隨機過程知識點匯總

1、第一章 隨機過程的基本概念與基本類型 一隨機變量及其分布1隨機變量 X ， 分布函數(shù) F (x) P(X x)離散型隨機變量 X 的概率分布用分布列 pk P( X xk) 分布函數(shù) F(x) pk 連續(xù)型隨機變量 X的概率分布用概率密度 f (x)分布函數(shù) F(x) x f (t)dt2n 維隨機變量 X (X1, X2, ,Xn)其聯(lián)合分布函數(shù) F (x) F(x1 , x2, ,xn) P(X1 x1, X2 x2, ,Xn xn,)離散型 聯(lián)合分布列 連續(xù)型 聯(lián)合概率密度 隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學期望：離 散型隨機變量 X EXxkpk 連續(xù)型隨機變量 XEX xf (x)dx方差： D

2、X E(X EX)2 EX 2 (EX)2 反映隨機變量取值的離散程度協(xié)方差(兩個隨機變量 X,Y)： BXY E(X EX)(Y EY) E(XY)EXEY相關系數(shù)(兩個隨機變量 X ,Y )： XYDXBXYDY0，則稱 X,Y 不相關。獨立 不相關特征函數(shù) g(t ) E(eitX )離散 g(t)itxepk 連續(xù)g(t)eitx f ( x) dx重要性質： g(0) 1， g(t) 1， g( t) g(t)，gk (0)EX k常見隨機變量的分布列或概率密度、期望、方差分布 P(X 1) p, P( X 0) q EX pDXpq二項分布 P(X k) Cnk pk qn kEX

3、 np DXnpq泊松分布P(Xk) e k!EXDX均勻分布略正態(tài)分布N (a, 2)f (x)( x a)2221e 2EXDX指數(shù)分布f(x)e0,x, x 0x0EXDX維正態(tài)隨機變量X (X1, X2, X n ) 的聯(lián)合概率密度 XN(a,B)B (bij )n n 正定協(xié)方差陣a (a1, a2 , ,an)， x (x1,x2, ,xn)， 二隨機過程的基本概念 隨機過程的一般定義T ，都有一個隨機設 ( , P)是概率空間， T 是給定的參數(shù)集，若對每個 變量 X 與之對應，則稱隨機變量族 X(t,e),t T 是 ( , P)上的隨機過程。簡記為X (t),t T 。含義：

4、隨機過程是隨機現(xiàn)象的變化過程，用一族隨機變量才能刻畫出這種隨 機現(xiàn)象的全部統(tǒng)計規(guī)律性。另一方面，它是某種隨機實驗的結果，而實驗出現(xiàn)的 樣本函數(shù)是隨機的。當t 固定時， X (t,e)是隨機變量。當 e固定時， X(t,e)時普通函數(shù)，稱為隨機過 程的一個樣本函數(shù)或軌道。分類：根據(jù)參數(shù)集 T 和狀態(tài)空間 I 是否可列，分四類。 也可以根據(jù) X(t) 之間 的概率關系分類，如獨立增量過程，馬爾可夫過程，平穩(wěn)過程等。 隨機過程的分布律和數(shù)字特征用有限維分布函數(shù)族來刻劃隨機過程的統(tǒng)計規(guī)律性。隨機過程 X (t),t T 的一 維分布，二維分布， n 維分布的全體稱為有限維分布函數(shù)族。隨機過程的有限 維

5、分布函數(shù)族是隨機過程概率特征的完整描述。在實際中，要知道隨機過程的全部有限維分布函數(shù)族是不可能的，因此用某些統(tǒng)計特征來取代)均值函數(shù) mX (t) EX (t) 表示隨機過程 X(t),t T 在時刻 t的平均值)方差函數(shù) DX(t) EX(t) mX (t)2表示隨機過程在時刻 t對均值的偏離程度且有 BX (t,t) DX (t)協(xié)方差函數(shù) BX(s,t) E(X(s) mX (s)(X(t) mX(t)EX(s)X(t) mX (s)mX(t)相關函數(shù) RX (s,t) EX(s)X(t) (3) 和(4) 表示隨機過程在時刻 s， t時的線性相關程度)互相關函數(shù)： X (t),t T

6、， Y(t),t T 是兩個二階距過程，則下式稱為它們 的互協(xié)方差函數(shù)。BXY(s,t) E( X(s) mX(s)(Y(t) mY(t)，那么 RXY(s,t) EX(s)Y(t) ，稱為互相關函 EX(s)Y(t) mX (s)mY (t)數(shù)。若 EX(s)Y(t) mX (s)mY (t) ，則稱兩個隨機過程不相關。復隨機過程Zt X t jYt均值函數(shù) mZ (t) EX t jEYt方差函數(shù)2DZ(t) E| Zt mZ(t)|2 E(Zt mZ(t)(Zt mZ (t)BZ(s,t) E(Zs mZ (s)(Zt mZ (t) 協(xié)方差函數(shù) 相關函數(shù) RZ (s,t) EZsZt E

7、Zs Zt mZ(s)mZ(t)常用的隨機過程()二階距過程：實(或復)隨機過程 X(t),t T ，若對每一個 t T ，都有E X(t) 2(二階距存在) ，則稱該隨機過程為二階距過程。( 2) 正 交 增 量 過 程 ： 設 X(t),t T 是 零 均值 的 二階 距 過 程， 對 任意 的t1 t2 t3 t 4 T ，有E( X(t2) X(t1)(X(t4) X(t3) 0 ，則稱該隨機過程為正交增量過程。 其協(xié)方差函數(shù) BX(s,t) RX(s,t) X2 (min( s,t)( 3)獨立增量過程：隨機過程 X (t),t T ，若對任意正整數(shù) n 2 ，以及任意的 t1 t2

8、tn T ，隨機變量 X(t2) X(t1),X(t4) X(t3), ,X(tn) X(tn 1 )是相互獨立的，則稱 X(t),t T 是獨立增量過程。 進一步， 如 X(t),t T 是獨立增量過程， 對任意 s t ，隨機變量 X (t) X (s)的分布僅依賴于 t s，則稱 X (t),t T 是平穩(wěn)獨 立增量過程。(4)馬爾可夫過程： 如果隨機過程 X (t),t T 具有馬爾可夫性， 即對任意正整數(shù) n 及t1 t2tn T ，P(X(t1) x1, ,X(tn 1) xn 1) 0，都有P X(tn) xn X(t1) x1, ,X(tn1) xn1 P X(tn) xnX(

9、tn 1) xn 1 ， 則 則 稱X (t), t T 是馬爾可夫過程。(5)正態(tài)過程：隨機過程 X(t),t T ，若對任意正整數(shù) n及 t1,t2, ,tn T ， (X(t1),X(t2) X(tn)是 n 維正態(tài)隨機變量，其聯(lián)合分布函數(shù)是 n 維正態(tài)分布函 數(shù)，則稱 X (t),t T 是正態(tài)過程或高斯過程。( 6)維納過程：是正態(tài)過程的一種特殊情形。設 W(t), t 為實隨機過程，如果， W(0) 0 ；是平穩(wěn)獨立增量過程； 對任意 s,t增量W(t) W (s)服從正態(tài)分布，即 W(t) W(s) N(0, 2t s) 2 0。 則稱 W (t),t 為維納過程，或布朗運動過程

10、。另外：它是一個 Markov 過程。因此該過程的當前值就是做出其未來預測中所 需的全部信息。維納過程具有獨立增量。該過程在任一時間區(qū)間上變化的概率分布獨立于其在 任一的其他時間區(qū)間上變化的概率。 它在任何有限時間上的變化服從正態(tài)分布， 其方差隨時間區(qū)間的長度呈線性增加。7)平穩(wěn)過程：嚴(狹義)平穩(wěn)過程： X(t),t T ，如果對任意常數(shù) 和正整數(shù) n及t1,t2, ,tn T ， t1,t2,tnT ，( X(t1),X(t2)X(tn)與(X(t1),X(t2)X(tn) )有相同的聯(lián)合分布，則稱 X (t),t T 是嚴(狹義)平穩(wěn)過程。廣義平穩(wěn)過程：隨機過程 X (t),t T ，如

11、果 X (t),t T 是二階距過程；對任意 的t T， mX(t) EX(t) 常數(shù) ；對任意 s，t T，RX(s,t) E X (s) X (t) RX(t s)， 或僅與時間差 t s有關。則滿足這三個條件的隨機過程就稱為廣義平穩(wěn)過程， 或寬 平穩(wěn)過程，簡稱平穩(wěn)過程。第二章 泊松過程一泊松過程的定義(兩種定義方法)，設隨機計數(shù)過程 X (t),t 0 ，其狀態(tài)僅取非負整數(shù)值，若滿足以下三個條件， 則稱： X(t),t T 是具有參數(shù) 的泊松過程。 X (0) 0；獨立增量過程，對任 意 正 整 數(shù) n ， 以 及 任 意 的 t1 t2tn T X(t2) X(t1),X(t3) X(

12、t2), ,X(tn) X(tn 1 )相互獨立，即不同時間間隔的計數(shù)相互獨立；在任一長度為 t 的區(qū)間中，事件發(fā)生的次數(shù)服從參數(shù)t 0 的的 泊 松 分 布 ， 即 對 任 意 t,s 0 ， 有P X (t s)X(s)n e t ( t)nn 0,1,Ln!EX(t)t，EX(t) ，表示單位時間內(nèi)時間發(fā)生的平均個數(shù)， t也稱速率或強度。，設隨機計數(shù)過程 X (t),t 0 ，其狀態(tài)僅取非負整數(shù)值，若滿足以下三個條件，則稱： X(t),t 0 是具有參數(shù) 的泊松過程。 X (0) 0；獨立、平穩(wěn)增量過程； P X(t h) X(t) 1 h o(h) 。P X(t h) X (t) 2

13、o(h) 第三個條件說明，在充分小的時間間隔內(nèi)，最多有一個事件發(fā)生，而不可能有兩 個或兩個以上事件同時發(fā)生，也稱為單跳性。s( t 1) s t t ( s 1) s t二基本性質，數(shù)字特征mX (t) EX (t) t DX(t) RX(s,t)BX(s,t) RX(s,t) mX(s)mX(t)min( s,t) 推導過程要非常熟悉，Tn 表示第 n 1事件發(fā)生到第 n次事件發(fā)生的時間間隔， Tn,n 1 是時間序列，隨機變量 Tn 服從參數(shù)為 的指數(shù)分布。概率密度為 f (t)e ,t 0 ，分布函數(shù)0, t 0FT (t) 1 e , t 0均值為 ETn 1 Tn0, t 0 n證明

14、過程也要很熟悉 到達時間的分布 略三非齊次泊松過程 到達強度是 t 的函數(shù)設 N (t ),t 0 是強度為 的泊松過程，Yk ,k 1,2,L 是一列獨立同分布的隨機變 X (0) 0 ；獨立增量過程；PX (th)X (t) 1(t)h o(h) 。 不具有PX (th)X (t) 2o(h)平穩(wěn)增量性。均值函數(shù) mX (t) EX(t) (s)ds定理： X (t), t 0 是具有均值為 mX(t)t0(s)ds 的非齊次泊松過程，則有四復合泊松過程N(t)量，且與 N(t),t 0 獨立，令 X (t)Yk 則稱 X(t),t 0 為復合泊松過程k1重要結論：X(t),t 0 是獨立

15、增量過程；若 E(Y12)，則 EX(t) tE (Y1) ，DX (t)tE(Y12)第五章 馬爾可夫鏈泊松過程 是時間連續(xù)狀態(tài)離散的馬氏過程， 維納過程 是時間狀態(tài)都連續(xù)的馬 氏過程。時間和狀態(tài)都離散的馬爾可夫過程稱為 馬爾可夫鏈。馬爾可夫過程的特性：馬爾可夫性或無后效性。即：在過程時刻 t0 所處的狀態(tài) 為已知的條件下，過程在時刻 t t 0所處狀態(tài)的條件分布與過程在時刻 t0 之前所處 的狀態(tài)無關。也就是說，將來只與現(xiàn)在有關，而與過去無關。表示為P X(tn ) xn X(tn 1) xn 1P X(tn) xn X (t1) x1, , X(tn 1) xn 1一馬爾可夫鏈的概念及轉

16、移概率1定義：設隨機過程 Xn,n T ，對任意的整數(shù) n T 和任意的 i0,i1,L ,in 1 I ，條 件 概 率 滿 足 P Xn 1 in 1 X0 i0,X1 i1,L ,Xn in P Xn1 in 1 Xn in ， 則 稱 Xn ,n T 為馬爾可夫鏈。馬爾可夫鏈的統(tǒng)計特性完全由條件概率 P X n 1 i n 1 Xn in 所決定。2轉移概率P Xn 1j X n i 相當于隨機游動的質點在時刻n處于狀態(tài) i 的條件下，下一步轉移到 j 的概率。記為 pij (n)。則 pij (n) P Xn 1 j Xn i 稱為馬爾可夫鏈在時刻 n的一步轉移概率。若齊次馬爾可夫鏈

17、，則pij(n)與 n無關，記為 pijP pij i, j I I 1,2,L 稱為系統(tǒng)的一步轉移矩陣。性質：每個元素pij 0 ，每行的和為 1。3n步轉移概率 pij(n)=P Xm n j Xm i；P(n) pij(n) i, j I I 1,2,L 稱為 n步轉移矩陣。重要性質： pij(n)pik(l)pkj(nl) 稱為 C K 方程，證明中用到條件概率的乘法公kI式、馬爾可夫性、齊次性P Xm i,Xm l k,Xm n j掌握證明方法：k T P X m iP Xm i,Xm l k,Xm n j P Xm i,Xm l k k T P Xm i,Xm l k P Xm i

18、pk(jn l) (m l) pi(kl) (m)pi(kl ) pk(jn l)k I k IP Xm npij(n)j X m iP X m ii, X m n P(n) Pn 說明 n 步轉移概率矩陣是一步轉移概率矩陣的n次乘方。4 Xn,n T 是馬爾可夫鏈，稱 pj P X0 j 為初始概率，即 0 時刻狀態(tài)為 j 的 概率；稱 pj(n) P Xn j 為絕對概率，即n時刻狀態(tài)為 j 的概率。 PT (0) p1, p2,L 為初始概率向量， PT(n) p1(n), p2 ( n),L 為絕對概率向量。定理： pj(n)pi pi(jn) 矩陣形式： PT(n) PT(0)P(n

19、) pj(n)pi(n 1)piji I i I定理： P X1 i1,X2 i2,L ,Xn inpipii1L pin 1in 說明馬氏鏈的有限維分布完全iI 由它的初始概率和一步轉移概率所決定。二馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類1周期： 自某狀態(tài)出 發(fā)，再返 回某狀態(tài) 的所有可 能步數(shù)最 大公約數(shù) ，即 d GC D n: pii(n) 0 。若d 1 ，則稱該狀態(tài)是周期的；若 d 1 ，則稱該狀態(tài)是非周 期的。2首中概率： fij(n)表示由 i出發(fā)經(jīng) n步首次到達 j的概率。3 fijfij(n) 表示由 i出發(fā)經(jīng)終于(遲早要)到達 j 的概率。n14如果 fii 1，則狀態(tài) i 是常返態(tài)；如果

20、 fii 1，狀態(tài) i是非常返(滑過)態(tài)。5 infii(n) 表示由 i出發(fā)再返回到 i的平均返回時間。 若 i，則稱 i是正常返n1態(tài)；若 i ，則稱 i 是零常返態(tài)。非周期的正常返態(tài)是遍歷狀態(tài)。6狀態(tài) i 是常返充要條件是 p(n) ；狀態(tài) i 是非常返充要條件是 p(n) 1 。n 0 ii n 0 ii 1 f ii7稱狀態(tài) i與 j 互通， i j,即i j且j i 。如果 i j ，則他們同為常返態(tài)或非常 返態(tài)，；若 i， j 同為常返態(tài)，則他們同為正常返態(tài)或零常返態(tài)，且i， j 有相同的周期。8狀態(tài) i 是遍歷狀態(tài)的充要條件是 lim pi(in) 1 0 。一個不可約的、非周

21、期的、有ni限狀態(tài)的馬爾可夫鏈是遍歷的。9要求：熟悉定義定理，能由一步轉移概率矩陣畫出狀態(tài)轉移圖，從而識別各狀 態(tài)。三狀態(tài)空間的分解1設C是狀態(tài)空間 I 的一個閉集， 如果對任意的狀態(tài) i C ，狀態(tài) j C，都有 pij 0 (即從 i出發(fā)經(jīng)一步轉移不能到達 j )，則稱 C為閉集。如果 C的狀態(tài)互通，則稱 C 是不可約的。如果狀態(tài)空間不可約，則馬爾可夫鏈Xn ,n T 不可約?；蛘哒f除了C 之外沒有其他閉集，則稱馬爾可夫鏈Xn ,n T 不可約。2 C為閉集的充要條件是：對任意的狀態(tài)i C ，狀態(tài) j C，都有 p(n) 0。所以閉集的意思是自 C 的內(nèi)部不能到達 C的外部。意味著一旦質點

22、進入閉集 C中，它將 永遠留在 C 中運動。如果 pii 1，則狀態(tài) i 為吸收的。等價于單點 i 為閉集。 3馬爾可夫鏈的分解定理：任一馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間I ，必可唯一地分解成有限個互不相交的子集 D,C1,C2,L Cn L 的和，每一個 Cn都是常返態(tài)組成的不可約閉 集； Cn 中的狀態(tài)同類，或全是正常返態(tài)，或全是零常返態(tài)，有相同的周期，且fij 1。 D 是由全體非常返態(tài)組成。分解定理說明：狀態(tài)空間的狀態(tài)可按常返與非常返分為兩類，非常返態(tài)組成集合 D ，常返態(tài)組成一個閉集 C。閉集 C 又 可按互通關系分為若干個互不相交的基本常返閉集C1,C2,L Cn L 。含義：一個馬爾可夫鏈如

23、果從 D 中某個非常返態(tài)出發(fā)，它或者一直停留在 D 中，或某一時 刻進入某個基本常返閉集 Cn ，一旦進入就永不離開。一個馬爾可夫鏈如果從某一 常返態(tài)出發(fā)，必屬于某個基本常返閉集 Cn ，永遠在該閉集 Cn中運動。 4有限馬爾可夫鏈：一個馬爾可夫鏈的狀態(tài)空間是一個有限集合。 性質：所有非常返態(tài)組成的集合不是閉集；沒有零常返態(tài)；必有正常返態(tài)； 狀態(tài)空間 I D C1 C2 L Cn ， D 是非常返集合， C1 ,C2 ,L Cn 是正常返集合。不可約有限馬爾可夫鏈只有正常返態(tài)。四 pi(jn) 的漸近性質與平穩(wěn)分布1為什么要研究轉移概率 pi(jn) 的遍歷性？研究 pi(jn)當 n時的極限

24、性質，即 P Xn j X0 i 的極限分布，包含兩個問題：一是 lim pi(jn ) 是否存在；二是如果存在，是否與初始狀態(tài)有關。這一類問題稱作遍n歷性定理。如果對 i, j I ，存在不依賴于 i 的極限 lim pi(jn) p j 0，則稱馬爾可夫鏈具有遍 歷性 。 一個不可約的馬爾可夫鏈，如果它的狀態(tài)是非周期的正常返態(tài)，則它就是 一個遍歷鏈。 具有遍歷性的馬爾可夫鏈，無論系統(tǒng)從哪個狀態(tài)出發(fā)，當轉移步數(shù) n充分大時，轉移到狀態(tài) j的概率都近似等于 p j ，這時可以用 pj 作為 pi(jn)的近似值。 2研究平穩(wěn)分布有什么意義？ 判別一個不可約的、非周期的、常返態(tài)的馬爾可夫鏈是否為

25、遍歷的，可以通過討 論 lim pi(jn) 來解決，但求極限時困難的。所以，我們通過研究平穩(wěn)分布是否存在來n判別齊次馬爾可夫鏈是否為遍歷鏈。一個不可約非周期常返態(tài)的馬爾可夫鏈是遍 歷的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且平穩(wěn)分布即極限分布lim pi(j n) = 1 ,j I。nj3 Xn,n 0 是齊次馬爾可夫鏈，狀態(tài)空間為 I ，一步轉移概率為 pij ，概率分布ji pijj,j I 稱為馬爾可夫鏈的平穩(wěn)分布，滿足 i Ij1jI4定理：不可約非周期馬爾可夫鏈是正常返的充要條件是存在平穩(wěn)分布，且此平1穩(wěn)分布就是極限分布 1 , j I 。 推論： 有限狀態(tài)的不可約非周期馬爾可夫鏈必 j存在平穩(wěn)

26、分布 。 5在工程技術中，當馬爾可夫鏈極限分布存在，它的遍歷性表示一個系統(tǒng)經(jīng)過相 當長時間后達到平衡狀態(tài)，此時系統(tǒng)各狀態(tài)的概率分布不隨時間而變，也不依賴 于初始狀態(tài)。6對有限馬爾可夫鏈，如果存在正整數(shù) k，使 pi(jk) 0，即 k 步轉移矩陣中沒有零 元素，則該鏈是遍歷的 。第六章 平穩(wěn)隨機過程一定義(第一章) 嚴平穩(wěn)過程：有限維分布函數(shù)沿時間軸平移時不發(fā)生變化。寬平穩(wěn)過程： 滿足三個條件： 二階矩過程 E X(t) 2 ；均值為常數(shù) EX(t) 常數(shù)； 相關函數(shù)只與時間差有關，即 RX(t,t ) E X(t)X(t ) RX( ) 。 寬平穩(wěn)過程不一定是嚴平穩(wěn)過程，而嚴平穩(wěn)過程一定是寬

27、平穩(wěn)過程。 二聯(lián)合平穩(wěn)過程及相關函數(shù)的性質1定義：設 X (t),t T 和 X (t),t T 是兩個平穩(wěn)過程，若它們的 互相關函數(shù) E X(t)Y(t ) 及 E Y(t)X(t ) 僅與時間差 有關 ，而與起點 t無關，則稱 X(t)和 Y(t) 是聯(lián)合平穩(wěn)隨機過程。即， RXY(t,t ) E X(t)Y(t ) RXY( ) RYX (t,t ) E Y(t)X(t ) RYX( ) 當然， 當兩個平穩(wěn)過程聯(lián)合平穩(wěn)時，其和也是平穩(wěn)過程。相關函數(shù)的性質： RX(0) 0； RX( ) RX( ) ，對于實平穩(wěn)過程， RX( )是 偶函數(shù)。 RX( ) RX (0) 非負定。若 X (t

28、 )是周期的，則相關函數(shù) RX( ) 也是周 期的，且周期相同。如果 X (t)是不含周期分量的非周期過程， X(t)與 X(t )相 互獨立，則 lim RX ( ) mX mX 。|聯(lián)合平穩(wěn)過程 X(t)和Y(t)的互相關函數(shù)， RXY( ) RX (0)RY (0) ， RYX ( ) RX (0) RY (0) ； RXY( ) RYX( ) 。 X (t)和Y (t)是實聯(lián)合平穩(wěn)過程時，則， RXY( ) RYX( ) 。 三隨機分析 略 四平穩(wěn)過程的各態(tài)歷經(jīng)性1T時間均值 X(t) l.i. m 1 T X (t)dt時間相關函數(shù) X (t)X (t ) l .i.m 1X(t)

29、X(t )dt如果 X(t) E X (t ) mX (t )以概率成立， 則稱均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值有 各態(tài)歷經(jīng)性。如果 X (t)X(t ) EX(t)X(t ) RX( ) 以概率成立，則稱均方連續(xù) 的平穩(wěn)過程的相關函數(shù)有各態(tài)歷經(jīng)性。如果均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值和相關函數(shù)都有各態(tài)歷經(jīng)性，則稱該平穩(wěn)過 程是各態(tài)歷經(jīng)的或遍歷的。一方面表明各態(tài)歷經(jīng)過程各樣本函數(shù)的時間平均實際上可以認為是相同的；另一 方面也表明 E X (t ) 與EX(t)X(t ) 必定與 t無關，即各態(tài)歷經(jīng)過程必是平穩(wěn)過程討論平穩(wěn)過程的歷經(jīng)性，就是討論能否在較寬松的條件下，用一個樣本函數(shù) 去近似計算平穩(wěn)過程的均值、協(xié)方

30、差函數(shù)等數(shù)字特征，即用時間平均代替統(tǒng)計平均。 只在一定條件下的平穩(wěn)過程，才具有各態(tài)歷經(jīng)性。均值各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的均值具有各態(tài)歷經(jīng)的充要條件 是相關函數(shù)各態(tài)歷經(jīng)性定理：均方連續(xù)的平穩(wěn)過程的相關函數(shù)具有各態(tài)歷經(jīng)的 充要條件是第七章 平穩(wěn)過程的譜分析 一平穩(wěn)過程的譜密度 推導過程：隨機過程 X(t), t 為均方連續(xù)過程，作截尾處理 XT(t) X(t),t T ，由于 T 0, t TXT(t)均方可積，所以存在FT，得 F( ,T)XT(t)e j tdt TX(t)e j tdt ，利用paserval 定理及 IFT 定義得T 1 2XT2(t)dt T X2(t)dt 1

31、 F( ,T) d 該式兩邊都是隨機變量， 取平均值， 這 時不僅要對時間區(qū)間 T,T 取，還要取概率意義下的統(tǒng)計平均，即T定義 2 lim E 1 TT X 2(t) dt 為 X(t), t 平均功率12sX( ) lim E F( ,T) 2 為 X(t),T 2Tt 功率譜密度，簡稱譜密度?？梢酝瞥霎?X (t),212sX ( )dt 是 均方連續(xù)平穩(wěn)過程 時，有說明平穩(wěn)過程的平均功率等于過程的均方值，或等于譜密度在頻域上的積分。平穩(wěn)過程的譜密度和相關函數(shù)構成 FT 對若平穩(wěn)隨機序列 Xn,n 0, 1, 2,L ，則其譜密度和相關函數(shù)構成 FT 對 二譜密度的性質 sX( )是 R

32、X( )的 FT。sX( )RX( )e j d如果 X(t), t 是均方連續(xù)的實平穩(wěn)過程， 有 RX( ) RX( )，sX( )是也實的 非負偶函數(shù)，則 sX ( ) 是 的有理分式，分母無實根。譜密度的物理含義， sX ( )是一個頻率函數(shù)，從頻率域來描繪 X (t )統(tǒng)計規(guī)律的 數(shù)字特征，而 X (t )是各種頻率簡諧波的疊加， sX( ) 就反映了各種頻率成分所具有的能量大小。計算可以按照定義計算，也可以利用常用的變換對 (t ) 1 1 2()ea2a22aRX ( ) ej 0sX (0 )RX ( T )sX ( )sin1,0,0等0三窄帶過程及白噪聲過程的功率譜密度 窄帶

33、隨機過程：隨機過程的譜密度限制在很窄的一段頻率范圍內(nèi)白噪聲過程：設 X (t),t 為實值平穩(wěn)過程，若它的均值為零，且譜密 度在所有的頻率范圍內(nèi)為非零的常數(shù)，即 sX( ) N0，則稱 X (t), t 為白噪 聲過程。 是平穩(wěn)過程。其相關函數(shù)為 RX( ) N0 ( ) 。表明在任意兩個時刻 t1和t2， X(t1)和 X (t2)不相關， 即白噪聲隨時間的變換起伏極快，而過程的功率譜極寬，對不同輸入頻率的信號 都有可能產(chǎn)生干擾。四聯(lián)合平穩(wěn)過程的互譜密度 互譜密度沒有明確的物理意義，引入它主要是為了能在頻率域上描述兩個平穩(wěn)過 程的相關性 互譜密度與互相關函數(shù)成對關系性質sXY( ) sXY(

34、 ) sXY( )的實部是 的偶函數(shù)，虛部是 的奇函數(shù)， sYX ( )也是。2sXY( )2 sX ( ) sY( ) ； 若 X(t) 和 Y(t) 相 互 正 交 ， 有 RXY( ) 0 ， 則 sXY ( ) sYX ( ) 0 。五平穩(wěn)過程通過線性系統(tǒng)系統(tǒng)的頻率響應函數(shù) H( ) (也可以寫成 H( j ) )一般是一個復值函數(shù)，是系 統(tǒng)單位脈沖響應的 FT。系統(tǒng)輸入 X (t) 為實平穩(wěn)隨機過程， 則輸出 Y(t) 也是實平穩(wěn)隨機過程。 即輸出過 程的均值為常數(shù)，相關函數(shù)是時間差的函數(shù)。且有 RY( ) RXY( ) h( ) RX ( ) h( ) h( )說明輸出過程的相關函

35、數(shù)可以通過兩次卷積產(chǎn)生。RXY( ) RX ( ) h( )的應用：給系統(tǒng)一個白噪聲過程 X (t) ，可以從實測的互相關 資 料 估 計 線 性 系 統(tǒng) 的 未 知 脈 沖 響 應 。 因 為 RX( ) N0 ( ) ， RXY( ) RX ( ) h( )N0 ( u)h(u)du N0h( ) ，從而輸入輸出譜密度之間的關系sY( ) H( )2 sX( )H ( ) 2 H ( ) H ( ) 稱為系統(tǒng)的頻率增益因子或頻率傳輸函數(shù)。有時， 采用時域卷積的方法計算輸出的相關函數(shù)比較煩瑣，可以先計算輸出過程的譜密度，然后反 FT計算出相關函數(shù)。 RX( ) sY( ) H( ) 2sX( ) RY( )另外 RXY( ) RX( ) h( )，所以 sXY( ) H( )sX( ) ，sYX( ) H( )sX( )補充：排隊輪平均間隔時間 =總時間 / 到達顧客總數(shù)平均服務時間 =服務時間總和 /顧客總數(shù)平均到達率 =到達顧客總數(shù) / 總時間平均服務率 =顧客總數(shù) / 服務時間總和 一當顧客到達符合