絕對(duì)值的意義及應(yīng)用

1、絕對(duì)值的意義及應(yīng)用絕對(duì)值是初中代數(shù)中的一個(gè)重要概念，應(yīng)用較為廣泛在解與絕對(duì)值有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，首 先必須弄清絕對(duì)值的意義和性質(zhì)。對(duì)于數(shù) x 而言，它的絕對(duì)值表示為：|x|.一. 絕對(duì)值的實(shí)質(zhì)：正實(shí)數(shù)與零的絕對(duì)值是其自身，負(fù)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，即也就是說(shuō)，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 x 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離?？傊?，任何實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|0，請(qǐng)牢牢記住這一點(diǎn)。二. 絕對(duì)值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。例 1. 有理數(shù) a、b、c 在數(shù)軸上的位置如圖所示，則式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化簡(jiǎn)結(jié)果 為( )a2a+3b-c b3b-c cb+c

2、dc-b(第二屆“希望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一試題)解：由圖形可知 a0，cb0，且|c|b|a|，則 a+b0，b-c0所以原式-a+b+a+b-b+cb+c，故應(yīng)選(c)三. 絕對(duì)值的性質(zhì)：1. 有理數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)，即|x|0，絕對(duì)值最小的數(shù)是零。2. 任何有理數(shù)都有唯一的絕對(duì)值，并且任何一個(gè)有理數(shù)都不大于它的絕對(duì)值，即 x |x|。3. 已知一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值，那么它所對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)互為相反數(shù)的數(shù)。4. 若兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，則這兩個(gè)數(shù)不一定相等(顯然如|6|-6|，但 6-6)，只 有這兩個(gè)數(shù)同號(hào)，且這兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等時(shí)，這兩個(gè)數(shù)才相等。四. 含絕對(duì)值問(wèn)題的有效處理方法1. 運(yùn)用絕對(duì)值概

3、念。即根據(jù)題設(shè)條件或隱含條件，確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正負(fù)，再利 用絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。1 / 7例 2. 已知：|x-2|+x-20，求：(1)x+2 的最大值；(2)6-x 的最小值。解：|x-2|+x-20，|x-2|-(x-2)根據(jù)絕對(duì)值的概念，一個(gè)數(shù)的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)時(shí)，這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)或零， x-20，即 x2，這表示 x 的最大值為 2(1) 當(dāng) x2 時(shí)，x+2 得最大值 2+24；(2) 當(dāng) x2 時(shí)，6-x 得最小值 6-242. 用絕對(duì)值為零時(shí)的值分段討論即對(duì)于含絕對(duì)值代數(shù)式的字母沒(méi)有條件限制或限制 不確切的，就需先求零點(diǎn)，再分區(qū)間定性質(zhì)，最后去掉絕對(duì)值符號(hào)。

4、例 3. 已知|x-2|+x 與 x-2+|x|互為相反數(shù)，求 x 的最大值解：由題意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)0，整理得|x-2|+|x|+2x-20令|x-2|0，得 x2，令|x|0，得 x0以 0，2 為分界點(diǎn)，分為三段討論：(1)x2 時(shí)，原方程化為 x-2+x+2x-20，解得 x1，因不在 x2 的范圍內(nèi)，舍去。 (2)0x2 時(shí)，原方程化為 2-x+x+2x-20，解得 x0(3)x0 時(shí)，原方程化為 2-x-x+2x-20，從而得 x0綜合(1)、(2)、(3)知 x0，所以 x 的最大值為 03. 整體參與運(yùn)算過(guò)程即整體配湊，借用已知條件確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正

5、負(fù)，再用 絕對(duì)值定義去掉絕對(duì)值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算。例 4. 若|a-2|2-a，求 a 的取值范圍。解：根據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特征，我們把 a-2 看作一個(gè)整體，那么原式變形為|a-2| -(a-2)，又由絕對(duì)值概念知 a-20，故 a 的取值范圍是 a24. 運(yùn)用絕對(duì)值的幾何意義即通過(guò)觀察圖形確定絕對(duì)值里代數(shù)式的正負(fù)，再用絕對(duì)值 定義去掉絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算例 5. 求滿足關(guān)系式|x-3|-|x+1|4 的 x 的取值范圍解：原式可化為|x-3|-|x-(-1)|4它表示在數(shù)軸上點(diǎn) x 到點(diǎn) 3 的距離與到點(diǎn)-1 的距離的差為 4由圖可知，小于等于-1 的范圍內(nèi)的 x 的所有值都滿足這一要求。2

6、/ 7所以原式的解為 x-1五. 有關(guān)絕對(duì)值知識(shí)的應(yīng)用1. 如果根據(jù)已知條件或題目中的隱含條件可以確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的數(shù) (或代數(shù)式 ) 為 “負(fù)”值或“非負(fù)”值，則由絕對(duì)值的定義可直接寫(xiě)出其結(jié)果.例 6. 設(shè) x，y，a 是實(shí)數(shù)，并且|x|1-a，|y|(1-a)(a-1-a2)，試求|x|+y+a2+1 的值等于_解：顯然|x|0，|y|0，由|x|0 得 1-a0，由|y|0 得 1-a0， 1-a0，從而 x0，y0，a1原式|0|+0+12+122. 如果根據(jù)已知或題目自身不能確定絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為“負(fù)”或“非負(fù)”，就 應(yīng)分別對(duì)各種情況進(jìn)行討論。討論的方法有：(1)直接利用絕對(duì)值的

7、性質(zhì)，去掉絕對(duì)值符號(hào)，把式子轉(zhuǎn)化為不含絕對(duì)值的式子進(jìn)行討 論。例 7. 已知|a|3，|b|2，求 a+b 的值。解：|a|3，|b|2， a3 或-3，b2 或-2因此 a，b 的取值應(yīng)分四種情況：a3，b2 或 a3，b-2 或 a-3，b2 或 a-3，b-2，從而易求 a+b 的值分別為 5，1，-1，-5解這類問(wèn)題，要正確組合，全面思考，謹(jǐn)防漏解。(2)采用零點(diǎn)分區(qū)間法，求出絕對(duì)值的零點(diǎn)，把數(shù)軸分成相應(yīng)的幾個(gè)區(qū)間進(jìn)行討論(所謂絕對(duì)值的零點(diǎn)就是使絕對(duì)值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式等于零的字母所取值在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn))。 例 8. 化簡(jiǎn)：|1-3x|+|1+2x|解：由1 -3 x =0和1 +2 x

8、 =0得兩個(gè)零點(diǎn)：x =1 1和 x =-3 2，這兩個(gè)點(diǎn)把數(shù)軸分成三3 / 7部分：（1）當(dāng)x 0，1 +2 x 0 原式 =(1 -3 x) + -(1 +2 x) =-5x;（2）當(dāng)-1 1x 0 ，1 +2 x 0 2 3原式=(1 -3 x) +(1 +2 x ) =2 -x；（3）當(dāng)x 13時(shí)，1 -3 x 0，1 +2 x 0，原式-(1-3x)+(1+2x)5x3. 利用絕對(duì)值的幾何意義解含絕對(duì)值的方程，這樣既直觀，又簡(jiǎn)便。因?yàn)閨x|的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn) x 到原點(diǎn)的距離，因此|x-a|的幾何意義是表示點(diǎn) x 到點(diǎn) a 的距離由此可知，方程 |x-a|k 的解是 xa+k

9、或 xa-k(k0)例 9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )a1 b2 c3 d4解：設(shè) a(1)，b(2)，c(3)，p(x)，如圖所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在數(shù)軸上求一點(diǎn) p，使 ap+bp+pc 為最小，顯然，當(dāng) p 與 b 重合，即 x2 時(shí)，其和有最小值 2， 故應(yīng)選(b)4. 利用“一個(gè)實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是一個(gè)非負(fù)數(shù)”這一性質(zhì)解題，可使問(wèn)題化難為易。在運(yùn)用這一性質(zhì)時(shí)，常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí)，則每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為零” 聯(lián)用。例 10. 若|m+1|+|2n+1|0，那么 m2003-n4_六. 絕對(duì)值化簡(jiǎn)與求值的基本方法例

10、 11. 若 a、b 互為相反數(shù)，cd 互為負(fù)倒數(shù)則|a+b+cd|_(96 年泰州市 初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽)解：由題設(shè)知 a+b0，cd-1，則|a+b+cd|0-1|1例 12. 若|x-y+2|與|x+y-1|互為相反數(shù)，則 xy 的負(fù)倒數(shù)是_(95 年希望杯邀請(qǐng) 賽初一培訓(xùn)題)4 / 7解：由題設(shè)知|x-y+2|0，|x+y-1|0，但二者互為相反數(shù)，故只能 x-y+20，x+y-10解得x =-1 3， y =2 2，xy =-34其負(fù)倒數(shù)是43例 13. 已知 a、b 是互為相反數(shù)，c、d 是互為負(fù)倒數(shù)，x 的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的 2 倍，則 x3+abcdx+a-bcd 的值是_(94

11、 年希望杯邀請(qǐng)賽初一試題)解：由題設(shè)知 a+b0，cd-1又 x 的絕對(duì)值等于它的相反數(shù)的 2 倍， x0，原式03+0+a-b(-1)a+b0例 14. 化簡(jiǎn)|x+1|+|x-2|令 x +10，x-20，得 x-1 與 x2，故可分段定正負(fù)再去符號(hào)(1)當(dāng) x-1 時(shí)，原式-(x+1)-(x-2)-2x+1；(2)當(dāng)-1x2 時(shí)，原式(x+1)-(x-2)3；(3)當(dāng) x2 時(shí)，原式x+1+(x-2)2x-1說(shuō)明：例 14 中沒(méi)有給定字母任何條件，這種問(wèn)題應(yīng)先求零點(diǎn)，然后分區(qū)間定正負(fù)再去 絕對(duì)值符號(hào)，這種方法可歸納為：“求零點(diǎn)，分區(qū)間，定性質(zhì)，去符號(hào)”。例 15. 設(shè) x 是實(shí)數(shù)，y|x-

12、1|+|x+1|。下列四個(gè)結(jié)論：.y 沒(méi)有最小值；.只有一個(gè) x 使 y 取到最小值；.有有限多個(gè) x(不只一個(gè))使 y 取到最小值；.有無(wú)窮多個(gè) x 使 y 取到最小值。其中正確的是( )5 / 7a b c d(1993 年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題)解：原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求 x 取哪些值時(shí)，數(shù)軸上點(diǎn) x 到點(diǎn) 1 與點(diǎn)-1 的距離之和為最小。從數(shù)軸上可知，區(qū)間-1，1上的任一點(diǎn) x 到點(diǎn) 1 與點(diǎn)-1 的距離之和均為 2；區(qū)間-1，1 之外的點(diǎn) x 到點(diǎn) 1 與點(diǎn)-1 的距離之和均大于 2，所以函數(shù) y|x-1|+|x+1|當(dāng)-1x1 時(shí)，取得最小值 2，故選(d)七. 絕對(duì)值與非負(fù)數(shù)我們稱不是負(fù)

13、數(shù)的有理數(shù)為非負(fù)有理數(shù)，簡(jiǎn)稱非負(fù)數(shù)。當(dāng)我們說(shuō) x 是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí)，用 數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是 x0.值得注意的是，有的同學(xué)們往往用 x0 表示任意一個(gè)非負(fù)數(shù)，而忘掉等號(hào)！這是因?yàn)樗麄冨e(cuò)將非負(fù)數(shù)理解為負(fù)數(shù)的相反數(shù)了！盡管只是丟掉一個(gè)零，在數(shù)軸上只差一個(gè)點(diǎn)，但就 全體有理數(shù)而言，卻是丟掉了三類有理數(shù)中的一類。也就是說(shuō)，|x|表示數(shù)軸上坐標(biāo)為 x 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離。我們看到，任何有理數(shù)的絕對(duì)值都是一個(gè)非負(fù)數(shù)，而任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可表示為某數(shù)的絕對(duì)值。即對(duì)任意有理數(shù)x 有|x| 0，這一點(diǎn)至關(guān)重要。只有牢牢掌握絕對(duì)值總是非負(fù)數(shù)并且清楚地認(rèn)識(shí)到什么是非負(fù)數(shù)，才會(huì)正確地處理各種 問(wèn)題。例 16. 若 a 為任意實(shí)數(shù)，則下列式子中一定成立的是( )a|a|0 b|a|a c.a 1ad.a +1 0對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析首先要注意到絕對(duì)值都是非負(fù)數(shù)，而非負(fù)數(shù)包括零。如此就很容易淘汰掉 a、b，而 c 需從 a 的取值范圍來(lái)討論，如a =12，則 c 不對(duì)，至于 d 有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“一個(gè)非負(fù)數(shù)加上一個(gè)正數(shù)，得正數(shù)”，即可知其正確。例 17. 已知 a