求曲線的軌跡方程

1、求曲線的軌跡方程一、教學(xué)目標(biāo)（一）知識教學(xué)點(diǎn)使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的軌跡以及求動點(diǎn)軌跡方程的常用技巧與方法（ 二 ） 能力訓(xùn)練點(diǎn) 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的歸納和介紹，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各方面知識的 能力（三） 學(xué)科滲透點(diǎn) 通過對求軌跡方程的常用技巧與方法的介紹，使學(xué)生掌握常用動點(diǎn)的軌跡，為學(xué)習(xí)物 理等學(xué)科打下扎實(shí)的基礎(chǔ)二、教材分析1重點(diǎn)：求動點(diǎn)的軌跡方程的常用技巧與方法 （解決辦法：對每種方法用例題加以說明，使學(xué)生掌握這種方法）2難點(diǎn)：用交軌法求動點(diǎn)的軌跡方法（解決辦法：先使學(xué)生了解交軌法的思路，再用例題進(jìn)行講解）三、活動設(shè)計提問、講解方法、演板、小測驗(yàn)四、教學(xué)過程（一）復(fù)習(xí)引入大家知道，

2、平面解析幾何研究的主要問題是：（1）根據(jù)已知條件，求出表示平面曲線的方程； （2）通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)我們已經(jīng)對常見曲線圓、橢圓、雙曲線以及拋物線進(jìn)行過這兩個方面的研究，今天在上面已經(jīng)研究的基礎(chǔ)上來對根據(jù)已知條件求曲線的軌跡方程的常見技巧與方法進(jìn)行系統(tǒng)分 析.(二) 幾種常見求軌跡方程的方法1直接法由題設(shè)所給(或通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出)的動點(diǎn)所滿足的幾何條件列 出等式，再用坐標(biāo)代替這等式，化簡得曲線的方程，這種方法叫直接法.例1(1)求和定圓x2 y2 =r2的圓周的距離等于r的動點(diǎn)P的軌跡方程；過點(diǎn)A(a, 0)作圓O： x2 y r2 (a r 0)的割線，求割線被圓0截得弦

3、的中點(diǎn)的軌跡.對(1)分析：動點(diǎn)P的軌跡是不知道的，不能考查其幾何特征，但是給出了動點(diǎn)P的運(yùn)動規(guī)律：|0P|=2r 或|OP|=0 .解：設(shè)動點(diǎn) P(x，y)，則有 |0P|=2r 或 |OP|=0 .即 x2 y2 =4r2 或 x2 y2 = 0.故所求動點(diǎn)P的軌跡方程為x2 y2 =4r2或x2 y2 = 0 .對分析：題設(shè)中沒有具體給出動點(diǎn)所滿足的幾何條件，但可以通過分析圖形的幾何性質(zhì)而得出，即圓心與弦的中點(diǎn)連線垂直于弦，它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)由學(xué)生演板完成，解答為：設(shè)弦的中點(diǎn)為 M(x，y)，連結(jié)0M則 OML AM/ kOM- kAM=-1，第2頁共7頁= -i.y其軌跡是以0A為直

4、徑的圓在圓0內(nèi)的一段?。ú缓它c(diǎn)）.2. 定義法禾U用所學(xué)過的圓的定義、橢圓的定義、雙曲線的定義、拋物線的定義直接寫出所求的動點(diǎn)的軌跡方程，這種方法叫做定義法. 這種方法要求題設(shè)中有定點(diǎn)與定直線及兩定點(diǎn)距離 之和或差為定值的條件，或利用平面幾何知識分析得出這些條件.例2 i殳疑圓J+二4上的動點(diǎn)！另有點(diǎn)真屈0）,的垂 直平分線l交半徑OQ于點(diǎn)P（見圖2-45），當(dāng)Q點(diǎn)在圓周上運(yùn)動時，求點(diǎn) P的軌跡方程.分析：點(diǎn)P在AQ的垂直平分線上，|PQ|=|PA| .又P在半徑OQ上.|PO|+|PQ|=R，即 |PO|+|PA|=R .故P點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離之和是定值，可用橢圓定義寫出P點(diǎn)的軌跡方程.解：連

5、接 PA v l 丄 PQ |PA|=|PQ| .又P在半徑OQ上.第3頁共7頁|P0|+|PQ|=2 .：|P0片|PA|=2 且273=|OA|.由橢圓定義可知：P點(diǎn)軌跡是以O(shè) A為焦點(diǎn)的橢圓.L由 2a = 2, 2u =氣存得：a - K c -,從而F二;*4故所求橢圓方程為0 一導(dǎo)+斗=1即為點(diǎn)P的軌跡方程.43. 相關(guān)點(diǎn)法若動點(diǎn)P(x, y)隨已知曲線上的點(diǎn)Q(x0, y0)的變動而變動，且x0、y0可用x、 y表示，則將Q點(diǎn)坐標(biāo)表達(dá)式代入已知曲線方程，即得點(diǎn) P的軌跡方程.這種方 法稱為相關(guān)點(diǎn)法(或坐標(biāo)轉(zhuǎn)移法).例3已知拋物線y2=x+1，定點(diǎn)A(3, 1)、B為拋物線上任意一

6、點(diǎn)，點(diǎn)P在線段AB上，且有BP： PA=1： 2,當(dāng)B點(diǎn)在拋物線上變動時，求點(diǎn) P的軌跡方程.分析：P點(diǎn)運(yùn)動的原因是B點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動，因此B可作為相關(guān)點(diǎn)，應(yīng)先 找出點(diǎn)P與點(diǎn)B的聯(lián)系.解：設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且設(shè)點(diǎn)B(xo，y0)則有 y； =x0 +k BP： PA=1： 2,且P為線段AB的內(nèi)分點(diǎn).3昇1+2由定比分點(diǎn)公式得：,即彳坯巧XI將此式代入y； =x0 +1中，并整理得：3 1汁討_ y + 即為所求軌跡的方程.它是一條拋物線.乙lU4點(diǎn)差法與參數(shù)法求圓、橢圓、雙曲線以及拋物線的方程常用待定系數(shù)法求.2例4 過點(diǎn)M(1,0)作橢圓 y2 =1的弦，求弦的中點(diǎn)的軌跡方程。4解：(點(diǎn)差

7、法)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為 A為， ,B x2, y2 .中點(diǎn)P x, y .則2Xi4yi22型 y22 = i。兩式作差可得4Xi -X2XiX2yi y2 yi y2 i=o，X4 yKAB又 Kab=kpm-X yy0化簡得點(diǎn)P的軌跡方程為x2,4y2-x = 0。4 x -i(參數(shù)法)設(shè)弦的兩端點(diǎn)為 A Xi, yi ,B X2,y2 .中點(diǎn)P x,y。又設(shè)弦的方程為y =k(x -i)代入橢圓方程得i 4k2 x2 -8k2x，4 k2 T =0。則有2 2Xi亠x28k_2?？傻脁= , y1j。消去參數(shù)k,可得點(diǎn)P的軌跡1 4k1 4k 1 4k方程為 x2 4y2 x = 05 交軌

8、法(引入?yún)?shù)，尋找動點(diǎn)的諸個方程，直接消參得方程)例5.已知線段BB =4，直線L垂直平分BB，交BB于0,在屬于I并且 以0為起點(diǎn)的同一條射線上取兩點(diǎn) P、P，使Op-卬=9。求直線BP與直線B P 的交點(diǎn)M的軌跡。解：以0為原點(diǎn)，I為X軸建系，依題意可知B (0, 2)，B(0, -2 )， 又可設(shè)P (a，0)，P (9,0)。由直線兩點(diǎn)式方程，得 BP 2x+ay-2a=0aB P : 2ax-9y-18=0 。由解出 a,代入可得 4x2 9y2 =36(x=0)。故點(diǎn)M的軌跡是一橢圓，不含B、B。(三) 鞏固練習(xí)。ABC 邊的兩個端點(diǎn)是B(0, 6)和C(0, -6)，另兩邊斜率的

9、枳是J求頂點(diǎn)A的軌跡*9(直接法)2. 點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2 , 0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1 : 2, 求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形？(定義法)3. 求拋物線y2=2px(p 0)上各點(diǎn)與焦點(diǎn)連線的中點(diǎn)的軌跡方程.(相關(guān)點(diǎn) 法)4. 在 ABC中，BC=24, AC、BC邊上兩條中線之和為 39,求厶ABC的 重心的軌跡。(定義法)5. 動點(diǎn)P到點(diǎn)F1(1 , 0)的距離比它到F2(3 , 0)的距離少2,求P點(diǎn)的軌跡. (定義法)6 已知圓x2+y2=4上有定點(diǎn)A（2, 0），過定點(diǎn)A作弦AB并延長到點(diǎn)P,使3|AB|=2|AB|，求動點(diǎn)P的軌跡方程（相關(guān)點(diǎn)法）7.垂直于橢圓長軸的弦的兩個端點(diǎn)分別與橢圓長軸的兩個頂點(diǎn)相連，求所得直線的交點(diǎn)的軌跡方程。（交軌法）18求經(jīng)過點(diǎn)M（ 1, 2），以丫軸為準(zhǔn)線，離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)的軌跡方2程。（定義法）豆丁致力于構(gòu)建全球領(lǐng)先的文檔發(fā)布與銷售平臺，面向世界