線性代數(shù)作業(yè)

1、學(xué) 院 班級(jí) 學(xué) 號(hào) 姓名20092010 學(xué)年第二學(xué)期線性代數(shù) B試題矚慫潤(rùn)厲釤瘞睞櫪廡賴。三四總分得分一 填空題(每小題 3 分)1 設(shè) A 為 3 階 方 陣 ， 且 A 2 ， 則 行 列 式 A 1 3A* .2 設(shè) A 為 2階方陣 B 為 3階方陣， A,B 分別為 A，B 的伴隨矩O 2B*陣. 若 A 2, B 3,則 行列式 3A* O .聞創(chuàng)溝燴鐺險(xiǎn)愛氌譴凈。ab2 設(shè) A,則 A* =.cd3 設(shè) A 為 3 階方陣,且 ATA* ，其中 A* 為 A的伴隨矩陣，則A .4 設(shè) A 為 3 階方陣，且滿足 A2 A E 則 R(A)=.5 設(shè)1，2是n元(n 2 )齊次

2、線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系，則 R( A) .1 2 26 設(shè)方陣A 4 t 3 ,B為三階非零矩陣，且 AB O,則3 1 1t .7 向量組 1， 2， ，m 線性無(wú)關(guān)，向量 不能由它們線性表示，則向量組 1， 2， ，m， 的秩為 .8 設(shè) Ax b 為四元非齊次線性方程組， R（ A） 3,且 1， 2為它的兩個(gè)不同解，則該方程組的通解為 .9 設(shè) 3 階矩陣 A 的特征值為 1、3、5，則 A 的跡 trA=10若二次型 f（ x1,x2,x3 ） x12 4x22 2x32 2t x1x2 2x1x3正定，則t 應(yīng)滿足 .11設(shè) 線 性 空 間 R2 的 兩 個(gè) 基 ， A:

3、 1 （1,0）T , 2 （1,1）T ;B: 1 （1,1）T, 2 （ 1,1）T,則A組基到 B組基的過(guò)渡矩陣為12已知 A為4行 5列矩陣，齊次線性方程組 Ax 0的基礎(chǔ)解系含 有 3 個(gè)解向量，則 R（A）=.二、單項(xiàng)選擇題（每小題 3 分）1A 為 n階方陣，則 A 0 的必要條件是（） .（A）A 中有兩行（列）元素對(duì)應(yīng)成比例；（B）A 中必有一行（列）元素全為零；（C）A 中各行（列）元素之和為零；D）齊次線性方程組 Ax 0 有非零解 .2 若向量組 1， 2， 3 線性無(wú)關(guān)， 1， 2， 4 線性相關(guān)，則 （） .（A）1能由 2， 3， 4 線性表示；（B）2 不能由

4、1， 3， 4線性表示；（C）4 能由 1， 2， 3線性表示；（D）4不能由 1， 2， 3線性表示 .a11a12a13a21a222a23a233設(shè)矩陣 Aa21a22a23 ,Ba31a322a33aa33a31a32a33a11a122a13a13010100P1001 ,P201 0 ,則 B（）.100021（A） P1AP2 ; （B） AP1P2; （C） AP2P1; （D） P2AP1.4 設(shè) A為m n矩陣，設(shè) B為 n m矩陣，則（）.（A）當(dāng) m n時(shí)，必有 AB 0;（B）當(dāng) m n時(shí)，必有 AB 0;（C）當(dāng) n m時(shí)，必有 AB 0;（D）當(dāng) n m時(shí)，必有

5、AB 0. 5 向量組 1，2， 3是齊次線性方程組 Ax 0 的基礎(chǔ)解系， 則 該方程組的基礎(chǔ)解系還可表示為（） .（A） 1 2， 2 3，3 1；（B）與1， 2， 3 等秩的向量組； （C） 1，1 2，1 2 3；（D）與1，2， 3 等價(jià)的向量組 .6 若 A為m n矩陣， Ax 0為 Ax b 所對(duì)應(yīng)的齊次線性方程 組，則下列結(jié)論正確的是（）.A）若 Ax 0僅有零解，則 Ax b 有唯一解；100200300100050, (B)010, (C)050, (D)010004005000007(A)003223200B)若 Ax b有無(wú)窮多解，則 Ax 0 僅有零解；C)若 Ax

6、 0有非零解，則 Ax b 有無(wú)窮多解；D)若 Ax b有無(wú)窮多解，則 Ax 0有非零解 .7 已知矩陣 A，則與 A 相似的矩陣為(A)充分必要條件；(B)充分而非必要條件；(C)必要而非充分條件；(D) 既非充分也非必要條件 .8 n 階方陣 A 具有 n 個(gè)不同的特征值是 A 與對(duì)角陣相似的 ().(A)(C)A 的秩為n；(D)A 有 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量 .a11a121. 設(shè) Aa21a22a31a320ka12la13B0ka22la230ka32la33三、為實(shí)對(duì)稱矩陣，且可逆，矩陣1)證明 A 的伴隨矩陣 A* 為實(shí)對(duì)稱矩陣，).9 n 階方陣 A 與對(duì)角陣相似的充分必要

7、條件是(A 有 n個(gè)不同的特征值 ; (B) A有 n個(gè)不同的特征向量，且可逆；(2)計(jì)算 A* B.1b1002.求 D11 b1b20的值.011 b2b30011 b31 0 13. 設(shè) 3階方陣 A,B滿足 A2B A B E ，且 A 0 2 0 ，求 B 1.2014 設(shè)矩陣 A12000340,00560007且滿足 B (E A) 1(E A),求(E B) 1.1005. 設(shè) A、 P 均 為 3 階 方 陣 ， 且 PT AP 0 1 0 , 若00011326設(shè)矩陣1326A1571031p2pP1， 2， 3 ， Q 1 2，2， 3 ， 求QT AQ.，問(wèn)當(dāng) p 為何

8、值時(shí)，矩陣 A 的列向量組線性相關(guān)， 在此時(shí)求 R( A)及A的列向量組的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，并把不是極大無(wú)關(guān)組的向量用極大無(wú)關(guān)組線性表示 .殘騖樓諍錈瀨濟(jì)溆塹籟。7 已知 1， 2， 3線性相關(guān) 2， 3， 4線性無(wú)關(guān)，試證 1 可由2， 3， 4 線性表示， 4 不能由 1， 2， 3 線性表示 .1238 驗(yàn) 證 1 0 , 2 3 , 3 4 為R3 的 一 個(gè) 基 ， 并 將1 1 1817 用這個(gè)基表示出來(lái)5四解答題(每小題 9 分) 1. 設(shè) 1，2， 3，4 為 4 維 非 零 列 向 量 組 ，A 1， 2，3， 4 ， A* 為A 的伴隨矩陣，已知線性方程組Ax 0 的通解為

9、k 1,0, 1,0 T ,其中 k 為任意常數(shù)，求線性方程組A* x 0 的一個(gè)基礎(chǔ)解系 .釅錒極額閉鎮(zhèn)檜豬訣錐。x1 x2 x 3 0 ,2 設(shè) 線 性 方 程 組 ( ) x1 ax2 3x3 0, 與 ( ) 2x1 a x 2 9 x3 0.x1 3x2 3x3 a 3 有公共解，求 a 的值和所有公共解 .x1 2x2 x3 13. 問(wèn) a ,b 為何值時(shí)，非齊次線性方程組 3x x 3x2 有唯一2x1 x2 ax3 b 解？無(wú)解？有無(wú)窮多解？并求出有無(wú)窮多解時(shí)的通解 .4 已知 A 是 4 階矩陣，其秩 R( A) 3, 1, 2, 3是非齊次線性 方 程 組 Ax=b 的 三

10、 個(gè) 不 同 的 解 向 量 ， 且1 2 2 3 (2,4,6,8)T , 1 2 3 (1,3,5,7)T , 求非齊次線 性方程組 Ax=b 的通解 .彈貿(mào)攝爾霽斃攬磚鹵廡。23x1 a1x2 a121 x3 a13235 對(duì)于 線性方程組x1 a2x2 a2 x3 a223x1 a3x2 a3 x3 a323x1 a4 x2 a4 x3 a41)若 1 , 2 , 3 , 4 兩兩不等，那么方程組是否有解，為什么？2)若 1 3 b, 2 4 b(b 0 ).且已知方程的兩個(gè)解1 (1, 1, 1)T , 2 ( 1, 1,1)T ,試求方程組的通解 .五2 0 0 1 0 01 已知

11、矩陣 A 0 x 1 與 B 0 y 0 相似，求 x,y.0 1 00 0 20012. 已知矩陣 A a 1 b 與 對(duì)角陣相似，求 a,b應(yīng)滿足的條件 .1003.設(shè) A為 3階實(shí)對(duì)稱矩陣，且滿足條件 A2 A O,已知 R(A)=2, 求(1)A的全部特征值；(2) A 2E ；(3)當(dāng) t 為何值時(shí)，矩陣 A2 tE 為正定矩陣 .4 設(shè) A為 n階實(shí)矩陣， 為 A 的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量， 為 AT 的對(duì)應(yīng)于實(shí)特征值 的特征向量，且,證明 與 正交 .六 1. 設(shè) 二 次 曲 面 方 程 axy+2xz+2byz=1(a0) 經(jīng) 正 交 變 換xy Q ,化成 2 2 22

12、1，求 a, b的值及正交矩陣 Q.謀蕎摶 z篋飆鐸懟類蔣薔。2.設(shè) A (aij ) 為 n階實(shí)對(duì)稱矩陣，R(A)=n, Aij是 A中元素 aij的 代 數(shù) 余 子 式 (i, j 1,2, ,n) . 證 明 ： 二 次 型 f ( x ,x , , x ) n n Aij x x 的矩陣為 A 1且與 n 階實(shí)對(duì)稱矩陣 A f ( x1,x2, ,xn )xixji 1 j 1 A所對(duì)應(yīng)的二次型有相同的規(guī)范形 .廈礴懇蹣駢時(shí)盡繼價(jià)騷。3.設(shè) A E T ,其中 a1, a2 , a3 T ,且 T 2, 求一 個(gè)可 逆矩陣 P,使 P 1AP ,并寫出對(duì)角陣 .4. 已知二次型 f( x1,x2 ,x3 ) x12 x22 x32 2x1 x2 2ax1 x3 2bx2 x3 在 正交變換 x Py 下化為標(biāo)準(zhǔn)型 y12 2y32 ，求 a,b 的值及所用的正交 變換.5. 設(shè)實(shí)二次型 f(x1,x2,x3 ) xT Ax 的秩為 2，且 1 (1, 0, 0) 是(A 2E )x 0的解， 2 (0， 1， 1)T 是(A 6E )x 0的解，(1)求矩陣