流形概念的演變與理論發(fā)展

1、流形概念的演變與理論發(fā)展一、引 言流形是 20 世紀(jì)數(shù)學(xué)有代表性的基本概念，它集幾何、代數(shù)、分析于一體，成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要研究對(duì)象。 在數(shù)學(xué)中，流形作為方程的非退化系統(tǒng)的解的集合出現(xiàn)，也是幾何的各種集合和允許局部參數(shù)化的其他對(duì)象。153物理學(xué)中，經(jīng)典力學(xué)的相空間和構(gòu)造廣義相對(duì)論的時(shí)空模型的四維偽黎曼流形都是流形的實(shí)例。流形是局部具有歐氏空間性質(zhì)的拓?fù)淇臻g，粗略地說，流形上每一點(diǎn)的附近和歐氏空間的一個(gè)開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結(jié)果。 從整體上看，流形具有拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，而拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)是軟; 的， 因?yàn)樗械耐咦冃螘?huì)保持拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)不變，這樣流形具有整體上的柔性，可流動(dòng)性，也許這就是中文譯成

2、流形（該譯名由著名數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育學(xué)家江澤涵引入）的原因。流形作為拓?fù)淇臻g，它的起源是為了解決什么問題？ 是如何解決的？ 誰解決的？ 形成了什么理論？這是幾何史的根本問題。 目前國(guó)內(nèi)外對(duì)這些問題已有一些研究1-7，本文在已有研究工作的基礎(chǔ)上，對(duì)流形的歷史演變過程進(jìn)行了較為深入、 細(xì)致的分析，并對(duì)上述問題給予解答。二、流形概念的演變流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 （C.F.Gauss,1777-1855）的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想 ,黎曼（C.F.B.Riemann,1826-1866）繼承并發(fā)展了的高斯的想法，并給出了流形的描述性定義。 隨著集合論和拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，希爾伯特（D.Hilb

3、ert,1862-1943）用公理化方案改良了黎曼對(duì)流形的定義， 最終外爾（H.Weyl,1885-1955）給出了流形的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義。1. 高斯-克呂格投影和曲紋坐標(biāo)系十八世紀(jì)末及十九世紀(jì)初，頻繁的拿破侖戰(zhàn)爭(zhēng)和歐洲經(jīng)濟(jì)的發(fā)展迫切需要繪制精確的地圖，于是歐洲各國(guó)開始有計(jì)劃地實(shí)施本國(guó)領(lǐng)域的大地測(cè)量工作。 1817 年，漢諾威政府命令高斯精確測(cè)量從哥廷根到奧爾頓子午線的弧長(zhǎng)， 并繪制奧爾頓的地圖，這使得高斯轉(zhuǎn)向大地測(cè)量學(xué)的問題與實(shí)踐。 高斯在繪制地圖中創(chuàng)造了高斯-克呂格投影， 這是一種等角橫軸切橢圓柱投影，它假設(shè)一個(gè)橢圓柱面與地球橢球體面橫切于某一條經(jīng)線上，按照等角條件將中央經(jīng)線東、西各 3&de

4、g;或 1.5°經(jīng)線范圍內(nèi)的經(jīng)緯線投影到橢圓柱面上， 然后將橢圓柱面展開成平面。采用分帶投影的方法，是為了使投影邊緣的變形不致過大。 當(dāng)大的控制網(wǎng)跨越兩個(gè)相鄰?fù)队皫?，需要進(jìn)行平面坐標(biāo)的鄰帶換算。 高斯-克呂格投影相當(dāng)于把地球表面看成是一塊塊平面拼起來的， 并且相鄰?fù)队皫У淖鴺?biāo)可以進(jìn)行換算。 這種繪制地圖的方式給出了流形;這個(gè)數(shù)學(xué)概念的雛形。大地測(cè)量的實(shí)踐導(dǎo)致了高斯曲面論研究的豐富成果。 由于地球表面是個(gè)兩極稍扁的不規(guī)則橢球面，繪制地圖實(shí)際上就是尋找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用復(fù)變函數(shù)，得出兩個(gè)曲面之間存在保角映射的充要條件是兩個(gè)曲面的第一類基本量成比例。 高斯關(guān)于這一成果的論文

5、將一給定曲面投影到另一曲面而保持無窮小部分相似性的一般方法 使他獲得了 1823 年哥本哈根科學(xué)院的大獎(jiǎng)，也使他注意到當(dāng)比例常數(shù)為 1 時(shí)，一個(gè)曲面可以完全展開到另一個(gè)曲面上。 高斯意識(shí)到這個(gè)成果的重要性，在論文的標(biāo)題下面寫下了一句話：這些結(jié)果為重大的理論鋪平了道路。 ;8189這里重大的理論就是高斯后來建立的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)。全面展開高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想的是他 1827 年的論文關(guān)于曲面的一般研究，這是曲面論建立的標(biāo)志性論述。2163高斯在這篇文章中有兩個(gè)重要?jiǎng)?chuàng)舉：第一，高斯曲率只依賴于曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，測(cè)地三角形內(nèi)角和不一定等于 180°，它依賴于三角形區(qū)域的曲率積分

6、。 高斯的發(fā)現(xiàn)表明，至少在二維情況下可以構(gòu)想一種只依賴于第一基本形式的幾何，即曲面本身就是一個(gè)空間而不需要嵌入到高維空間中去。332,4308高斯在這兩篇論文中都使用曲紋坐標(biāo)（u,v）表示曲面上的一個(gè)點(diǎn)，這相當(dāng)于建立了曲面上的局部坐標(biāo)系。 突破笛卡爾直角坐標(biāo)的局限性是高斯邁出的重要一步，但問題是：曲紋坐標(biāo)只適用于曲面的局部，如果想使曲面上所有的點(diǎn)都有坐標(biāo)表示，就需要在曲面上建立若干個(gè)局部坐標(biāo)系，那么這些坐標(biāo)系是否彼此協(xié)調(diào)一致？ 這是高斯的幾何的基礎(chǔ)。 高斯當(dāng)時(shí)不具備足夠的數(shù)學(xué)工具來發(fā)展他的幾何構(gòu)想，但高斯對(duì)空間的認(rèn)識(shí)深刻地影響了黎曼。2. 黎曼的關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè);黎曼在 1851 年的博士論

7、文 單復(fù)變函數(shù)的一般理論中，為研究多值解析函數(shù)曾使用黎曼面的概念，也就是一維復(fù)流形，但流形是什么還沒有定義。 在高斯的幾何思想和赫巴特（J.F.Herbart,1776-1841）的哲學(xué)思想的影響下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了著名演講關(guān)于幾何基礎(chǔ)的假設(shè)，演講中他分析了幾何的全部假設(shè)，建立了現(xiàn)代的幾何觀。52全文分三部分，第一部分是 n 維流形的概念，第二部分是適用于流形的度量關(guān)系，第三部分是對(duì)空間的應(yīng)用。黎曼在開篇中提到：幾何學(xué)事先設(shè)定了空間的概念， 并假設(shè)了空間中各種建構(gòu)的基本原則。 關(guān)于這些概念，只有敘述性的定義，重要的特征則以公設(shè)的形態(tài)出現(xiàn)。 這些假設(shè)（諸如空間的概念及其基本性質(zhì)）

8、彼此之間的關(guān)系尚屬一篇空白；我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關(guān)聯(lián)，相關(guān)到什么地步，甚至不知道是否能導(dǎo)出任何的相關(guān)性。 從歐幾里得到幾何學(xué)最著名的變革家雷建德，這一領(lǐng)域無論是數(shù)學(xué)家還是哲學(xué)家都無法打破這個(gè)僵局。 這無疑是因?yàn)榇蠹覍?duì)于多元延伸量的概念仍一無所知。 因此我首先要從一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ;9411從開篇中我們可以看到黎曼演講的目的所在：建立空間的概念，因?yàn)檫@是幾何研究的基礎(chǔ)。 黎曼為什么要建立空間的概念？ 這與當(dāng)時(shí)非歐幾何的發(fā)展有很大關(guān)系。 羅巴切夫斯基（N.L.Lobatchevsky,1793-1856） 和波約 （J.Bolyai,1802-1860）

9、已經(jīng)公開發(fā)表了他們的非歐幾何論文，高斯沒有公開主張非歐幾何的存在，但他內(nèi)心是承認(rèn)非歐幾何并做過深入思考的。 然而就整個(gè)社會(huì)而言，非歐幾何尚未完全被人們接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空間是什么這個(gè)問題來統(tǒng)一已經(jīng)出現(xiàn)的各種幾何；并且不止如此，黎曼主張一種幾何學(xué)的全局觀：作為任何種類的空間里任意維度的流形研究。黎曼在第一部分中引入了 n 維流形的概念。 他稱 n 維流形為 n 元延伸量，把流形分為連續(xù)流形與離散流形，他的研究重點(diǎn)是把連續(xù)流形的理論分為兩個(gè)層次，一種是與位置相關(guān)的區(qū)域關(guān)系，另一種是與位置無關(guān)的大小關(guān)系。 用現(xiàn)代術(shù)語來講，前者是拓?fù)涞睦碚?，后者是度量的理論?黎曼是如何構(gòu)造流形呢？他的

10、造法類似于歸納法，n+1 維流形是通過 n 維流形同一維流形遞歸地構(gòu)造出來的； 反過來，低維流形可以通過高維流形固定某些數(shù)量簡(jiǎn)縮而成。 這樣每一個(gè) n 維流形就有 n 個(gè)自由度，流形上每一點(diǎn)的位置可以用 n 個(gè)數(shù)值來表示，這 n 個(gè)數(shù)值就確定了一個(gè)點(diǎn)的局部坐標(biāo)。 黎曼這種構(gòu)造流形的方法顯然是受到赫巴特的影響。 赫巴特在論物體的空間中提到： 從一個(gè)維度前進(jìn)到另一個(gè)維度所依據(jù)的方法，很明顯是一個(gè)始終可以繼續(xù)發(fā)展的方法，然而現(xiàn)在還沒有人會(huì)想到按空間的第三個(gè)維度去假設(shè)空間的第四個(gè)維度。 ;10197可看出黎曼受到赫巴特的啟發(fā)并突破了三維的限制按遞歸的方法構(gòu)造了 n 維流形， 這種構(gòu)造方法體現(xiàn)了幾何語言

11、高維化的發(fā)展趨勢(shì)。 從本質(zhì)上講， 黎曼的 流形; 概念與當(dāng)時(shí)格拉斯曼 （H. G.Grassmann,1809-1877） 的 擴(kuò)張 ; 概念和施萊夫利（L. Schlafli,1814-1895）的 連續(xù)體 ;概念基本一致 .683流形應(yīng)具有哪些特征呢？ 黎曼提到：把由一個(gè)標(biāo)記或者由一條邊界確定的流形中的特殊部分稱為量塊（Quanta），這些量塊間數(shù)量的比較在離散情形由數(shù)數(shù)給出，在連續(xù)情形由測(cè)量給出。 測(cè)量要求參與比較的量能夠迭加，這就要求選出一個(gè)量，作為其他量的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)。 ;9413黎曼在此使用的量塊體現(xiàn)了現(xiàn)在拓?fù)鋵W(xué)中的鄰域概念的特征，參與比較的量能夠迭加;則是要求兩個(gè)量塊重疊的部分有統(tǒng)一

12、的測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)， 即保證任意兩個(gè)局部坐標(biāo)系的相容性，這在后來由希爾伯特發(fā)展為 n 維流形局部與 n 維歐氏空間的同胚。 黎曼這種引入點(diǎn)的坐標(biāo)的方法并不是很清晰的，這種不清晰來自他缺乏用鄰域或開集來覆蓋流形進(jìn)而建立局部坐標(biāo)系的思想。118在文章第二部分黎曼討論了流形上容許的度量關(guān)系。 他在流形的每一點(diǎn)賦予一個(gè)正定二次型，借助高斯曲率給出相應(yīng)的黎曼曲率概念。 進(jìn)一步，黎曼陳述了一系列曲率與度量的關(guān)系。 曲面上的度量概念， 等價(jià)于在每一點(diǎn)定義一個(gè)正定的二次型，亦稱為曲面的第一基本形式。 自高斯以來，第一基本形式的內(nèi)蘊(yùn)幾何學(xué)幾乎一直占據(jù)著微分幾何的中心位置。 從后來的希爾伯特和外爾的流形的定義可看出，他們

13、都延續(xù)了高斯的內(nèi)蘊(yùn)幾何思想。3. 希爾伯特的公理化方法從 19 世紀(jì) 70 年代起，康托爾（G. Cantor,1845-1918）通過系統(tǒng)地研究歐幾里得空間的點(diǎn)集理論，創(chuàng)立了一般集合論，給出了許多拓?fù)鋵W(xué)中的概念。 康托爾的研究為點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)的誕生奠定了基礎(chǔ)，這使得希爾伯特能夠利用一種更接近于拓?fù)淇臻g的現(xiàn)代語言發(fā)展流形的概念。 希爾伯特在 1902 年的著作幾何基礎(chǔ)中引進(jìn)了一個(gè)更抽象的公理化系統(tǒng)，不但改良了傳統(tǒng)的歐幾里得的幾何原本，而且把幾何學(xué)從一種具體的特定模型上升為抽象的普遍理論。在這部著作中他嘗試以鄰域定義二維流形（希爾伯特稱之為平面， 而把歐氏平面稱為數(shù)平面），提出了二維流形的公理化定義

14、：平面是以點(diǎn)為對(duì)象的幾何， 每一點(diǎn) A 確定包含該點(diǎn)的某些子集，并將它們叫做點(diǎn)的鄰域。（1） 一個(gè)鄰域中的點(diǎn)總能映射到數(shù)平面上某單連通區(qū)域，在此方式下它們有唯一的逆。 這個(gè)單連通區(qū)域稱為鄰域的像。（2）含于一個(gè)鄰域的像之中而點(diǎn) A 的像在其內(nèi)部的每個(gè)單連通區(qū)域， 仍是點(diǎn) A 的一個(gè)鄰域的像。若給同一鄰域以不同的像，則由一個(gè)單連通區(qū)域到另一個(gè)單連通區(qū)域之間的一一變換是連續(xù)的。（3）如果 B 是 A 的一個(gè)鄰域中的任一點(diǎn) ,則此鄰域也是 B 的一個(gè)鄰域。（4）對(duì)于一點(diǎn) A 的任意兩個(gè)鄰域 ,則存在 A 的第三個(gè)鄰域，它是前兩個(gè)鄰域的公共鄰域。（5）如果 A 和 B 是平面上任意兩點(diǎn) ,則總存在A

15、的一個(gè)鄰域它也包含 B. ;12150可以看出在希爾伯特的定義中，（1）和（2）意味著在平面（二維流形）的任意一點(diǎn)的鄰域到數(shù)平面（歐氏平面）的某單連通區(qū)域上都能建立同胚映射。 （3）-（5）意圖是要在平面（二維流形）上從鄰域的角度建立拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 希爾伯特的定義延續(xù)了黎曼指明的兩個(gè)方向：流形在局部上是歐氏的（這一點(diǎn)黎曼已經(jīng)以量塊迭加的方式提出），在整體上存在一個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。 這個(gè)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)希爾伯特顯然要以公理的方法建立 （這一工作后來由豪斯道夫完成，豪斯道夫發(fā)展了希爾伯特和外爾的公理化方法，在 1914 年的著作集論基礎(chǔ) 中以鄰域公理第一次定義了拓?fù)淇臻g），13249但與豪斯道夫的鄰域公理相比， 他

16、的定義還不完善，比如（3）中描述的實(shí)際上是開鄰域。 另外，他沒有提流形須是一個(gè)豪斯道夫空間。希爾伯特已經(jīng)勾勒出流形的基本框架，隨著拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，外爾完善了希爾伯特的工作，給出了流形的現(xiàn)代形式的定義。4. 外爾對(duì)流形的現(xiàn)代形式的定義外爾是希爾伯特的學(xué)生，是二十世紀(jì)上半葉最偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家和哲學(xué)家之一。 從 1911 到1912 年，外爾在哥廷根大學(xué)開設(shè)一門黎曼函數(shù)論的課程，他發(fā)現(xiàn)黎曼面還沒有一個(gè)恰當(dāng)?shù)亩x，以前的研究都依靠直觀，許多證明也不嚴(yán)格，于是他決心利用希爾伯特公理化的方法改造函數(shù)論，這首先要給黎曼面一個(gè)嚴(yán)格的、內(nèi)在的拓?fù)涠x。1463外爾在查閱了希爾伯特的論文后，并利用了布勞威爾（

17、L.E.Brouwer,1881-1966）關(guān)于 n 維空間的開集間的雙連續(xù)映射下的維數(shù)不變性的結(jié)果， 于 1913 年首先在他的名著黎曼面的思想中內(nèi)在地定義了二維流形，這成為日后定義微分流形的基礎(chǔ)。下面是外爾給出的二維流形的定義：定義： 稱 F 是一個(gè)二維流形， 若滿足以下條件：（a） 給定一個(gè)稱為;流形 F 上的點(diǎn)的集合，對(duì)于流形 F 中的每一點(diǎn) p,F 的特定的子集稱為 F 上點(diǎn) p 的鄰域。點(diǎn) p 的每一鄰域都包含點(diǎn) p,并且對(duì)于點(diǎn) p 的任意兩個(gè)鄰域，都存在點(diǎn) p 的一個(gè)鄰域包含于點(diǎn) p 的那兩個(gè)鄰域中的每一個(gè)之內(nèi)。 如果 U0是點(diǎn) p0的一個(gè)鄰域，并且點(diǎn) p 在 U0內(nèi)，那么存在點(diǎn)

18、 p的一個(gè)鄰域包含于 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的兩個(gè)點(diǎn)， 那么存在 p0的一個(gè)鄰域和 p1的一個(gè)鄰域使這兩個(gè)鄰域無交，也就是這兩個(gè)鄰域沒有公共點(diǎn)。（b） 對(duì)于流形 F 中每一定點(diǎn) p0的每一個(gè)鄰域U0,存在一個(gè)從 U0到歐氏平面的單位圓盤 K0（平面上具有笛卡爾坐標(biāo) x 和 y 的單位圓盤 x2+y2一般認(rèn)為，高維流形的公理化定義由維布倫（O.Veblen,1880-1960） 和 懷 特 黑 德 （A.N.Whitehead,1861-1947）于 1931 和 1932 年給出，即把流形作為帶有最大坐標(biāo)卡集和局域坐標(biāo)連續(xù)以及各階可微變換的點(diǎn)集。 實(shí)際上，這種看法沒有足夠

19、重視外爾1919 年對(duì)黎曼講演的注釋， 特別是未能利用外爾1925 年的長(zhǎng)文黎曼幾何思想。 事實(shí)上，除了未對(duì)高階微分結(jié)構(gòu)予以明確區(qū)分外，外爾的注釋和長(zhǎng)文中實(shí)質(zhì)上包含了高維微分流形的定義。三、流形理論的發(fā)展我們上面提到的流形指拓?fù)淞餍危亩x很簡(jiǎn)單，但很難在它上面工作，拓?fù)淞餍蔚囊环N-微分流形的應(yīng)用范圍較廣。 微分流形是微分幾何與微分拓?fù)涞闹饕芯繉?duì)象，是三維歐氏空間中曲線和曲面概念的推廣。 可以在微分流形上賦予不同的幾何結(jié)構(gòu)（即一些特殊的張量場(chǎng)），對(duì)微分流形上不同的幾何結(jié)構(gòu)的研究就形成了微分幾何不同的分支。 常見的有：1. 黎曼度量和黎曼幾何仿緊微分流形均可賦予黎曼度量，且不是惟一的。 有了

20、黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內(nèi)容，就可以測(cè)量長(zhǎng)度、面積、體積等幾何量，這種幾何稱為黎曼幾何。黎曼這篇關(guān)于幾何學(xué)基礎(chǔ)的假設(shè)的就職演說，通常被認(rèn)為是黎曼幾何學(xué)的源頭。 但在黎曼所處的時(shí)代，李群以及拓?fù)鋵W(xué)還沒有發(fā)展起來，黎曼幾何只限于小范圍的理論。 大約在 1925 年霍普夫（H.Hopf,1894-1971）才開始對(duì)黎曼空間的微分結(jié)構(gòu)與拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的關(guān)系進(jìn)行研究。 隨著微分流形精確概念的確立，特別是嘉當(dāng)（J.Cartan,1869-1951）在 20世紀(jì) 20 年代開創(chuàng)并發(fā)展了外微分形式與活動(dòng)標(biāo)架法， 李群與黎曼幾何之間的聯(lián)系逐步建立了起來，并由此拓展了線性聯(lián)絡(luò)及纖維叢的研究。2. 近復(fù)結(jié)構(gòu)和復(fù)幾何微分流形 M 上的一個(gè)近復(fù)結(jié)構(gòu)是 M 的切叢TM 的一個(gè)自同構(gòu)，滿足 J·J=-1. 如果近復(fù)結(jié)構(gòu)是可積的，那么就可以找到 M 上的全純坐標(biāo)卡，使得坐標(biāo)變換是全純函數(shù)， 這時(shí)就得到了一個(gè)復(fù)流形，復(fù)流形上的幾何稱為復(fù)幾何。3. 辛結(jié)構(gòu)和辛幾何微分流形上的一個(gè)辛結(jié)構(gòu)是一個(gè)非退化的閉的二次微分形式，這樣的流形稱為辛流形，辛流形上發(fā)展起來的幾何稱為辛幾何。 與黎曼幾何不同的是