八年磨一課的思索與歷程

1、八年磨一課的思索與歷程連續(xù)八年，研究特殊三角形復(fù)習(xí) ，經(jīng)歷了四次蛻 變，每次各有側(cè)重：第一次關(guān)注問題串設(shè)計，第二次給予提 問機會，第三次指導(dǎo)如何提問，第四次關(guān)注動態(tài)生成。1. 雛形的產(chǎn)生與設(shè)計意圖1.1 背景說明2005 年年底， 因為中學(xué)高級職稱評審， 現(xiàn)場備課兩小時 等腰三角形性質(zhì)復(fù)習(xí) ，于是就有了特殊三角形復(fù)習(xí) 的前期雛形，設(shè)計問題時關(guān)注了審題，所有問題的前提都是 等腰三角形，四個問題串呈現(xiàn)如下：問題 1 已知 AABC 中， AB=AC ，你可得出什么結(jié)論？問題 2 若 AABC 是塊綠化地， AB=AC=10 ，BC=12 ，你 能求出 AABC 的面積嗎？問題3如圖1,在厶ABC中

2、，AB=AC , M為BC中點， MH丄AB于點H , ME丄AC于點E,是否有MH=ME ?請說 明理由。問題4如圖2,ABC中，AB=AC，點E在AC上，D 是BA延長線上一點，且 AD=AE , DE交BC于點F，判斷 是否有DF丄BC ?請說明理由。1.2 設(shè)計意圖問題 1 屬于結(jié)論開放題，用一個低起點問題作為引題， 讓更多的學(xué)生參與課堂，讓更多的與等腰三角形有關(guān)的知 識，如等邊對等角、三線合一等性質(zhì)或定理得到復(fù)習(xí)，為精 彩課堂鋪平道路。問題 2 看似是個簡單的問題， 卻既聯(lián)系了實際， 又再一 次復(fù)習(xí)了本課需要的重要定理。 “三線合一”和勾股定理， 構(gòu)建了一個基本模式，已知等腰三角形可

3、以嘗試結(jié)合“三線 合一”與勾股定理解決問題， 為課堂進一步深化埋下了伏筆。問題 3 體現(xiàn)一題多解。 初步設(shè)想， 學(xué)生可能出現(xiàn)五種不 同的解法：思路（1）證明 BHM CEM ;思路（2）連結(jié)AM，由“三線合一”知 AM是/ BAC 平分線，又 MH丄AB , ME丄AC,由角平線性質(zhì)定理可得 MH=ME ；思路（3） 連結(jié)AM，證明 AMH AME ;思路（4）利用等積法。因為中點，可得 ABM與厶ACM 面積相等，又 AB=AC ，故 MH=ME ；思路（ 5）利用全等三角形對應(yīng)邊上的高相等。為此，讓更多的重要知識點得以復(fù)習(xí)，營造了很好的教 學(xué)氛圍，還可以提倡方法優(yōu)選。問題 4 屬于綜合運用

4、提高題， 學(xué)生可以從單純的角度解決問題，聯(lián)合等邊對等角、三角形內(nèi)角和定理、外角性質(zhì)等 得證，可鼓勵學(xué)生設(shè)/ B= / C=x , / D= / AED=y，提倡用代 數(shù)的方法解決幾何問題。另外，如果利用“三線合一”及三 角形外角性質(zhì)亦可輕而易舉解題 (如圖 3)，很好地突出了本 節(jié)課要復(fù)習(xí)的重點知識。2. 錄像課帶來的改進2.1 背景說明2010 年初，因為要提供一節(jié)高質(zhì)量的錄像課， 筆者對等 腰三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)進行了重新打磨。筆者在錄像后反思： 課堂所有的問題都是老師給予的，就是沒有學(xué)生自己的問 題，沒有學(xué)生問題的課堂是有問題的。于是忍痛割愛，去掉 問題 4，在問題 3 后要求學(xué)生提出新問題。

5、于是就有反思后 的 3 次錄像。第一次，如圖 4，學(xué)生提出了如下問題：(1)求證： HB=CE ， CH=BE 。(2) 求證：AM丄HE。(3) 求證： AM 平分 HE。(4) 求證：/ AHE= / AEH。(5) 探究/ HME與/ BAC有怎樣的數(shù)量關(guān)系？(6) 求證：HE II BC。第二次，如圖 5，學(xué)生提出了如下問題：作 BF 丄 AC , CD 丄 AB , D、F 分別在 AB , AC 上，BF、CD 相交于點 O， BF、 MH 相交于點 K， CD、 ME 相交于點(1)求證： CD=BF 。( 2)求證：四邊形 OKMG 是平行四邊形。( 3)若 M 為底邊上動點，

6、 ME+MH 的長度是否不變？ (4)求證： CH=BE 。(5)作/ LABC的內(nèi)角平分線BQ ,作/ ACB外角平分線 CT ,求證：BK II CT。( 6)圖 5 中共有多少個全等的三角形。第三次，如圖 4，學(xué)生提出了如下問題：(1) 求證：/ HMB+ / EMC= / BAC。(2) 求證：AM丄HE。( 3)求證： ME+MH 等于腰上的高的長度。(4)求證： HEI BC。( 51 求證： ME2=AE 。 EC。( 6)若 N 為 HE 的中點， A、N、M 三點是否共線？(7) 討論/ B與/ HME的數(shù)量關(guān)系。( 8)討論是否存在 CH=BE ？( 9)求證：( AM+B

7、M ) 2+HM2= ( HM+AB ) 2。2.2 改進中的反思反思( 1)：學(xué)生提問差異探究。原來的教學(xué)設(shè)計與改進后的第 3 次錄像課同樣是程度較好學(xué)生，為何會有如此截然不同的結(jié)果。前者是因為教師沒 有給學(xué)生提問題的機會，教師要掌控課堂，所有的問題均已 運籌帷幄，這與教師的教學(xué)理念有關(guān)，而后者學(xué)生們基礎(chǔ)固 然好，更因歸功于教師給了學(xué)生提問的機會，因此學(xué)生們順 理成章地提出了五花八門、精彩紛呈的問題。而改進后的第 1、第 2 次錄像課學(xué)生學(xué)習(xí)程度基本相同，學(xué)生們的問題數(shù) 量也是完全一致，但仔細分析發(fā)現(xiàn)第 2 次課的學(xué)生提出的問 題的深廣度遠超第 1次課，深入分析后發(fā)現(xiàn)第 1 次上課的班 級，

8、教師培養(yǎng)學(xué)生提問的愿望不是很強烈，偶爾有之，因此 學(xué)生們的反應(yīng)總是怯生生的，都是在他人的基礎(chǔ)上類似變 化，不敢越雷池半步，不能提出富有創(chuàng)意的問題，局限于前 提不變是否還有新結(jié)論。由此可知，學(xué)生程度的差異與提出問題的數(shù)量與質(zhì)量之 間的關(guān)聯(lián)并不明顯，關(guān)鍵是教師有沒有給學(xué)生提問機會，有 意識地養(yǎng)成學(xué)生提問的習(xí)慣與培養(yǎng)提問能力。 反思 （2）：開放了課堂，如何把握課堂。通過多次同課異地上，同課反復(fù)上，從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生根據(jù) 問題的已知條件提出新問題，筆者面臨的新困難突出表現(xiàn)在 最后一次的學(xué)生們思維如此活躍， 問題五花八門， 精彩紛呈， 教師如何從容地駕馭課堂？在實踐中覺察：學(xué)生提一個問題 教師隨之解決一個，

9、這種方式不值得推廣。一是影響學(xué)生思 維的展開，另一方面，萬一碰到較難問題，教師的回答很可 能有所偏頗，實踐中筆者應(yīng)對的策略是：限定提問時間，羅 列所有的學(xué)生問題， 對問題進行分級歸類， 一般可分三大類： 一類是一看就會、一做就對的；第二類與本課堂關(guān)系密切、 難度適中的問題：第三類與本節(jié)課關(guān)聯(lián)不大或難度較大（包 括教師不能一時解答的問題、有缺陷的問題） 。對于第一類 點到為止；第二類可分組進行解答，共同研討、形成共識、 以期完美解決；第三類可以作為課后思考題、探究題。正因 有這種處理策略，面對隨后幾次看似紛繁復(fù)雜的課堂，均能 收放自如，得心應(yīng)手。3. 市級公開課的再改進與反思3.1 背景說明20

10、10 年秋， 筆者有了溫州名師的稱號， 上級要求為溫州 市八年級教學(xué)研討會公開教學(xué)特殊三角形復(fù)習(xí) ，于是將 等腰三角形性質(zhì)復(fù)習(xí)作適當(dāng)變化再次演繹，此時關(guān)注點 是如何引導(dǎo)學(xué)生提問。要求學(xué)生根據(jù)問題 3 提出一個新問題，在研究初期，教 師面對學(xué)生五花八門的問題應(yīng)接不暇，手足無措。其實，當(dāng) 學(xué)生提出“在 AABC 中， AB=AC ， M 為 BC 中點， MHIAB 于點日，ME丄AC于點E,證明AH=AE?！苯處熞皶r點撥： 這是一個好問題，抓住已知條件不變，猜想新結(jié)論，這是提 出新問題的一種策略。 于是學(xué)生就會得出更多新結(jié)論， 例如， 不改變?nèi)魏我阎獥l件，學(xué)生可能得出新結(jié)論：關(guān)于線段方面 有求

11、證 AH=AE , BH=EC , CH=BE ;關(guān)于角度方面有求證/HME+ / A=180 , Z A= / HMB+ / EMC , AM 平分/ HME ;關(guān)于兩線位置關(guān)系有求證 HE II BC ;關(guān)于三角形全等有證明 HBM ECM等。進一步提示“還可以怎樣提出新問題？” 學(xué)生定會水到渠成提出： 改變已知條件， 猜想新結(jié)論; 再次引導(dǎo)學(xué)生， 根據(jù)學(xué)生的新結(jié)論， 進一步探求更新的結(jié)論。 可從下列角度考慮。角度（ 1 ）：條件與其中一個結(jié)論互換， 可得四個新問題; 角度（ 2）：替代已知條件，結(jié)論是否成立，如將兩個垂 直條件，換成 AH ：AE 或 HB=CE ，結(jié)論仍舊成立;角度（

12、3）：減弱條件探求是否有新結(jié)論成立。如去掉AB=AC，則 Z HME+ Z A=180 與 HM/ME=AC/AB 成立；又如圖 6，將 M 改為 BC 上的動點， 結(jié)論 HM+ME=h （腰 上的高）還成立；角度（ 4）：增強條件，探求是否有新結(jié)論。如圖4，將AB=AC 改為AB=AC=BC，問 AHE也是正三角形嗎？又如圖 7，或探求三角形所在平面的任意點到三邊距離與高的數(shù) 量關(guān)系等。3.2 改進中的再反思反思（ 1）：鼓勵學(xué)生提問固然重要，指導(dǎo)學(xué)生提問彌足 珍貴。根據(jù)以上案例得出提問題策略：（i ）已知不變，猜想新結(jié)論；（ii ）改變條件探求新結(jié)論；改變條件還可以細分為： 條件與其中一個

13、結(jié)論互換，命題是否成立；替代已知條件， 結(jié)論是否成立；減弱條件探求是否有新結(jié)論；增強條件，是 否有更新結(jié)論。反思（ 2）：課堂問題意識日益加強，但動態(tài)生成略顯不 足。4. 名師大講堂的呈現(xiàn)與思考4.1 背景說明2012 年春，“中國名師大講壇”初中數(shù)學(xué)名師經(jīng)典課堂 教學(xué)觀摩研修活動在杭州錢塘外語學(xué)校舉行，有幸與來自清 華大學(xué)附中的特級教師、湖北省特級教師，以及來自上海、 山東杜郎口中學(xué)的全國優(yōu)秀教師同臺開課，當(dāng)天教學(xué)繼續(xù)發(fā) 揚倡導(dǎo)學(xué)生提出問題并注重提問策略的指導(dǎo)，還在教學(xué)的動 態(tài)生成方面作了嘗試。筆者把最初設(shè)計的問題 2改為： ABC中。AB=AC=10 , 求 ABC 的面積。如此設(shè)計旨在培

14、養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神，讓學(xué)生在討論中發(fā)現(xiàn)，本題缺條件， ABC不確定，無法給出具體答案。于是 順勢改為開放題： 請?zhí)砑右粋€條件再解答問題： 在 AABC 中， AB=AC=10 ， ，求 AABC 的面積。學(xué)生可能直接給出 AC 上的高為 6，教師追問高的取值 范圍。直接給出 BC 上的高可以嗎？ BC 上的高取值范圍如 何？求 BC 的取值范圍，等腰三角形的頂角、底角的取值范圍如何？充分討論后，教師分別給出(1)/ A=60 ; (2) BC上 的高為 6；(3) CB=10？； (4)有一角是 45等條件。讓學(xué) 生分組進行討論，鼓勵優(yōu)秀生盡量完成更多任務(wù)。( 1 )的意圖體現(xiàn)等腰三角形適當(dāng)增加

15、條件可變?yōu)檎?角形，提示學(xué)生關(guān)注基本圖形(運用“三線合一”與勾股定 理，體現(xiàn)通法及特殊三角形之間的轉(zhuǎn)化) ；( 2)的意圖是提示學(xué)生再度關(guān)注基本圖形，體現(xiàn)通法；( 3 )的意圖是進一步鞏固基本圖形及通法通解，鼓勵 學(xué)生根據(jù)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)可運用勾股定理的逆定理快速解題，進一 步體現(xiàn)一題多解、方法優(yōu)選等；( 4)旨在體現(xiàn)分類討論，情況一就是等腰直角三角形， 情況二需作腰上高 BD ，構(gòu)造等腰直角三角形，利用方程思 想求解。4.2 課后的再思考 簡單的改編促成精彩的動態(tài)生成。這道開放題具有很好 的教育價值，可以讓不同學(xué)生給出不同的添加條件，如腰上 的高、底邊上的高、底邊長度、頂角或底角的度數(shù)，根據(jù)學(xué) 生的水平甚至還可以研究這些添加量的取值范圍，以及給出 各種類型的具體數(shù)據(jù)，動態(tài)生成許多意想不到的問題。如