11.1與三角形有關(guān)的線段

1、第十一章 三角形 第十一章第十一章 三角形三角形 2 11.1.1 11.1.1 三角形的邊三角形的邊 3 4 三角形是一種基本的幾何圖形，生活中處三角形是一種基本的幾何圖形，生活中處 處都有三角形的形象。處都有三角形的形象。 為什么在工程建筑、機(jī)械制造中經(jīng)常采用為什么在工程建筑、機(jī)械制造中經(jīng)常采用 三角形的結(jié)構(gòu)呢？這與三角形的性質(zhì)有關(guān)，雖三角形的結(jié)構(gòu)呢？這與三角形的性質(zhì)有關(guān)，雖 然我們已對然我們已對“三角形中三個角的和等于三角形中三個角的和等于180180度度” 等性質(zhì)有了初步的了解，但還有必要對三角形等性質(zhì)有了初步的了解，但還有必要對三角形 的性質(zhì)作進(jìn)一步的探究。的性質(zhì)作進(jìn)一步的探究。 6

2、 讀一讀讀一讀 閱讀課本閱讀課本P12，并回答以下問題，并回答以下問題: (1)什么叫三角形什么叫三角形? (2)三角形有幾條邊三角形有幾條邊?有幾個內(nèi)角有幾個內(nèi)角?有幾個頂有幾個頂 點(diǎn)點(diǎn)? (3)三角形三角形ABC用符號表示用符號表示_. (4)三角形三角形ABC的邊的邊AB、AC和和BC可用小寫可用小寫 字母分別表示為字母分別表示為_. ABC c、b、a 7 邊c 邊b 邊a 頂點(diǎn)A 頂點(diǎn)B 頂點(diǎn)C 角角 角 1 1、小、小強(qiáng)用強(qiáng)用三根木棒組成的圖形，三根木棒組成的圖形，其中符合三角形概念是 （ ） BAC AC AB、BC A B C 2 2、如圖，三角形、如圖，三角形ABC ABC

3、記作記作_ B B 的對邊的對邊_B 鄰邊是：鄰邊是：_ C ABCABC A D CB E 3、圖中有、圖中有 三角形，分別是三角形，分別是 . ABE,ABE,BCE,BCE,CDE,CDE,ABC,ABC, BCD BCD 5個個 按角分按角分 銳角三角形銳角三角形 直角三角形直角三角形 鈍角三角形鈍角三角形 按邊分按邊分 不等邊三角形（不規(guī)則三角形不等邊三角形（不規(guī)則三角形） 等腰三角形等腰三角形 三角形的分類：三角形的分類： 底邊和腰不相等的底邊和腰不相等的 等腰三角形等腰三角形 等邊三角形等邊三角形 斜三角形斜三角形 如圖三角形中，假設(shè)有一只小蟲要從點(diǎn)如圖三角形中，假設(shè)有一只小蟲要

4、從點(diǎn)B出出 發(fā)沿著三角形的邊爬到點(diǎn)發(fā)沿著三角形的邊爬到點(diǎn)C，它有幾條路線可以，它有幾條路線可以 選擇？各條路線的長一樣嗎？選擇？各條路線的長一樣嗎？ A BC 路線路線1:由點(diǎn)由點(diǎn)B到點(diǎn)到點(diǎn)C 路線路線2:由點(diǎn)由點(diǎn)B到點(diǎn)到點(diǎn)A，再由點(diǎn)，再由點(diǎn)A到點(diǎn)到點(diǎn)C。 兩條路線長分別是兩條路線長分別是BC，AB+AC. 由由“兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”可以得到可以得到AB+AC BC 同理可得：同理可得：AC+BC AB，AB+BC AC 三角形的三邊有這樣的關(guān)系：三角形的三邊有這樣的關(guān)系： 結(jié)結(jié) 論論 1.下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？下列長度的三條線段能否組成三角形？為什么？

5、（1） 5，4，10 （ ） （2） 3，9，11 （ ） （3） 3，5，8 （ ） 不能不能 能能 不能不能 判斷三條線段能否組成三角形，是否一定要檢驗(yàn)判斷三條線段能否組成三角形，是否一定要檢驗(yàn) 三條線段中任何兩條的和都大于第三條？根據(jù)你三條線段中任何兩條的和都大于第三條？根據(jù)你 剛才解題經(jīng)驗(yàn)，有沒有更簡便的判斷方法？剛才解題經(jīng)驗(yàn)，有沒有更簡便的判斷方法？ 思思 考：考： 只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，便可構(gòu)只要滿足較小的兩條線段之和大于第三條線段，便可構(gòu) 成三角形；若不滿足，則不能構(gòu)成三角形。成三角形；若不滿足，則不能構(gòu)成三角形。 較小兩邊之和大于第三邊較小兩邊之和大于第三邊

6、,才能構(gòu)成三角形。才能構(gòu)成三角形。 例：例：用一條長為用一條長為18cm的細(xì)繩圍成一個等腰三角形。的細(xì)繩圍成一個等腰三角形。 （1）如果腰長是底邊的）如果腰長是底邊的2倍，那么各邊的長是多少？倍，那么各邊的長是多少？ （2）能圍成有一邊的長為）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？的等腰三角形嗎？為什么？ A B C 解解：（：（1）設(shè)底邊長為）設(shè)底邊長為xcm，則腰長為，則腰長為2xcm. 由題意得：由題意得：x+2x+2x=18 解得解得 x=3.6 所以，三邊長分別為所以，三邊長分別為3.6cm ，7.2cm，7.2cm. 2x 2x x 例：用一條長為例：用一條長為18cm的

7、細(xì)繩圍成一個等腰三角形。的細(xì)繩圍成一個等腰三角形。 （2）能圍成有一邊的長為）能圍成有一邊的長為4cm的等腰三角形嗎？為什么？的等腰三角形嗎？為什么？ 解解：（：（2 2）因?yàn)殚L為）因?yàn)殚L為4cm4cm的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要的邊可能是腰，也可能是底邊，所以需要 分情況討論，如果分情況討論，如果4cm4cm長的邊為底邊，則腰長為長的邊為底邊，則腰長為xcmxcm，則，則 4 xx +2x=18 解得解得 x=7 如果如果4cm長的邊為腰，設(shè)底邊長為長的邊為腰，設(shè)底邊長為xcm，則，則 2+x=18 解得解得 x=10 44 x 因?yàn)橐驗(yàn)?+410,出現(xiàn)兩邊的和小于第三邊的情況出現(xiàn)兩

8、邊的和小于第三邊的情況, 所以不能圍成腰長是所以不能圍成腰長是4cm的等腰三角形。的等腰三角形。 由以上討論可知，可以圍成底邊長是由以上討論可知，可以圍成底邊長是4cm的等腰在角形。的等腰在角形。 1、如圖所示，圖中所有三角形的個數(shù)為、如圖所示，圖中所有三角形的個數(shù)為 個，個， 分別是分別是 。 以以B為內(nèi)角的三角形是為內(nèi)角的三角形是 ， 以以AC為邊的三角形是為邊的三角形是 ， C的對邊是的對邊是 . 2、在下列各組線段中，能組成三角形的是（、在下列各組線段中，能組成三角形的是（ ） A、2cm，3cm，4cm 、2cm，3cm，5cm 、3cm，5cm，9cm 、8cm，4cm，4cm 、

9、已知三角形的兩邊長分別為、已知三角形的兩邊長分別為3cm和和8cm，則此三角形，則此三角形 第三邊的長可能是（第三邊的長可能是（ ） A、4cm B、5cm C、6cm D、7cm 3 A B C D ABD ，ACD ，ABC ABD ，ABC ABC ，ADC AB ，AD A C 4、如果等腰三角形的兩邊分別為、如果等腰三角形的兩邊分別為8cm和和6cm， 那么它的周長為那么它的周長為 cm；如果等腰；如果等腰 三角形的兩邊長分別為三角形的兩邊長分別為2cm和和7cm，那么它的，那么它的 周長是周長是 . 5、若四條線段的長為、若四條線段的長為2cm，3cm，4cm，5cm， 以其中三條

10、線段為邊長，最多可以構(gòu)成以其中三條線段為邊長，最多可以構(gòu)成 個個 三角形。三角形。 16cm 22或或20 3 請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解釋：請用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識解釋： 人行橫道 .A .B 為什么經(jīng)常有為什么經(jīng)常有 行人斜穿馬路行人斜穿馬路 而不走人行橫而不走人行橫 道？道？ 通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你 有哪些收獲？有哪些收獲？ 1.1.三角形及其相關(guān)概念（邊三角形及其相關(guān)概念（邊、角角、頂點(diǎn)）。頂點(diǎn)）。 2.2.三角形的表示方法；三角形的表示方法； 3.3.三角形的分類：三角形的分類：按角分類；按邊分類按角分類；按邊分類； 4.4.三角形三邊關(guān)系及運(yùn)用。三角形三邊關(guān)系及運(yùn)用。 判斷三

11、條線段能組成一個三角形的簡便方法：判斷三條線段能組成一個三角形的簡便方法： 用較小兩邊的和與最大邊的大小比較。用較小兩邊的和與最大邊的大小比較。 1、已知三角形的三邊長分別為、已知三角形的三邊長分別為4、5，x，則，則x不可能是（）不可能是（） A、3B、5C、7D、9 2、一個三角形的兩邊長分別為、一個三角形的兩邊長分別為3和和7，且第三邊長為整數(shù)，這樣，且第三邊長為整數(shù)，這樣 的三角形的周長最小值是（）的三角形的周長最小值是（） A、14 B、15C、16D、17 3、如圖，為了估計(jì)池塘邊、如圖，為了估計(jì)池塘邊A、B兩點(diǎn)的距離，兩點(diǎn)的距離， 小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)小方在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)

12、O，測得，測得OA=15 米，米，OB=10米，米， A、B兩點(diǎn)間的距離不可能兩點(diǎn)間的距離不可能 是（是（ ） A、5米米 B、10米米C、15米米D、20米米 分析分析:先求出第三邊的取值范圍，先求出第三邊的取值范圍，兩邊之差兩邊之差x x兩邊之和兩邊之和，當(dāng)?shù)谌?dāng)?shù)谌?邊取最小值時，三角形的周長也最小。邊取最小值時，三角形的周長也最小。 D B A O A B 你還記得你還記得 “過一點(diǎn)畫已知直線的垂線過一點(diǎn)畫已知直線的垂線” 嗎嗎? 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3

13、4 5 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 過三角過三角 形的一個頂點(diǎn)，你形的一個頂點(diǎn)，你 能畫出它的對邊的能畫出它的對邊的 垂線嗎垂線嗎? B A C A 從三角形的一個頂點(diǎn)從三角形的一個頂點(diǎn) BC 向它的對邊向它的對邊所在直線作垂線所在直線作垂線 頂點(diǎn)頂點(diǎn)和垂足和垂足 D 之間的線段之間的線段 叫做叫做三角形這邊的高，三角形這邊的高， 簡稱簡稱三角形的高。三角形的高。 如圖，線段如圖，線段AD是是BC邊上的高邊上的高 . 三角形高的符號語言：三角形高的符號語言： AD是是 ABC的高的高 BDA = CDA

14、=90 在紙上畫一個銳角三角形在紙上畫一個銳角三角形 (1)你能畫出這你能畫出這個三角形的三條高嗎個三角形的三條高嗎? (2)這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？這三條高之間有怎樣的位置關(guān)系？ 將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流 O 銳角三角形的三條高是在三銳角三角形的三條高是在三 角形的內(nèi)部還是外部角形的內(nèi)部還是外部? A B C D E F 直角三角形的三條高直角三角形的三條高 在紙上畫一個直角三角形在紙上畫一個直角三角形 將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流將你的結(jié)果與同伴進(jìn)行交流 (1)畫出畫出直角三角形的三條高直角三角形的三條高 直角邊直角邊BC邊上的高是邊上的高是 直角邊直角邊AB邊上

15、的高是邊上的高是 (2)它們有怎樣的位置關(guān)系？它們有怎樣的位置關(guān)系？ 斜邊斜邊AC邊上的高是邊上的高是 鈍角三角形的三條高鈍角三角形的三條高 在紙上畫一個鈍角三角形在紙上畫一個鈍角三角形 （1）畫出鈍角三角形的三條高）畫出鈍角三角形的三條高 F E （2）鈍角三角形的三條高交于）鈍角三角形的三條高交于一點(diǎn)嗎？一點(diǎn)嗎？ （3）它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？）它們所在的直線交于一點(diǎn)嗎？ A B C D 從三角形中的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂從三角形中的一個頂點(diǎn)向它的對邊所在直線作垂 線，線， 頂點(diǎn)和垂足之間的線段頂點(diǎn)和垂足之間的線段 叫做叫做三角形這邊的高。三角形這邊的高。 三角形的三條高的特性：

16、三角形的三條高的特性： 31 相交相交 不相交不相交 相交相交相交相交 相交相交 三條高所在直線的三條高所在直線的 交點(diǎn)的位置交點(diǎn)的位置 三角形內(nèi)部三角形內(nèi)部直角頂點(diǎn)直角頂點(diǎn)三角形外部三角形外部 在三角形中在三角形中,連連結(jié)結(jié)一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線一個頂點(diǎn)和它對邊中點(diǎn)的線 段叫做這個三角形這邊的中線段叫做這個三角形這邊的中線. A BC D AD是是ABC的中線的中線 BD=CD = 1 2BC 任意畫一個三角形任意畫一個三角形,然后畫出這個三角形三條邊然后畫出這個三角形三條邊 的中線的中線,你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么? 三角形的三條中線相交于一點(diǎn)三角形的三條中線相交于一點(diǎn), 交點(diǎn)在三角形的內(nèi)

17、部交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部. 三角形中線的符號語言：三角形中線的符號語言： E F O A BCD AD是是 ABC的角平分線的角平分線 BAD = CAD = BAC 任意畫一個三角形任意畫一個三角形,然后畫出這個三角形三個然后畫出這個三角形三個 角的角平分線角的角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么你發(fā)現(xiàn)了什么? 在三角形中在三角形中,一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相一個內(nèi)角的角平分線與它的對邊相 交交,這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段這個角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段,叫做三角形叫做三角形 的角平分線。的角平分線。 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn), 交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部交點(diǎn)在三角形的內(nèi)部 1

18、2 A C B F E D O BE是是ABC的角平分線的角平分線 = _ = 2 1 ACB=2_=2_ ABE CBEABC ACF CF是是ABC的角平分線的角平分線 BCF 角平分線的符號語言角平分線的符號語言 三角形的角平分線與角的平分三角形的角平分線與角的平分 線有什么區(qū)別？線有什么區(qū)別？ 思思 考考 三角形的角平分線是一條三角形的角平分線是一條 線段線段 , 角的平分線是一條角的平分線是一條 射線射線 練一練練一練 如圖如圖,在在ABC中中, 1=2,G為為AD中點(diǎn)中點(diǎn),延長延長BG 交交AC于于E,F為為AB上一點(diǎn)上一點(diǎn),CFAD于于H,判斷下列判斷下列 說法那些是正確的說法那

19、些是正確的,哪些是錯誤的哪些是錯誤的? A BC D E 1 2 F G H AD是是ABE的角平分線的角平分線 ( ) BE是是ABD邊邊AD上的中線上的中線( ) BE是是ABC邊邊AC上的中線上的中線( ) CH是是ACD邊邊AD上的高上的高 ( ) 三角形的高、中線與角平分線都是線段三角形的高、中線與角平分線都是線段 2.如果一個三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一如果一個三角形的三條高的交點(diǎn)恰是三角形的一 個頂點(diǎn)個頂點(diǎn),那么這個三角形是（那么這個三角形是（ ） A.銳角三角形銳角三角形 B.直角三角形直角三角形 C.鈍角三角形鈍角三角形 D.銳角三角形銳角三角形 1.下列各組圖形中下列

20、各組圖形中,哪一組中哪一組中AD是是ABC 的高的高( ) A D C B A B C D A B C D A B C D (A)(B)(C)(D) B D AFCDAC 3.填空：填空： （1）如圖）如圖1，AD，BE，CF是是ABC的三條中線，的三條中線， 則則AB=2 ,BD= ,AE= 。 2 1 圖2 F E D C B A 43 21 圖1 F E DC B A （2）如圖）如圖2， AD，BE，CF是是ABC的三條的三條 角平分線，則角平分線，則1= , 3= , ACB=2 。 2 1 2 ABC 4 CEBC CADBAC AFC 4.填空填空：如圖，在如圖，在ABC中，中，

21、AE是中線，是中線， AD是角平分線，是角平分線，AF是高。是高。 （1）BE= = ； （2）BAD= = ； （3）AFB= = 90 2 1 2 1 F E D C B A 5.5.如圖如圖1 1所示所示, ,在在ABC中中,ACB=90, ,把把ABC沿沿 直線直線AC翻折翻折180180, ,使點(diǎn)使點(diǎn)B 落在點(diǎn)落在點(diǎn)B的位置的位置, ,則線段則線段 AC具有性質(zhì)具有性質(zhì)( )( ) A.是邊是邊BBBB上的中線上的中線 B.是邊是邊BBBB上的高上的高 C.是是BABBAB的角平分線的角平分線 D.以上三種性質(zhì)合一以上三種性質(zhì)合一 B C B A D 6.6.如圖如圖2 2所示所示,

22、 ,D,E分別是分別是ABC的邊的邊AC,BC的的 中點(diǎn)中點(diǎn), ,則下列說法不正確的是則下列說法不正確的是( )( ) A.DE是是BCD的中線的中線 B.BD是是ABC的中線的中線 C.AD=DC,BD=EC D.C的對邊是的對邊是DE E D C B A C 今天我們學(xué)了什么呀？今天我們學(xué)了什么呀？ 1.三角形的高、中線、角平分線三角形的高、中線、角平分線 的有關(guān)概念及它們的畫法。的有關(guān)概念及它們的畫法。 2.三角形的高、中線、角平分線三角形的高、中線、角平分線 的符號語言及簡單應(yīng)用。的符號語言及簡單應(yīng)用。 將四邊形木架上再釘一根木條將四邊形木架上再釘一根木條, ,將它將它 的一對頂點(diǎn)連接

23、起來的一對頂點(diǎn)連接起來, ,然后再扭動它然后再扭動它, ,這這 時木架的形狀還會改變嗎時木架的形狀還會改變嗎? ? 思考思考 斜梁斜梁 斜梁斜梁 直直 梁梁 三角形具有穩(wěn)定性，三角形具有穩(wěn)定性， 四邊形具有不穩(wěn)定性四邊形具有不穩(wěn)定性 四邊形不穩(wěn)定性的應(yīng)用四邊形不穩(wěn)定性的應(yīng)用. 說一說說一說 在日常生活中三在日常生活中三 角形穩(wěn)定性有什角形穩(wěn)定性有什 么應(yīng)用？么應(yīng)用？ 1、下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（、下列圖形中具有穩(wěn)定性的是（ ） （A）正方形）正方形 （B）長方形）長方形 （C）直角三角形）直角三角形 （D）平行四邊形）平行四邊形 2、要使下列木架穩(wěn)定各至少需要多少根木、要使下列木架穩(wěn)定各至少需要多少根木 棍？棍？ C C B E A F B 3.如圖，工人師傅砌門時，常用木條如圖，工人師傅砌門時，常用木條EF 固定門框固定門框ABCD，使其不變形，這種做法的，使其不變形，這種做法的 根據(jù)是根據(jù)是( ) A,兩點(diǎn)之間線段最短兩點(diǎn)之間線段最短 B矩形的對稱性矩形的對稱性 C矩形的四個角都是矩形的四個角都是 直角直角 D三角形的穩(wěn)定性三角形的穩(wěn)定性 D 4、下列圖中具有穩(wěn)定性有、下列圖中