橢圓與雙曲線性質(zhì)有關(guān)性質(zhì)推論歸納共92條

1、2a2 y22 1 b2 1|PF1 |A1）.2y2 1（abo）的兩個(gè)頂點(diǎn)為 A1（ a,0） , A2 （ a,0） ，與 y 軸平行的直線交橢 b圓于 P1、P2時(shí) A1P1與 A2P2交點(diǎn)的軌跡方程是2x2a2by22 1.x2 10若 P0(x0, y0) 在橢圓 2a2 x 11若 P0(x0,y0) 在橢圓 2 a y0y b22 y b2x0xP1P2的直線方程是 2a212 AB是橢圓2x2akOM kABb22.a13P0(x0,y0)在橢1.x0x2ay0yb22x0 y02 ab214若 P0(x0, y0) 在橢圓2x2a15若 PQ 是 橢 圓12 r112r21

2、6若橢圓1b22x2a(r12 y b22 y b22 y b2x0x1上，則過(guò) P0 的橢圓的切線方程是2a1外 ，則過(guò) Po 作橢圓的兩條切線切點(diǎn)為的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為2x圓2a2x2a| OP |, r2y0 y 1.b21.P1、P2，則切點(diǎn)弦AB 的中 點(diǎn) ，則2y2 1 ， 則 被 Po 所 平 分 的 中 b2 y b22y2 1 ( a b 0 ) 上 對(duì) 中 b21，則過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是|OQ|) .1（ a b 0）上中心直角的弦 L 所在直線方程為點(diǎn)弦的方程是2x2a2 y b2直角AxByx0x y0 y a2b2的弦，則1 (AB 0) ,橢

3、圓與雙曲線的對(duì)偶性質(zhì) 92 條橢圓1|PF1| |PF2 |22標(biāo)準(zhǔn)方程：x2 a3ed14點(diǎn) P 處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的外角 .5PT平分 PF1F2在點(diǎn) P 處的外角，則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的 圓，除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .6以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相離 .7以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以長(zhǎng)軸為直徑的圓切.8設(shè) A1、 A2為橢圓的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2在邊 PF2（或 PF1）上的旁切圓，必與 A1A2所在的 直線切于 A2（或29橢圓 x2a2.下載可編輯11 則(1) a12 b12A2 B2;(2) L 2 a4A

4、2 b4B2a2 A2 b2B217給定橢圓2 2 2 2 2 2 2 2 C1：b x a y a b ( ab 0), C2 ：b x22a2y2 (a2 b2 ab)2, 則(i)ab必 須 經(jīng) 過(guò) C2 上 一 定 點(diǎn)對(duì) C1 上 任 意 a2 b2M( 2 2 x0, 2 a b a b(ii) 對(duì)C 2上任一點(diǎn) P0(x0,y0)在 C1上存在唯一的點(diǎn) M ,使得 M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P0點(diǎn). x2 y218設(shè)P0 ( x0, y0 )為橢圓(或圓) C: 2 2 1 (a 0,. b0)上一點(diǎn)， P1P2為曲線 C的動(dòng)弦 , abk1, k 2, 則直線 P1P2通過(guò)定點(diǎn) M

5、 (mx0, my0) (m 1) 的充要條件給 定 的 點(diǎn) P0 (x0, y0) , 它 的 任 一 直 角 弦 22a2 b2 .2 2 y0 ). a且弦 P0P1, P 0 P2斜率存在，記為1 m b2 .2.1 m a2219過(guò)橢圓 x2 y2 1 (aa2 b2是 k1 k20, b 0)上任一點(diǎn) A( x0 , y0 )任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交橢圓于 B,C 兩點(diǎn)，則直線 BC有定向且 kBC b2x0 (常數(shù)) . a2 y020橢圓F1PF222xy2 2 1 (a b 0)的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn) P 為橢圓上任意一點(diǎn)ab，則橢圓的焦點(diǎn)角形的面積為F1PF22

6、 2 2 2 bb tan ， P( c b tan , tan ) .2 c 22c22 xy2 2 1( a b 0)上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F1, F2是焦點(diǎn) , PF1F2 aba c .tan cot .a c 2 22 y2 1(a b 0)的焦半徑公式： b2| MF1 | a ex0 , |MF2 | a ex0( F1( c,0) , F2(c,0) M (x0,y0).x2 y2若橢圓 x2 y2 1(ab 0)的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、 F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng)a2 b22 1時(shí)，可在橢圓上求一點(diǎn) P，使得 PF1是 P到對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線距離 d 與 PF2的比例中項(xiàng) .22x

7、y2 2 1(ab0)上任一點(diǎn) ,F 1,F 2 為二焦點(diǎn)， A 為橢圓一定點(diǎn)，則 ab|PF1| 2a | AF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A,F2,P 三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立 .2y2 1 (ab0)上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l ： y k(x x0) 對(duì)稱(chēng)的充要條件是 b21若 P為橢圓PF2F1，則222橢圓 x2a2230 b 0）上一點(diǎn)，則點(diǎn) P 對(duì)橢圓兩焦點(diǎn)直角的充要條件是bsin12sin29設(shè) A,B 為橢圓2x2a2y2 k（k 0,k 1）上兩點(diǎn)，其直線 AB 與橢圓 b2x2a2y2 1 相交于bP,Q,則 AP BQ.2x 30在橢圓 2a22 y b2其中 tan22 bx22 a

8、y,當(dāng)31設(shè)S 為橢圓2x2a記|AB|= l ，當(dāng)l21中，定長(zhǎng)為 2m（ob0）的通徑，定長(zhǎng)線段 bL 的兩端點(diǎn) A,B 在橢圓上移動(dòng)，M (x0, y0) 是AB 中點(diǎn)，則當(dāng) lS 時(shí)，有 （x0）maxac 2le (c2c 2ea2 b2, ec);aS 時(shí)，有 (x0)max2ab 4b2 l 2, (x0)min 0.x232橢圓 2a2(x a33橢圓2 2 2 2A2a2 B2b234設(shè)橢圓2 y b222 x0) (y y0) b2 C)2.1與直線 Ax22By C 0 有公共點(diǎn)的充要條件是 A2a222B2b2C2.1與 直線 AxBy C0 有公共 點(diǎn)的充要條件是(A

9、x02x2aBy02 y b2a b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2,P異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為橢圓上任意一點(diǎn)，在 PF1F2 中，F(xiàn)1PF2PF1F2F1F2P，則有 sin c e.sin sin a35經(jīng)過(guò)橢圓 b2x2 點(diǎn)的切線相交于 P1 和 P2， x236已知橢圓 2a212|OQ |2（ 1） 1 2|OP |2a2b2 .a2 b2 37MN是經(jīng)過(guò)橢圓O 且平行于 MN的弦，則.下載可編輯a2y2 a2b2(ab0)的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn) 則 | PA1 | |PA2 | b2.y2A1 和 A2的切線，與橢圓上任b212ab2x21（ab0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為橢圓上兩動(dòng)點(diǎn)， 且 OP

10、OQ.1b12 ;(2)|OP|a2y2 a2b2| AB|2 2a|MN |.2+|OQ|2的最大值為 42a b 2 ;（3）S OPQ的最小值是 a2 b2ab 0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦，若 AB是經(jīng)過(guò)橢圓中心38 MN是經(jīng)過(guò)橢圓 bOP MN ，則 2 a|MN |22 39設(shè)橢圓 x2 y2 a2 b22 2 2x a y1|OP |222a12a1（ab0）b2（ab0）焦點(diǎn)的任一弦，若過(guò)橢圓中心O 的半弦1 b2 .,M（m,o） 或（o, m） 為其對(duì)稱(chēng)軸上除中心，頂點(diǎn)外的任點(diǎn)，過(guò) M引一條直線與橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，則直線 A1P、A2Q（A1 ,A2為對(duì)稱(chēng)軸上的兩頂點(diǎn) ） 的交

11、點(diǎn) a2b2N在直線 l： x a （或 y b ）上. mm 40設(shè)過(guò)橢圓焦點(diǎn) F 作直線與橢圓相交 P 、AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的橢圓準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)， 41過(guò)橢圓一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線與橢圓交于兩點(diǎn) 交于點(diǎn) M，A2P和 A1Q交于點(diǎn) N，則 MFNF.2 42設(shè)橢圓方程 x2 a2Q 兩點(diǎn)， A 為橢圓長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié) AP 和 則 MF NF.P、Q, A 1、 A2為橢圓長(zhǎng)軸上的頂點(diǎn)，A1P 和 A2Q2y2 1,則斜率為 k（k 0）的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l： b b2 2.a2 x直線 y kx上, 而且 kk43設(shè) A、B、C、D 為橢圓 2a2AB與 CD相交于

12、P,且 P 不在橢圓上 ,則2y2 1上四點(diǎn) ,AB、 CD所在直線的傾斜角分別為 b2|PA| |PB| b2 cos2|PC | |PD | b2 cos222a sin22 a sinkx 的共軛，直線（）2x244已知橢圓 x2a2角平分線為 l ，作2 2 2 2y a （ b y2y2 1（ab0）,點(diǎn) P為其上一點(diǎn) F1, b2F1、F2為橢圓的焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2 的外F2分別垂直 l 于 R、S，當(dāng) P 跑遍整個(gè)橢圓時(shí)， R、S 形成的軌跡方程是2 2 2（a ce）（x c）2 （x2 y2，且 AB為 的直徑，AC、45設(shè) ABC接于橢圓D為l 上一點(diǎn)，則 CD與橢圓 2y2

13、 1（ ab0）的右焦點(diǎn) b2BC于 E 和 F，又2 46過(guò)橢圓 x2a222cx） ce（x c） ）.l為 AB的共軛直徑所在的直線， l 分別交直線 相切的充要條件是 D為 EF的中點(diǎn) .F 作直線交該橢圓右支于 M,N 兩點(diǎn)，弦 MN的垂直平分線交 x 軸于 P，則 |PF |MN | 2x2 a47設(shè) A（x1 ,y 1）是橢圓e2.2y2 1（ ab 0）上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為 b線 L，又設(shè) d 是原點(diǎn)到直線 L2 y b2 則2 y b22 x 48已知橢圓 2 a2 交于 A、 B、C、D四點(diǎn)， x2 49已知橢圓 2 a2的距離 , r1,r2 分別是2x 和2 a

14、1（ a b0）AB=|CD.1（ a b0）,A 、x 軸相交于點(diǎn)P( x0,0) ,a2 b2x050設(shè)P 點(diǎn)是橢圓2x2a.下載可編輯A 到橢圓兩焦點(diǎn)的距離，則r1r2d2 by2（ 0bb2x12 1 的直a2y1ab.1 ），一直線順次與它們相B、是橢圓上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線與a2 b2b0）上異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn),F1、F2 為其焦點(diǎn)記2b2，則（1） | PF1 |PF2 |2b .（2） S PF1F2 b1 cos 1 2 51設(shè)過(guò)橢圓的長(zhǎng)軸上一點(diǎn) B（ m,o）作直線與橢圓相交于 點(diǎn) ， 連 結(jié) AP 和 AQ 分 別 交 相 應(yīng) 于 過(guò) B 點(diǎn) 的 直 線 am

15、MBN 90am252L 是經(jīng)過(guò)橢圓 x2a2 個(gè)焦點(diǎn)， e 是離心率 , 點(diǎn) PF1PF2tan .2P、 Q兩點(diǎn)， A為橢圓長(zhǎng)軸的左頂MN： x n 于 M， N 兩 點(diǎn) , 則a2b2(n2y b2 L，a)21（ a b 0）長(zhǎng)軸頂點(diǎn) A且與長(zhǎng)軸垂直的直線， E、F 是橢圓兩若 EPF，則 是銳角且 sine 或arc sin e(當(dāng)且ab 時(shí)取等 c號(hào)） .2 是橢圓 x2 a2y22 1（ a b0）的準(zhǔn)線， A、 bB 是橢圓的長(zhǎng)軸兩頂點(diǎn),點(diǎn)PL ， e 是EPF ，H是 L與X軸的交點(diǎn) c 是半焦距，則 是銳角且 sine或arc sin e|PH | ab時(shí)取等號(hào)） .僅當(dāng)

16、|PH |53L離心率，當(dāng)且僅當(dāng)c2254L是橢圓 x2 y2 1（ ab0）a2 b2P L ， EPF , 離心率為 e ，僅當(dāng) |PH | b a2 c2 時(shí)取等號(hào)）cx255已知橢圓 2a2by2 1( a將 A、 B 與橢圓左焦點(diǎn)F1連結(jié)起來(lái)，邊不等式取等號(hào)，當(dāng)且僅當(dāng)2 x2 a56設(shè) A、B 是橢圓PBABPA的準(zhǔn)線，E、F 是兩個(gè)焦點(diǎn)， H 是L與 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)tan tan21 e2.(3)57xA 、 PBA58半焦距為 c，則 為銳角且 sin e2 或arc sin e2 (當(dāng)且b 0），直線 L通過(guò)其右焦點(diǎn) F2, 且與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，2 2 2（2a 2b

17、） （當(dāng)且僅當(dāng) AB x 軸時(shí)右 aB 三點(diǎn)共線時(shí)左邊不等式取等號(hào)） .則 b2 |F1A| |F1B|A、F1、2y2 1（ a b 0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)， P 是橢圓上的一點(diǎn)， PAB b2 2ab |cos | ，c、 e分別是橢圓的半焦距離心率，則有（1） |PA| 2 2 2 .（2）a c cosPAB2a2b2b2 a2 cot2x2a xB 的橫坐標(biāo) xA xBQBA ；（ 2）若過(guò)2 設(shè) A、B 是橢圓 x2a2設(shè) A、B 是橢圓2 y b21（ a b0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓 （異于原點(diǎn)） 、外部的兩點(diǎn)，2a2 ，（ 1 ）若過(guò) A 點(diǎn)引直線與這橢圓相交于P、Q 兩點(diǎn)，則B 引直

18、線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，則 PBA QBA 180 .2y2 1（ a b 0）長(zhǎng)軸上分別位于橢圓 （異于原點(diǎn)） ，外部的兩點(diǎn)， b2（1）若過(guò) A點(diǎn)引直線與這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，（若 B P 交橢圓于兩點(diǎn)，則 P、Q不關(guān)于 x軸對(duì) 2稱(chēng)），且 PBA QBA ，則點(diǎn) A、B的橫坐標(biāo) xA 、 xB 滿足 xA xB a2 ；（ 2）若過(guò) B點(diǎn)引直線與2 這橢圓相交于 P、Q兩點(diǎn)，且 PBA QBA 180 , 則點(diǎn) A、B的橫坐標(biāo)滿足 xA xB a2.下載可編輯259設(shè) A,A 是橢圓 x2aAQ 的交點(diǎn) P的軌跡是雙曲線2 y b22x2 a1的長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn)， QQ 是與 A

19、A 垂直的弦，則直線 AQ 與2 b2 1.608ab2a2 b2x2 y2過(guò)橢 圓 2 2 1( a b 0) 的 左 焦 點(diǎn) F 作 互 相 垂 直 的 兩 條 弦 AB、 CD 則 a2 b222|CD | 2(a b ) .| AB|61到橢圓的軌跡是姊妹圓62到橢圓2x2a(x2x2a2 y b2 a)22 y b2ac1（ a b 0）兩焦點(diǎn)的距離之比等于b22y b .1（ a b0）的長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的距離之比等于為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) Mc 為半焦距）的動(dòng)點(diǎn) M的軌跡是姊妹圓 （xa)2 y2 (b)2 . ee2263到橢圓 x2y2ab1（ a b 0）的兩準(zhǔn)線和 x 軸的交點(diǎn)的距離

20、之比為a c （c 為半焦 b距）的動(dòng)點(diǎn)的軌跡是姊妹圓a2(x ea2 )2y2 (eb2 )2ee 為離心率） .64已知 P 是橢圓22x2 y2 122 aba b0）上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)， A,A 是它長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn),且22 b2 y4 2 1.4a2 xAQ AP , AQ AP ，則 Q點(diǎn)的軌跡方程是 2 a 65橢圓的一條直徑 （ 過(guò)中心的弦 ） 的長(zhǎng)，為通過(guò)一個(gè)焦點(diǎn)且與此直徑平行的弦長(zhǎng)和長(zhǎng)軸之長(zhǎng) 的比例中項(xiàng) .22x y 66設(shè)橢圓 2 2 1（ ab0）長(zhǎng)軸的端點(diǎn)為 A,A , P（x1, y1） 是橢圓上的點(diǎn)過(guò) P ab作斜b2x 率為1 的直線 l ，過(guò) A,A 分別作垂直于長(zhǎng)軸的

21、直線交 l 于 M,M , 則2a y11） |AM |AM | b2. （2）四邊形 MAAM 面積的最小值是 2ab.2y2 1（ a b 0）的右準(zhǔn)線 l 與 x 軸相交于點(diǎn) E ，過(guò)橢圓右焦點(diǎn) F b2線與橢圓相交于 A、B兩點(diǎn), 點(diǎn) C 在右準(zhǔn)線 l 上，且 BC x軸，則直線 AC經(jīng)過(guò)線段 EF 的中點(diǎn) . 68OA、OB是橢圓 （x 2a）ya22 x 67已知橢圓 2a2的直2 1（ a 0,b 0）的兩條互相垂直的弦， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)， b2 2ab2則（ 1）直線 AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn) （ 22ab 2 ,0） .（2） 以 O A、O B 為直徑的兩圓的另一個(gè)交點(diǎn) Q的 a

22、2 b2軌跡方程是 （x 2ab 2 ）2 y2 （ 2ab 2）2 （x 0）.a b a b69 P（m,n） 是橢圓 （x a）2by2 1（ab0）上一個(gè)定點(diǎn)， P A、P B 是互相垂直的弦，.下載可編輯則（ 1）直線 AB必經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)(2ab2 m(a2b2) b2n(b2 a2 ). (2)以 P A、P B為直徑的兩 a2 b2圓的另一個(gè)交點(diǎn) Q的軌跡方程是ab2 a2m 2b2n（x 2 2 ） （y 2 2 a b a b70如果一個(gè)橢圓短半軸長(zhǎng)為 b，焦點(diǎn) F1、F2到直線 L 的距離分別為 d1、d2，那么（1）d1d2 b2， 直線 L和橢圓相切 .（2）d1d2

23、b2，且 F1、F2在 L同側(cè) 直線L 和 2b2，或 F1、F2在 L 異側(cè)直線 L和橢圓相交 .2 y22 1 b2 1的切線交于 C、 D兩點(diǎn)，則梯形且 F1、F 2 在 L 同側(cè)橢圓相離，（ 3） d1d2x271 AB是橢圓 2a272設(shè)點(diǎn) P（x0,y0）為橢圓)2a2b422n (a2 2 2 (a2 b2)2b ) ( x m且 y n).ab 0）的長(zhǎng)軸， N 是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)N 的切線與過(guò) A、 B2ABDC的對(duì)角線的交點(diǎn) M的軌跡方程是 x2 2x2 a當(dāng)2 y022 4a2y2 1（y 0） .22 xy ab0）的部一定點(diǎn)， AB 是橢圓 2 2 1過(guò) ab 平行（

24、或重合）于橢圓長(zhǎng)軸所在直線時(shí)2 y22 1 b2 1 弦 AB22b2x02)定 點(diǎn) P(x0,y0) 的 任 一 弦 ，a2b2 (a2b2a2b2 (a2y02 b2x02 )(|PA| | PB |)max. 當(dāng) 弦 AB 垂 直 于 長(zhǎng) 軸 所 在 直 線 時(shí) ,(|PA| | PB |)min7374757677b2 橢圓焦三角形中 , 以焦半徑為直徑的圓必與以橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓相切 橢圓焦三角形的旁切圓必切長(zhǎng)軸于非焦頂點(diǎn)同側(cè)的長(zhǎng)軸端點(diǎn) . 橢圓兩焦點(diǎn)到橢圓焦三角形旁切圓的切線長(zhǎng)為定值a+c 與 a-c.橢圓焦三角形的非焦頂點(diǎn)到其切圓的切線長(zhǎng)為定值a-c.橢圓焦三角形中 , 點(diǎn)到一焦

25、點(diǎn)的距離與以該焦點(diǎn)為端點(diǎn)的焦半徑之比為常數(shù)e（ 離心率 ）.注: 在橢圓焦三角形中 , 非焦頂點(diǎn)的、外角平分線與長(zhǎng)軸交點(diǎn)分別稱(chēng)為、外點(diǎn) .78橢圓焦三角形中79橢圓焦三角形中 80橢圓焦三角形中 點(diǎn)的距離成比例 .81橢圓焦三角形中 焦點(diǎn)連線段成比例 .82橢圓焦三角形中 與另一焦半徑所在直線平行83橢圓焦三角形中 為橢圓長(zhǎng)半軸的長(zhǎng) .84橢圓焦三角形中, 心將點(diǎn)與非焦頂點(diǎn)連線段分成定比e., 半焦距必為、外點(diǎn)到橢圓中心的比例中項(xiàng) ., 橢圓中心到點(diǎn)的距離、點(diǎn)到同側(cè)焦點(diǎn)的距離、半焦距及外點(diǎn)到同側(cè)焦, 半焦距、外點(diǎn)與橢圓中心連線段、點(diǎn)與同側(cè)焦點(diǎn)連線段、外點(diǎn)與同側(cè), 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分

26、線引垂線, 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 過(guò)任一焦點(diǎn)向非焦頂點(diǎn)的外角平分線引垂線, 則橢圓中心與垂足連線必, 則橢圓中心與垂足的距離, 垂足就是垂足同側(cè)焦半徑為直徑的圓和橢圓長(zhǎng)軸為直徑的圓的切點(diǎn) ., 非焦頂點(diǎn)的外角平分線與焦半徑、長(zhǎng)軸所在直線的夾角的余弦的比為85 定值 e.868788橢圓焦三角形中橢圓焦三角形中橢圓焦三角形中 橢圓焦三角形中 的圓必過(guò)兩焦點(diǎn) ., 非焦頂點(diǎn)的法線即為該頂角的角平分線., 非焦頂點(diǎn)的切線即為該頂角的外角平分線 ., 過(guò)非焦頂點(diǎn)的切線與橢圓長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)處的切線相交, 則以?xún)山稽c(diǎn)為直徑89. 已知橢圓2x2ay2 1（a 0,b 0） （包括圓在 ）上

27、有一點(diǎn) P,過(guò)點(diǎn) P分別作直線 y b xba.下載可編輯及 y b x的平行線，與直線 OP分別交于 R,Q , O為原點(diǎn)，則： a2（1） |OM |222|ON |2 a2 ；(2)90. 過(guò)平面上的P 點(diǎn)作直線 l1 : y2 2 2 |OQ |2 |OR|2 b2.b x及 l2 :yb x 的平行線，分別交 x 軸于 M ,N ，交 ya軸于 R,Q . （ 1）若22|OM |2 |ON |2a2 ，則P 的軌跡方程是2x2a2y2 1(a 0,b 0) .(2) 若 b|OQ|2 |OR|2 b2，則 P 的軌跡方程是2x2a2y2 1(a 0,b b20).291. 點(diǎn) P

28、為橢圓 x2a22 y b21(a0,b 0） （包括圓在 ）在第一象限的弧上任意一點(diǎn)， 過(guò) P 引 x軸、 y 軸的平行線，交 y 軸、x 軸于M ,N ，交直線 y b x于 Q,R ，記 OMQ 與 ONR的 a面積為 S1, S2 ，則： S1 S2ab292. 點(diǎn) P 為第一象限一點(diǎn)，過(guò) yb x于 Q,R ，記a2y2 1(a 0,bbOMQ 與P 引 x 軸、 y 軸的平行線，交 y 軸、 x軸于 M,N ，交直線 abONR的面積為 S1, S2 ，已知 S1 S2，則 P 的軌跡方程22是 ax2a0).雙曲線12|PF1 | |PF2 |2x2a標(biāo)準(zhǔn)方程：2a2 y2 1

29、b2 13|PF1 |d1 點(diǎn) P處的切線 PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的角 . PT平分 PF1F2在點(diǎn) P處的角， 則焦點(diǎn)在直線 PT上的射影 H點(diǎn)的軌跡是以長(zhǎng)軸為直徑的圓，45 除去長(zhǎng)軸的兩個(gè)端點(diǎn) .6以焦點(diǎn)弦 PQ為直徑的圓必與對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線相交 .7以焦點(diǎn)半徑 PF1 為直徑的圓必與以實(shí)軸為直徑的圓外切 8設(shè) A1、 A2為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，則 PF1F2 在邊 PF2 的直線切于 A2（或 A1） .y22 1（ a0,b 0）的兩個(gè)頂點(diǎn)為b2或 PF1）上的旁切圓，必與 A1A2 所在2x9雙曲線 2a2A1(a,0） , A2 （a,0） ，與 y 軸平行的直線交雙曲線于P1、P

30、2 時(shí) A1P1與 A2P2 交點(diǎn)的軌跡方程是2x2a2 y b21.10若2xP0(x0,y0) 在雙曲線 2 a2 y2 1(a 0,b 0) b上，則過(guò) P0 的雙曲線的切線方程是x0xy0ya2b21.下載可編輯22 xy 11若 P0(x0,y0) 在雙曲線 2 2 1 abx0x 2 aa0,b 0)外 ，則過(guò) Po 作雙曲線的兩條切線切點(diǎn)為 P1、 P2，則切點(diǎn)弦P1P2的直線方程是y0y 1. b2 1.12AB是雙曲線2x2a2 y b21( a0,b 0)的不平行于對(duì)稱(chēng)軸且過(guò)原點(diǎn)的弦，M為 AB的中點(diǎn)，b2 則 kOM kAB2 .a13若 P0(x0,y0) 在雙曲線2x

31、2a2 y b2a0,b 0)，則被 Po 所平分的中點(diǎn)弦的方程是22x0x y0 y x0y0a2 b2a2 b214若P0(x0,y0) 在雙曲線2x2a2 y b2a 0,b 0)，則過(guò) Po 的弦中點(diǎn)的軌跡方程是22xy22abx0xy0ya2b215 若 PQ 是 雙2x2a2 y b2 0 ) 上 對(duì) 中 心 直 角 的 弦 ， 則1122 r1 r216 若雙112 (r1 | OP |, r2 b22 曲 線 x2 y2 a2 b2Ax By1 (AB 0) ,則(1)|OQ|) .ba0)上中 心 直 角 的 弦 L 所 在 直 線 方 程 為17給定雙曲線 C1 ： b2x

32、21b2A22B2;(2)L 2 a4A2 b4B22 2 2 2 |a2A2 b2B2 |22 aya2b22 2 2 2ab0), C2： b x a y點(diǎn) P0(x0,y0), 它 的 任 一 直 角 弦 必 須 經(jīng) 過(guò)22a b 2( 2 2 ab) ,abC2 上 一 定 點(diǎn)則 (i) 對(duì) C1 上 任 意 給 定 的2 22 2a ba bM( 2 2 x0, 2 2 y0 ). a ba b(ii) 對(duì)C 2上任一點(diǎn) P 0 ( x0 , y0 )在C1上存在唯一的點(diǎn) M ,使得 M 的任一直角弦都經(jīng)過(guò) P0 點(diǎn). 22xy2 2 1(a0,b 0)上一點(diǎn)， P1P2為曲線 C的

33、動(dòng)弦 , 且弦 P0P1, a2 b22, 則直 線 P1P2 通過(guò)定點(diǎn) M (mx0, my0) (m 1) 的充 要條件是18設(shè) P0(x0,y0) 為雙曲線記為 b2 .2.a2 19過(guò)雙曲線 x2 a2P0P2 斜率存在，k1 k21m1mk1,2 y b2雙曲線于 B,C 兩點(diǎn)，則直線.下載可編輯1(a0,b o)上任一點(diǎn) A(x0, y0 )任意作兩條傾斜角互補(bǔ)的直線交b2xBC有定向且 kBC2 0 (常數(shù)) .2a y02x 20雙曲線 x2a2b21（ a0,b o）的左右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn) 2，點(diǎn) P 為雙曲線上任意一點(diǎn)F1PF2則 雙 曲 線 的 焦 點(diǎn) 角 形 的 面

34、積 為 SF1PF2b2cot2P(ca cb2tan22,b2 cot )c22223若雙曲線 2 2 1（a0,b 0）的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、F2，左準(zhǔn)線為 L，則當(dāng) a2 b221若 P為雙曲線 ax2 by2 1（a0,b0）右（或左）支上除頂點(diǎn)外的任一點(diǎn),F1, F 2是焦點(diǎn) , PF1F2,PF2F1，則catan cot (或catan cot )22ca22ca22x22雙曲線 x2y221(2(a0,b o）的焦半徑公式： （ F1（c,0) ,F2(c,0)a2b2當(dāng)M （ x0, y0 ）在右支上時(shí)，|MF1|ex0a, |MF2 | ex0 a.當(dāng)M （ x0, y

35、0 ）在左支上時(shí)，|MF1|ex0a, |MF2| ex0a.22xy10,b0）上任一點(diǎn) ,F 1,F 2為二焦點(diǎn)， A 為雙曲線一定點(diǎn)，則 ab| PF1 | ,當(dāng)且僅當(dāng) A,F2,P三點(diǎn)共線且 P和 A,F2在 y 軸同側(cè)時(shí)，等號(hào)成立 .2y2 1（a0,b0）上存在兩點(diǎn)關(guān)于直線 l： y k（x x0 ）對(duì)稱(chēng)的充要條件 b2 2 2是 x0(a2 b2 )22 2 2 a b k26過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線，與以長(zhǎng)軸為直徑的圓相交，則相應(yīng)交點(diǎn)與相應(yīng) 焦點(diǎn)的連線必與切線垂直 .27過(guò)雙曲線焦半徑的端點(diǎn)作雙曲線的切線交相應(yīng)準(zhǔn)線于一點(diǎn)，則該點(diǎn)與焦點(diǎn)的連線必與焦 半徑互相垂直28P是

36、雙曲線asec （ a0，b0）上一點(diǎn)，則點(diǎn) P對(duì)雙曲線兩焦點(diǎn)直角的充要條件btan是 e211 tan229設(shè) A,B 為雙曲線2x2a2 y b2k （ a 0,b 0， k 0,k 1 ）上兩點(diǎn)，其直線AB與雙曲線2x2a2 y2 1相交于 P,Q,則 AP b2BQ.230在雙曲線 x2a22by2 1中，b12 定長(zhǎng)為 2m（ m）0）的弦中點(diǎn)軌跡方程為 m222(ax2 by2 )a22cos sin22ab.下載可編輯b2x2其中 tanb2x2 , 當(dāng) ya2y2231設(shè) S 為雙曲線 x2a2移動(dòng)，記|AB|= l ，M （x0, y0）是AB中點(diǎn)，則當(dāng) lS時(shí)，有 (x0)

37、mina2l (c2 a2 b2, e c );2e a當(dāng)lS時(shí)，有 (x0 )min2ab 4b2 l2 .32雙曲線A2a2 B2b233雙曲線22 xy22 ab C2.(x x0)21 （ a 0,b 0 ）與直線 Ax By0 有公共點(diǎn)的充要條件是2a條件是 A2a2 B 2b2 (Ax0(y y )22 01(a 0,b 0)與直線 Axb2By0 C)2 .By C 0 有公共點(diǎn)的充要0時(shí) ,90 .2L 的兩端點(diǎn) A,B 在雙曲線上y2 1（ a 0,b o）的通徑，定長(zhǎng)線段 bF1、F2,P（異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)）為雙曲線PF1F2,F1F2P， 則 有2236已知雙曲線 x2 y2

38、a2 b21）1|OP|21|OQ |21b22）|OP| 2+|OQ| 2 的最小值為224a2b222ba3） S OPQ 的最小值是a2b2b2 a22237 MN是經(jīng)過(guò)雙曲線 x2 y2 a2 b2 雙曲線中心 O 且平行于 MN的弦，則2238 MN是經(jīng)過(guò)雙曲線 x2 y2 a2 b21（a0,b 0）過(guò)焦點(diǎn)的任一弦 （交于兩支 ） ，若 AB是經(jīng)過(guò) |AB |2 2a|MN |.1（ a b0）焦點(diǎn)的任一弦 （交于同支 ） ，若過(guò)雙曲線中心 O的半弦 OPMN ，則2a|MN |1|OP |21b2.22 xy34設(shè)雙曲線 2 2 1 （ a 0,b 0）的兩個(gè)焦點(diǎn)為ab上 任 意

39、 一 點(diǎn) ， 在 PF1F2 中 ， 記 F1PF2,sin ce.（sin sin ） a22xy35經(jīng)過(guò)雙曲線 2 2 1（a 0,b 0）的實(shí)軸的兩端點(diǎn) A1和 A2的切線，與雙曲線上任 ab點(diǎn)的切線相交于 P1和 P2，則| PA1 | |PA2 | b2.1（ba 0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)， P、Q為雙曲線上兩動(dòng)點(diǎn)， 且OP OQ .22 xy39設(shè)雙曲線 2 2 1（ a 0,b 0）,M（m,o） 為實(shí)軸所在直線上除中心， 頂點(diǎn)外的任一點(diǎn)， ab過(guò) M引一條直線與雙曲線相交于 P、Q兩點(diǎn)，則直線 A1P、A2Q（A1 , A2為兩頂點(diǎn) ）的交點(diǎn) N在直線 l ：2a2 上.m40設(shè)過(guò)雙

40、曲線焦點(diǎn)F 作直線與雙曲線相交P、Q兩點(diǎn)， A為雙曲線長(zhǎng)軸上一個(gè)頂點(diǎn)，連結(jié).下載可編輯AP 和 AQ分別交相應(yīng)于焦點(diǎn) F 的雙曲線準(zhǔn)線于 M、N兩點(diǎn)，則 MFNF.41過(guò)雙曲線一個(gè)焦點(diǎn) F 的直線與雙曲線交于兩點(diǎn) P、 Q, A1、A2為雙曲線實(shí)軸上的頂點(diǎn)， A1P 和 A2Q交于點(diǎn) M，A2P 和 A1Q交于點(diǎn) N，則 MF NF.2 x 42設(shè)雙曲線方程 2 a2軛直線 y kx 上,而且 kk2y b2 b22. a1, 則斜率為k(k 0)的平行弦的中點(diǎn)必在直線 l： y kx 的共43設(shè) A、 B、 C、D 為雙曲線2x2a2by22 1a0,b o)四點(diǎn) ,AB 、CD所在直線的傾

41、斜角分別為，直線 AB與CD相交于 P,且 P不在雙曲線上 ,則 |PA| |PB | |PC| |PD |2222b cosa sin2222b cosa sin2 x 44已知雙曲線 2a2b2的外()角平分線為 l ，作 F1、1(a0,b0),點(diǎn) P為其上一點(diǎn) F1, F2為雙曲線的焦點(diǎn)， F1PF2F2分別垂直 l 于 R、S，當(dāng) P跑遍整個(gè)雙曲線時(shí)， R、S 形成的軌跡方程是x2 y2 a2( a3b(x c)(a2 b2)x b2c 2 a4c2(x c)y2 (ab3c2y2)2).45設(shè) ABC三頂點(diǎn)分別在雙曲線上，且 AB 為 的直徑， l 為 AB的共軛直徑所在的直線，l

42、分別交直線 AC、BC于 E和 F，又 D為l上一點(diǎn)，則 CD與雙曲線 相切的充要條件是 D為 EF的 中點(diǎn) .22xy46過(guò)雙曲線 2 2 1 (a 0,b 0)的右焦點(diǎn) F作直線交該雙曲線的右支于 M,N兩點(diǎn)， ab弦 MN的垂直平分線交 x 軸于 P，則 |PF | e .| MN | 222 247設(shè) A(x1 ,y 1)是雙曲線 x2 y2 1(a0,b 0)上任一點(diǎn)，過(guò) A作一條斜率為 b2x1 的 aba2y1直線 L，又設(shè) d 是原點(diǎn)到直線 L2248已知雙曲線 x2 y2a2 b2它們相交于 A、B、C、 D四點(diǎn)，則 AB=|CD.2x49已知雙曲線 2a22 y b2的距離

43、 , r1,r2分別是 A到雙曲線兩焦點(diǎn)的距離，則r1r 2d ab.2 x1 ( a 0,b 0)和 2 a2a0,b 0),A、與 x 軸相交于點(diǎn) P( x0 ,0) , 則 x022ab或 x0a250設(shè) P 點(diǎn)是雙曲線 x2a22 y b21( a0,b 0)F1PF2，則(1) | PF1 |PF2 |2 y b21 )，一條直線順次與B 是雙曲線上的兩點(diǎn)，線段 AB的垂直平分線a2 b2上異于實(shí)軸端點(diǎn)的任一點(diǎn) ,F 1、F2 為其焦點(diǎn)記2b22.(2) S PF1F2 b2 cot .1 cos 1 2 2B( m,o)作直線與雙曲線相交于 P、Q兩點(diǎn)， A 為雙曲線實(shí)軸 n 于

44、M， N 兩 點(diǎn) , 則PF1F251設(shè)過(guò)雙曲線的實(shí)軸上一點(diǎn)AQ 分別交相應(yīng)于 過(guò) B 點(diǎn)的 直線 MN： x 2a.2 2 .b2(n a)2的 左 頂 點(diǎn) ， 連 結(jié) AP 和MBN 90amam.下載可編輯2252L 是經(jīng)過(guò)雙曲線 x2 y2a2 b21（a0,b 0）焦點(diǎn) F 且與實(shí)軸垂直的直線，A、B是雙曲線實(shí)軸的兩個(gè)焦點(diǎn)， e是離心率 ,點(diǎn) PL ，若 EPF1，則 是銳角且 sin 1 或e1 arc sineab（當(dāng)且僅當(dāng) |PH | 時(shí)取等號(hào)）c2x53L 是經(jīng)過(guò)雙曲線 2a2 雙曲線的準(zhǔn)線與 x 軸交點(diǎn) , 點(diǎn)1 則 是銳角且 sin 1 或e2254L 是雙曲線 x2 y

45、2 1（a0,b 0） a2 b2 與 x軸交點(diǎn)， H是L與 x軸的交點(diǎn)，點(diǎn) P L， 1 角且 sin 2 或 e2yb2P L ，e 是離心率，1arc sin （當(dāng)且僅當(dāng)e1（a0,b 0）焦點(diǎn)55已知雙曲線1arc sin 2 e 22 x22 y22 1 a2 b2 1B 兩點(diǎn)，將 A、 B 與雙曲線左焦點(diǎn)軸時(shí)取等號(hào)）2 x 56設(shè) A、 B 是雙曲線 2 a2PAB的實(shí)軸頂點(diǎn) A 且與 x 軸垂直的直線，E、F是EPF，H是L與 X軸的交點(diǎn) c是半焦距，|PA| ab 時(shí)取等號(hào)） .cF1且與 x 軸垂直的直線， E、F是雙曲線準(zhǔn)線EPF , 離心率為 e，半焦距為 c，則 為銳 當(dāng)且僅當(dāng) |PF1| b a2 c2 時(shí)取等號(hào)） .ca 0,b 0），直線 L 通過(guò)其右焦點(diǎn) F2