練習7恒定磁場

1、練習 7 恒定磁場電流的磁效應 試述第一個揭示電流磁效應的科學家及其實驗。這個實驗距今已100多年了 , 到物理演示實驗室來重做一下這個實驗 , 你將會感到很有意思 , 并對討論下列問題可能會有幫助。（ 1） 小磁針在電流周圍或永久磁鐵周圍為什么會發(fā)生偏轉（ 2） 怎樣用小磁針來判定空間磁場的方向 并指出圖（教材 P304）中所示各小磁針 N 極 的指向:（ 3） 電流周圍能激發(fā)磁場。永久磁鐵周圍的磁場是什么激發(fā)的（ 4） 傳導電流是電荷在導體中定向運動形成的 , 且 I neSv （ n 為載流子密度 , v 為 電荷定向運動的平均速度 , S 為截面積） , 那么, 電流I 與電流密度 的

2、關系為I 分析與解答 奧斯特實驗（ 1820年）。（1）電流或永久磁鐵周圍存在著磁場，小磁針處于其中，將受到磁場的作用，從而就會 發(fā)生偏轉，直到小磁針 N極指向該磁場方向為止。（2）小磁針 N極的指向就是該處磁場的方向。圖（ b）中三個磁針的 N極均指向左方。（3）永久磁鐵中存在“分子電流”，且分子電流的磁性呈有序排列，因此對外顯示出磁 性。（ 4） Ids試說明直線電流 I 1,I 2間相互作用的物理機理 , 并討論:（ 1） 圖示的I 1,I 2的相互作用情況 , 你是怎樣判斷的（ 2） 圖（ a ） , （ b ）所示的 q1 , q2 的相互作用情況。你在分析中 , 考慮到參考系沒有題

3、（ 1）圖題（ 2）圖 分析與解答 （1） I1在I 2處激發(fā)指向紙面內(nèi)的磁場 B1 ，根據(jù)安培定律 dF I2dl B1可知， I2受到向 上的安培力；同理， I1 受到向下的安培力。（ 2）在圖（ a）中 q1，q2 相對靜止，它們之間的相互作用力為庫侖力。在圖（ b）中， q1，q2 仍相對靜止，都各自受到對方所激發(fā)的電場力 （庫侖力） 。但對地面參考系而言， 它們均為運動電荷，除激發(fā)電場外，還要在周圍激發(fā)磁場，雙方還受到對方所激發(fā)的磁場力 （洛倫茲力）。3已知銅的摩爾質量 M=63.75g/mol，密度 =8.9g/cm ，在銅導線里，假設每一個銅原子貢獻出一個自由電子， （1）為了技

4、術上的安 全，銅線內(nèi)最大 電流密度j m2=6.0A/mm ， 求此時銅線內(nèi)電子的漂移速率 vI，（ 2）在室溫下電子熱運動的平均速率是電子漂移速率 vd 的多少倍畢奧- 薩伐爾定律及其應用用畢奧 -薩伐爾定律求 B,需要用高等數(shù)學工具。 請認真研究幾個典型例題 （ 直線電流、圓 電流等） , 總結一下求解的思路和方法 , 并將幾個特殊結論填在下面 ,必要時可直接選用。( 1)無限長載流直導線周圍的B =( 2)載流直導線延長線上任一點的( 3)圓電流中心的 B =0I2R( 4)長直螺線管內(nèi)的 B =n 0I( 5)長直螺線管端點的 B =( 6)一個運動電荷激發(fā)的磁場B =1n20 I 2

5、r B = 0; 軸線上任一點的 B =02 R2Pm3x2 2B 0 qv er 。B 4 。中所示點 P 的磁感強度能否簡單計算或直接寫出圖 （ a ） （ f ）題圖 分析與解答 （a）B120I2l4 0 lI 方向：1( b) B0I0I方向：22R4R（c） B1021 2 兩電流在 P點產(chǎn)生的磁場方向不同，不能直接相加，經(jīng)分析合2 y2 l 2 磁場方向應沿中垂線向上的方向，故兩磁場在該方向的投影之和即為總磁場。B 2B1cos 2B1l20I1l 2 方向：向上r y ld)B 0I0I0sin t 方向： sin t 0時為 ，sin t 0時為2 d 2 d（e） B0 I

6、0I 方向：2R 4 R（f） B1 0I1 方向：B20I2方向：向左2 r12 r2 r1總磁場 BB12 B22（I1）2 （ I2 ）2 方向：沿 B B1 B 2 方向。2r1r2 r1求解:（1）一圓形載流導線的圓心處的磁感強度為 B1 , 若保持I 不變, 將導線改為正方形 , 其 中心處的磁感強度為 B2 , 試求 B2/B1 。（2）如圖所示, 寬度為a 的無限長金屬薄片 , 均勻通以電流 I 并與紙面共面。試求在紙 面內(nèi)距薄片左端為 r 處點 P 的磁感強度 B。 分析與解答 （1） 圖形載流導線中心的 B 1 0 I 。改為正方形時，每邊長1 2 R2R412 R , 距

7、中心點 O的垂直距離均為 a1R , 每邊（載流 I ）在 O點激發(fā)的44 22R0I ,則BB12有 dII dx aB0I sin45 , 則中心O點的總磁感強度 B2 4 0I sin 452 a 2 a題（ 2）圖（ 2）以P點為坐標原點，作 OX軸。在薄片內(nèi)距 O點為 x 處，取寬度為 dx 的長直電流 dI ，0dI0I它在 P點激發(fā)的磁感強度為 dB00 dx2 x 2 ax 則整個薄片電流在 P點激發(fā)的磁感強度為B dB 0 I dx0 I ln r a 方向：r 2 ax 2 a r（3）半徑為 R 的薄圓盤均勻帶電 , 電荷面密度為 +, 當圓盤以角速度繞過盤心 O、并 垂

8、直于盤面的軸逆時針轉動時 , 求盤心 O 處的 B。 分析與解答 （ 1）繞中心軸轉動的帶電介質圓盤可以看成是一個載流圓盤。 載流圓盤 又可看做是由一個個同心載流圓環(huán)所組成。點 O的磁感強度 B就是由這一個個載流圓環(huán)的磁感 強度疊加的結果?，F(xiàn)在半徑r處取一寬為 dr的同心圓環(huán)，其上的 dI 可寫成dI n2 rdr 2 rdr rdr2式中， 為電荷面密度， 2 rdr 為圓環(huán)的面積。圓電流中心的磁感強度0dI 1B 0I 2R ，因此，所取圓環(huán)在其中心的磁感強度 dB為dB0 0 dr2r 2按疊加原理可知，整個圓盤在中心的磁感強度 B 為dBR102dr（ 4） 一均勻帶電的半圓弧線 ,

9、半徑為 R, 帶電量為 Q, 以勻角速度繞對稱軸 OO轉動（見圖） , 求半圓弧線圓心點 O 處的磁感強度 B。 分析與解答 由題設條件得電荷線密度 Q 。 R取線元 dl Rd ，其上所帶電荷為 dQ Q dl Q Rd Q dRR當 dQ 以勻角速度繞 oo 軸做半徑 r Rsin 的圓周運動時，所形成的圓電流為dI dQ Q2 d2 2 2dB設圓電流在其軸線上O點激發(fā)的磁感強度d B的大小為20 Rsin3 dI2R30 2Q sin4 2R方向：向上。則點 O處磁感強度 B 的大小為 BdB0 2.Q sin2 d4 2R0 .Q8R如圖所示，半徑為 R的木球上繞有密集的 細導線，線

10、圈平面彼此平行，且以單層線圈覆蓋住 半個球面，設線圈的總匝數(shù)為 N，通過線圈的電流 為I ，求球心 O處的磁感強度。磁場高斯定理 題 圖何謂磁通量 m 說明其正、負的物理意義（1）在如圖所示的均勻磁場 B 中, 有一面積 S, 試求S 處于圖示不同方位時 , 通過 S 面 的 m （ n 為正法線 ）題（ 1） 圖(2) 在非均勻磁場中 , m 的一般表達式為 m =dm = ;(3) 通過一閉合曲面的 m = 分析與解答 1)maBSmb BScos ；0；mc mdBS。2)B dSs3)dSBs在非均勻場中 ,(1) 現(xiàn)有一無限長載流直導線 , 載流 I, 試求通過 圖中所示與直線共面的

11、矩形面積的磁通量 m如何計算通過一面積的磁通量（2） 若 I I0 cos t , 則m 為多少題圖 分析與解答 ( 1)對非均勻磁場 mB dS ，無限長電流的磁感應強度 B0I ，2x磁場隨 x 的變化而變化，是非均勻磁場，在矩形 abcd 內(nèi)取一豎直小矩形面積dS ldx ，得x2mx10I ldx0Il ln x22 x 2x12） m 20l I0sintln x2x1安培環(huán)路定理及其應用列出安培環(huán)路定理的表達式 , 安培環(huán)路定理的具體形式。討論其物理意義 , 并寫出圖所示各圖中 , 對于 L 回路的 分析與解答 安培環(huán)路定律為LB dl（ a） LB dl0 I1 I2 ；（ b）

12、 B dl0 I1 I 2 ；（c） B dl L10I1 ，B dlL2（ d） LB dl0；（e） B dl L在 B dl 0L0Ii 中的 I i表示什么 B 是題圖0iIi ,它表明磁場是非保守場。 i0 I2 I1 ；0。i并判斷下列說法的正誤。它是由哪些電流激起的（ 1） B dl 僅與回路所包圍的 I i 有關, 與回路外的電流無關 ; i（ 2） 式 B dl 中的B與回路所包圍的 Ii 有關,與回路外的電流無關 ;i（ 3） 當 B dl 0 時, 則 L上各點的 B必處處為零 ;（ 4） 由于 LB dl 0 , 所以,磁場是有旋場 ;若 LB dl 0, 則該范圍內(nèi)的

13、就是保守場 ;（ 5） 如題 圖（ d ） 所示, 回路L 與圓電流 I 共面, 則B dl Bdl 0 LL（ 6） 安培環(huán)路定律只適用于具有對稱性的磁場。 分析與解答 Ii 是回路中所包圍電流的代數(shù)和， B是回路上各點的磁感強度，它是空i間所有電流（回路內(nèi)部和外部）所激發(fā)的。（1）正確。（ 2）錯誤。回路上的 B 不僅與回路內(nèi)電流有關，而且與回路外電流也有關，它是由回路 內(nèi)、外電流共同激發(fā)的。（3）錯誤。當 LB dl 0 時，只說明回路內(nèi)無電流（或代數(shù)和為零），而回路上各 點的 B 不一定處處為零。（ 4）錯誤。一個保守場應滿足回路的環(huán)流 恒等于零，若其環(huán)流有時為零，有時不為零， 就一定

14、是非保守場。（ 5）正確。由畢奧薩伐爾定律可分析圓電流在回路 L上各點產(chǎn)生磁場的方向始終垂直 紙面，即 Bl 恒等于零，故 LB dl L Bldl 0成立。（6）錯誤。安培環(huán)路定律是反映磁場基本性質的定律，無論磁場是否對稱均適用。但若 用安培環(huán)路定律來簡便計算磁感強度 B時，只適用于某些有對稱性（或均勻分布）的磁場。仔細研究幾個典型例題 （ 長直載流導線、螺線管等 ） , 總結一下應用安培環(huán)路定律計算 磁場分布的條件和一般思路方法。然后再練習求解下列各題。已知 10mm2 裸銅線允許通過 50A電 流 而 不 會 使 導 線 過 熱。電 流 在導線橫截面上均勻分布。求：導線內(nèi)、外磁感強度的分

15、布。有一同軸電纜，其尺寸如圖所示，兩導體中的電流均為 I ，但電流的流向相反，導體的 磁性可不考慮。試計算以下各處的磁感強度：（1）rR1， （ 2） R1r R2，（ 3） R 2rR4 分析與解答 同軸電纜中電流呈軸對稱性，故磁場分布也具有軸對稱性。取半徑為 r 的同心圓為積分環(huán)路，由安培環(huán)路定理 B dl 0 Ii 求各個區(qū)域的磁場分布。 1 分1) r R1B dl B1 2 r =0IR12R2B10I r2 R122)R1 r R2B dl B2 2 r0IB20I2r3) R2 rB3 dl B3 2 rr2R2R22B30I R32 r 22 r R32 R224) r R3B

16、 dl B42 rB4 0 2 分一根半徑為 R 的實心銅導線 , 均勻流過的電流為 I , 在導線內(nèi)部作一平面 S( 見圖) , 試求:(1) 磁感強度的分布 ;(2) 通過每米導線內(nèi) S 平面的磁通量。 分析與解答 題 圖( 1)作與銅導線同軸的圓形安培環(huán)路 L，由安培環(huán)路定 理有vv? B dl B 2 r 0 I2rr R 時，環(huán)路包含的電流為12IR1 2 r 2 ；r R 時，代入式得B 2 0RIr2rR2）dm0IrrR在截面 S上取面積元 dS 1dr，穿過 dS的磁通量 d m 為BvgdSv0 Ir22 R2dr則通過單位長度導線內(nèi)S平面的磁通量m為d R 0Ir m d

17、 m 20 2 R2dr 40I磁場對載流子與載流導線的作用分析如圖所示正、負載流子 （ 帶電粒子 ） 在磁場中的受力和運動情況 , 并判斷:題圖（1）一束質子射入場中 , 其軌跡為拋物線 , 可知此空間存在電場 ;（2）同上 , 但作圓周運動 , 表明此空間存在磁場 ;（3）同上 , 其軌跡為直線 , 則此空間不存在電場和磁場 ;（4）帶電粒子在磁場力作用下作勻速圓周運動 , 其半徑與速度 v 成正比。周期與 v 無關 分析與解答 運動電荷在磁場中，將受到洛侖茲力，且 FL qv B，則（ a） +q受向上的由 B產(chǎn)生的洛侖茲力； -q 受向下的由 B產(chǎn)生的洛侖茲力。（b）+q受沿 方向的由

18、 B產(chǎn)生的洛侖茲力。 -q 受沿方向的由 B產(chǎn)生的洛侖茲力。（ c） q受力均為零。（ d）+q受向下的由 B產(chǎn)生的洛侖茲力和向下的電場力； -q受向上的由 B產(chǎn)生的洛侖茲力和 向上的電場力。由此也可判斷：（ 1）正確。因為質點運動軌跡為拋物線，可知其必定受到一定大小、方向均不變化的恒 力作用，而洛侖茲力處處與速度方向垂直，即洛侖茲力的方向在變，因此不可能存在磁場，只有電場，并且應當是均勻電場，才可能出現(xiàn)拋物線軌跡（2）正確。軌跡為圓周時應受一個大小不變、方向始終與速度方向垂直的力作用，符合 洛侖茲力的特點（質子在均勻磁場中運動時有可能出現(xiàn)半圓軌跡）。（ 3）錯誤。軌跡為直線時，要么合外力為零

19、 （勻速直線 ） ，要么受力始終與速度同方向 （變 速直線），當電場力與洛侖茲力始終等大反向時， 或只有均勻電場時都有可能出現(xiàn)直線軌跡。2（4）正確。洛侖茲力大小 FL qvB，該力提供勻速圓周運動的向心力，即 mv qvB 整 R理得 R mqBv 周期T2Rv2mqB可見其半徑與速度 v成正比，而周期與速度 v 無關。 測定離子質量的質譜儀如圖所示，離子源 S產(chǎn)生質量為 m，電荷為 q的離子，離子的初速 很小，可看作是靜止的，經(jīng)電勢差 U加速后離子進入磁感強度為 B的均勻 磁場，并沿一半圓形軌道到達離入口處距離 為9的感光底片上，試證明該離子的質量為 m=B 2qx2/8U題圖無限長載流

20、（ I1= 20A）直導線旁置另一長 L1=20cm、載流 I2 = 10A 的導線ab, 如圖（a） 所 示。求 :（ 1） 導線 ab所受的作用力 ;（ 2） 若將 ab換為一剛性線框 abcd （見圖（b） , 試分析其受力情況和運動趨勢( 3) 當 I1 20sin t ，rad3s 時，再求（ 1）題圖 分析與解答 （ 1）無限長直載流導線旁任一點的磁感強度為B 0 I 1 方向：2x在 ab上距長直導線為 x處取電流元 I 2dxiv v v受力為 dF I 2dxi B 方向：向上v 則Fv dF0.3 v0.1 I 2Bdxj0I1I 2v ln 3j10 720 10 ln3

21、4.410 5（2）線框受力可看作是 4段直導線受力的總和。 ab和cd受力大小相等、方向相反，相互抵 消。ad段受力FabI 2B1L20I1I2L21.2 10 4方向：向左2 x1bc段受力FabI 2B2L20I1I 2L20.4 10 4方向：向右2 x2由于 Fad Fbc ，線框將向左（靠攏長直導線）加速運動。ur r（3）當 I1 20sin t時， F將隨t周期性變化，即 F 4.4 10 5sin tj1 3 3 載流圓線圈半徑 R = 200mm, I = 10A, 置于均勻磁場 B = 1 . 0 T 中, 如圖所示。 B 的 方向與線圈平面垂直。試求 :（1）a, b

22、, c, d各處 1cm 長電流元各受力多少（2）半圓 abc 所受的合力如何（3）線圈如何運動（4） 如果磁場方向沿 x 正方向 , 情況又如何 分析與解答 （1）電流元 Idl 在 a、b、c、d各處均與 uBr 垂直，故dF IBdl 10 1.0 0.01 0.1（ 2）半圓載流導線 abc在磁場中所受的安培力等于直徑 ac載同樣電流的受力。即uuur rFabc2IBRiuuur r（ 3）由于 Fadc 2IBRi ，則線圈處于靜止。ur uuur uuur（4）如B的方向沿x軸正方向，則 Fabc 沿紙面向里， Fadc沿紙面向外，線圈將受到力矩 作用，并繞 y軸轉動（俯視：逆時

23、針方向）。題圖 題圖 題圖兩根平行長直細導線 , 分別通有電流I 1 和I2 , 它們之間相距為 d, 如圖所示。試求: （1） 每根導線上單位長度線段受另一載流導線的作用力 ;（2） 如果 I 1 和I 2 流向相反 , 則情況如何 分析與解答 參閱主教材 P293例 7.5.5 。如圖所示, 兩根帶電平行長直導線 1和2, 相距為d, 均以速度 v 沿x方向運動, 帶的電荷線密度分別為 1 和2 。試求 :(1) 運動的載流導線 1和2形成的電流 I 1,I 2;(2) 兩根導線各自單位長度所受的電場力 Fe;(3) 兩根導線各自單位長度所受的磁場力 Fm;(4) 證明: Fm/Fe =

24、v2/ c2。 分析與解答 (1) 根據(jù)電流 I 是單位時間內(nèi)通過 S面的電荷數(shù)，則 I11v,I 2它們所2v(2) 兩導線單位長度上的電荷各自在對方處產(chǎn)生的電場強度為 EFe11E2則兩導線單位長度之間的電相互作用力為21 2 0d122 0dFe12 E1120d2 0d(斥力)3)兩導線單位長度之間的磁相互作用力為Fm1I 1B 20I 1I 22d21 2v2dFm1I 2 B121 2vd引力)4)根據(jù)( 2)，( 3)由于 c 100，即 0 0Fm2dFe122 0dFm2 v0的計算結果，得02 cFe磁力矩 試述處理載流線圈受磁場力作用的思路和方法 , 并說明 :uur u

25、r r ur( 1) 磁力矩一般表達式是 M=Pm B ISn B ;( 2) 引入線圈磁矩 pm和線圈平面法向 n的意義 ;( 3) 半徑為R、共N匝的平面圓線圈 , 通有電流為I , 其磁矩pm = NI R2nr邊長為a = 0.2m 的正方形線圈 , 共有N = 50 匝, 通以電流 I = 2A, 把它置于 的均勻磁場中 , 試問 :( 1) 線圈處于什么方位所受磁力矩最大 其值為多少 :（ 2） 處于什么方位所受磁力矩最小 其值為多少（ 3） 由磁力矩最大時的方位轉到最小時的方位 , 磁力矩做功為多少 分析與解答 線圈的磁矩 Pm INa2 4A m2uur uur ur（1）由

26、M Pm B 可知，當 sin1時有M maxPm B sinPm B 4 0.05 0.2 m 即線圈的正法線方向與 B 垂直（2）當 n/ B，即 sin0 ，此時磁力矩最小，即 M minPm B sin0（ 3）由磁力矩的功 A Im ，按題意 m10，m2 BSBa2則 A I m I m1m2 I m2 NIBa502 0.05 0.220.2J如題圖（教材 P311）所示, 半徑為R = 0.20m,載流I= 20A, 可繞Oy 軸轉動的圓形線圈置于均勻磁場中 , 磁感強度 B =T, 方向沿 x 軸正向。試求: （ 1） 線圈所受的磁場力 Fm;（ 2） 線圈的磁矩 pm;（ 3） 線圈所受的磁力矩M。 分析與解答 （1）分別在圖中的 a，b， c，d處各取電流元 Idl ，根據(jù)安培定律dF Idl B 可知，它們所受的安培力分別為題圖dFa IdlB sin 0dFb IBdl垂直紙面向