勾股定理題目類型總結(jié)

1、經(jīng)典例題透析類型一：勾股定理的直接用法1. 如圖/B=Z ACD90 , At=13,Ct=12, BC=3,則 AB的長(zhǎng)是多少類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、 如圖，已知：在中，一三-匸，-二，崔- 1:.求：BC的 長(zhǎng).舉一反三 【變式1】如圖，已知：匚，f，用上三于P. 求證:Bb【變式2】已知：如圖，/ B二/ D=90,Z A=60, AB=4 CD=2求：四邊形 ABCD的面積類型三:勾股定理的實(shí)際應(yīng)用4. 一輛裝滿貨物的卡車，其外形高米，寬米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這 輛卡車能否通過該工廠的廠門？7ViD1X綁一15、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全

2、國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行 電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊 A、B、C D,且正好位于一個(gè)正方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì) 劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分.請(qǐng)你 幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線.【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為 20cm高AE為4cm EC是上底面的直 徑.一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn) C,試求出爬行的最短路程. 類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為再的線段6. 作長(zhǎng)為/、宀、H的線段舉一反三【變式】在數(shù)軸上表示f的點(diǎn)。類型五：逆命題與勾股定理逆定理7、如果 ABC勺三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c判斷 ABC的形狀。舉一

3、反三【變式1】四邊形ABC中, Z B=90, AB=3 BC=4 CD=12 AD=13求四邊形ABCD勺面積【變式2】如圖正方形ABCD E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn),1且 BF$ AB請(qǐng)問FE與DE是否垂直請(qǐng)說明。經(jīng)典例題精類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是 3: 4,斜邊長(zhǎng)是20 ,求此直角三角形的 面積【變式1】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是 n+1, n+2, n+3,求n類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且/ QPN= 30，點(diǎn)A處有一所中學(xué), AP= 160m假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)

4、在公 路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到噪聲影響請(qǐng)說明理由，如果受影響，已 知拖拉機(jī)的速度為18km/h,那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒【變式】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊 長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABC冶有多少個(gè)單位正三角形平行四邊形 ABCD 的面積是多少（3）求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）。在BCD由條件-3 ，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作二二-X于D,_三匸J而求出BC的長(zhǎng).解析：作2，再由勾股定理計(jì)算出AD血丄比于D則因丸 ,類型三：數(shù)學(xué)思想方法方程的思

5、想方法3. 如圖所示，已知 ABC中，/ C=90 ,Z A=60,：，求-、的值。B舉一反三：【變式】如圖所示，折疊矩形的一邊 AD,使點(diǎn)D落 邊的點(diǎn)F處，已知 AB=8cm BC=10cm求EF的長(zhǎng)。類型一：勾股定理的直接用法答案T/ ACD90。丹AD =13, CD=12 二 AC二AD CD = 13 2 122 =25 二 AC=5 又丁/ ABC=90 且 BC=3 由勾股定理可得 AB=ACBC =5 2 32 =16 /.AB= 4 二 AB 的 長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用 思路點(diǎn)撥： 則有皿二丄*啟二巧A3_600 = 300 昨的兩個(gè)銳角互余）二2（在妣中，如果一

6、個(gè)銳角等于三廠 那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）根據(jù)勾股定理，在中，-丄11-1一.根據(jù)勾股定理，在三丄兒匚中，UD=少1 = j7L-15g = 65 . 二 BC = ED + DO= 65 + 15= SO解析：連結(jié)BM根據(jù)勾股定理，在昭MP中，加事臚-加.而在BiAMP中，貝肪艮據(jù)勾股定理有MF0 -血.二-又.二甘二二門 （已知）.苗=誠(chéng) -CM）+曲0.在pbcm中，根據(jù)勾股定理有 BMCM2=SC2 , . 加=肘+血 分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié) AC或延長(zhǎng)AB DC交于F, 或延長(zhǎng)AD BC交于點(diǎn)E,根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊 選

7、第三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng) AD BC交于 E。A二/ 60,/ B=90,.AE=2AB=8 CE=2CD=,4.B=A-AB2=82-42=48, BE= =恥。 TDE二 CE2-CD2=42-2 2=12,. DE= =。丄1_ S 四邊形 ABC=SABES CDEF AB BE CD- DE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線米處，且 CDLAB,與地面交于H解：OC= 1米（大門寬度一半），0。=米 （卡車寬度一半）/F在Rt OC中，由勾股定理得=JF-佰=0 . 6米，.*f

8、)C H=0 . 6 + 2 . 3 = 2 . 9（米）2 . 5（米）.因此高度上有米的余 4/i量，所以卡車能通過廠門.思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算 線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論.解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD = 3,AB+BC+C03圖（3）中，在 Rt ABC中 I ” 亠 同理圖（3）中的路線長(zhǎng)為:-圖（4）中，延長(zhǎng)EF交BC于 H,貝卩FH丄BC BH= CH30,5/ =1主， f 邑由/ FBH=-及勾股定理得：EA = ED= FB= FC=】； EF= 1 2FH= 1-此圖

9、中總線路的長(zhǎng)為 4EA+EM I八如圖，在Rt ABC中，EC=底面周長(zhǎng)的一半=10 cm 根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理） AC= * “廠廠=一 I匸 =10.77（ cm）（勾股定理）.答：最短路程約為1 0.77 cm思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于丄，直角邊為/和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是,，類似地可作宀作法：如圖所示(1)作直角邊為1 (單位長(zhǎng))的等腰直角 ACB使AB為斜邊；(2)以AB為一 條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；(3)順次這樣做下去，最 后做到直角三角形-/-，這樣斜邊、-存、臚的長(zhǎng)度就是u O解析：可以把看作是直角三角形的斜邊

10、，I7 ，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)， 而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是 3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到 A點(diǎn)，使0A=3作ACLOA且截取AC=1以0C 為半徑，以0為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn) B即為- - o思路點(diǎn)撥：要判斷厶ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c故只有從該條件入手，解決問題。解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c 得：2 2 2 2 2 2 2a -6a+9+b-8b+16+c-10c+25=0, 二(a-3) +(b-4) +(c-5) =0。v (a-3) 0,

11、 (b-4) 0, (c-5) 0。a=3 , b=4, c=5ov 32+42=52,a 2+b2=c2o 由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來(lái)研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到?！敬鸢浮浚哼B結(jié) AC/ B=90, AB=3 BC=4B AC二AB+BC=25 （勾股定理）二 AC=5v aC+CD=169, aD=169 二 AC+CD=AD/ ACD=90 (勾股定理逆定理)十4 A 一分析：本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明：a2+b2=c2即可證明.厶亠- 1. ,J l： :;：1 I : -二強(qiáng)4十2 +滬 0所以 AB

12、C是直角三角形.【答案】答：DEI EF。證明：設(shè) BF=a 貝S BE=EC=2a, AF=3a AB=4a, EF2二BF+BE二a2+4a2=5a2; DE2二cE+CD=4a2+16a2=20a2。連接 DF （如圖）DF2二AF+AD=9a2+16a2=25a2。： DF2二EF+DE, FE 丄 DE思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通過 比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是 3x, 4x,根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x) 2= 202化簡(jiǎn)得x2= 16;直角三角形的面積=-x 3xx

13、 4x=6x2= 96思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長(zhǎng)的邊)長(zhǎng) n+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為 n+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2=(n+3) 2化簡(jiǎn)得：n2 = 4 n= 2,但當(dāng) n= 2 時(shí)，n+1 = 10,二 n = 2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題 目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來(lái)進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2= a2+b2的變形：b2= c2 a2=(c a) (c+a)來(lái)判斷。例 如：對(duì)于選擇D,v82工(40+3

14、9)X( 40 39)， 以8，39，40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。解：連結(jié) AC vZ B=90, AB=3 BC=4 AC二AB+BC=25（勾股定理二 AC=5 vAC+CD=169, aD=169.aC+cDaDJ.丄Z ACD=90 （勾股定理逆定理） S 四邊形 abc=Smbc+Sxac= AB- BC+ AC- CD=36思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校 A,實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是 否小于100m,小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其 長(zhǎng)度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖

15、拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作 AB1 MN 垂足為 Bo 在 Rt ABP中，vZ ABP= 90, Z APB= 30, AP=160,丄 AB=IAP= 80o （在直角三角形中，30所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）v點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m,.這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么 AC= 100(m),3600, BC= 60o同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD= 100（m）, BD= 60（m）, CD= 120(m)o拖拉機(jī)行駛的速度為：18km/h = 5m/s

16、 t = 120m 5m/s=24s o答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒總結(jié)升華：勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法，若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為亠，面積是一.二(2)如圖可直接得出24 X 平行四邊形ABCD有24個(gè)單位正三角形，因此其面積(3)過A作AK2丄BC于點(diǎn)K （如圖所示），則在Rt ACK中,AC = /aK1 + KC 故 思路點(diǎn)撥：由nr，再找出二、上的關(guān)系即可求出莊和：的值解：在 Rt ABC中，/ A=60,Z B=90 - /A=30,貝卜一二，由勾股定理，得：/：， ：