正、余弦定理的綜合應(yīng)用

1、正、余弦定理的綜合應(yīng)用2.1.5 正、余弦定理的綜合應(yīng)用知識梳理1. 正弦定理：，其中為外接圓的半徑。 利用正弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題 .（1）已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角；（2）已知兩邊和其中一邊的對角， 求另一邊的對角 .（從而進一步求出 其他的邊和角）2. 余弦定理：（1）余弦定理：在余弦定理中，令 C=90，這時 cosC=0，所以 c2=a2+b2.（2）余弦定理的推論：利用余弦定理，可以解決以下兩類有關(guān)三角形的問題： （1）已知三邊，求三個角； （2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角 .3. 三角形面積公式： =4. 三角形的性質(zhì)： .A+B+C=,

2、 .在中,c,B ,ABcosAbAB .若為銳角，則 ,B+C,A+C ;，5. （1）若給出那么解的個數(shù)為： （A為銳角 ），幾何作圖時，存在多種情況如 已知 a、b 及 A，求作三角形時，要分類討論，確定解的個數(shù) 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有如下的情況：（1）A 為銳角一解兩解一解若，則無解；（2）當(dāng) A90若 ab,則一解若 ab，則無解典例剖析題型一三角形多解情況的判斷例 1.根據(jù)下列條件，判斷有沒有解？若有解，判斷解的個數(shù)（1），求；（2），求；（3），求；（4），求；（5），求解：（1），只能是銳角，因此僅有一解（2），只能是銳角，因此僅有一解（3）由于為銳角，而，即，因

3、此僅有一解（4）由于為銳角，而，即，因此有兩解，易解得（5）由于為銳角，又，即，無解 評析：對于已知兩邊和其中一邊的對角，解三角形問題，容易出錯， 一定要注意一解、兩解還是無解。這時應(yīng)結(jié)合 “三角形中大邊對大角定 理及幾何作圖來幫助理解 ”。題型二正、余弦定理在函數(shù)中的應(yīng)用例 2在ABC中，AB5，AC3，D為 BC中點，且 AD4，求 BC邊 長.分析：此題所給題設(shè)條件只有邊長，應(yīng)考慮在假設(shè) BC為 x 后，建立關(guān) 于 x 的方程 .而正弦定理涉及到兩個角，故不可用 .此時應(yīng)注意余弦定理 在建立方程時所發(fā)揮的作用 .因為 D為BC中點，所以 BD、DC可表示為 x2，然后利用互補角的余弦互為

4、相反數(shù)這一性質(zhì)建立方程 . 解：設(shè) BC邊為 x，則由 D 為 BC中點，可得 BDDCx2， 在ADB中，cosADBAD2BD2AB22AD?BD42（x2）25224x2 在ADC中，cosADCAD2DC2AC22AD?DC42（x2）23224x2 又 ADB ADC180cosADB cos（180 ADC） cosADC.42（x2）25224x242（ x2）23224x2 解得， x2所以， BC邊長為 2.評述：此題要啟發(fā)學(xué)生注意余弦定理建立方程的功能，體會互補角的 余弦值互為相反數(shù)這一性質(zhì)的應(yīng)用，并注意總結(jié)這一性質(zhì)的適用題型 備選題正、余弦定理的綜合應(yīng)用例 3 在ABC中

5、，已知，求 ABC的面積 .解法 1：設(shè) AB、 BC、CA的長分別為 c、a、b，故所求面積解法 3：同解法 1 可得 c=8.又由余弦定理可得故所求面積 評析：本小題主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面積公式等基礎(chǔ) 知識，同時考查利用三角公式進行恒等變形的技能和運算能力 . 點擊雙基一. 選擇題：1. 在中，則 A 為（）解：答案：A2. 在（） 解：由題意及正弦定理可得答案：B3. 以 4、5、6 為邊長的三角形一定是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.銳角或鈍角三角形 解：長為 6 的邊所對角最大，設(shè)它為 則 答案 A4. 在中，化簡 解：利用余弦定理，得原式 答案：

6、a5. 在中，則， 解： 又答案：課外作業(yè)一、選擇1. 在中，則 A 等于（） 解：由余弦定理及已知可得 答案：C2. 在 ABC中，已知 b=40,c=20,C=60則, 此三角形的解的情況是（） A.有一解 B.有兩解 C.無解 D.有解但解的個數(shù)不確定解： bsinC=20c無, 解 答案：C3. 在中，則三角形為（）A.直角三角形 B.銳角三角形C.等腰三角形 D.等邊三角形 解：由余弦定理可將原等式化為 答案 C4. 在中，則是（）A.銳角三角形 B.直角三角形C.鈍角三角形 D.正三角形 解：原不等式可變形為 答案：C5 在 ABC中，若，則其面積等于（）ABCD解：答案：D6 在

7、 ABC中，角均為銳角，且 則ABC的形狀是（）A 直角三角形 B 銳角三角形 C鈍角三角形 D 等腰三角形 解：都是銳角，則答案：C7. 在ABC中，cos=,則ABC的形狀是()A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角 形解：原式可化為 =， cosA+1=cosA= 由余弦定理，得， aABC為直角三角形 答案：B8. 在 ABC中， A=，BC=3，則 ABC的周長為()A.4B.4C.6D.6解：，=2=2,b+c=2(sinB+sin()=2()=6a+b+c=6答案：D二. 填空題：9. 在中，已知，則 解：由正弦定理得 設(shè) 1 份為 k，則 再

8、由余弦定理得 答案：10. 在中， A、B 均為銳角，且，則是 解：由得A、B 均為銳角，而在上是增函數(shù) 即答案：鈍角三角形11. 三角形的兩邊分別為 5 和 3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角 形的另一邊長為解：由題意得或 2(舍去)答案：2三. 解答題：12.根據(jù)下列條件，判斷是否有解？有解的做出解答 a=7,b=8,A=105 a=10,b=20,A=80 b=10,c=5,C=60 a=2,b=6,A=30 解： a=7,b=8,a90 本題無解 a=10,b=20,absinA=20sin8020sin60=10a本題無解 b=10,c=5,bsinB=B=45,A=180-(B+C)=75a=5() a=2,b=6,a 又 bsinA=6sin30=3,absinA本題有兩解 由正弦定理得 sinB=B=60 或 120當(dāng) B=60時， C=90,c=4當(dāng) B=120時， C=30