建立數(shù)學(xué)模型的方法步驟特點(diǎn)及分類

1、16.3 建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟、特點(diǎn)及分類學(xué)習(xí)目標(biāo)1. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的方法、步驟；2. 能表述建立數(shù)學(xué)模型的逼真性、可行性、漸進(jìn)性、強(qiáng)健性、可轉(zhuǎn)移性、非預(yù)制性、條理 性、技藝性和局限性等特點(diǎn)；3. 能表述數(shù)學(xué)建模的分類；4. 會(huì)采用靈活的表述方法建立數(shù)學(xué)模型；5. 培養(yǎng)建模的想象力和洞察力。一、建立數(shù)學(xué)模型的方法和步驟般說來建立數(shù)學(xué)模型的方法大體上可分為兩大類、一類是機(jī)理分析方法，一類是測(cè)試分 析方法機(jī)理分析是根據(jù)對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象特性的認(rèn)識(shí)、分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律, 建立的模型常有明確的物理或現(xiàn)實(shí)意義.16.2 節(jié)的示例都屬于機(jī)理分析方法。測(cè)試分折將研究 對(duì)象視為一個(gè)“黑箱

2、”系統(tǒng)，內(nèi)部機(jī)理無法直接尋求，可以測(cè)量系統(tǒng)的輸人輸出數(shù)據(jù)、并以此為 基礎(chǔ)運(yùn)用統(tǒng)計(jì)分析方法，按照事先確定的準(zhǔn)則在某一類模型中選出一個(gè)與數(shù)據(jù)擬合得最好的模 型。這種方法稱為系統(tǒng)辨識(shí)(system identification)將這兩種方法結(jié)合起來也是常用的建模 方法。即用機(jī)理分析建立模型的結(jié)構(gòu)，用系統(tǒng)辨識(shí)確定模型的參數(shù)可以看出，用上面的哪一類方法建模主要是根據(jù)我們對(duì)研究對(duì)象的了解程度和建模目的決 定的如果掌握了機(jī)理方面的一定知識(shí)，模型也要求具有反映內(nèi)部特性的物理意義。那么應(yīng)該以 機(jī)理分析方法為主當(dāng)然,若需要模型參數(shù)的具體數(shù)值，還可以用系統(tǒng)辨識(shí)或其他統(tǒng)計(jì)方法得 到如果對(duì)象的內(nèi)部機(jī)理基本上沒掌握，模型

3、也不用于分析內(nèi)部特性,譬如僅用來做輸出預(yù)報(bào)， 則可以系統(tǒng)辯識(shí)方法為主系統(tǒng)辨識(shí)是一門專門學(xué)科，需要一定的控制理論和隨機(jī)過程方面的知 識(shí)以下所謂建模方法只指機(jī)理分析。建模要經(jīng)過哪些步驟并沒有一定的模式，通常與實(shí)際問題的性質(zhì)、建模的目的等有關(guān)，從 16.2 節(jié)的幾個(gè)例子也可以看出這點(diǎn)下面給出建模的般步驟，如圖 16-5 所示圖 16-5 建模步驟示意圖模型準(zhǔn)備 首先要了解問題的實(shí)際背景，明確建模的目的搜集建模必需的各種信息如現(xiàn)象、 數(shù)據(jù)等，盡量弄清對(duì)象的特征,由此初步確定用哪一類模型，總之是做好建模的準(zhǔn)備工作情況 明才能方法對(duì)，這一步一定不能忽視，碰到問題要虛心向從事實(shí)際工作的同志請(qǐng)教，盡量掌握第

4、一手資料.模型假設(shè) 根據(jù)對(duì)象的特征和建模的目的，對(duì)問題進(jìn)行必要的、合理的簡化，用精確的語 言做出假設(shè)，可以說是建模的關(guān)鍵一步一般地說，一個(gè)實(shí)際問題不經(jīng)過簡化假設(shè)就很難翻譯成 數(shù)學(xué)問題，即使可能，也很難求解不同的簡化假設(shè)會(huì)得到不同的模型假設(shè)作得不合理或過份簡單，會(huì)導(dǎo)致模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改和補(bǔ)充假設(shè)；假設(shè)作得過分詳細(xì)，試圖把復(fù)雜 對(duì)象的各方面因素都考慮進(jìn)去，可能使你很難甚至無法繼續(xù)下一步的工作通常，作假設(shè)的依據(jù)， 一是出于對(duì)問題內(nèi)在規(guī)律的認(rèn)識(shí)，二是來自對(duì)數(shù)據(jù)或現(xiàn)象的分析，也可以是二者的綜合作假設(shè) 時(shí)既要運(yùn)用與問題相關(guān)的物理、化學(xué)、生物、經(jīng)濟(jì)等方面的知識(shí)，又要充分發(fā)揮想象力、洞察力 和判

5、斷力，善于辨別問題的主次，果斷地抓住主要因素，舍棄次要因素，盡量將問題線性化、均 勻化經(jīng)驗(yàn)在這里也常起重要作用寫出假設(shè)時(shí)，語言要精確，就象做習(xí)題時(shí)寫出已知條件那樣模型構(gòu)成 根據(jù)所作的假設(shè)分析對(duì)象的因果關(guān)系，利用對(duì)象的內(nèi)在規(guī)律和適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具， 構(gòu)造各個(gè)量(常量和變量)之間的等式(或不等式)關(guān)系或其他數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)這里除需要一些相關(guān)學(xué)科 的專門知識(shí)外，還常常需要較廣闊的應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的知識(shí)，以開拓思路.當(dāng)然不能要求對(duì)數(shù)學(xué)學(xué) 科門門精通,而是要知道這些學(xué)科能解決哪一類問題以及大體上怎樣解決相似類比法，即根據(jù) 不同對(duì)象的某些相似性，借用已知領(lǐng)域的數(shù)學(xué)模型，也是構(gòu)造模型的一種方法建模時(shí)還應(yīng)遵循 的一個(gè)原則是，

6、盡量采用簡單的數(shù)學(xué)工具，因?yàn)槟憬⒌哪Ｐ涂偸窍Ｍ苡懈嗟娜肆私夂褪褂? 而不是只供少數(shù)專家欣賞.模型求解 可以采用解方程、畫圖形、證明定理、邏輯運(yùn)算、數(shù)值計(jì)算等各種傳統(tǒng)的和近 代的數(shù)學(xué)方法，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)模型分析 對(duì)模型解答進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)要根據(jù)問題的性質(zhì)分析變量間的依賴關(guān)系 或穩(wěn)定狀況，有時(shí)是根據(jù)所得結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)報(bào)，有時(shí)則可能要給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控 制，不論哪種情況還常常需要進(jìn)行誤差分析、模型對(duì)數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性或靈敏性分析等模型檢驗(yàn) 把數(shù)學(xué)上分析的結(jié)果翻譯回到實(shí)際問題，并用實(shí)際的現(xiàn)象、數(shù)據(jù)與之比較，檢 驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇院瓦m用性這一步對(duì)于建模的成敗是非常重要的，要以嚴(yán)肅認(rèn)真的態(tài)度

7、來對(duì)待當(dāng) 然，有些模型如核戰(zhàn)爭模型就不可能要求接受實(shí)際的檢驗(yàn)了模型檢驗(yàn)的結(jié)果如果不符合或者部 分不符合實(shí)際，問題通常出在模型假設(shè)上，應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模有些模型要經(jīng)過幾 次反復(fù)，不斷完善，直到檢驗(yàn)結(jié)果獲得某種程度上的滿意模型應(yīng)用 應(yīng)用的方式自然取決于問題的性質(zhì)和建模的目的，這方面的內(nèi)容不是本書討論 的范圍。應(yīng)當(dāng)指出，并不是所有建模過程都要經(jīng)過這些步驟，有時(shí)各步驟之間的界限也不那么分 明建模時(shí)不應(yīng)拘泥于形式上的按部就班，本書的建模實(shí)例就采取了靈活的表述方式二、數(shù)學(xué)模型的特點(diǎn)我們已經(jīng)看到建模是利用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問題的重要手段。數(shù)學(xué)模型有許多優(yōu)點(diǎn)，也有 弱點(diǎn)。建模需要相當(dāng)豐富的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和

8、各方面的能力，同時(shí)應(yīng)注意掌握分寸下面歸納出數(shù)學(xué) 模型的若干特點(diǎn)，以期在學(xué)習(xí)過程中逐步領(lǐng)會(huì)模型的逼真性和可行性 一般說來總是希望模型盡可能逼近研究對(duì)象，但是一個(gè)非常逼真 的模型在數(shù)學(xué)上常常是難于處理的，因而不容易達(dá)到通過建模對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象進(jìn)行分析、預(yù)報(bào)、決策 或者控制的目的，即實(shí)用上不可行另一方面，越逼真的模型常常越復(fù)雜，即使數(shù)學(xué)上能處理， 這樣的模型應(yīng)用時(shí)所需要的“費(fèi)用”也相當(dāng)高，而高“費(fèi)用”不一定與復(fù)雜模型取得的“效益” 相匹配所以建模時(shí)往往需要在模型的逼真性與可行性，“費(fèi)用”與“效益”之間做出折衷和抉 擇模型的漸進(jìn)性 稍微復(fù)雜一些的實(shí)際問題的建模通常不可能一次成功，要經(jīng)過上一節(jié)描述 的建模過程

9、的反復(fù)迭代，包括由簡到繁，也包括刪繁就簡，以獲得越來越滿意的模型在科學(xué)發(fā) 展過程中隨著人們認(rèn)識(shí)和實(shí)踐能力的提高，各門學(xué)科中的數(shù)學(xué)模型也存在著一個(gè)不斷完善或者推 陳出新的過程從 19 世紀(jì)力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等許多學(xué)科由牛頓力學(xué)的模型主宰，到20 世紀(jì)愛因 斯坦相對(duì)論模型的建立，是模型漸進(jìn)性的明顯例證模型的強(qiáng)健性 模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)常常是由對(duì)象的信息如觀測(cè)數(shù)據(jù)確定的，而觀測(cè)數(shù)據(jù)是允許有誤差的一個(gè)好的模型應(yīng)該具有下述意義的強(qiáng)健性：當(dāng)觀測(cè)數(shù)據(jù)(或其他信息)有微小改變 時(shí)，模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)只有微小變化，并且一般也應(yīng)導(dǎo)致模型求解的結(jié)果有微小變化模型的可轉(zhuǎn)移性 模型是現(xiàn)實(shí)對(duì)象抽象化、理想化的產(chǎn)物，它不為對(duì)象的所屬

10、領(lǐng)域所獨(dú)有， 可以轉(zhuǎn)移到另外的領(lǐng)域在生態(tài)、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)等領(lǐng)域內(nèi)建模就常常借用物理領(lǐng)域中的模型模型 的這種性質(zhì)顯示了它的應(yīng)用的極端廣泛性模型的非預(yù)制性 雖然已經(jīng)發(fā)展了許多應(yīng)用廣泛的模型，但是實(shí)際問題是各種各樣、變化 萬千的，不可能要求把各種模型做成預(yù)制品供你在建模時(shí)使用。模型的這種非預(yù)制性使得建模本 身常常是事先沒有答案的問題(openend problem)在建立新的模型的過程中甚至?xí)殡S著新 的數(shù)學(xué)方法或數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生模型的條理性 從建模的角度考慮問題可以促使人們對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的分析更全面、更深入、 更具條理性，這樣即使建立的模型由于種種原因尚未達(dá)到實(shí)用的程度，對(duì)問題的研究也是有利的。模型的技藝性

11、 建模的方法與其他一些數(shù)學(xué)方法如方程解法、規(guī)劃解法等是根本不同的， 無法歸納出若干條普遍適用的建模準(zhǔn)則和技巧有入說。建模目前與其是一門技術(shù)、不如說是一 種藝術(shù)是技藝性很強(qiáng)的技巧經(jīng)驗(yàn)、想象力、洞察力、判斷力以及直覺、靈感等在建模過程中 起的作用往往比一些具體的數(shù)學(xué)知識(shí)更大模型的局限性 這里有幾方面的含義第一，由數(shù)學(xué)模型得到的結(jié)論雖然具有通用性和精 確性，但是因?yàn)槟Ｐ褪乾F(xiàn)實(shí)對(duì)象簡化、理想化的產(chǎn)物，所以一旦將模型的結(jié)論應(yīng)用于實(shí)際問題， 就回到了現(xiàn)實(shí)世界，那些被忽視、簡化的因素必須考慮，于是結(jié)論的通用性和精確性只是相對(duì)的 和近似的第二，由于人們認(rèn)識(shí)能力和科學(xué)技術(shù)包括數(shù)學(xué)本身發(fā)展水平的限制，還有不少實(shí)際

12、問 題很難得到有著實(shí)用價(jià)值的數(shù)學(xué)模型如一些內(nèi)部機(jī)理復(fù)雜、影響因素眾多、測(cè)量手段不夠完善、 技藝性較強(qiáng)的生產(chǎn)過程，像生鐵冶煉過程，需要開發(fā)專家系統(tǒng)，與建立數(shù)學(xué)模型相結(jié)合才能獲得 較滿意的應(yīng)用效果專家系統(tǒng)是一種計(jì)算機(jī)軟件系統(tǒng)，它總結(jié)專家的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)，模擬人類的邏 輯思維過程，建立若干規(guī)則和推理途徑，主要是定性地分析各種實(shí)際現(xiàn)象并做出判斷專家系統(tǒng) 可以看成計(jì)算機(jī)模擬的新發(fā)展第三，還有些領(lǐng)域中的問題今天尚未發(fā)展到用建模方法尋求數(shù)量 規(guī)律的階段，如中醫(yī)診斷過程，目前所謂計(jì)算機(jī)輔助診斷也是屬于總結(jié)著名中醫(yī)的豐富臨床經(jīng)驗(yàn) 的專家系統(tǒng)建模過程是一種創(chuàng)造性思維過程，除了想象、洞察、判斷這些屬于形象思維、邏輯思維

13、范 疇的能力之外，直覺和靈感往往也起著不可忽視的作用。當(dāng)由于各種限制利用已有知識(shí)難以對(duì)研 究對(duì)象做出有效的推理和判斷時(shí)，憑借相似、類比、猜測(cè)、外推等思維方式及不完整、不連續(xù)、 不嚴(yán)密的，帶啟發(fā)性的直覺和靈感，去“戰(zhàn)略性”地認(rèn)識(shí)對(duì)象，是人類創(chuàng)造性思維的特點(diǎn)之一， 也是人腦比按程序邏輯工作的計(jì)算機(jī)、機(jī)器人的高明之處歷史上不乏在科學(xué)家的直覺和靈感的 火花中誕生的假說、論證和定律當(dāng)然，直覺和靈感不是憑空產(chǎn)生的，它要求人們具有豐富的背 景知識(shí)，對(duì)問題進(jìn)行反復(fù)思考和艱苦探索，對(duì)各種思維方法運(yùn)用嫻熟相互討論和思想交鋒，特 別是不同專業(yè)的成員之間的探討，是激發(fā)直覺和靈感的重要因素所以由各種專門人才組成的所 謂

14、團(tuán)隊(duì)工作方式(team work)越來越受到重視前面說過，建?？梢钥闯梢婚T藝術(shù)藝術(shù)在某種意義下是無法歸納出幾條準(zhǔn)則或方法的一 名出色的藝術(shù)家需要大量的觀摩和前輩的指教，更需要親身的實(shí)踐類似地，掌握建模這門藝術(shù) 培養(yǎng)想象力和洞察力，一要大量閱讀、思考別人做過的模型，二要親自動(dòng)手，認(rèn)真做幾個(gè)實(shí)際題 目三、數(shù)學(xué)模型的分類數(shù)學(xué)模型可以按照不同的方式分類，下面介紹常用的幾種1.按照模型的應(yīng)用領(lǐng)域(或所屬學(xué)科)分如人口模型、交通模型、環(huán)境模型、生態(tài)模型、 城鎮(zhèn)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型等范疇更大一些則形成許多邊緣學(xué)科如生物數(shù)學(xué)、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)、地質(zhì)數(shù)學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、數(shù)學(xué)社會(huì)學(xué)等2.按照建立

15、模型的數(shù)學(xué)方法(或所屬數(shù)學(xué)分支)分如初等數(shù)學(xué)模型、幾何模型、微分方程 模型、圖論模型、馬氏鏈模型、規(guī)劃論模型等按第一種方法分類的數(shù)學(xué)模型教科書中，著重于某一專門領(lǐng)域中用不同方法建立模型，而 按第二種方法分類的書里，是用屬于不同領(lǐng)域的現(xiàn)成的數(shù)學(xué)模型來解釋某種數(shù)學(xué)技巧的應(yīng)用在 本書中我們重點(diǎn)放在如何應(yīng)用讀者已具備的基本數(shù)學(xué)知識(shí)在各個(gè)不同領(lǐng)域中建模3.按照模型的表現(xiàn)特性又有幾種分法：確定性模型和隨機(jī)性模型 取決于是否考慮隨機(jī)因素的影響近年來隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，又 有所謂突變性模型和模糊性模型靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型 取決于是否考慮時(shí)間因素引起的變化線性模型和非線性模型 取決于模型的基本關(guān)系，如微分方程是否是線

16、性的離散模型和連續(xù)模型 指模型中的變量(主要是時(shí)間變量)取為離散還是連續(xù)的雖然從本質(zhì)上講大多數(shù)實(shí)際問題是隨機(jī)性的、動(dòng)態(tài)的、非線性的，但是由于確定性、靜態(tài)、 線性模型容易處理，并且往往可以作為初步的近似來解決問題，所以建模時(shí)常先考慮確定性、靜 態(tài)、線性模型連續(xù)模型便于利用微積分方法求解，作理論分析，而離散模型便于在計(jì)算機(jī)上作 數(shù)值計(jì)算，所以用哪種模型要看具體問題而定在具體的建模過程中將連續(xù)模型離散化，或?qū)㈦x 散變量視作連續(xù)，也是常采用的方法4. 按照建模目的分有描述模型、分析模型、預(yù)報(bào)模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型 等5. 按照對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分有所謂白箱模型、灰箱模型、黑箱模型這是把研

17、究對(duì) 象比喻成一只箱子里的機(jī)關(guān)，要通過建模來揭示它的奧妙白箱主要包括用力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等 一些機(jī)理相當(dāng)清楚的學(xué)科描述的現(xiàn)象以及相應(yīng)的工程技術(shù)問題，這方面的模型大多已經(jīng)基本確 定，還需深入研究的主要是優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制等問題了灰箱主要指生態(tài)、氣象、經(jīng)濟(jì)、交通等領(lǐng) 域中機(jī)理尚不十分清楚的現(xiàn)象，在建立和改善模型方面都還不同程度地有許多工作要做至于黑 箱則主要指生命科學(xué)和社會(huì)科學(xué)等領(lǐng)域中一些機(jī)理(數(shù)量關(guān)系方面)很不清楚的現(xiàn)象有些工程技 術(shù)問題雖然主要基于物理、化學(xué)原理，但由于因素眾多、關(guān)系復(fù)雜和觀測(cè)困難等原因也常作為灰 箱或黑箱模型處理當(dāng)然，白、灰、黑之間并沒有明顯的界限，而且隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，箱子 的

18、“顏色”必然是逐漸由暗變亮的習(xí)題 16.3為了培養(yǎng)想象力、洞察力和判斷力，考察對(duì)象時(shí)除了從正面分析外還常常需要從側(cè)面或反 面思考試盡可能迅速地回答下面的問題：1、 某甲早 8 時(shí)從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午 5 時(shí)到達(dá)山頂并留宿次日早 8 時(shí)沿 同一路徑下山，下午 5 時(shí)回到旅店某乙說，甲必在兩天中的同一時(shí)刻經(jīng)過路徑中的同一地點(diǎn)為 什么?2、 37 支球隊(duì)進(jìn)行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場的每兩支球隊(duì)中的勝者及輪空者進(jìn)入下一輪， 直至比賽結(jié)束。問共需進(jìn)行多少場比賽?3、 甲乙兩站之間有電車相通,每隔 10 分鐘甲乙兩站相互發(fā)一趟車,但發(fā)車時(shí)刻不定相同， 甲乙之間有一中間站丙，某人每天在隨機(jī)的時(shí)刻到達(dá)丙站、并搭乘最先經(jīng)過丙站的那趟車，結(jié)果 發(fā)現(xiàn) 100 天中約有 90 天到達(dá)甲站,僅約 10 天到達(dá)乙站問開往甲乙兩站的電車經(jīng)過丙站的時(shí)刻 表是如何安排的?4、 某人家住 t 市在他鄉(xiāng)工作