概率統(tǒng)計(jì)真題—Byfan

1、統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics人大概率統(tǒng)計(jì)考研歷年真題精華版(02-07) By fan聲明：這是由 fan 整理編輯，僅供參考。 )IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!1統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2007 年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題、（20分）兩個(gè)不能分辨的盒子里都有 9個(gè)球，其中一個(gè)是 5紅 4白，另一個(gè)是 4紅 5白 從兩個(gè)盒子中隨機(jī)抽一個(gè)，希望通過(guò)無(wú)放回抽樣來(lái)猜測(cè)抽到底是哪個(gè)盒子。其規(guī)則是： 無(wú)放回抽取三次，如果抽到的紅球多，則認(rèn)為盒子是 5紅 4白；反之認(rèn)為是 4紅 5白。 問(wèn)

2、這樣猜錯(cuò)的概率有多大？如果用有放回抽樣，猜錯(cuò)的概率又有多少？、（20 分）相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 X 和 Y 分別服從參數(shù)為 1 和 2 的泊松分布，證明隨機(jī)變量X+Y 服從參數(shù)為 1+ 2 的泊松分布。要求用兩種方法證明，其中一種是特征函數(shù)。三、（10 分）二維隨機(jī)變量 （X,Y） 的聯(lián)合概率密度為cxy, 0x2, 1y2 f (x,y)0, otherwise求 Z min（ X,Y） 的概率密度函數(shù)。四、（15 分）設(shè)隨機(jī)變量序列 n 及 n 分別以概率收斂于隨機(jī)變量 和 ，證明： n n 以概率收斂于 。五、（15 分）二維隨機(jī)變量 （X,Y）的聯(lián)合分布律為X Y012-10.10.20

3、000.20.1求 EY | X 和VarX |Y 的分布律。六、（20分）設(shè) X1,X2, , Xn是來(lái)自正態(tài)總體 N（ , 2 ）的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，證明：1）1n(X X) 2(n 1)；1IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!2統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2) X 與 Sn2相互獨(dú)立。七、（15分）設(shè)總體 X 的分布函數(shù)為 F （x） ，概率密度函數(shù)為 f （x），X1,X2, ,Xn是總體 X 的 簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，證明第 k個(gè)次序統(tǒng)計(jì)量 X（k） 的概率密度函數(shù)為fk(x)n!(k 1)!

4、(n k)!F(x)k 11 F(x)n kf(x), k 1,2, ,n八、（20 分）設(shè)總體 X 服從正態(tài)總體 N（ , 2） ，其中 2已知。參數(shù) 的先驗(yàn)分布為正態(tài)總體N（ , 2），其中 和 2已知。 X1,X2, ,Xn是總體 X 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，求（1）參數(shù) 的后驗(yàn)分布；（2）在平方損失函數(shù)下求 的貝葉斯估計(jì)；（3）求 的置信水平為 1 的區(qū)間估計(jì)。九、（15 分）某市作電視收視率調(diào)查，隨機(jī)調(diào)查了 100 人，在晚七點(diǎn)二十分收看中央臺(tái)新聞 聯(lián)播節(jié)目的人數(shù)是 45 人，根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，這一時(shí)刻節(jié)目的收視率是 50%，則 （1）能否認(rèn)為收視率有了顯著減少（顯著性水平=0.05）；（2）假

5、設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題與區(qū)間估計(jì)具有對(duì)偶性，給出與以上假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題相對(duì)偶的單側(cè)區(qū)間 估計(jì)，并說(shuō)明如何由此區(qū)間估計(jì)做上面的假設(shè)檢驗(yàn)。（已知 （1.960） 0.975, （1.645） 0.975 ）IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!3統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2006 年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、(20分)設(shè)有編號(hào) 1, ,n的n個(gè)球和從左到右排列的編號(hào)為 1, ,N的N 個(gè)格子( N n)， 每個(gè)球都以同樣的概率 1/ N落到 N 個(gè)格子中的一個(gè)格子中，試求：1. 某指定的 n 個(gè)格子中各有一個(gè)球的概率；2. 任何 n

6、個(gè)格子中各有一個(gè)球的概率；3. 任何 n 個(gè)格子中各有一個(gè)球并且球號(hào)從左到右嚴(yán)格上升的次序排列的概率；4. 任何 n個(gè)格子中各有一個(gè)球并且球號(hào)從左到右嚴(yán)格上升的次序排列，同時(shí)編號(hào)為 m 的 球落在第 M 個(gè)盒子中的概率 ( m M , n m N M ) 。二、(20 分)在可靠性與生存分析中，所研究的壽命現(xiàn)象是非負(fù)隨機(jī)變量，記作，其分布函數(shù)為 F ( x) ，密度函數(shù)為 f(x)，稱 S(x) 1 F(x) 為生存函數(shù)，這時(shí)常引入失效率函數(shù) (x)，其定義為 (x) f (x) /S(x) 。1. 給出失效率函數(shù) (x) 的直觀解釋，并推導(dǎo)用 (x) 表示S( x) 的公式；2. 某放射性物

7、質(zhì)在初始時(shí)刻的質(zhì)量為 m0 ，在單位時(shí)間內(nèi)每個(gè)原子產(chǎn)生分裂核的概率為常 數(shù) ，求經(jīng)過(guò)時(shí)間 x 后改放射性物質(zhì)質(zhì)量的期望。三、(20 分)設(shè) 1和 2不相關(guān)，分別對(duì)以下兩種情況證明 1與 2獨(dú)立：1.1與 2都是只取 0 和 1 兩個(gè)值的隨機(jī)變量；2.1是只取 a1和b1( b1 a1 )這兩個(gè)值的隨機(jī)變量， 2是只取 a2和b2 ( b2 a2)這兩個(gè)值的隨機(jī)變量。四、(15 分)一個(gè)同學(xué)采用如下方法獲得標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)：每次產(chǎn)生12 個(gè)(0,1) 區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，求和后再減 6，作為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的一個(gè)隨機(jī)數(shù)。你認(rèn)為該同學(xué) 的做法是否合理 ?說(shuō)明原因。五、(20 分)假設(shè) X1,X2

8、, , Xn取自正態(tài)分布 N( , 2) 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本， 和 2未知，求1. 和 2 的極大似然估計(jì)；IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!4統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics1n2. 在上述分布下，求用 Sn21 1 (Xi X)2估計(jì) 2的均方誤差，比較 Sn2 1和上一問(wèn)中 n 1i 1的 2 的極大似然估計(jì)的均方誤差誰(shuí)大誰(shuí)小。六、(20分)以下是 13 名大學(xué)生剛?cè)胄r(shí)某項(xiàng)體能測(cè)試成績(jī)和入校進(jìn)行了三個(gè)月體育訓(xùn)練后 的測(cè)試成績(jī)，數(shù)據(jù)如下表所示入校時(shí)42573849633648584751832731訓(xùn)練后406

9、54837684050604958623344在水平為 0.01 之下，回答訓(xùn)練前后測(cè)試數(shù)據(jù)的均值是否存在顯著性差異。1. 觀察兩組數(shù)據(jù)，討論所選檢驗(yàn)方法的假定條件；2.用 1中所選用的假定條件， 在 0.01 的顯著性水平下， 判斷訓(xùn)練前后測(cè)試數(shù)據(jù)的均值是 否存在顯著性差異。七、(20 分)設(shè)從均值為 ，方差為 2 0的總體中，分別抽取樣本量為 n1和n2 的兩個(gè)獨(dú)立 樣本， X1和 X2分別是兩個(gè)樣本的樣本均值。確定常數(shù) a和b使得 Y aX1 bX2為 的無(wú) 偏估計(jì)且 Var (Y )達(dá)到最小。八、(15分)設(shè)總體 X 的分布密度為 1x e , x 0, 0 p(x, ) 0, x 0

10、(X1, ,Xn)為總體 X 的樣本，求參數(shù) 的置信度為 1 的置信區(qū)間IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!5統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2005 年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題一、( 20 分)證明幾何分布是離散隨機(jī)變量中唯一具有無(wú)記憶分布的分布。二、(20 分)記 U1， U2是相互獨(dú)立的 0,1 區(qū)間均勻分布的隨機(jī)數(shù)，令11 ( 2ln U1 )2 cos(2 U2)12 ( 2lnU1)2 sin(2 U2)證明： 1與 2是相互獨(dú)立的 N (0,1) 隨機(jī)變量。三、(20 分)設(shè) 1, 2, , n是相互獨(dú)立隨

11、機(jī)變量， i 的方差 Var( i) i2 ，試找非負(fù)實(shí)數(shù)a1,a2, ,an (其中a1 a2an 1)，使 a1 1 a2 2an n的方差最小。四、(15分)設(shè) k,k 1是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列， k服從區(qū)間 k, k 上的均勻分布， 用林德貝格條件證明 k,k 1 服從中心極限定理。五、(20 分)令 X1,X2, , Xn是從分布族 p(x, )中抽取的獨(dú)立同分布隨機(jī)樣本， p(x, )如下 所示1, 0 x , 0p(x, )0, 其它求參數(shù) 的極大似然估計(jì) ?MLE ，判斷 ?MLE 是否是 的無(wú)偏估計(jì)，如果是，求出它的方差； 如果不是，請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)無(wú)偏估計(jì)，并求出不偏估計(jì)的

12、方差，在均方差的標(biāo)準(zhǔn)下說(shuō)明誰(shuí)更 優(yōu)。(提示：參數(shù) 的估計(jì)量 T(X1,X2, , Xn )的均方差定義為 E(T(X1,X2, , Xn) )2)六、(15 分)某超市為方便附近居民對(duì)某種商品的需求，調(diào)查了 100 家住戶，得出每戶平均 需要量 X 為15kg ，S2為 6.25kg 。假如居民對(duì)該類商品的月需要量服從正態(tài)分布，如果 該超市附近有 10000 戶居民。1. ( 8 分)試求一戶居民對(duì)該種商品的平均月需求量置信水平為 0.99 的區(qū)間估計(jì)；2. (7 分)本著節(jié)約庫(kù)存的考慮，至少需要準(zhǔn)備多少該類商品才能以 0.99 的概率滿足附IN THE NAME OF

13、 STATISTICS, UNITE!6統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics近居民的需要？七、（20 分）設(shè) X1, ,Xn 是取自正態(tài)總體N（ ,1）獨(dú)立同分布 樣本，對(duì)假設(shè) 檢驗(yàn)問(wèn) 題H0 : 0 H1 : 0：1 （10 分）試給出一個(gè)水平為 的檢驗(yàn)和檢驗(yàn)拒絕域； （要求：給出求解的全部過(guò)程）2. （10 分）假設(shè) 有先驗(yàn)分布 N （1,2） ，求 在平方損失函數(shù)下的 Bayes 估計(jì)。（提示：的 Bayes估計(jì)定義為： ?B E（ | X）八、（20 分）一個(gè)社會(huì)工作者選取 10 對(duì)夫妻，考察他們對(duì)婚姻狀況的滿意程度，婚姻滿意度 描述的是每個(gè)人在婚姻中的快樂(lè)。結(jié)果

14、由下表給出：女性男性統(tǒng)計(jì)量均值 標(biāo)準(zhǔn)差均值 標(biāo)準(zhǔn)差婚姻滿意度25.6 8.632.0 9.81. （8 分）如果需要分析在婚姻滿意狀況中，男性的差異和女性的差異是否存在不同，請(qǐng)討論可以選擇怎樣的假定和方法進(jìn)行分析，你對(duì)如上的數(shù)據(jù)匯總方式是否滿意？2. （6 分）根據(jù)你的假定和選擇的方法回答，是否可以認(rèn)為在婚姻滿意狀況中男性的差 異與女性的差異不同？3. （6 分）構(gòu)造男性和女性對(duì)婚姻狀況滿意度之間的 90%置信區(qū)間。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!7統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2004 年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題

15、、（15 分）袋中有 m n枚同型號(hào)硬幣， m枚是正品， n 枚是次品，次品的兩面都是國(guó)徽。從袋中任取一枚，將它拋擲 r 次，每次都出現(xiàn)國(guó)徽，求這枚硬幣是正品的概率。、（20 分）設(shè)一個(gè)家庭有 n 個(gè)小孩的概率為pn, n 1Pnp1 , n 01p這里 0 p 1， 01 p ，若認(rèn)為生一個(gè)小孩為男孩或女孩是等可能的，求證一個(gè)家p庭有 k （k 1） 個(gè)男孩的概率為2 pkk1(2 p)三、（20分）設(shè)二維隨機(jī)變量 （ , ） 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為8xy, 0 x y 1 f (x,y) 0, 其它求條件數(shù)學(xué)期望 E（ | x） 和條件方差 Var（ | x） 。四、（20分）（伯恩斯坦定理

16、）已知隨機(jī)變量序列 n,n 1 的方差有界：Var（ i） C （i 1,2, ）， 并且當(dāng) i j 時(shí)， i 和 j 的相關(guān)系數(shù) rij 0，證明對(duì) n,n 1 成立大數(shù)定律。五、（20分）假定鋼鐵制造廠 A生產(chǎn)的鋼材的強(qiáng)度服從 N（ 1, 12 ） ，從中獲得容量為 16 的樣本， 測(cè)定其強(qiáng)度，得到 X 1190 ，Sx2 902（樣本無(wú)偏方差）。鋼鐵制造廠 B生產(chǎn)的同種鋼材 的強(qiáng)度服從 N（ 2, 22 ） ，從中抽取容量為 13的樣本，測(cè)定其強(qiáng)度，得Y 1190 ，Sy2 1002。1. （6 分）求 1 / 2 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間；2. （ 7 分）由上述置信區(qū)間是否

17、可以假定 1 2 ？請(qǐng)指出這樣做的理由。IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!8統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics3. (7 分)在 1 2 條件下求 1 2 的置信水平為 0.95 的置信區(qū)間。六、(20分)設(shè) (a,b) ，T(X)是 的無(wú)偏估計(jì)，令T(x), a T(x) bS(x) a, T(x) ab, T(x) b證明： E(S(X) )2 E(T(X) )2 。七、(20 分)有一種專門用于動(dòng)物治療的新安眠藥，據(jù)說(shuō)在一定劑量下，能比某舊安眠藥平 均增加睡眠時(shí)間 3 小時(shí)。根據(jù)以往資料，用舊安眠藥平均睡眠時(shí)

18、間為 20.8 小時(shí)。為了檢 驗(yàn)新安眠藥是否達(dá)到療效，收集到一組( 8 個(gè))用新安眠藥的睡眠時(shí)間分別為： 26.7 ， 22.0，24.1，21.0，27.2 ，25.0 ，24.3 ，24.5 。1. (10 分)假定睡眠時(shí)間為正態(tài)分布，試在顯著型水平 0.05 下，判斷新安眠藥是否 達(dá)到療效。2. (10 分)如果沒(méi)有正態(tài)假定，用符號(hào)檢驗(yàn)給出檢驗(yàn)，并和 1 中的結(jié)果進(jìn)行比較。八、(15 分)設(shè)總體密度函數(shù)為2p(x; ) 2 ( x) (0 x )從中獲得樣本 X1,X2, , X n ，試給出下列檢驗(yàn)問(wèn)題H0:0 H1 :0的廣義似然比檢驗(yàn)法則。IN THE NA

19、ME OF STATISTICS, UNITE!9統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2003 年人大概率統(tǒng)計(jì)初試題、(20 分)甲、乙兩人下棋，每局獲勝概率各為 0.5 ，約定誰(shuí)先勝 5 局贏得全部 8000元獎(jiǎng) 金?，F(xiàn)已下 4局，甲3勝 1負(fù)，這時(shí)因故終止比賽。 若按最終獲勝概率的比例分配獎(jiǎng)金， 甲、乙兩人各應(yīng)分得多少獎(jiǎng)金？、(20 分)若 ， 獨(dú)立，且均服從 N (0,1) ，試證U 2 2與V / 相互獨(dú)立。、(20分)設(shè)( , ) 服從二元正態(tài)分布， E( ) E( ) 0 ，Var ( ) Var( ) 1，相關(guān)系數(shù)為 r， 求 E(max( , ) 。四、(

20、15 分)將編號(hào)為 1,2, , n的球隨機(jī)放入編號(hào)為 1,2, , n的盒中，每盒只放一球。以 Sn 表 示球與盒的編號(hào)正好相同的個(gè)數(shù)，求證：1P(Sn ESn) 0 (n ) n五、(20 分)設(shè) X1,X2, ,Xn 是相互獨(dú)立的連續(xù)性隨機(jī)變量，且 Xi 的 分布函數(shù)為 n2Fi(xi), i 1,2, , n 。試證明隨機(jī)變量 Y 2 in1ln(Fi(xi)服從 2(2n) 分布。六、(20分)設(shè) X1,X2, , Xn為一組簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本?？傮w分布密度為 x 1, 0x| | 0，求極限2)求二次極限lim f(1 )x f(x)xp xp(1)p xplim lim f(1 )x

21、f (x)3)0x若 f ( x)單增，證明對(duì)任何 h 0， x (0, )，只要 x h (0, ) ，就有f (x) f (x h) hf (x) f (x h) f (x)4)證明：lim f (x) x px、(本題滿份 25 分)設(shè)直線 y ax (0 a 1)與拋物線 y x2 在第一象限所圍成的平面圖形的面積為s1，y ax， y x2 與直線 x 1所圍成的平面圖形的面積為 s2。1)試確定 a的值使得 s1+s2達(dá)到最小 ,并求出最小值；2)3)求該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積； 用定積分表示該最小值所對(duì)應(yīng)的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)

22、面積(不 必求出它的值)。、(本題滿分 30 分)(1)設(shè) p (0,1) ，將 f (x) cos( px) 在 , 展開(kāi)為以 2 為周期的傅立葉級(jí)數(shù)；2)利用 1 的麥克勞林展開(kāi)式，證明： p (0,1) 時(shí)，1x1 xp 1( 1)n011x xdx n 0(p1)IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!14統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics3)證明： p (0,1) 時(shí)，1 xp 1 x pdx sin p0 1 x四、(本題滿分 20 分)證明邊長(zhǎng)分別為 a,b,c,d 的凸邊形中，當(dāng) a , b邊的夾角 滿

23、足2 2 2 2 abcd cos2(ab cd)并且 c,d 的夾角 滿足 + = 時(shí)，該四邊形的面積最大，并且最大面積為1S (ab cd )sin2五、(本題滿分 20 分)設(shè) a,b c, ) ( x, y)|a x b, c y ， f(x,y) 定義在 a,b c, ) 上。1)敘述含參變量 x 的無(wú)窮限廣義積分I(x) c f(x, y)dy在a,b上一致收斂的柯西原理；2)敘述函數(shù)級(jí)數(shù)n(x) 在 a, b上一致收斂的柯西原理；n13)證明： I(x)f(x, y)dy在a,b 上一致收斂的充要條件是對(duì)任何發(fā)散到的數(shù)列cAAnn 1 (An c, n 1,2,.) ，函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)

24、A f ( x, y)dy 在a,b 上一致收斂，其中n 1 An 1A0 c 。六、(本題滿分 35 分)設(shè) V 是空間二維單連通的有界區(qū)域，其邊界 是簡(jiǎn)單光滑曲面，點(diǎn) P0 (x0, y0, z0) V ，u u(x,y,z)在 V V 上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 在V 內(nèi)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) , 且滿足IN THE NAME OF STATISTICS, UNITE!15統(tǒng)計(jì)之都COS Capital Of Statistics2222u 2u 2u2x22 2 0y2 z21)證明:1ltim0 4 t 2udS u0( x0, y0,z0) t其中 t 是含在 V 內(nèi)的球面 (x x0)2 (y y0)2 (z z0)2 t2 (t 0) ；2)3)設(shè) n n(x,y,z)為 t 上點(diǎn) p(x,y,z)處的外法向量 , r p0p x x0,y y0,z z0，r r ，證明 :t 1r undS設(shè) n n(x,y,z) 為 上點(diǎn) p(x, y,z)處的外法向量 , r p0 p x x0,y y0,z z0 ，r r ，計(jì)算積分1cos(r , n) 1 u41 ucosr(r2,n) r1 undS