人教新課標(biāo)版八年級(jí)數(shù)學(xué) 三角形全等的判定+同步練習(xí)

1、初二數(shù)學(xué)第十一章 第2節(jié) 三角形全等的判定人教新課標(biāo)版一、學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1. 經(jīng)歷探索三角形全等條件的過程，體會(huì)利用操作、歸納獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的過程。2. 能敘述三角形全等的條件，了解三角形的穩(wěn)定性。3. 能靈活地運(yùn)用三角形全等的條件，進(jìn)行有條理的思考和簡(jiǎn)單的推理，并能利用三角形全等的性質(zhì)解決實(shí)際問題，體會(huì)數(shù)學(xué)與實(shí)際生活之間的聯(lián)系。二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：（1）使學(xué)生理解證明的基本過程，掌握用綜合法證明的格式；（2）三角形全等的性質(zhì)和判定難點(diǎn)：（1）掌握用綜合法證明的格式；（2）選用合適的判定定理證明兩個(gè)三角形全等；（3）初步理解圖形的全等變換，從而學(xué)會(huì)恰當(dāng)添加輔助線。三、考點(diǎn)分析：三角形是數(shù)學(xué)中最常

2、見的幾何圖形之一，三角形全等是證明線段和角相等的重要依據(jù)，在數(shù)學(xué)推理證明中起著重要的作用，因此本章是中考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查的題型有選擇題、填空題、證明題。近幾年，在開放性試題中也常會(huì)出現(xiàn)。在中考命題時(shí)，既會(huì)單獨(dú)命題也會(huì)與四邊形、相似形、圓等內(nèi)容綜合命題。隨著中考中對(duì)與圓有關(guān)的證明題要求的降低，對(duì)本章內(nèi)容的考查要求將有所加強(qiáng)，利用圖形變換找全等形，利用全等找對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角，求證線段、角相等是中考中常見的考查方式。本節(jié)內(nèi)容在本學(xué)期期末考試中的分值占10分左右。1. 全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。2. 全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。3. 全等三角

3、形判定3：兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。4. 全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。5. 全等三角形判定5：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等。知識(shí)點(diǎn)一：全等三角形判定1例1：如圖，在afd和ebc中，點(diǎn)a，e，f，c在同一直線上，有下面四個(gè)論斷：（1）adcb；（2）aecf；（3）dfbe；（4）adbc。請(qǐng)將其中三個(gè)論斷作為條件，余下的一個(gè)作為結(jié)論，編一道證明題，并寫出證明過程。思路分析：1）題意分析：本題一方面考查證明題的條件和結(jié)論的關(guān)系，另一方面考查全等三角形判定1中的三邊對(duì)應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定1：三邊對(duì)應(yīng)相等

4、的兩個(gè)三角形全等。首先確定命題的條件為三邊對(duì)應(yīng)相等，而四個(gè)論斷中有且只有三個(gè)條件與邊有關(guān)，因此應(yīng)把論斷中的（1）（2）（3）作為條件，來證明論斷（4）。在證明全等之前，要先證明三邊分別對(duì)應(yīng)相等。解答過程：已知：如圖，在afd和ebc中，點(diǎn)a，e，f，c在同一直線上，adcb，aecf，dfbe。求證：adbc。證明：aecfaeefcfefafce在afd和ceb中，afdebc（sss）acadbc解題后的思考：在運(yùn)用全等三角形判定1判斷三角形全等時(shí)，一定要找準(zhǔn)三邊的對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后給出證明。小結(jié)：本例題一方面考查了命題的書寫與證明，另一方面通過本題的嚴(yán)格證明鍛煉學(xué)生的邏輯思維能力，進(jìn)一步規(guī)范

5、了三角形全等證明題的書寫。知識(shí)點(diǎn)二：全等三角形判定2例2：已知：如圖，是和的平分線，。求證：（1）oabocd；（2）。思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2中的對(duì)應(yīng)關(guān)系。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。在證明三角形全等之前，要先證明兩邊及夾角分別對(duì)應(yīng)相等。解答過程：證明：（1）op是和的平分線，aopcop，bopdopaopbopcopdopaobcod在oab和ocd中，oabocd（sas）（2）由（1）知oabocdabcd解題后的思考：在判斷三角形全等時(shí)，一定要根據(jù)全等三角形判定2，找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。例3：已知：如圖，

6、abcd，abcd，求證：adbc，adbc思路分析：1）題意分析：本題主要考查全等三角形判定2的應(yīng)用。 2）解題思路：根據(jù)全等三角形判定2：兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。在證明三角形全等之前，要先將用于證明三角形全等的條件準(zhǔn)備好。即如何由已知條件證明出兩邊和一角相等，以及如何用上abcd這個(gè)條件。解答過程： 連接bd abcd12在adb和cbd中，adbcbd（sas）adbc，adbcbdadbc綜上：adbc，adbc解題后的思考：本題中證明三角形全等用到了公共邊，這是解決問題的關(guān)鍵所在；在解決這類問題時(shí)要善于從題目中發(fā)現(xiàn)這些重要的隱含條件。例4：（1）在圖1中，abc和d

7、ef滿足abde，acdf，ad，這兩個(gè)三角形全等嗎？（2）在圖2中，abc和abd滿足abab，acad，bb，這兩個(gè)三角形全等嗎？思路分析：1）題意分析：本題主要考查應(yīng)用全等三角形判定2判定三角形全等的方法和需注意的問題。 2）解題思路：在圖1中，abc和def滿足abde，acdf，ad，即兩個(gè)三角形滿足sas的條件，所以這兩個(gè)三角形全等。（2）在圖2中，abc和abd滿足abab，acad，bb，這兩個(gè)三角形雖然也有兩邊和一角相等，但兩個(gè)三角形的形狀、大小完全不相同，所以這兩個(gè)三角形不全等。解答過程：（1）全等；（2）不全等。解題后的思考：有兩邊和一角相等的兩個(gè)三角形不一定全等，要根據(jù)

8、所給的邊與角的位置進(jìn)行判斷：（1）當(dāng)兩個(gè)三角形滿足兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等即“sas”時(shí)，這兩個(gè)三角形全等；（2）當(dāng)兩個(gè)三角形滿足兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等即“ssa”時(shí)，這兩個(gè)三角形不一定全等。在證明題中尤其要注意這一點(diǎn)。小結(jié)：本題組主要考查了對(duì)全等三角形判定2的掌握情況，即兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。另一方面，也提醒我們要注意兩邊和一角相等的另外一種情形，即“兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形一定不全等?！绷硗猓谧C明兩個(gè)三角形全等時(shí)，要注意挖掘題目中的隱含條件如公共邊或公共角等。知識(shí)點(diǎn)三：全等三角形判定3 例5：如圖，beae，cfae，memf。求證：am是abc的中線

9、。思路分析：1）題意分析：要證明am是abc的中線，就要證明bmcm，要證明線段相等，就要證明與bm、cm有關(guān)的三角形全等，即bemcfm，然后從已知條件中找出能夠判斷這兩個(gè)三角形全等的條件。2）解題思路：結(jié)合已知條件和對(duì)頂角相等可由asa來判定 bemcfm，從而得出bmcm，進(jìn)而得到am是abc的中線。解答過程： beae，cfaebemcfm90在bme和cmf中，bmecmf（asa）bmcmam是abc的中線。解題后的思考：要證明am是abc的中線，需要證明m是bc的中點(diǎn)，因此，轉(zhuǎn)化為證明bmcm，結(jié)合已知條件，應(yīng)考慮證明與這兩條相等線段有關(guān)的可能全等的兩個(gè)三角形，結(jié)合題目中已有的條

10、件和能夠求出的相等關(guān)系，選擇正確的判定方法來解決相關(guān)問題。知識(shí)點(diǎn)四：全等三角形判定4例6：已知：bcef，bcef，ad，abfdec。求證：afdc。思路分析：1）題意分析：要證明afdc，就要先證明abfdec，而已知中證明這兩個(gè)三角形全等的條件是ad，abfdec，但還缺少一組邊，如何找到這組邊呢？根據(jù)bcef，bcef，想到連接be，從而證明bfeecb，進(jìn)一步得到bfec，再利用aas來判定兩個(gè)三角形全等。2）解題思路：要證明線段相等，我們可以考慮先證明三角形全等，abf和dec中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，要使它們?nèi)?，只要證得bfec即可。于是連接be證bfeecb，即可證得bfec。解答

11、過程：連接bebceffebcbe在bfe和ecb中，bfeecb（sas）bfce在abf和dec中，abfdec（aas）afdc解題后的思考：證明三角形全等是證明線段相等的一種重要方法，解答時(shí)要結(jié)合圖形，分析已知條件與求證的結(jié)論，尋找溝通二者的橋梁。例7：在abc中，acb90，直線經(jīng)過點(diǎn)，且于，于。（1）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖a的位置時(shí)，求證：； （2）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖b的位置時(shí)，求證：；（3）當(dāng)直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，試問具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出這個(gè)等量關(guān)系，并加以證明。 圖a 圖b圖c思路分析：1）題意分析：要證明一條線段等于兩條線段之和，或證明一條線段等于兩條線段之差，就要想

12、這條線段與兩條線段之間有何關(guān)系，以及兩條線段ad、be與ce、dc之間有何關(guān)系。這就需要我們用三角形全等來證明線段相等，從而實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)化。2）解題思路：（1）于，于，又，在rt與rt中，直角對(duì)應(yīng)相等，斜邊對(duì)應(yīng)相等。又與同為的余角，自然也是相等的，所以可得到。進(jìn)一步可推出。（2）第（3）問中，與（1）的證明思路類似，先證明，再來證明三條線段間的數(shù)量關(guān)系。解答過程：（1）， 。，。圖a，。（2），。又，。圖b（3）當(dāng)旋轉(zhuǎn)到圖c的位置時(shí)，所滿足的等量關(guān)系是（或adbede，等）。，。又，。圖c解題后的思考： 在運(yùn)動(dòng)變換問題中，不管運(yùn)動(dòng)變換前后的圖形、結(jié)論是否發(fā)生變化，解題的基本思路不變，一般情況

13、下，運(yùn)動(dòng)前的解題思路及方法是為解答運(yùn)動(dòng)后的相關(guān)問題作鋪墊。小結(jié)： 本題組主要考查如何運(yùn)用全等三角形判定4：兩個(gè)角和其中一個(gè)角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等。以及在運(yùn)動(dòng)變換問題中如何準(zhǔn)確地運(yùn)用三角形全等實(shí)現(xiàn)等線段的轉(zhuǎn)換。知識(shí)點(diǎn)五：全等三角形判定5例8：已知：如圖為的高，為上一點(diǎn)，交于，且有，。求證：。思路分析：1）題意分析：要證垂直于，需證，由題意可知，若能證明，就可得垂直于，這就要證。這可由已知條件證明，便可知。再由1290和12bec180，得到bec90。從而得到。2）解題思路：運(yùn)用直角三角形全等的判定方法：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等，證明，進(jìn)一步得到。解答過程：證明：，

14、。在rt和rt中，。（全等三角形對(duì)應(yīng)角相等）（直角三角形兩銳角互余），解題后的思考： （1）證明兩個(gè)直角三角形全等除了可運(yùn)用前面的幾個(gè)條件外，還可利用“斜邊和直角邊”去證明；（2）證明兩直線垂直可直接證明兩直線夾角等于90，也可證明夾角所在三角形中的另兩個(gè)角互余。小結(jié)：本組題主要考查如何運(yùn)用直角三角形全等的判定方法來解決相關(guān)問題，在解題時(shí)注意挖掘題目中的隱含條件。利用三角形全等判斷線段（或角）相等的一般方法（1）把要判斷相等的線段（或角）作為三角形的邊（或角）的兩個(gè)三角形找出來；（2）證明這兩個(gè)三角形全等；（3）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出要判斷的線段（或角）相等。一、預(yù)習(xí)新知1. 如圖，是一個(gè)平

15、分角的儀器，其中abad，bcdc。將點(diǎn)a放在角的頂點(diǎn)，ab和ad沿著角的兩邊放下，沿ac畫一條射線ae，ae就是dab的平分線。你能說明它的道理嗎？由此總結(jié)出作已知角的平分線的方法。二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思探究任務(wù)一：如圖，將aob對(duì)折，再折出一個(gè)直角三角形（使第一條折痕為斜邊），然后展開，觀察兩次折疊形成的三條折痕，你能得出什么結(jié)論？角平分線的性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等。如何利用三角形全等證明這個(gè)性質(zhì)？探究任務(wù)二：我們已知“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”，那這個(gè)命題的逆命題“到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是否是一定的呢？請(qǐng)大家探究結(jié)論并給予證明。（答題時(shí)間：60分鐘）一

16、、選擇題：1. 三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）a. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)b. 三條高的交點(diǎn)c. 三條中線的交點(diǎn)d. 三條角平分線的交點(diǎn)2. 如圖，c90，ad平分bac交bc于d，若bc5cm，bd3cm，則點(diǎn)d到ab的距離為（ ）a. 5cm b. 3cm c. 2cm d. 不能確定 3. 如果三角形的一個(gè)角的平分線恰好是其對(duì)邊上的高，那么這個(gè)三角形是（ ）a. 直角三角形 b. 等腰三角形c. 等邊三角形 d. 等腰直角三角形4. 如圖，abac，beac于e，cfab于f，be、cf交于點(diǎn)d，則abeacf；bdfcde；點(diǎn)d在bac的平分線上，以上結(jié)論正確的是（ ）a. b.

17、 c. d. 5. 如圖，已知點(diǎn)p到be、bd、ac的距離恰好相等，則點(diǎn)p的位置：在b的平分線上；在dac的平分線上；在eac的平分線上；恰是b，dac，eac三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）a. 1個(gè) b. 2個(gè) c. 3個(gè) d. 4個(gè)二、填空題：6. 已知o是abc三條角平分線的交點(diǎn)，odbc于d，若od5，abc的周長(zhǎng)等于20，則abc的面積等于sabc 。7. 如圖，abcd，o是bac、acd的平分線的交點(diǎn)，oeac于e，且oe2，則ab與cd間的距離等于 。8. 如圖，在abc 中，c90，acbc，ad平分bac 交bc于點(diǎn)d，deab于e，ab8cm，則

18、deb的周長(zhǎng)為_。 三、解答題：9. 已知：如圖，在abc 中，ad是bac的角平分線，e、f分別是ab、ac上的點(diǎn)，且edfeaf180。求證：dedf。10. 已知：如圖，在abc 中，b60，abc的角平分線ad、ce相交于點(diǎn)o。求證：aecdac一、選擇題：1. d；2. c； 3. b；4. a；5. d 二、填空題：6. 50；7. 4；8. 8cm三、解答題：9. 證明：過點(diǎn)d作dmab于點(diǎn)m，dnac于點(diǎn)n。ad平分bacdmdnmanamdandmdn360amdand180mdnman180edffae180mdnedfmdefdn在edm和fdn中，edmfdn（asa）

19、dedf10. 證明：在ac上截取afae，連接of。ad平分bac，ce平分acbeaofao，dcofco在aeo和afo中，待添加的隱藏文字內(nèi)容3aeoafo（sas）aofaoeoacoca又abc的角平分線ad、ce相交于點(diǎn)o，b60oacoca（bacacb）（180b）（18060）60aofaoe60又cofaoe60在cof和cod中，cofcod（asa）cdcfaccfafaecd初二數(shù)學(xué)人教新課標(biāo)版第十一章 第2節(jié) 三角形全等的判定同步練習(xí)（答題時(shí)間：60分鐘）一、選擇題：1. 三角形中到三邊距離相等的點(diǎn)是（ ）a. 三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)b. 三條高的交點(diǎn)c. 三條

20、中線的交點(diǎn)d. 三條角平分線的交點(diǎn)2. 如圖，c90，ad平分bac交bc于d，若bc5cm，bd3cm，則點(diǎn)d到ab的距離為（ ）a. 5cm b. 3cm c. 2cm d. 不能確定 3. 如果三角形的一個(gè)角的平分線恰好是其對(duì)邊上的高，那么這個(gè)三角形是（ ）a. 直角三角形 b. 等腰三角形c. 等邊三角形 d. 等腰直角三角形4. 如圖，abac，beac于e，cfab于f，be、cf交于點(diǎn)d，則abeacf；bdfcde；點(diǎn)d在bac的平分線上，以上結(jié)論正確的是（ ）a. b. c. d. 5. 如圖，已知點(diǎn)p到be、bd、ac的距離恰好相等，則點(diǎn)p的位置：在b的平分線上；在dac的平分線上；在eac的平分線上；恰是b，dac，eac三個(gè)角的平分線的交點(diǎn)。上述結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)有（ ）a. 1個(gè) b. 2個(gè)