《等差數(shù)列前n項和公式》教學設計

1、等差數(shù)列的前 n 項和教學設計一、設計理念讓學生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識的形成和發(fā)展，讓學生利用自己的原有認知結構中相關的知識與經(jīng)驗，自主地在教師的引導下促進對新知識的建構，因為建構主義學習理論認為，學習是學生積極主動地建構知識的過程在教學過程中，根據(jù)教學內容，從介紹高斯的算法開始，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前 n 項和的求法通過設計一些從簡單到復雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，組織和啟發(fā)學生獲得公式的推導思路，并且充分引導學生展開自主、合作、探究學習，通過生生互動和師生互動等形式，讓學生在問題解決中學會思考、學會學習同時根據(jù)我校的特點，為了促進成績優(yōu)秀學生的發(fā)展，還設計了選做題

2、和探索題，進一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點分析、解 決問題的能力，達到了分層教學的目的二、背景分析本節(jié)課教學內容是高中課程標準實驗教科書必修 5（ 北師大）中第二章的第三節(jié)內容本節(jié)課主要研究如何應用倒序相加法求等差數(shù)列的前 n 項和以及該求和公式的應用等差數(shù)列在現(xiàn)實生活中比較常見，因此等差數(shù)列求和就成為我們在實際生活中經(jīng)常遇到的一類問題同時，求數(shù)列前 n 項和也是數(shù)列研究的基本問題，通過對公式推導， 可以讓學生進一步掌握從特殊到一般的研究問題方法三、學情分析1、 學生已掌握的理論知識角度：學生已經(jīng)學習了等差數(shù)列的定義及通項公式，掌 握了等差數(shù)列的基本性質，有了一定的知識準備。2、 學生了解數(shù)列求和歷

3、史角度：大部分學生對高斯算法有比較清晰的認識，并且知道此算法原理，但在高斯算法中數(shù)列 1，2，3，100 只是一個特殊的等差數(shù)列， 對于一般的等差數(shù)列的求和方法和公式學生還是一無所知。3、學生的認知規(guī)律角度：本節(jié)課采取了循序漸進、層層深入的教學方式，以問題解答的形式，通過探索、討論、分析、歸納而獲得知識，為學生積極思考、自主探究搭建了理想的平臺，讓學生去感悟倒序相加法的和諧對稱以及使用范圍。四、教學目標1、 類比高斯算法，探求等差數(shù)列前 n 項和公式，理解公式的推導方法；2、 能較熟練地應用等差數(shù)列前 n 項和公式解決相關問題；3、 經(jīng)歷公式的推導過程，體會層層深入的探索方式，體驗從特殊到一般

4、、具體到抽象的 研究方法，學會觀察、歸納、反思與邏輯推理的能力；4、 通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學生探究的興趣和欲望，樹立學生求真的勇氣和自信心，增強學生學好數(shù)學的心理體驗，產(chǎn)生熱愛數(shù)學的情感，體驗在學習中獲得成功； 五、教學重點與難點1、 教學重點： 等差數(shù)列前 n 項和公式的推導和應用2、 教學難點： 公式推導的思路3、 重難點解決的方法策略：本課在設計上采用了從特殊到一般、從具體到抽象的教學策略。利用分類討論、類比歸納的思想，層層深入。通過學生自主探究，分析、整理出推導公式的不同思路，同時，借助多媒體的直觀演示，幫助學生理解，通過教師的點撥引 導、師生互動、講練結合，突出重點、突破難點

5、。六、教學過程設計（一）創(chuàng)設情景，提出問題欣賞圖片泰姬陵：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是 17 世紀莫臥兒帝國皇帝沙杰罕為紀念其愛妃所建。它宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一。陵寢以寶石鑲嵌，圖案之細致令人叫絕。傳說陵寢中有一個三角形圖 案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有 100 層，奢靡之程度，可見一斑。問題 1：你能計算出這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？教師活動： 利用多媒體，展示泰姬陵的圖片，并截取出三角形寶石圖案，引導學生觀察 寶石數(shù)目變化情況。學生活動： 欣賞之余觀察三角形中寶石變化情況并嘗試解決問題 1.活動預設：（1）能得到的信息：從上到下，寶

6、石數(shù)目以 1 為公差依次遞增，構成等差數(shù)列。 （2）需要解決的問題：100 層中究竟共有多少顆寶石？【設計意圖】（1）教師先用多媒體展示彩圖呈現(xiàn)的問題，使學生進入問題情境，激發(fā)學 生的興趣，并使學生體會數(shù)學來源于生產(chǎn)生活。（2）以問題的提出作為引入方式，使學生帶著問題學習新課，更有目的性。 （二）探究等差數(shù)列前 n 項和公式教師活動： 指出此數(shù)列的求和方法在 1787 年已被高斯解決，讓學生講高斯故事。學生活動：學生根據(jù)課前的搜集簡介高斯“神速求和”的故事：小高斯上小學四年級時，一次數(shù)學老師布置了一道數(shù)學習題：把從 1 到 100 的自然數(shù)加起來，和是多少？年僅 10 歲的小高斯略一思索就得到

7、答案：5050，這使老師非常吃驚。問題 1：高斯是采用了什么方法來巧妙地計算出答案的呢？教師活動： 指導學生快速找出規(guī)律。學生活動： 高斯算法解決：1 + 2 + 3 + + 50 + 51 + + 98 + 99 + 100=？ 活動預設： 高斯算法：1+100=101,2+99=101，50+51=101，所以原式=50（1+101）=5050問題 2：在高斯算法中實際上利用了等差數(shù)列通項的哪種性質？教師活動： 引導學生思考高斯算法的技巧性及理論依據(jù)。學生活動： 利用高斯算法計算答案，并指出算法的技巧性以及高斯算法隱藏的等差數(shù)列 項的何種性質?；顒宇A設： 構造數(shù)列： a =1, a =2,

8、 a =99, a1 2 99 100=100 ，則有性質：等差數(shù)列 a 中，若 m +n =p +q ，則 a +a =a +a 。n m n p q【設計意圖】高斯算法首尾組合的思想揭示了等差數(shù)列“角標和相等，對應的項和相等”的特征，為等差數(shù)列前 n 項和公式的推導的“倒序相加法”做好鋪墊，開啟了更深入、 更細致的研究大門。n2問題 3：你能否利用高斯算法解決一般等差數(shù)列的求和問題？方法：倒序相加法 （借助幾何圖形之直觀性，把這個“全等三角形”倒置，與原圖補成 平行四邊形， 由此引入倒序相加法）教師活動：sn= a + a12+ a3+ + an - 2+ an -1+ ansn= an+

9、 an -1+ an - 2+ + a3+ a2+ a12 s =( a +a ) +( a +an 1 n 2n -1) +( a +a 3n -2) +( an -2+a ) +( a 3n -1+a ) +( a +a ) 2 n 1由性質“若 m +n =p +q ，則 a +a =a +a ”可得：m n p q2 sn= n ( a + a ) s1 nnn ( a + a ) = 1 n2（等差數(shù)列前 n 項和公式）【設計意圖】（1）數(shù)學問題的解決講究最優(yōu)化原則，因此引導讓學生體會到數(shù)學方法的 多樣性，但需要尋求高效率的方法；（2）倒序相加求和法是數(shù)列求和常用方法之一，方法比公式

10、本身更為重要，也為以后數(shù) 列求和的學習做好鋪墊；（三）公式理解和深化n公式一、 s = ( a +a )1 n問題 1：此公式中有哪些變量，已知哪些量可求另外量？教師活動： 引導學生找出變量學生活動： 觀察公式，找出變量?；顒宇A設： 此公式中，共有四個變量： s , n, a , a ，可知三求一。n 1 n【設計意圖】 讓學生從變量上理解公式，從形式上初步了解如何由已知探求未知，在頭 腦中初步建構公式的適用情況。問題 2：此公式還可進行怎樣的變形？教師活動： 引導學生從 a 下手對公式進行變形，投影學生的變形過程。n學生活動： 嘗試對公式進行變形?；顒宇A設： 公式二、s =na +n 1n(

11、n -1) d2【設計意圖】（1）讓學生學會在舊知與新知之間搭建橋梁，運用舊知鞏固新知，利用舊 知得出新知；（2）體會知識之間的整體性和關聯(lián)性，感受運用舊知推導新知的成功和喜悅。問題 3：觀察、對比公式一、二，你能得出什么結論有利于你解題時對公式進行篩選？ 教師活動： 引導學生從兩個公式中的變量進行總結。學生活動： 總結出兩公式的區(qū)別及適用情況。活動預設：（1）在兩個公式，五個變量中： a , n, d , a , s ，可知三求二1 n n（2）若已知 a ，優(yōu)先選用公式一，若已知 d ，優(yōu)先選用公式二。n【設計意圖】 通過兩公式的對比研究，可進一步加深學生對公式的記憶，公式一、二的 區(qū)別可

12、提高學生的做題速度和質量，再一次體現(xiàn)了數(shù)學的簡潔美和精準性。（四）公式應用、反饋評價課堂練習之“爭分奪秒”：例1、在等差數(shù) 列中：(1)已知 a = 14.5 ， d = 0.7 ， a = 32，求 s ;1 n n(2)已 知 d = 3， a = 20， s = 65，求 a 和 n ；n n 1五個元素 a , a , n, d, s ，知 三 求 二1 n n你能自己構造一個類似的題目并自己解決嗎？變式訓練：(1) a =20, a =54, s =999, 求d , n1 n n例 2.等差數(shù)列 10，6， 2，2，前多少項和是 54?解：a =-10,d=-6 (-10)=41-

13、10n+n(n-1) 2 4=54解得 n=9，n=-3(舍)前 9 項的和是 54變式訓練：求等差數(shù)列 13，15，17，81 的各項和1nn(n -1)例 3 已知一個等差數(shù)列的前 10 項的和是 310，前 20 項的和是 1220，由此可以確定求其 前 n 項和的公式嗎？s =na +n 1n ( n -1) 2d又s =310, s =1220 10 2010a +45d =310 20 a +190d =1220 1 a =41d =6s =4n +26 =3n 2 +n教師活動：分析解決問題，組織學生交流、討論，再進行公式的應用?！驹O計意圖】 透過此題，培養(yǎng)學生 熟練地選取恰當?shù)墓竭M行求解。 六、布置作業(yè)1.課本 p 習題 2.3，第 1 題（1）（3）46七、板書設計3.3 等差數(shù)列前 n 項和一、等差數(shù)列前 n 項和：四、課堂練習s =a +a + +a n 1 2二、公式的推導 方法：倒序相加法 三、深化公式 公式 1、公式 2、變形：n（主板書）（副板書）（輔助性板書）八、教學反思“等差數(shù)列前 n 項和”的推導不只一種方法，本節(jié)課是通過介紹高斯的算法，探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和該方法反映了等差數(shù)列的本質，可以