一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用

1、一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用一元二次方程根的判別式的綜合應(yīng)用一、知識要點(diǎn)：1. 一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)的根的判別式=b2-4ac。定理1 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根.定理2 ax2+bx+c=0(a0)中，=0方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根.定理3 ax2+bx+c=0(a0)中，0方程沒有實(shí)數(shù)根.2、根的判別式逆用（注意：根據(jù)課本“反過來也成立”）得到三個(gè)定理。定理4 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根0.定理5 ax2+bx+c=0(a0)中，方程有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根0.定理6 ax2+bx+c=0(a0)中，方程沒有實(shí)數(shù)根0.注意：（

2、1）再次強(qiáng)調(diào)：根的判別式是指=b2-4ac。（2）使用判別式之前一定要先把方程變化為一般形式，以便正確找出a、b、c的值。(3)如果說方程有實(shí)數(shù)根，即應(yīng)當(dāng)包括有兩個(gè)不等實(shí)根或有兩相等實(shí)根兩種情況，此時(shí)b2-4ac0切勿丟掉等號。(4)根的判別式b2-4ac的使用條件，是在一元二次方程中，而非別的方程中，因此，要注意隱含條件a0.二.根的判別式有以下應(yīng)用： 不解一元二次方程，判斷根的情況。例1 不解方程，判斷下列方程的根的情況：(1) 2x2+3x-4=0(2)ax2+bx=0(a0)解：(1) 2x2+3x-4=0a=2, b=3, c=-4,=b2-4ac=32-42(-4)=410方程有兩

3、個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(2)a0, 方程是一元二次方程，此方程是缺少常數(shù)項(xiàng)的不完全的一元二次方程，將常數(shù)項(xiàng)視為零，=(-b)2-4a0=b2,無論b取任何關(guān)數(shù)，b2均為非負(fù)數(shù)，0，故方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根。 根據(jù)方程根的情況，確定待定系數(shù)的取值范圍。例2k的何值時(shí)？關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0（1）有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；（2）有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；（3）沒有實(shí)數(shù)根；分析：由判別式定理的逆定理可知（1）0；（2）=0；（3）0；解：=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k（1）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0，即36-4k0.解得k9（2）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，=0，即36-4

4、k=0.解得k=9（3）方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，0，即36-4k9 證明字母系數(shù)方程有實(shí)數(shù)根或無實(shí)數(shù)根。例3求證方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0沒有實(shí)數(shù)根。 分析：先求出關(guān)于x的方程的根的判別式，然后只需說明判別式是一個(gè)負(fù)數(shù)，就證明了該方程沒有實(shí)數(shù)根。 證明：=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2不論m取任何實(shí)數(shù)(m2+2)20, -4(m2+2)20, 即0時(shí)，關(guān)于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。求證ABC為Rt。 證明：整理原方程

5、：方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2ax =0.整理方程得：cx2+cm+bx2-bm-2ax =0(c+b)x2-2ax +cm-bm=0根據(jù)題意：方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=04ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0ma2-c2m+b2m=0=m(a2+b2-c2)=0又 m0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又a,b,c為ABC的三邊，ABC為Rt。 判斷當(dāng)字母的值為何值時(shí)，二次三項(xiàng)是完全平方式例5、（1）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式16a2+ka+25是一個(gè)完全平方式則k的值可能是（ ）; （2）若關(guān)于a的二次三項(xiàng)式ka2+4a+1是

6、一個(gè)完全平方式則k的值可能是（）;分析：可以令二次三項(xiàng)等于0，若二次三項(xiàng)是完全平方式，則方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根。即=0解：（1）令16a2+ka+1=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=k2-41625=0k=+40或者-40（2）令ka2+4a+15=0方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，=16-4k=0 k=4 可以判斷拋物線與直線有無公共點(diǎn)例6:當(dāng)m取什么值時(shí)，拋物線與直線y=x2m只有一個(gè)公共點(diǎn)？解:列方程組消去y并整理得x2+x-m-1=0 ，拋物線與直線只有一個(gè)交點(diǎn)，0，即4m+5=0 ( 說明：直線與拋物線的交點(diǎn)問題也可歸納為方程組的解的問題。) 可以判斷拋物線與x軸有幾個(gè)交點(diǎn)分析：拋物線y=ax2

7、+bx+c與x軸的交點(diǎn) （）當(dāng)y=0時(shí)，即有ax2+bx+c=0，要求x的值，需解一元二次方程ax2+bx+c=0?？梢?，拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是由對應(yīng)的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況確定的，而決定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情況的，是它的判別式的符號，因此拋物線與x軸的交點(diǎn)有如下三種情形： 當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，若此時(shí)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1、x2，則拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（x1，0）（x2，0）。當(dāng)時(shí)，拋物線與x軸有唯一交點(diǎn)，此時(shí)的交點(diǎn)就是拋物線的頂點(diǎn)，其坐標(biāo)是（）。當(dāng) 時(shí)，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)。例7、判定下列拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)： （）（）（） 解：（）16-12=40 拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。 （）36-36=0 拋物線與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)。 （）4-16=-120，即 4m+80 m2 (2)拋物線和x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，0，即 4m+8=0 m=2 當(dāng)m=2時(shí)，方程可化為，解得x1=x2= -1，拋物線與x軸公共點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0）。 (3)拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)，0，即4m+82 當(dāng)m2時(shí)，拋物線與x軸沒有公共點(diǎn)。 利用根的判別式解有關(guān)拋物線（0）與x軸兩交點(diǎn)間的距離的問題.分析:拋物線 （0）與x軸兩交點(diǎn)間的距離，是對應(yīng)的一元二次方程 的兩根差