初中幾何變換——翻折

1、初中數(shù)學(xué)幾何變換之軸對稱一、知識梳理1、軸對稱基本要素：對稱軸。2、基本性質(zhì)：（1）對應(yīng)線段、對應(yīng)角相等（2）對應(yīng)點(diǎn)所連線段被對稱軸垂直平分（3）對稱軸上的點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等?（4）對稱軸兩側(cè)的幾何圖形全等？3、應(yīng)用翻折問題、最值問題等二、?？碱}型類型一：軸對稱性質(zhì)1、如圖，在平行四邊形ABCD中，AB J3，AD 4，將平行四邊形ABCD沿AE翻折后，點(diǎn)B恰好與點(diǎn)C重合,第1題則折痕AE的長為第3題將厶ABP沿BP翻折至 EBP,2、如圖， 矩形“口 中，AB=8, BC=6，P為AD上一點(diǎn),PE與CD相交于點(diǎn) 0,且0E=0D，貝U AP的長為 3、如圖，在 ABC中，AB=AC, BC

2、=24, tanC=2，如果將厶ABC沿直線|翻折后，點(diǎn)B落在邊AC的中點(diǎn)E處，直線|與邊BC交于點(diǎn)D,那么BD的長為。4、 如圖，菱形紙片 ABCD中，/ A=60，將紙片折疊，點(diǎn) A、D分別落在A、D處，且AD經(jīng)過B, EF為折痕，當(dāng)D F CD時，CF的值為 。FD5、 如圖，在 ABC中，/ C= 90,將厶ABC沿直線MN翻折后，頂點(diǎn) C恰好落在AB邊上的點(diǎn)D處，已知 MN / AB, MC= 6, NC= 2.3，則四邊形MABN的面積是O，沿著EF折疊，使點(diǎn)A落在BC邊上的點(diǎn)D的位置，且 三1一疋，貝U CE的長是7、如圖1，在矩形紙片 ABCD中，AB= 8丿3?, AD= 1

3、0,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn).將這張紙片依次 折疊兩次：第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME、NE;第二次折疊紙片使點(diǎn) N與點(diǎn)E重合，如圖3，點(diǎn)B落在B處，折痕為HG,連接HE,則tan /EHG=.?圖2圖3&如圖，在邊長為 6的正方形 ABCD中，E是邊CD的中點(diǎn)，將 ADE沿AE對折至 AFE,延長交BC于點(diǎn)G,連接AG.(1) 求證： ABGBA AFG；(2 )求BG的長.類型二：軸對稱應(yīng)用1、菱形ABCD在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，頂點(diǎn)B (2, 0)，/ DOB=60。，點(diǎn)P是對角線0C上一個動點(diǎn)，E ( 0, - 1)，當(dāng)EP+BP最短時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .

4、2、如圖，/ AOB=30。，點(diǎn)M、N分別是射線 OA、0B上的動點(diǎn)，0P平分/ AOB, 且 0P=6,當(dāng)厶PMN的周長取最小值時，四邊形 PMON的面積為 .3、如圖，在銳角 ABC中,AB=6,/BAC=60，/ BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D,點(diǎn)M,N分別是 AD和AB上的動點(diǎn)，則BM+MN的最小值為4、如圖，在等邊厶 ABC中，AB=4,點(diǎn)P是BC邊上的動點(diǎn)，點(diǎn) P關(guān)于直線 AB, AC的對稱點(diǎn) 分別為M , N,則線段MN長的取值范圍是?. ?類型三：動點(diǎn)與軸對稱1、如圖，在矩形 ABCD中，AB=2 3 ,點(diǎn)E是邊BC的一個三等分點(diǎn)CEBE，F(xiàn) 是 AD邊上一動點(diǎn)，將圖形以EF為折

5、痕翻折后，當(dāng)D、C的對應(yīng)點(diǎn)D、C、與B在一條直線上時，？EFG 的周長是。DC第1題2、如圖，在矩形 ABCD中，AB=5,AD=13， E、F分別是 AB、AD邊上的動點(diǎn)，將 ？ABE向下翻折，點(diǎn)A落在BC邊上A、處，則A B的最小值是 3、如圖，正方形 ABCD的邊長為6，EF是正方形 ABCD的一條對稱軸，G、H分別在 AB、CD上，將圖形沿 GH對折后，點(diǎn)C落在E處，求tan ANE =E第4題4、如圖，在 Rt?ABC 中 AC=4, BC=3D是AB邊上一動點(diǎn)，點(diǎn) E與點(diǎn)A關(guān)于直線CD對稱,當(dāng) DE/BC 時，AD=5、如圖，在 Rt?ABC 中，AB=4, BC=3, D 是 A

6、B 邊上一動點(diǎn)， DE/BC, A、A關(guān)于 DE 對稱，當(dāng)？A、EC為直角三角形是 AD=類型四：綜合應(yīng)用1、如圖，在矩形ABCD中，E是AB邊的中點(diǎn)，沿 EC對折矩形ABCD使B點(diǎn)落在點(diǎn)P處,折痕為EC連結(jié)AP并延長AP交CD于F點(diǎn),(1) 求證：四邊形 AECF為平行四邊形；(2) 若厶AEP是等邊三角形，連結(jié) BP,求證： APBBA EPQ(3) 若矩形 ABCD的邊AB=6, BC=4,求厶CPF的面積.2、如圖(1),在矩形ABCD中，把/ B/ D分別翻折，使點(diǎn) B、D分別落在對角線 BC上的點(diǎn)E、F處，折痕分別為 CM、AN.(1) 求證： ANDA CBM.(2) 請連接MF

7、、NE,證明四邊形 MFNE是平行四邊形，四邊形 MFNE是菱形嗎？請說明理由？(3) P、Q是矩形的邊 CD AB上的兩點(diǎn)，連結(jié) PQ、CQ MN，如圖(2)所示，若 PQ=CQPQ/ MN。且 AB=4, BC=3,求 PC的長度.M Ii A1/ 0 B圖圖(2)3、已知一個矩形紙片 OACB,將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A ( 11, 0),點(diǎn)B( 0,6)，點(diǎn)P為BC邊上的動點(diǎn)(點(diǎn) P不與點(diǎn)B、C重合)，經(jīng)過點(diǎn) O、P折疊該紙片，得點(diǎn) B 和折痕OP.設(shè)BP=t.(I) 如圖，當(dāng)/ BOP=3CP時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；(n)如圖，經(jīng)過點(diǎn) P再次折疊紙片，使點(diǎn) C落在直線PB上，得點(diǎn)

8、C和折痕PQ,若 AQ=m,試用含有t的式子表示m ;(川)在(n)的條件下，當(dāng)點(diǎn)C恰好落在邊 oa上時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)(直接寫出結(jié)果即可)4、如圖，在矩形紙片 ABCD中，AB=6, BC=8.把厶BCD沿對角線BD折疊，使點(diǎn)C落在C 處，BC交AD于點(diǎn)G; E、F分別是 C D和BD上的點(diǎn)，線段 EF交AD于點(diǎn)出把厶FDE 沿EF折疊，使點(diǎn)D落在D處，點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A重合.(1) 求證： ABGA C DG;(2) 求 tan/ ABG 的值；(3) 求EF的長.5、問題提出？(1)如圖，已知 ABC,請畫出 ABC關(guān)于直線AC對稱的三角形.?問題探究？(2) 如圖，在矩形 ABCD中，AB=

9、4, AD=6, AE=4, AF=2，是否在邊 BC CD上分別存在點(diǎn)G、H,使得四邊形 EFGH的周長最小？若存在，求出它周長的最小值；若不存在，請說 明理由.?問題解決？(3) 如圖，有一矩形板材 ABCD AB=3米，AD=6米，現(xiàn)想從此板材中裁出一個面積盡可能大的四邊形 EFGH部件，使/ EFG=90 , EF=FG=?米，/ EHG=45,經(jīng)研究，只有當(dāng)點(diǎn)E、F、G分別在邊AD、AB、BC上，且AFv BF,并滿足點(diǎn) H在矩形ABCD內(nèi)部或邊上時，才EFG H部件?有可能裁出符合要求的部件，試問能否裁得符合要求的面積盡可能大的四邊形若能，求出裁得的四邊形 EFGH部件的面積；若不

10、能，請說明理由 .?圖闔三、課后作業(yè)1、如圖，等邊 ABC的邊長為6,AD是BC邊上的中線,M是AD上的動點(diǎn),E是AC邊上一點(diǎn).若 AE=2,EM+CM 的最小值為？?？.2、如圖1,在銳角三角形 ABC中，AB=4 ，/BAC=45,Z BAC的平分線交 BC于點(diǎn)D,M,N分別是 AD和AB上的動點(diǎn)，貝U BM+MN的最小值為?圖2第2題3、 如圖，已知點(diǎn) C(1 , 0)，直線y= x+ 7與兩坐標(biāo)軸分別交于 A, B兩點(diǎn)，D, E分別是AB, OA上的動點(diǎn)，則 CDE周長的最小值是.?4、 如圖1,將正方形紙片 ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF.如圖2,展開后再折 疊一次，使點(diǎn)

11、 C與點(diǎn)E重合，折痕為 GH,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn) M , EM交AB于N,貝U tan/ANE=BFC 占Ml圖25、如圖，/ AOB=30,點(diǎn) M、N 分別在邊 OA、OB上，且 0M=1 , ON=3,點(diǎn) P、Q 分別在邊OB、OA上，貝V MP+PQ+QN的最小值是 .6、如圖，Rt ABC 中，/ C=90 , AB=5 , AC=3 ,在邊 AB 上取一點(diǎn) D,作 DE 丄AB交BC于點(diǎn)E,先將 BDE沿DE折疊，使點(diǎn)B落在線段DA上，對應(yīng)點(diǎn)記為AEB,將 AFG沿AF折疊得到 AFD，延長BE和DF相交于點(diǎn)C.探究一：猜想：四邊形ABCD是何種特殊的四邊形？請證明自己的猜想.探究二：連接BD分別交AE、AF于點(diǎn)M、N，將 ABM繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AB與AD重合，得到 ADH ,試判斷線段?MN 2、ND2、DH2之間的數(shù)量關(guān)系，并 說明理由.探究三：若EG=4 , GF=6 , BM=3,你能求出AG、MN的長嗎？C18、數(shù)學(xué)課上，老師出了一道題，如圖，Rt ABC中，/ C=90 , AC=AB,2求證