《選修4-5不等式選講》知識(shí)點(diǎn)詳解+例題+習(xí)題(含詳細(xì)答案)

1、選修4-5 不等式選講知識(shí)點(diǎn)詳解+例題+習(xí)題(含詳細(xì)答案)選修45不等式選講最新考綱：1.理解絕對(duì)值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號(hào)的條件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.會(huì)利用絕對(duì)值的幾何意義求解以下類(lèi)型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會(huì)證明.4.通過(guò)一些簡(jiǎn)單問(wèn)題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法1含有絕對(duì)值的不等式的解法(1)|f(x)|a(a0)f(x)a或f(x)a；(2)|f(x)|0)af(x)b0

2、時(shí)等號(hào)成立()(2)對(duì)|ab|a|b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立()(3)|axb|c(c0)的解等價(jià)于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|1，xy2，則x0，y0.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x1的解集是()Ax|0x2 Bx|1x2Cx|0x1 Dx|1x3解析解法一：x1時(shí)，滿(mǎn)足不等關(guān)系，排除C、D、B，故選A.解法二：令f(x)則f(x)1的解集為x|0x2答案A3設(shè)|a|1，|b|2 B|ab|ab|2C|ab|ab|2 D不能比較大小解析|ab|ab|2a|2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，則的最大值為()A1 B C. D2解析()2(

3、111)2 (121212)(abc)3.當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，等號(hào)成立()23.故的最大值為.故應(yīng)選C.答案C5若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點(diǎn)一含絕對(duì)值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個(gè)絕對(duì)值符號(hào)里的代數(shù)式為零，并求出相應(yīng)的根(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個(gè)區(qū)間(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對(duì)值符號(hào)組成若干個(gè)不等式，解這些不等式，求出它們的解集(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對(duì)值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)

4、的去掉絕對(duì)值符號(hào)(1)(2015山東卷)不等式|x1|x5|2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014湖南卷)若關(guān)于x的不等式|ax2|3的解集為，則a_.解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：“脫掉”絕對(duì)值符號(hào)；關(guān)鍵點(diǎn)：利用絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行分類(lèi)討論解析(1)當(dāng)x1時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然成立，所以此時(shí)不等式的解集為(，1)；當(dāng)1x5時(shí)，不等式可化為x1(x5)2，即2x62，解得x5時(shí)，不等式可化為(x1)(x5)2，即42，顯然不成立，所以此時(shí)不等式無(wú)解綜上，不等式的解集為(，4)故選A.(2)|ax2|3，1ax0時(shí)，x，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，x

5、R，與已知條件不符；當(dāng)a0時(shí)，x，又不等式的解集為，故a3.答案(1)A(2)3用零點(diǎn)分段法解絕對(duì)值不等式的步驟：(1)求零點(diǎn)；(2)劃區(qū)間、去絕對(duì)值號(hào)；(3)分別解去掉絕對(duì)值的不等式；(4)取每個(gè)結(jié)果的并集，注意在分段時(shí)不要遺漏區(qū)間的端點(diǎn)值 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當(dāng)a3時(shí)，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a3時(shí)，f(x)當(dāng)x2時(shí)，由f(x)3得2x53，解得x1；當(dāng)2xc或|xa|xb|k的解集為R，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：絕對(duì)值的幾何意義；關(guān)鍵點(diǎn)：把恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題解析(1)|x1|x

6、2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)解法一：根據(jù)絕對(duì)值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為P，A，B，則原不等式等價(jià)于PAPBk恒成立AB3，即|x1|x2|3.故當(dāng)kk恒成立，從圖象中可以看出，只要k3即可故k3滿(mǎn)足題意答案(1)(2)(，3)解含參數(shù)的不等式存在性問(wèn)題，只要求出存在滿(mǎn)足條件的x即可；不等式的恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，即f(x)f(x)max，f(x)a恒成立acd，則；(2)是|ab|cd得()2()2.因此.(2)若|ab|cd|，則(ab)2(cd)2，即(ab)24abcd.由(1)得.若，則()2()2，即ab2

7、cd2.因?yàn)閍bcd，所以abcd.于是(ab)2(ab)24ab(cd)24cd(cd)2.因此|ab|是|ab|cd|的充要條件分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練(2014新課標(biāo)全國(guó)卷)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)

8、1，即abbcca.(2)因?yàn)閎2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法規(guī)律總結(jié)方法技巧1絕對(duì)值不等式求解的根本方向是去除絕對(duì)值符號(hào)2絕對(duì)值不等式在求與絕對(duì)值運(yùn)算有關(guān)的最值問(wèn)題時(shí)需靈活運(yùn)用，同時(shí)還要注意等號(hào)成立的條件3在證明不等式時(shí)，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧如在使用柯西不等式時(shí)，要注意右邊為常數(shù)易錯(cuò)點(diǎn)睛1對(duì)含有參數(shù)的不等式求解時(shí)，分類(lèi)要完整2應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時(shí)要注意等號(hào)成立的條件 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練(七十)一、填空題1不等式|2x1|3的解集為_(kāi)解析|2x1|332x131x2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實(shí)數(shù)

9、k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|2的解集為_(kāi)解析當(dāng)x時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即3x，此時(shí)x.當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即x0，此時(shí)x0.當(dāng)x1時(shí)，原不等式等價(jià)為(2x1)(x1)2，即3x2，x，此時(shí)不等式無(wú)解，綜上，原不等式的解為x0，即原不等式的解集為.答案4已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無(wú)解，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當(dāng)k1時(shí)，不等式|x1|x|k無(wú)解，故k1.答案(，1)5(2015西安統(tǒng)考)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|x5|x3|a無(wú)解，則實(shí)數(shù)a的取值范

10、圍是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2015重慶卷)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實(shí)數(shù)a_.解析當(dāng)a1時(shí)，f(x)3|x1|0，不滿(mǎn)足題意；當(dāng)a1時(shí)，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.答案(，33，)8已知關(guān)于x的不等式|xa|1x0的解集為R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析若x1(x1)2對(duì)任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x0對(duì)任意的x1，)恒成立，所

11、以(舍去)或?qū)θ我獾膞1，恒成立，解得a1.綜上，a0時(shí)，將不等式5a整理，得a25a40，無(wú)解；當(dāng)a0時(shí)，將不等式5a整理，得a25a40，則有a4或1a0.綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，41,0)答案(，41,0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，不等式即為2|x3|x4|2，若x4，則3x102，x4，舍去；若3x4，則x22，3x4；若x3，則103x2，1，a，即a的取值范圍為.14(2015新課標(biāo)全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)當(dāng)a1時(shí)，求不等式f(

12、x)1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)1化為|x1|2|x1|10.當(dāng)x1時(shí)，不等式化為x40，無(wú)解；當(dāng)1x0，解得x0，解得1x1的解集為.(2)由題設(shè)可得，f(x)所以函數(shù)f(x)的圖象與x軸圍成的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A，B(2a1,0)，C(a，a1)，ABC的面積為(a1)2.由題設(shè)得(a1)26，故a2.所以a的取值范圍為(2，)15設(shè)函數(shù)f(x)|x1|xa|.(1)若a1，解不等式f(x)3；(2)如果xR，f(x)2，求a的取值范圍解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)|x1|x1|，f(x)作出函數(shù)f(x)|x1|x1|的圖象由圖象可知，不等式f(x)3的解集為.(2)若a1，f(x)2|x1|，不滿(mǎn)足題設(shè)條件；若a1，f(x)f(x)的最小值為a1.對(duì)于xR，f(x)2的充要條件是|a1|2，a的取值范圍是(，13，)16(2015福建卷)已知a0，b0，c0，函數(shù)f(x)|xa|xb|c的最小值為4.(1)求abc的值；(2)