第33課圓與三角形的綜合題

1、第 33 課 圓與三角形的綜合題方法指導(dǎo)關(guān)于圓的綜合性問題， 往往是中考試題中的中等難度題， 考查容涉及到了方程、 三角形 全等與相似、 特殊四邊形性質(zhì)及其圓的相關(guān)知識點， 解決這類問題要求學(xué)生必須穩(wěn)固各方面 的數(shù)學(xué)知識，熟練把握有關(guān)推理證明、計算分析、動態(tài)變化、分類討論等多方面的類型題。 這類問題在考查過程中往往涉及到方程思想、 轉(zhuǎn)化思想、 數(shù)形結(jié)合思想， 近年來有關(guān)圓的綜 合題綜合的容越來越廣泛， 解題技巧要求越來越高， 因此解決此類問題往往采用的主要方法 可以借助題意中的條件聯(lián)想并運用所體現(xiàn)的知識點，從而探尋解題的突破口。真題回顧【例】（ 2016）如圖，在 RtABC 中，ABC=90

2、，AB=CB，以 AB 為直徑的 O交 AC 于點 D，點 E是AB 邊上一點（點 E不與點 A 、B重合），DE的延長線交 O于點 G，DFDG， 且交 BC 于點 F（1）求證： AE=BF ；（2）連接 GB，EF，求證： GB EF；（3）若 AE=1，EB=2 ，求 DG 的長考點】 圓的綜合題分析】（1）連接 BD，由三角形 ABC 為等腰直角三角形，求出 A 與C 的度數(shù)，根據(jù)AB 為圓的直徑，利用圓周角定理得到ADB 為直角，即 BD 垂直于 AC ，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到AD=DC=BD= AC，進(jìn)而確定出 A= FBD，再利用同角的余角相等得到一對角

3、相等，利用ASA 得到三角形 AED 與三角形 BFD 全等，利用全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；2）連接 EF，BG，由三角形 AED 與三角形 BFD 全等，得到 ED=FD ，進(jìn)而得到三角形DEF 為等腰直角三角形，利用圓周角定理及等腰直角三角形性質(zhì)得到一對同位角相等，利 用同位角相等兩直線平行即可得證；3）由全等三角形對應(yīng)邊相等得到 AE=BF=1 ，在直角三角形 BEF 中，利用勾股定理求出EF 的長，利用銳角三角形函數(shù)定義求出 DE 的長，利用兩對角相等的三角形相似得到三角 形 AED 與三角形 GEB 相似，由相似得比例， 求出 GE 的長，由 GE+ED 求出 GD 的長即可 【

4、解答】（1）證明：連接 BD ，在 RtABC 中， ABC=90 ，AB=BC ， A= C=45，AB 為圓 O 的直徑， ADB=90 ，即 BD AC ，AD=DC=BD= AC ， CBD= C=45， A=FBD ， DFDG， FDG=90 ， FDB+ BDG=90 ， EDA+ BDG=90 ， EDA= FDB ， 在 AED 和 BFD 中， AED BFD （ASA ）， AE=BF ；（2）證明：連接 EF， BG， AED BFD ，DE=DF ， EDF=90 ，EDF 是等腰直角三角形， DEF=45 ， G= A=45， G= DEF ， GB EF；3)AE

5、=BF ，AE=1 ， BF=1 ，在 RtEBF 中， EBF=90， 根據(jù)勾股定理得： EF2=EB 2+BF 2， EB=2 ，BF=1 ，EF=， DEF 為等腰直角三角形， EDF=90 ， cos DEF= ，EF= ，DE=G=A，GEB=AED ， GEB AED ，GE?ED=AE?EB ，?GE=2，即 GE=， ，即，則 GD=GE+ED= 則變式訓(xùn)練 1（ 2015）如圖，在 ABC 中， C=90，以 AB 上一點 O 為圓心， OA 長為半徑的圓恰 好與 BC 相切于點 D，分別交 AC 、AB 于點 E、F（1）若 B=30 ，求證：以 A、O、D、E 為頂點的四

6、邊形是菱形（2）若 AC=6， AB=10 ，連結(jié) AD ，求 O的半徑和 AD 的長適應(yīng)訓(xùn)練交 AB2（ 2015濰坊）如圖，在 ABC 中，AB=AC ，以 AC 為直徑的 O交 BC 于點 D， 于點 E，過點 D 作 DFAB ，垂足為 F，連接 DE（1）求證：直線 DF 與 O 相切；2）若 AE=7，BC=6 ，求 AC 的長EB3.（ 2016 省市）如圖， AB 是O 的直徑， BAC=90，四邊形 EBOC 是平行四邊形， 交O 于點 D，連接 CD 并延長交 AB 的延長線于點 F（1）求證： CF是O 的切線；2）若 F=30， EB=4 ，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果保

7、留根號和）課外作業(yè) 4（ 2015）已知 ABC 接于 O，過點 A 作直線 EF（1）如圖 所示，若 AB 為O的直徑，要使 EF 成為O的切線，還需要添加的一個條 件是（至少說出兩種） ： 或者 （2）如圖 所示，如果 AB 是不過圓心 O的弦，且CAE=B，那么 EF 是O的切線嗎？ 試證明你的判斷5（ 2015棗莊）如圖，在ABC 中， ABC=90 ，以 AB 的中點 O 為圓心、 OA 為半徑的 圓交 AC 于點 D ，E 是 BC 的中點，連接 DE， OE1）判斷 DE 與O 的位置關(guān)系，并說明理由；2）求證： BC2=CD?2OE；3）若 cosBAD=0.6 ， BE=6

8、，求 OE 的長A變式訓(xùn)練 1解答：（1）證明：如圖 1，連接 OD、OE、 ED BC與 O相切于一點 D，OD BC， ODB=90 = C，OD AC，B=30，A=60，OA=OE， AOE是等邊三角形，AE=AO=0D，四邊形 AODE是平行四邊形，OA=OD，四邊形 AODE是菱形（2）解：設(shè) O的半徑為 r OD AC， OBD ABCOD OB，即 8r=6 （ 8 r ）AC AB15解得 r= 15 ，415 O的半徑為 15 如圖 2，連接 OD、 DFOD AC， DAC=ADO，OA=OD， ADO=DAO， DAC=DAO， AF是 O的直徑， ADF=90= C，

9、 ADC AFD，AD AFAC ADAD2=AC?AF，AC=6，AF=152=1515AD2= 6=45，2AD= 45 =3 5適應(yīng)訓(xùn)練2解答：（1）證明：如圖，連接 ODAB=AC，B=C，OD=O，C ODC= C， ODC= B，ODAB，DFAB，ODDF，點 D 在O上，直線 DF與O 相切；（2）解：四邊形 ACDE是O的接四邊形， AED+ACD=180 ， AED+BED=180 ，BED=ACD，B=B，BEDBCA， BD BE ，AB BC ，ODAB， AO=CO，BD=CD=BC，=3又AE=7， 3 BE ，7 BE 6BE=2，AC=AB=AE+BE=7+2

10、=93. 【解答】（ 1）證明：如圖連接 OD四邊形 OBEC 是平行四邊形，OCBE， AOC= OBE，COD=ODB，OB=OD ， OBD= ODB， DOC= AOC，在 COD和 COA 中， COD COA， CAO= CDO=90 ，CFOD，CF 是 O 的切線（2）解： F=30， ODF=90 ， DOF= AOC= COD=60 ，OD=OB ，OBD 是等邊三角形， DBO=60 ， DBO= F+FDB， FDB= EDC=30 ，ECOB， E=180 OBD=120 ， ECD=180 E EDC=30 ，EC=ED=BO=DB ，EB=4 ，OB=OD OA=

11、2 ， AOC=60 ，=2 在 RT AOC 中， OAC=90 ，OA=2 ，AC=OA?tan60 =2，S 陰=2?S AOC S扇形 OAD =2 22 課外作業(yè) 4解答：（1） BAE=90， EAC=ABC，理由是： BAE=90，AEAB，AB是直徑，EF是O的切線；AB 是直徑，ACB=90，ABC+BAC=90，EAC=ABC，BAE=BAC+EAC=BAC+ABC=90，即 AE AB，AB是直徑，EF是O的切線；2)EF 是O的切線證明：作直徑 AM，連接 CM， 則ACM=90 ， M=B， M+CAM= B+CAM=90 ， CAE=B， CAM+ CAE=90， AEAM，AM為直徑， EF是O的切線5解答：（1）證明：連接 OD， BD，AB 為圓 O的直徑， ADB=90，在 RtBDC中， E為斜邊 BC的中點， CE=DE=BE=B，C C= CDE，OA=OD， A= ADO， ABC=90，即 C+A=90， ADO+CDE=90 ，即 ODE=90 ， DE OD，又 OD為圓的半徑，DE 為 O的切線； （2）證明： E