等比數(shù)列的前n項和教學(xué)設(shè)計

1、等比數(shù)列的前 n 項和（ 第一課時）一 教材分析。（1）教材的地位與作用： 等比數(shù)列的前 n 項和選自普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)教科 書數(shù)學(xué)（ 5），是數(shù)列這一章中的一個重要內(nèi)容，它不僅在現(xiàn)實生活中有著廣泛的實際 應(yīng)用，如儲蓄、分期付款的有關(guān)計算等等，而且公式推導(dǎo)過程中所滲透的類比、化歸、分 類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學(xué)生今后學(xué)習(xí)和工作中必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（2）從知識的體系來看：“等比數(shù)列的前 n 項和”是“等差數(shù)列及其前 n 項和”與“等 比數(shù)列”內(nèi)容的延續(xù)、 不僅加深對函數(shù)思想的理解， 也為以后學(xué)數(shù)列的求和， 數(shù)學(xué)歸納法 等做好鋪墊 。二學(xué)情分析。 （1）學(xué)生的已有的知識結(jié)構(gòu)：掌握了等

2、差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式和求和公式 與方法，等比數(shù)列的概念與通項公式。（2）教學(xué)對象：高二理科班的學(xué)生， 學(xué)習(xí)興趣比較濃 ,表現(xiàn)欲較強 , 邏輯思維能力也初步 形成，具有一定的分析問題和解決問題的能力， 但由于年齡的原因， 思維盡管活躍、 敏捷， 卻缺乏冷靜、深刻，因而片面、不夠嚴(yán)謹(jǐn)。（ 3）從學(xué)生的認(rèn)知角度來看： 學(xué)生很容易把本節(jié)內(nèi)容與等差數(shù)列前 n 項和從公式的形成、 特點等方面進行類比，這是積極因素，應(yīng)因勢利導(dǎo)。不利因素是：本節(jié)公式的推導(dǎo)與等差 數(shù)列前 n項和公式的推導(dǎo)有著本質(zhì)的不同，這對學(xué)生的思維是一個突破，另外，對于q =1 這一特殊情況，學(xué)生往往容易忽視，尤其是在后面使用的

3、過程中容易出錯。三教學(xué)目標(biāo)。根據(jù)教學(xué)大綱的要求、 本節(jié)教材的特點和本班學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律， 本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確 定為：（1）知識技能目標(biāo)理解并掌握等比數(shù)列前 n 項和公式的推導(dǎo)過程、 公式的特 點，在此基礎(chǔ)上，并能初步應(yīng)用公式解決與之有關(guān)的問題。（2）過程與方法目標(biāo)通過對公式推導(dǎo)方法的探索與發(fā)現(xiàn)， 向?qū)W生滲透特殊到般、類比與轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，培養(yǎng)學(xué)生觀察、比較、抽象、概括等邏輯思維能力和逆向思維的能力（3）情感，態(tài)度與價值觀培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神，從探索中獲 得成功的體驗，感受數(shù)學(xué)的奇異美、結(jié)構(gòu)的對稱美、形式的 簡潔美。四重點 , 難點分析。教學(xué)重點：公式的推導(dǎo)、公式的特點和公式

4、的運用。 教學(xué)難點：公式的推導(dǎo)方法及公式應(yīng)用中 q與 1的關(guān)系。五教法與學(xué)法分析 .培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、 學(xué)會探究是全面發(fā)展學(xué)生能力的重要前提， 是高中新課程改革的 主要任務(wù)。 如何培養(yǎng)學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)、 學(xué)會探究呢？建構(gòu)主義認(rèn)為： “知識不是被動吸收的， 而是由認(rèn)知主體主動建構(gòu)的。 ”這個觀點從教學(xué)的角度來理解就是：知識不是通過教師傳 授得到的，而是學(xué)生在一定的情境中，運用已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗，并通過與他人（在教師指導(dǎo) 和學(xué)習(xí)伙伴的幫助下）協(xié)作，主動建構(gòu)而獲得的，建構(gòu)主義教學(xué)模式強調(diào)以學(xué)生為中心， 視學(xué)生為認(rèn)知的主體， 教師只對學(xué)生的意義建構(gòu)起幫助和促進作用。 因此，本節(jié)課采用了 啟發(fā)式和探究式相結(jié)合的

5、教學(xué)方法， 讓老師的主導(dǎo)性和學(xué)生的主體性有機結(jié)合， 使學(xué)生能 夠愉快地自覺學(xué)習(xí)，通過學(xué)生自己觀察、分析、探索等步驟，自己發(fā)現(xiàn)解決問題的方法， 比較論證后得到一般性結(jié)論，形成完整的數(shù)學(xué)模型，再運用所得理論和方法去解決問題。 一句話： 還課堂以生命力，還學(xué)生以活力。六課堂設(shè)計（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問題。（時間設(shè)定： 3 分鐘）利用投影展示 在古印度，有個名叫西薩的人，發(fā)明了國際象棋，當(dāng)時的印度國王大 為贊賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的 64 個方格上，第一格 放 1 粒小麥，第二格放 2 粒，第三格放 4 粒，往后每一格都是前一格的兩倍，直至第 64 格。國王令宮廷數(shù)學(xué)家計

6、算，結(jié)果出來后，國王大吃一驚。為什么呢？ 設(shè)計這個情境目的是在引入課題的同時激發(fā)學(xué)生的興趣， 調(diào)動學(xué)習(xí)的積極性故事內(nèi)容 緊扣本節(jié)課的主題與重點 提出問題 1：同學(xué)們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？引導(dǎo)學(xué)生寫出麥?？倲?shù) 1 2 22 23263（二）師生互動，探究問題 5 分鐘 提出問題 2：1+ 2+ 22 +23 +263究竟等于多少呢 ?有學(xué)生會說：用計算器來求（老師當(dāng)然肯定這種做法，但學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)比較難求。 ） 提出問題 3：同學(xué)們，我們來分析一下這個和式有什么特征？（學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，后一項都是 前一項的 2 倍）提出問題 4：如果我們把每一項都乘以 2，就變成了它的后一項，那么我們?nèi)粼诖?/p>

7、等式兩邊同以 2，得到另一式： 利用投影展示 .S64 1 2 22 23263（1）2S64 2 22 23 242 64（2）比較（ 1）（2 ）兩式，你有什么發(fā)現(xiàn)？（學(xué)生經(jīng)過比較發(fā)現(xiàn)：（ 1）、（ 2）兩式有許多相 同的項）提出問題 5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什么呢？。 （學(xué)生會發(fā)現(xiàn)： S64 264 1 這五個問題的設(shè)計意圖：層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學(xué)生容易接受為 什么要錯位相減，經(jīng)過繁難的計算之苦后，突然發(fā)現(xiàn)上述解法，也讓學(xué)生感受到這種 方法的神奇 這時，老師向同學(xué)們介紹錯位相減法，并提出問題 6：同學(xué)們反思一下我們錯位相減法求此題的過程，為什么（ 1）式

8、兩邊要同乘以 2 呢？這個問題的設(shè)計意圖 : 讓學(xué)生對錯位相減法有一個深刻的認(rèn)識， 也為探究等比數(shù)列求和公 式的推導(dǎo)做好鋪墊 （三）類比聯(lián)想，解決問題。 時間設(shè)定： 10分鐘提出問題 7：設(shè)等比數(shù)列 an 的首項為 a1, 公比為q,求它的前項和 Sn即 Sn a1 a2 a3a 學(xué)生開展合作學(xué)習(xí) ,討論交流，老師巡視課堂， 發(fā)現(xiàn)有典型解法的，叫同學(xué)板書在黑板上。 設(shè)計意圖：從特殊到一般 ,從模仿到創(chuàng)新 ,有利于學(xué)生的知識遷移和能力提高，讓學(xué)生在 探索過程中，充分感受到成功的情感體驗 四）分析比較，開拓思維。 時間設(shè)定： 5分鐘將不同的的方法進等行比分析數(shù)評列價。根an據(jù),學(xué)公生比的為認(rèn)識q狀

9、,況它，的可能前有n如下項幾和種方法：錯位相減法1：Sn a1 a1q a1q 2a1qn 2 a1qn 1qSna1q a1q2n1n2a1 q a1q a1 q(1 q)Sn a1 a1qn等比數(shù)列 an,公比為 q ,它的前 n 項和錯位相減法Sna 1 a 2a 3an 1 an提出公比 qqSna 2 a 3(1 q)Sn a1 anqan 1 an等比數(shù)列 an,公比為 q ,它的前 n 項和Sna1a2a3an 1an2 n 2 n 1Sna1a1 qa1qa1 q a1 qn 3 n 2a1 q(a1 a1qa1qa1q )a1 q(Sn a1qn 1)(1 q)Sn a1 a

10、1qn累加法等比數(shù)列 an,公比為 q,它的前 n 項和Sn a1 a2 a3an 1 ana2 a1qa3 a2 qa4 a3 qan an 1qa2 a3an q(a1 a2 a3an 1 )Sn a1 q(Sn an)(1 q)Sn a1 anq可能也有同學(xué)會想到由等比定理得anqSna1a2a3ana2 a3a1annqa2an 1a2 a3anqa1 a2an 1即 Sn a1qSn an(1 q)Sn a1 anq設(shè)計意圖：共享學(xué)習(xí)成果，開拓了思維，感受數(shù)學(xué)的奇異美 】五) 歸納提煉，構(gòu)建新知。 時間設(shè)定： 3 分鐘提出問題8:由(1- q)sn = a1-a1qn得sn= a1

11、-a1q 對不對？這里的 q能不能等于 1？等比數(shù)列中的公比1- q能不能為1？ q 1 時是什么數(shù)列？此時 Sn ？設(shè)計意圖：通過反問精講，一方面使學(xué)生加深對知識的認(rèn)識，完善知識結(jié)構(gòu)，增強思維 的嚴(yán)謹(jǐn)性】提出問題 9: 等比數(shù)列的前 n項和公式怎樣 ?,q 11a1(1 qn),q 1a1 anq學(xué)生歸納出 Sn1 qSn1 qna1,q 1na1,q設(shè)計意圖：向?qū)W生滲透分類討論數(shù)學(xué)思想，加深對公式特征的了解 】六) 層層深入，掌握新知 。 時間設(shè)定： 15 分鐘基礎(chǔ)練習(xí) 1已知 an 是等比數(shù)列 ,公比為 q21(1) 若a1=3,q= 3, 則Sn(2). 則a1 2,q 1,則 Sn練

12、習(xí) 2 判斷是非n 1 (1 2n) (1).1-2+4-8+16- + -2 n1 ( 2)(2) .1 2 22 232n 1 (1 2 )128(3) .a a2 a3a8 a(1 a )1a設(shè)計意圖：通過兩道簡單題來剖析公式中的基本量進行正反兩方面的“短、淺、快”練習(xí)通過總結(jié)、辨析和反思，強化公式的結(jié)構(gòu)特征 】例1 已知數(shù)列 an 是等比數(shù)列 , 完成下表題號a1qnanSn（1）1/21/28（2）272/38（3）-2-96-63【設(shè)計意圖：滲透方程思想 .通過公式的正用和逆用進一步提高學(xué)生運用知識的能力 .掌握 公式中 ”知三求二 ”的題型】練習(xí) 3：求等比數(shù)列 12,14,18

13、,116, 前 8 項和；變式 1 、等比數(shù)列 12,14,81,116, 前多少項的和是 63；變式2、等比數(shù)列 1,1,1,1 , 求第5項到第 10項的和；2 4 8 16變式 3、等比數(shù)列 a,a2,a3, an, 求前 2n 項中所有偶數(shù)項的和。 （先由學(xué)生獨立求解，然后抽學(xué)生板演，教師巡視、指導(dǎo)，講評學(xué)生完成情況，尋找學(xué)生 中的閃光點，給予熱情表揚。 ）【設(shè)計意圖：變式訓(xùn)練 ,深化認(rèn)識，增加思維的梯度的同時，提高學(xué)生的模式識別能力， 滲透轉(zhuǎn)化思想 】練習(xí) 4 有一位大學(xué)生畢業(yè)后到一家私營企業(yè)去工作，試用期過后，老板對這位大學(xué) 生很欣賞， 有意留下他， 就讓這位大學(xué)生提出待遇方面的要

14、求， 這位學(xué)生提出了兩種方案 讓老板選擇，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一個月的工資為 20 元， 以后每個月的工資是上月工資的 2 倍，此時，老板不假思索就選擇了第二種方案， 于是他 們之間就訂了一個勞動待遇合同。請你分析一下，老板的選擇是否正確？【設(shè)計意圖： 讓學(xué)生進一步認(rèn)識到數(shù)學(xué)來源于生活并應(yīng)用于生活，生活中處處有數(shù)學(xué) 】 （七）總結(jié)歸納，加深理解。 時間設(shè)定： 2 分鐘（1）等比數(shù)列的求和公式是什么？應(yīng)用時要注意什么？（2）用什么方法可以推導(dǎo)了等比數(shù)列的求和公式？【設(shè)計意圖：形成知識模塊， 從知識的歸納延伸到思想方法的提煉， 優(yōu)化學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)】（八）課后作業(yè)，鞏固提高。 時間設(shè)定： 1分鐘必做：（ 1）P66練習(xí) 1研究性作業(yè)：請上網(wǎng)查閱“芝諾悖論”選做：求和： 1 2 2 22 3 23 4 2 4n 2n【設(shè)計意圖：為了使所有學(xué)生鞏固所學(xué)知識，布置了“必做題” ；“選做題”又為學(xué)有余力 者留有自由發(fā)展的空間， 布置了“探究題”以利于學(xué)生開