雨滴下落速度的討論

1、編號(hào) 2009021236畢業(yè)論文(09屆本科)論文題目：雨滴下落速度的討論學(xué)院：電氣工程學(xué)院專 業(yè)：物理學(xué)班級(jí)：09本科(2)班作者： 吳麗廈指導(dǎo)教師：郭立帥職稱：完成日期：2012年12月日雨滴下落速度的討論(隴東學(xué)院電氣工程學(xué)院，慶陽745000)吳麗霞，郭立帥摘要：簡(jiǎn)單介紹雨滴的形成，運(yùn)用流體力學(xué)相關(guān)知識(shí)，分析了雨滴下落所受的黏性阻力 和壓差阻力，考慮雨滴在空氣中下落半徑增加對(duì)雨滴速度的影響，得出了雨滴下落速度和雨 滴半徑的關(guān)系，對(duì)雨滴下落的收尾速度進(jìn)行了一般的討論。關(guān)鍵詞：雨滴;黏性阻力；壓差阻力；雷諾數(shù)；收尾速度Discussion of the raindrops falling

2、 speedWu Li-xia, Guo Li-shuai(Electrical Engineering College, Longdong University, Qingyang 745000, Gansu,China.)Abstract: Brief rain formation, the use of the knowledge of fluid mechanics, analysis of viscous drag and pressure drag the raindrops whereabouts suffered consider raindrops in the air, t

3、he whereabouts of the impact of increasing the radius of raindrops speed, to draw raindrops falling speed and raindrops radius the general analysis of the relationship between the terminal velocity of raindrops whereabouts.Key Words： Raindrops； Viscosity resistance； Pressure drag； Reynolds number； T

4、erminal velocity.引言下雨是自然界常見的現(xiàn)象，如果將雨滴看作自由下落的質(zhì)點(diǎn)，我們知道云層下表面距地 面約2000米，由質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)的相關(guān)知識(shí)v=gt和= 尸可知，從此高度下落到地面的雨滴 速度可達(dá)200m/s,化為小時(shí)制為720km/h,此速度大約是Fl賽車的兩倍，從動(dòng)量的角度分析， 與一個(gè)質(zhì)量為0. lg速度為130m/s的子彈產(chǎn)生的動(dòng)量相當(dāng)。這樣的雨滴如果撞在人身上，后 果不堪設(shè)想，但實(shí)際上，地表上的任何生命都沒有被雨滴撞傷，這是因?yàn)橛甑蜗侣鋾r(shí)不僅受 重力，還受空氣浮力和阻力，并不是自由落體運(yùn)動(dòng)，在這三個(gè)力的作用下，才使得無論是毛 毛細(xì)雨還是大雨滂沱，雨滴都不會(huì)因?yàn)樗俣忍蠖?/p>

5、撞傷人畜。大小不同的下落的快慢的不同，我們都知道大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢，如果將 雨滴看做質(zhì)量不變的球體進(jìn)行研究，不考慮雨滴質(zhì)量增加對(duì)其速度影響，則雨滴下落最后將 達(dá)到一個(gè)恒定不變的最大速度，稱為收尾速度。然而，雨滴在下落過程中不斷幾首水汽塵埃 等物質(zhì)，質(zhì)量將會(huì)不斷增加，但由于下落過程中還存在摩擦升溫等因素，造成蒸發(fā)現(xiàn)象，質(zhì) 量也會(huì)減小。所以為了不是問題過于復(fù)雜，本文著重討論質(zhì)量不變的不同雨滴的下落速度。 對(duì)于質(zhì)量變化的雨滴只做淺易討論質(zhì)量增加的情況。1. 雨滴的形成雨是由“云”變來的，陸地和海洋表面的水蒸發(fā)變成水蒸氣，水蒸氣在高空遇冷便凝 結(jié)成小水滴，這些小水滴都很小，直徑只有0. o

6、ooro. 0002mm,它們又輕又小，被空氣中的上 升氣流托在空中，就是這些小水滴在空中凝聚成了云，這些小水滴要變成雨滴降到地面，它 們的體積大約要增大100多萬倍，這些小水滴主要靠?jī)蓚€(gè)手段增大，一是凝結(jié)和凝華增大； 二是靠云滴的碰撞增大。在雨滴形成初期，云滴主要不斷吸收云體四周的水氣使自己凝結(jié)和 凝華，如果云體的水氣能源源不斷得到供應(yīng)和補(bǔ)充，使云滴表面處于過飽和狀態(tài)，那么，這 種凝結(jié)過程將會(huì)繼續(xù)下去，使云滴不斷增大，成為雨滴。但有時(shí)云的水氣含量有限，在同一 塊云里，水氣往往供不應(yīng)求，這樣就不可能使每個(gè)云滴都增大為較大的云滴，所以，對(duì)于云 體溫度高于零攝氏度的暖云來說，云中就存在著大小不同的

7、云滴，大云滴下落速度快，上升 速度慢；小運(yùn)滴下降速度慢，上升速度快，于是，由于大小云滴相對(duì)速度的差異，使得大云 滴有機(jī)會(huì)與小云滴相撞，結(jié)果小云滴就合并到大云滴中去了，這樣，大云滴不斷的增加，又 因?yàn)樯仙龤饬鞣植疾痪鶆?，大云滴可以多次在云中上下運(yùn)動(dòng)，再加上云的湍流作用，大云滴 增大的機(jī)會(huì)就會(huì)增加，于是大云滴越來越大，直到上升氣流再也托不住時(shí)，便從云中下落， 形成降雨。雨滴在下落過程中區(qū)別于自由落體運(yùn)動(dòng)，是由于受到了空氣阻力的作用。2. 空氣阻力的分類由流體力學(xué)可知，雨滴在空氣中下落，所受阻力有兩種，分別是由摩擦引起的黏性阻力 和由壓差引起的壓差阻力。2.1黏性阻力雨滴在空氣中相對(duì)于空氣運(yùn)動(dòng)，雨滴

8、表面附著一層空氣，即附面層，附面層靠近雨滴的 空氣微團(tuán)相對(duì)于雨滴靜止，附面層外側(cè)空氣微團(tuán)相對(duì)于雨滴有一定流速，造成雨滴表面附近 的空氣存在速度梯度，因而空氣層之間有阻礙雨滴下落的摩擦力，叫做黏性阻力。比較小的物體在黏性較大的流體中緩慢地運(yùn)動(dòng)，即雷諾數(shù)很小的情況下，該阻力是主要 因素，著名的斯托克斯（G .G .Stokes, 1819一一1903）公式描述了球形物體受到的黏性阻 力F = 6m）r ；其中/為雨滴的半徑，為雨滴下落的速度，為空氣粘滯系數(shù)，該公式在雷 諾數(shù)很小的情況才正確，即Rel, Re是雷諾于1883年提出用來比較黏性流體流動(dòng)狀態(tài)的量 綱為1的量，其定義為Re = ； Q和分

9、別表示流體密度和黏度，v表示特征流速，L是 與物體橫截面相聯(lián)系的特征長(zhǎng)度。2.2壓差阻力雨滴表面處有附面層，遠(yuǎn)離附面層處氣流受附面層影響小，流速快；，靠近附面層的氣 流流動(dòng)緩慢，因而在雨滴的上方便因靠附面層的的空氣未能及時(shí)趕到而留下空間，于是外層 空氣便回旋過來補(bǔ)充從而形成渦旋，雨滴上方渦旋產(chǎn)生，所以上方氣壓小于下方氣壓，壓強(qiáng) 差構(gòu)成雨滴下落的阻力，叫壓差阻力。從本質(zhì)上將，壓差阻力有黏性阻力引起，但與G . G . Stokes公式描述的那類黏性阻力有 不同機(jī)制，黏性阻力和壓差阻力同時(shí)存在，但就渦旋產(chǎn)生后，黏性阻力不占重要地位。球形 物體在流體中所受壓差阻力為F = CDpsv2 ；(1)其中

10、Q表示流體密度，s是物體與流體垂直方向的最大橫截面積，為阻力系數(shù)，為無一量 綱常數(shù)，隨不同雷諾數(shù)取不同值，在0 Re 2xl03圍，q與Re的關(guān)系為246Cq= + +0.4；當(dāng)Rcl時(shí)，式中的第二、三項(xiàng)相比之下可以忽略，此時(shí)Re 1+辰CD = = (L = 2r)代入(1)式即前面的 G . G . Stokes 公式。當(dāng) 103 Re2xlO5 時(shí)， Re prvCq近似為常數(shù)0.4。3. 雨滴下落的模型據(jù)有關(guān)對(duì)雨滴的實(shí)測(cè)結(jié)果可知，最小雨滴的直徑僅有0.04mm,普通雨滴的直徑約為2mm, 最大雨滴的直徑為6mm,再大些的雨滴會(huì)由于不穩(wěn)定而破裂為較小雨滴，在此，最大雨滴直徑 去4mm。在

11、本文的討論中，將雨滴的形狀視為球體，且分為兩類，一類在下落過程中雖然半徑 增加尺度但尺度任然極小，所受空氣阻力始終以黏性阻力為主；一類半徑較大，下落過程器 上表面產(chǎn)生渦旋，所受空氣阻力以壓差阻力為主。4. 雨滴下落速度的分類討論4.1空氣阻力以黏性阻力為主的雨滴下落情況在無風(fēng)的情況下，假設(shè)雨滴的質(zhì)量的為加，雨滴在自身重力、浮力和黏性阻力的共同作(2)用下，垂直下落的運(yùn)動(dòng)方程為）=卿_譏_6須小 dt式中，tn = |nrpY,=（下同），q為水的密度，門為空氣的密度。若不考慮雨滴在下落過程中因蒸發(fā)和碰撞所引起的質(zhì)量變化，則（2）式可寫為(3)dv zdv “6mirvni = （m-m）g-

12、6mjrv = （1）gdtdt m m其中為雨滴在f時(shí)刻的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)速度（假定雨滴運(yùn)動(dòng)中空氣介質(zhì)是靜止的）；g為重力加速下同），“凹叱=単，則式可寫為對(duì)上式取積分，并取初始條件v（0）= 0,可解得任一時(shí)刻雨滴下落的速度嚴(yán)）度，加為空氣質(zhì)量。上式（4）式中，令空=0,可得雨滴下落的收尾速度 dt1上9(6)口丿取 p = l.OOxlO3 kg/n , p2 =1.293 kg/in5 ； r = 17.lxl06 kg/ms ； g = 9.Sm/s2 ；代入（6）式得:雲(yún)賓凹J272x加必9x17.1x10因?yàn)镚 .G . Stokes公式適用的條件是Re 2 lii r = lii vJ

13、r J v所以有v = kr 將邊界條件“0 = 5.088x1()7加/$,% = 0.2x107加代入上式得 5.088x10- =1 272x1q8(0.2X10-4)-(10)v = 1.272xl08 r2因?yàn)闈M足G .G . Stokes公式的雨滴半徑必須是乙0.36x107加，所以代入(10)可得雨滴 最大速度嶺” vrdr積分有v = kr1（15）將邊界條件v0 = 7.097 w/5, D = lxl（r加代入（15）式，得 7.0?1（3所以當(dāng)=2xl0-3/n時(shí)，vzn=19.61/n/5；此速度即雨滴在下落過程中半徑不斷增加，當(dāng)落 至地面時(shí)半徑增大至2x10加的速度。

14、分析可得雨滴即使以v, = 19.61/5的收尾速度從2000m的高空下落到地面約需 3min,從下落的時(shí)間上看，是比較切合實(shí)際的。從上面的計(jì)算結(jié)果可知，雨滴越小出現(xiàn)收尾速度的時(shí)間越短，其收尾速度也越小。如果 雨滴尺寸再小，則其收尾速度將趨近于零。而較大雨滴下落的下落速度也相對(duì)較大一些，從 而導(dǎo)致大雨滴下落的快，小雨滴下落的慢。另外，本文對(duì)雨滴的討論對(duì)也是理想化的，首先, 雨滴在下落過程中并非完全保持球形，經(jīng)Mutchler研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下落的雨滴達(dá)到收尾速度時(shí), 半徑較小的雨滴保持球形，半徑較大雨滴呈扁平狀，其次，雨滴的質(zhì)量在下落過程中是不斷 變化的，大小不同的雨滴在下落過程中存在速度差，下降

15、速度較快的大雨滴與下降速度較慢 的小雨滴相遇會(huì)聚成更大的雨滴，但隨著雨滴體積的增大，空氣阻力也隨之增大，當(dāng)雨滴再 大時(shí)，空氣阻力超過了使雨滴保存整體的分子聚力，大雨滴又會(huì)破裂才成小雨滴。6.總結(jié)本文首先介紹了雨滴的形成，接著分析了雨滴下落過程的受力情況，進(jìn)而分析了黏性阻力 和壓差阻力的使用條件，最后運(yùn)用運(yùn)動(dòng)學(xué)相關(guān)知識(shí)對(duì)雨滴下落進(jìn)行了一般討論，主要討論了 雨滴下落過程中質(zhì)量不變情況，簡(jiǎn)單的也討論了實(shí)際現(xiàn)象中雨滴下落半徑增加的情況，得出 以下結(jié)論：（1）下落過程中受空氣阻力滿足G .G . Stokes公式的極小雨滴只存在于云層中。（2）由于考慮雨滴下落過程中半徑逐漸增加，嚴(yán)格的收尾速度便不存在了

16、，但通過計(jì) 算發(fā)現(xiàn)雨滴落至地面的速度也不是很大，可見，不存在嚴(yán)格收尾速度的雨滴下落模型也是合 理的。3（3）由v = k知，雨滴半徑越大其速度越大，雨滴半徑各不相同，其收尾速度也各 不相同，但一般降雨雨滴的半徑分布在1x10-加到210一加之間，通過以上計(jì)算大量雨滴的 收尾速度分布在7.097m/s到19.610之間。(4) 盡管雨滴在下落過程中并非完全保持球形，且經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)下落的雨滴達(dá)到收 尾速度時(shí)，半徑較小的雨滴保持球形，半徑較大的雨滴呈扁平狀，但從計(jì)算結(jié)果來看，這一 點(diǎn)沒有對(duì)本文討論的情況造成太大影響。(5) 經(jīng)計(jì)算最大雨滴的沖擊力僅有0.6N,考慮風(fēng)影響和雨滴表面的彈性，這個(gè)作用 力還會(huì)更小，顯然不會(huì)對(duì)地表植物或建筑物等造成傷害。(6) 此結(jié)論也適用于冰雹，由于冰的密度比水小，其收尾速度比雨滴還要小，但冰雹 的破壞力極大，因?yàn)槠浔砻鎴?jiān)硬，與物體作用時(shí)間段，使得作用力較大。參考文獻(xiàn)：1 漆安慎，杜嬋娟.力學(xué)M,:高等教育，1997.402-410.2 大偉，閻愛玲.雨滴運(yùn)動(dòng)分析J.科學(xué)技術(shù)與工程.2006,6(9) ：12661269.3 邵學(xué)揮，王寶鈞，王建國(guó).關(guān)于雨滴問題的幾點(diǎn)思考J,師大學(xué)學(xué)報(bào).2005. 21(2):10114 文藝，國(guó)祥.雨滴降落速度及終速公式J.大學(xué)學(xué)報(bào).1993.5(21).5 王立華.空氣阻力對(duì)自由落體運(yùn)動(dòng)的彫響J.師?？茖W(xué)校學(xué)報(bào).20