隨機(jī)過程-習(xí)題--01教程文件

1、隨機(jī)過程-習(xí)題-第4章一 01粘品文檔41設(shè)有一泊松過程(/), tQ,求：PN(fJ= R, N(2)=為用1、2的函數(shù)表不之;(2) 該過程的均值和相關(guān)函數(shù)。問該過程是否為平穩(wěn)過程？(1)解：首先，PN(t) = k,2) = k2= PN(f2) = |Ng =燈pN(t) = k根據(jù)泊松過程的獨(dú)立增量性質(zhì)可知P(/2)=他|N(G = = P巒2-G)= -=駕一屮：心宀日) 仗2 -攵1)!于是，PN(i)=N)=倫=S 伙 2 kJ!(2)解：該過程的均值為EN(/)=頭字宀=加宀 k=0*=At根據(jù)泊松過程的獨(dú)立增量過程性質(zhì)可得其相關(guān)函數(shù)為(f2 1)MM)= EN(fi)(N(

2、f2)-N(fi) + N(/】)=ENEN(t2)-Ng+ EN2)其中,EN(/2) N(/J = A(t2 一 )耳對(duì)(心)=后f+創(chuàng)于是，4心時(shí)的相關(guān)函數(shù)為EpV(/)N(/2)=幾2心(2 (J + 兄勺 了 + 加=，孕2+力收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔同理可得tt2時(shí)的相關(guān)函數(shù)為EN(t)N(t2)=兄勺 W 2 + 力 2所以，泊松過程的相關(guān)函數(shù)為EN(ti)N(t2 )=幾勺/2 + 久111111 i, P 所以，泊松過程過程不是平穩(wěn)過程。4.2設(shè)有一個(gè)最一般概念的隨機(jī)電報(bào)信號(hào)(/),它的定義如下：(1) (0)是正態(tài)分布的隨機(jī)變量N(0,/);(2) 時(shí)間

3、r內(nèi)出現(xiàn)電報(bào)脈沖的個(gè)數(shù)服從泊松分布，即Pkyr = -eAT伙=1,2,.)(3) 不同時(shí)間的電報(bào)脈沖幅度服從正態(tài)分布N(0,cr2),這個(gè)脈沖幅度延伸到下個(gè)電報(bào)脈沖出現(xiàn)時(shí)保持不變，不同電報(bào)脈沖幅度的取值是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú) 立的，同一電報(bào)脈沖內(nèi)幅度是不變的。(4) 不同時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)電報(bào)脈沖的個(gè)數(shù)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。它的樣本函數(shù)如圖4-2。t圖4-2(1)試求它的二元概率密度。收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔（2）試問該過程是否平穩(wěn)？（1）解：設(shè)h和時(shí)刻的脈沖幅度之間的關(guān)系有兩種情況：和t2處于同脈沖內(nèi)；和（2不處于同一脈沖內(nèi)。對(duì)于情況，由于不同脈沖內(nèi)的幅度取值 是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的，因此兩時(shí)

4、刻的脈沖幅度間的聯(lián)合概率密度函數(shù)為/細(xì)）（習(xí)）&2）（“2）其中，/的）（“）和/奐2）（勺）分別是為）在“和“時(shí)刻的概率密度函數(shù)。發(fā)生情況的概率就是門和2兩個(gè)時(shí)刻間的脈沖變化次數(shù)大于等于1的概率，即PW1和2處于不同脈沖內(nèi)=笫丄廣加=1-廣骯，r = r1-r2顯然，門和/2處于同一脈沖內(nèi)的概率為廣加。在這種情況下，兩時(shí)刻的脈沖幅度間 的聯(lián)合概率密度函數(shù)為&1）（）陀2-習(xí)）因此和/2時(shí)刻的脈沖幅度的聯(lián)合概率密度函數(shù)為去（心他）（，七）（2）.由此可見該過程是平穩(wěn)過程，并且可以推導(dǎo)其多維PDF也是只與各時(shí)刻間的間隔有關(guān)，因此是嚴(yán)平穩(wěn)過程。43設(shè)勺、勺為獨(dú)立同分布隨機(jī)變量，且均勻分布于（0,

5、1）上，又設(shè)有隨機(jī)過程（f）=自 sin （妙）求（1） 均值；（2） （f）的相關(guān)函數(shù)（1）解：由于勺、爲(wèi)是獨(dú)立的，因此收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔E(/)=硝 sin (歹2。=碼Esin (#)勺、雖都均勻分布于(0, 1)上，所以硝冷Esin(2f) = /sin(2/)dd2 = f于是，咖)=警(2)相關(guān)函數(shù)為瓦(6 ) )1 =可K 耳 sin (敘1) sin (釧2 )1其中和所以,Esin(#i)sin (勿 2)y；C0Sg2(l -2) - COSf2(/i +2)睛21 sin(fi -t2) sin(/ +t2)2兒+t2_Z2G +t244設(shè)f(f

6、)是實(shí)正態(tài)分布平穩(wěn)隨機(jī)過程,它的數(shù)學(xué)期望為0。如定義(/) = * 1+試證明Er/(t) = cos17t)收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔其中，a)=c&)/b c衛(wèi))代表郭)的協(xié)方差函數(shù) 於=侖(0)代表郭)的方 差。證明：由給出的a)定義式可知它有兩種可能的取值，即卩,顛)郭+廠)0(/) = Vio ,+ r) 0因?yàn)?/)是實(shí)正態(tài)平穩(wěn)隨機(jī)過程，且均值為0,所以聯(lián)合正態(tài)分布為x2 - 2rxy + y22cr2(l-r2)其中,r = C(r)/crJ = k(r)參考概率隨機(jī)變量和隨機(jī)過程(西安電子科技大學(xué)譯本)之第226至229頁可 以得P忙(/)郭+廠)0 = +纟

7、P(r + r)0= aiccos(-r)=丄 cos_1-(r)45設(shè)有隨機(jī)過程做)= zsin(/ + O), (sv/v+8)。其中，z,。是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，P0 = = , PO = -L = Lt z均勻分布于(-1, 1)之間。試證明欽。是 4242寬平穩(wěn)隨機(jī)過程，但(/)不滿足嚴(yán)平穩(wěn)的條件(不滿足一級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)的條件)。證明：由Z均勻分布于(-1, 1)之間得收集干網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除秸品文檔樂=0, EZ2 = 并且Z和8相互獨(dú)立。所以，f的均值為Ef(f)=EzEsin(f + &) = 0歹的相關(guān)函數(shù)為7tR郭1)乳2)= Ez2Esin(fi +0)sin(/2

8、 +0)11 L ,冗、z、=-X-E COS(g +2 +) + COS(2 1)3 221 17TX 171、z、 COSG1 + f2 + 3T)+ Tcos(G +t2 _37)+ COS(2 _兒) o zz zz= *COS(f_f2) o由此可見 f(/)的均值為常數(shù)，相關(guān)函數(shù)只與時(shí)間差h-h有關(guān)。因此 隨機(jī)過程 駅/)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。證明嚴(yán)平穩(wěn)可以用特征函數(shù)，(/)的一維特征函數(shù)為1ywcsm(r+)1jM2sin(/-)= -Eze 4 + Eze 4 1 rl 1 丿比 sin(/+?)1 fl 1 “化sin”sin(f _ 彳)=2 心討寸 氐sinwsin(/ +

9、)+JMSU1(/ + )收集干網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔與時(shí)間/有關(guān)（如下圖所示），因此孑（/）不是嚴(yán)平穩(wěn)。46設(shè)2為隨機(jī)變量.。為另一隨機(jī)變量，Z與&相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，0均勻分布于（0,2龍） 間；又設(shè)有隨機(jī)過程g（f） = zsiii（6?Z + 0） （-co t 0,試?yán)锰卣骱瘮?shù)證明欽/）是一嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。證明：因?yàn)樘卣骱瘮?shù)能唯一地確定概率密度函數(shù)，若能證明M（f）的R階特征函數(shù)具 有時(shí)移不變性，即冬（1，“2,，你;，4）=冬1，2,，你;耳 +“2 +，4 +）則其R維概率密度函數(shù)是時(shí)移不變的。如果對(duì)于任意R都成立，則該過程是嚴(yán)平穩(wěn) 的。該隨機(jī)過程中包含z和&兩個(gè)隨機(jī)

10、變量，且z與&相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立。因此，其特征 函數(shù)可以分兩步求解。首先，令z對(duì)&求均值，然后再對(duì)z求均值。由于。均勻分布于（0,2龍）間,即/&（） =丄，于是收集干網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除秸品文檔E&expL/f 咗（心 + 切乙=砒=expJ士 嘰 sin（網(wǎng) + 眈 + &）二 d（9/=1,=12龍令 3 + 0 = 0。貝 IJ取現(xiàn)曾鈕+詠=nr唄孕衛(wèi)s昨+沿上式中的被積函數(shù)是0的周期函數(shù)，周期為2兀。因此,k expL/刃/ + w）z = a/=!2兀Kj=Jo exp【2叱 sin（如 + p）dp/=1 一= E8exp/工詬 ）k = a/=i所以,EzE&expL/工咗

11、（心 + ）|z= EzE&expJ 工咎細(xì)）|z/=1 1=1Ecxpjii + ）= EWxpU工咗（心）/=! /=1由此可見歹的k階特征函數(shù)具有時(shí)移不變性，即歹（f）為嚴(yán)平穩(wěn)隨機(jī)過程。47設(shè)有一相位調(diào)制的正弦信號(hào)，其復(fù)數(shù)表示式為（）=/（/+%）（_oor oo）其中，Q為常數(shù) 30, 0（t）是一個(gè)二級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)過程，設(shè)7仃2（52）是過程&的二 維特征函數(shù)，即出“2 S，2）=廉知回處嚨如同時(shí)對(duì)于任何-既八1,0） = 0。試證明過程妙是寬平穩(wěn)過程，并求它的收集干網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔證明：首先，0/)的均值為&$(/) =訂創(chuàng)皿丹叫=如已丿+,0 = 妙訂1,0 =

12、0盤/)的相關(guān)函數(shù)為心(也)=呢(fl)亦5=訂 0(/L2)Ep&ai)-&()= R0(L2%/21,-1因?yàn)?是一個(gè)二級(jí)嚴(yán)平穩(wěn)過程，所以七(1，-1)只與門-/2有關(guān)。因此 心(i也只與_f2有關(guān)，且其均值為常數(shù)，所以)是寬平穩(wěn)隨機(jī)過程。48設(shè)有一時(shí)間離散的馬爾可夫過程奐7)(1】=0丄2,)。駅0)具有概率密度函數(shù)2x (OKI)fo (x)= 0 (其它)對(duì)于n = l,2,3, -,當(dāng)給定和-l) = x時(shí)做?)的條件概率密度均勻分布于(l-x,l)之 間。問做)(n = 12)是否滿足嚴(yán)平穩(wěn)的條件？解：對(duì)于任意一個(gè)馬爾可夫過程和任意加+1個(gè)取樣點(diǎn)，它們的聯(lián)合概率密度函數(shù)有 如下性

13、質(zhì)/n-1/(勺,，勺+“J = /(勺)口/(勺+/+11 Xj+i)i=0對(duì)于本題，其中的/(x/+1|xz)是不隨時(shí)刻變化的。若/(耳)也是與時(shí)刻：無關(guān)的， 則幾廠,，廠+加)在時(shí)間軸上做任意平移時(shí)是不變的，那么該過程是嚴(yán)平穩(wěn)的。因 此，只需要證明f(Xj)與時(shí)刻丿無關(guān)。首先，筑1)的概率密度函數(shù)為fi(y) = L，/1|O(y I x)fo=仁 + 2xdx = 2y , (0 y 0是泊松過程，4是對(duì)稱貝努利型隨機(jī)變量，即 PA = 1 = PA = -1 = 1 4和(f)是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。試畫出其樣本函數(shù)，樣 本函數(shù)是否連續(xù)？求(/)的相關(guān)函數(shù)倫心)，問是否均方連續(xù)？ 解:設(shè)g

14、 t2時(shí)的相關(guān)函數(shù)為Rg （兒2）= COS 初 1 COS 初 2*2L2）因此，相關(guān)函數(shù)為心（昇2）= cos 勁 1 coscot2e4.11設(shè)有實(shí)寬平穩(wěn)隨機(jī)過程(/),其相關(guān)函數(shù)為他9)。試證： P| 郭 + 巧一郭)|羅 0,試證：(1) 有郭+門=郭)依概率相等;(2) RJf + T)=Rg,即相關(guān)函數(shù)具有周期性，周期為幾(具有周期性相關(guān)函數(shù)的平穩(wěn)隨機(jī)過程稱為周期性隨機(jī)過程)(1) 證明：要證依概率1相等，只需證E|郭+門-做)=0即可。由于郭)是平穩(wěn) 隨機(jī)過程，所以E 收f + 巧-做)|2 = Rg (0) - R (T) - Rg (-巧 + Rg (0)由相關(guān)函數(shù)的對(duì)稱性

15、可得E耿 + T) - 做)門=2倫(0) - 2倫(T) = 0所以，郭+巧=奐)依概率1相等；(2) 證明：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義Rg (t + T) = Et + T)g (0),住(t) = E憶g (0)由郭+ T) = f(C依概率1相等M + 7X(0) = E郭疋(0)于是,R 典f + T) = 0 此外，也可以用另一種方法證明：首先E頃 + T)-做)忙(0) E(t + T) 做)|2 淞2(0)由中結(jié)論可知收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔E| 做+ C-做）|2 = 0所以，E郭+巧-郭）歐0） = 0因此RJf + T） = R?。?.14設(shè)有隨機(jī)過程n=工銀

16、 coscokt + Bk Sinek=L其中，歐伙=1,2,）是給定的實(shí)數(shù) 仏Bk伙=1,2,）是實(shí)隨機(jī)變量, EAk = O.EBk = O ,各 Bk間彼此相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，DAk = DBk = 伙=1,2,，“）。求它的相關(guān)函數(shù)冬山心）。解：根據(jù)相關(guān)函數(shù)的定義得 nn心Ui2）= E 工4/ cos + Bj sin/工街 coscojt2 + Bj sniy72j=ij=i因?yàn)槿缗c從間相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，并且EAk = O,EBk = O o所以，EAiBJ = EAiEBj = O Ifm-AJ = 0 , EBj = 0于是Rg (i f2) = 住朋cOS畋/ cos畋t2 + EBl

17、 sin 畋 tY sui cok/2 k=ln=工仍（：0$歐山-/2）R=1n=COSQMk=L收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文檔由此可見，該過程是寬平穩(wěn)過程。4.15設(shè)有平穩(wěn)隨機(jī)過程),(/),且郭)，是相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的；又設(shè)有隨機(jī)過程 如、0(/),2(0 =郭)+ 7(0如)=2頃)+ 7(0求食(0、心(。、心,()、Rwz(r)解：由于纟(f)和(/)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，所以可以設(shè)興)、“(f)的均值分別為和 “，相關(guān)函數(shù)分別為心和rQ。于是R： C) = Ez(t)z(t + r)=司(頃)+ 巧 + W +)=昭郭+c+ 丘fa+c+砲+)+c因?yàn)楣?和相互統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，所以

18、R： (C =住(巧 + 弘(C + 2“屮同理可得心 C)= E銬做 + 巧+ 疋2(/)做 + r)+ E2g(f)“(f + t)+ (/) (/ + T)=4倫()+ /?(巧 + 4“”袋的)=2郭)郭 + r)+ E2(f)郭 + r) + r) + r)=2倫(r) +/?() +3 他“Ry O)=日2郭)做 + r)+ r) + 2郭)(/ + r) + E【(/)(f + r)=2倫(巧+心(巧+ 3旳4.16設(shè)(/),(/),飢。為實(shí)隨機(jī)過程，飢/)=奐)。，郭)為相互統(tǒng)計(jì)獨(dú) 立的隨機(jī)過程，則(1) Rr(T) = R!.(T)Rrl(T)(2) 若 P(t)=做)2(0=77(0-/, Rp(T)= e, RQ(r) = e-收集干網(wǎng)絡(luò).如有便權(quán)請(qǐng)聯(lián)系管理員刪除粘品文