制的持續(xù)激 勵(lì)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)。勵(lì)作用下所產(chǎn)生的振動(dòng)。 激勵(lì)：外界力、基座運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的慣性力。激勵(lì)：外界力、基座運(yùn)動(dòng)所產(chǎn)生的慣性力。 響應(yīng)：激勵(lì)所引起的系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)。響應(yīng)：激勵(lì)所引起的系統(tǒng)的振動(dòng)狀態(tài)。 非自治系統(tǒng)：顯含時(shí)間變量的系統(tǒng)。非自治系統(tǒng)：顯含時(shí)間變量的系統(tǒng)。 有阻尼受迫振動(dòng)有阻尼受迫振動(dòng) ti eFkxxcxm 0 、 0 F ti eFtF 0 )( x 受激勵(lì)力存在使得動(dòng)力學(xué)方程成為非齊次方程受激勵(lì)力存在使得動(dòng)力學(xué)方程成為非齊次方程： 其中，激勵(lì)

2、力的頻率和幅值分別為其中，激勵(lì)力的頻率和幅值分別為 根據(jù)常微分方程，非齊次線性常微分方程的全解有根據(jù)常微分方程，非齊次線性常微分方程的全解有兩部分兩部分： 齊次方程的通解齊次方程的通解 指數(shù)衰減或衰減振動(dòng)為非往復(fù)運(yùn)動(dòng)指數(shù)衰減或衰減振動(dòng)為非往復(fù)運(yùn)動(dòng)暫態(tài)響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng) 非齊次方程的特解非齊次方程的特解持續(xù)等幅振動(dòng)（穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)）持續(xù)等幅振動(dòng)（穩(wěn)態(tài)受迫振動(dòng)）穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。 為復(fù)變量，其實(shí)部和虛部分別為余弦和正弦激勵(lì)響應(yīng)。為復(fù)變量，其實(shí)部和虛部分別為余弦和正弦激勵(lì)響應(yīng)。 ti eBxxx 2 0 2 00 2 ti e m F x m k x m c x 0 m k 0 km c 2 )( )(

3、ti Aetx )( )( ti eiAt x )(2 )( ti eAt x titititi e k F AeeAieA 2 0 0)(2 0 )( 0 )(2 2 i e k F AAiA 0 02 00 2 2 其中，其中， 系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率；系統(tǒng)的無(wú)阻尼固有頻率； 設(shè)非齊次方程的特解，即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：設(shè)非齊次方程的特解，即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)： 即即 系統(tǒng)的阻尼比；系統(tǒng)的阻尼比； )sin()cos( )( tite ti )sin(cos2)( 2 0 0 0 22 0 i k F AiA 222 0 00 2 0 00 ()cos 2sin F A k F A k 2 0 0 0 2222

4、22222 00 1 (1)(2) 4 F F k AB k ss 222 0 0 1 22 tan s s 222 )2()1 ( 1 )( ss s 2 1 2 arctan)( s s s 歐拉公式：歐拉公式： （實(shí)部和虛部分別相等）（實(shí)部和虛部分別相等） k F B 0 0 s B A s )( BA )(s BA 系統(tǒng)與幅值相等的常值力施加于物體上所引起的彈簧靜變形系統(tǒng)與幅值相等的常值力施加于物體上所引起的彈簧靜變形 （系統(tǒng)在靜力（系統(tǒng)在靜力F F0 0作用下的靜偏位）；作用下的靜偏位）； 系統(tǒng)的頻率比；系統(tǒng)的頻率比； 系統(tǒng)的振幅放大因子，它是關(guān)于頻率比的函數(shù)（系統(tǒng)的振幅放大因子，它

5、是關(guān)于頻率比的函數(shù)（幅頻特性幅頻特性）；）； 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅；系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的實(shí)振幅； 結(jié)論：結(jié)論： 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)是相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且相位滯后于激勵(lì)；穩(wěn)態(tài)響應(yīng)與激勵(lì)是相同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，并且相位滯后于激勵(lì)； 1.1. 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的振幅 是頻率比是頻率比s s及阻尼比及阻尼比 的函數(shù)，與初始的函數(shù)，與初始 條件無(wú)關(guān)。條件無(wú)關(guān)。 系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的相位角，它是關(guān)于頻率比的函數(shù)（系統(tǒng)的響應(yīng)與激勵(lì)的相位角，它是關(guān)于頻率比的函數(shù)（相頻特性相頻特性）。）。 幅頻特性：給出不同的阻尼比幅頻特性：給出不同的阻尼比 及變化的頻率比及變化的頻率比s s的幅頻曲線，如圖的幅頻曲線，如圖

6、0 0 1 1 不論不論s1s1s1，即即 阻尼對(duì)振幅影響甚小，可按無(wú)阻尼受迫振動(dòng)處理；阻尼對(duì)振幅影響甚小，可按無(wú)阻尼受迫振動(dòng)處理； 前者前者 ，響應(yīng)近似于靜態(tài)，響應(yīng)近似于靜態(tài)， 后者后者 。 有重要的結(jié)論：有重要的結(jié)論： 一般一般 1s 0 m 0 ds d 2 0 21 m 2 max 12 1 2 max 12 B A 1 Q 2 1 max 2 max B A 也急劇增大，振幅顯著增大，且阻尼對(duì)振幅抑制作用十分明顯，也急劇增大，振幅顯著增大，且阻尼對(duì)振幅抑制作用十分明顯， 即阻尼增大，振幅顯著下降。將振幅取極大值時(shí)的激勵(lì)頻率即阻尼增大，振幅顯著下降。將振幅取極大值時(shí)的激勵(lì)頻率 為為共振

7、頻率，共振頻率， 有最大值有最大值 有最大的幅值有最大的幅值 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， Q Q為系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。為系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)。 2.2. 此時(shí)振幅此時(shí)振幅 品質(zhì)因數(shù)越大，共振峰越高，品質(zhì)因數(shù)越大，共振峰越高， 測(cè)量的信號(hào)強(qiáng)，靈敏度高。它反測(cè)量的信號(hào)強(qiáng)，靈敏度高。它反 映了系統(tǒng)的窄帶濾波性能，品質(zhì)映了系統(tǒng)的窄帶濾波性能，品質(zhì) 因數(shù)值越大，選擇性越好。因數(shù)值越大，選擇性越好。 0 1 0 2 0 1s0 相頻特性：給出不同的阻尼比相頻特性：給出不同的阻尼比 及變化的頻率比及變化的頻率比s s的幅頻曲線，如圖的幅頻曲線，如圖 隨著隨著s s在在 2.2. s s1 1處，即處，即 時(shí)，共振，時(shí)，共振， 不

8、同不同 的曲線共交于一點(diǎn)。的曲線共交于一點(diǎn)。 3.3. 小阻尼小阻尼 時(shí)，激勵(lì)力與位移同相；時(shí)，激勵(lì)力與位移同相； , , 時(shí)，激勵(lì)力與位移反相時(shí)，激勵(lì)力與位移反相； 有重要的結(jié)論：有重要的結(jié)論： 區(qū)間單調(diào)上升的曲線；區(qū)間單調(diào)上升的曲線； 1s 3 l 0 ( )sinF tFt 例題：已知等效質(zhì)量例題：已知等效質(zhì)量m m且可簡(jiǎn)化于桿長(zhǎng)且可簡(jiǎn)化于桿長(zhǎng) 處，阻尼為處，阻尼為c c，彈簧剛度為，彈簧剛度為k k， 動(dòng)力學(xué)微分方程；動(dòng)力學(xué)微分方程； 2. s2. s1 1（接近共振），且（接近共振），且 時(shí)系統(tǒng)的振幅和相位角時(shí)系統(tǒng)的振幅和相位角 ，水平位置平衡，試求：，水平位置平衡，試求： 1 2 22 ( ) 333 lll mck llF t l 2 22 0 4 sin 99 ml clklF lt 0 949 sin Fck t mmml 解解: (1): (1) 動(dòng)力學(xué)微分方程：動(dòng)力學(xué)微分方程： 動(dòng)力學(xué)微分方程動(dòng)力學(xué)微分方程 22 2 2 392 ( )arctanarctan 1 1 9 c mkk ms s s k m 00 max 393 22k24 FFBmkm A lcclk 0 2c 3 mk 0 9 =3