傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用研究

1、傅里葉變換在圖像處理中的應(yīng)用研究摘要：文章將“傅里葉變換”應(yīng)用到空間頻譜處理當(dāng)中，并將結(jié)果以最直觀的方式圖形表示出來；文章意在說明用一種實用的方法對數(shù)字圖像進行處理。關(guān)鍵詞：傅里葉變換 數(shù)字圖像處理 matlab 圖像濾波 圖像特征定位1.引言近年來，隨著電子技術(shù)、圖像處理方法和信號理論的迅猛發(fā)展，數(shù)字圖像處理技術(shù)得到飛速發(fā)展，它廣泛應(yīng)用于幾乎所有與成像有關(guān)的領(lǐng)域。傳統(tǒng)的光學(xué)系統(tǒng)在信號處理時，存有它自身很難克服的不足：第一，它對空間頻譜平面的處理很難，尤其在低頻和甚低頻時，即使可通過大量儀器來實現(xiàn)，但代價往往很高；第二，光學(xué)處理由于采樣孔徑(即傳感單元)太窄而不能起到抗混疊作用，不能除去高頻信

2、息。而傅里葉變換和線性移不變系統(tǒng)有緊密聯(lián)系，它有一個很好的理論背景來指導(dǎo)它在圖像處理中的作用，可以方便有效地克服上述不足，使其在數(shù)字圖像處理中占有一席之地。2.圖像處理技術(shù)2.1 模擬圖像處理(analog image processing)；模擬處理包括：光學(xué)處理（利用透鏡）和電子處理，如：照相、遙感圖像處理、電視信號處理等，電視圖像是模擬信號處理的典型例子，它處理的是活動圖像，25幀/秒。優(yōu)點：模擬圖像處理的特點是速度快，一般為實時處理，理論上講可達到光的速度，并可同時并行處理。缺點：模擬圖像處理的缺點是精度較差，靈活性差，很難有判斷能力和非線性處理能力。2.2數(shù)字圖像處理(digital

3、 image processing)：數(shù)字圖像處理一般都用計算機處理，因此也稱之謂計算機圖像處理（computer image processing）優(yōu)點：處理精度高，處理內(nèi)容豐富，可進行復(fù)雜的非線性處理，有靈活的變通能力，一般來說只要改變軟件就可以改變處理內(nèi)容。缺點：處理速度還是一個問題，特別是進行復(fù)雜的處理更是如此。其次是分辨率及精度尚有一定限制。2.2.1 數(shù)字圖像處理的主要方法 a、空域法：這種方法是把圖像看作是平面中各個像素組成的集合，然后直接對這一二維函數(shù)進行相應(yīng)的處理。空域處理法主要有兩大類：b、變換域法：數(shù)字圖像處理的變換域處理方法是首先對圖像進行正交變換，得到變換域系數(shù)陣列，

4、然后再施行各種處理，處理后再反變換到空間域，得到處理結(jié)果。這類處理包括：濾波、數(shù)據(jù)壓縮、特征提取等處理3傅里葉變換傅里葉變換是我們熟悉的正交變換，它是將時域信號分解為不同頻率的正弦信號或余弦函數(shù)疊加之和。在一維信號處理中得到了廣泛的應(yīng)用，把這種處理方法用到推廣到數(shù)字圖像處理中，能對圖像中的相移幅度高低頻率噪音及圖像增強進行處理。3.1傅里葉變換的基本概念如果設(shè)為的函數(shù)，如果滿足下面的狄里赫萊條件： 具有有限個間斷點； 具有有限個極值點 絕對可積。則有下式成立 式中，為時域變量，為頻域變量。如果令則有 通常把以上公式稱為傅里葉變換對。 傅里葉變換一般是一個復(fù)量，它可以表示為本文以計算機為工具，以

5、matlab為手段，通過快速離散傅里葉變換與matlab作圖，說明如何利用傅里葉變換對空間頻譜平面進行處理。一幅靜止的數(shù)字圖像可看做是二維數(shù)據(jù)陣列。因此，數(shù)字圖像處理主要是二維數(shù)據(jù)處理。二維離散傅里葉變換的定義可用下面二式表示。正變換式為： 反變換式為：4傅里葉變換在數(shù)字圖像處理中的應(yīng)用圖像保存：傅里葉正變換將圖像分解為一組越來越小的正交歸一圖像，具有很高的壓縮比,仍能夠?qū)⒃紨?shù)據(jù)完全恢復(fù)而不引入任何失真。當(dāng)我們希望將一幅圖像以一種更緊湊的數(shù)據(jù)格式進行編碼，同時保持?jǐn)?shù)據(jù)不丟失時，傅里葉變換是一個很好的工具。圖像濾波：在進行傅里葉變換后，若在反變換之前對變換域進行選擇，可對圖像進行濾波處理。圖形

6、增強：正變換將一幅圖像分解為大小、位置和方向都不同的分量，在逆變換之前改變域中某些系數(shù)的幅度，有選擇提升感興趣的分量，而忽略不需要的東西；或根據(jù)實際需要，締造一個傳遞函數(shù)，在變換域?qū)㈩l譜乘以傳遞函數(shù)，再進行傅里葉逆變換來實現(xiàn)。當(dāng)然，這個實現(xiàn)過程需要很好地設(shè)計傳遞函數(shù)。圖像復(fù)原：目標(biāo)是對退化的圖像進行處理，使它復(fù)原成沒有退化的理想圖像。成像過程的每一個環(huán)節(jié)(透鏡、感光片、數(shù)字化)都能引起退化，我們可視具體應(yīng)用的不同，將損失掉的圖像部分恢復(fù)過來，以起到很重要的作用。例如，圖像上的污點，我們可以利用信息的相關(guān)性，通過傅里葉卷積來達到隱去污點之目的；對于天文現(xiàn)象像太空研究中月球或行星圖像的獲取，攝取特

7、定信息，利用譜線的相關(guān)性，通過頻譜分析，再現(xiàn)物體之原貌。5傅里葉變換的應(yīng)用實例5.1線性濾波器的頻率響應(yīng)在進行濾波器設(shè)計時，通常需要分析所設(shè)計濾波器的頻率相應(yīng)特性，如通頻帶、起始頻率等，通過分析，看所設(shè)計的濾波器是否滿足參數(shù)指標(biāo)要求。matlab提供了函數(shù)freqz2，可以對線性濾波器的頻率響應(yīng)進行分析，這是因為線性濾波器沖擊響應(yīng)的傅里葉變換很好的反應(yīng)了濾波器的頻率響應(yīng)特性。以下程序代碼示例給出了高斯濾波器的頻率響應(yīng)，并顯示了濾波器通頻帶特性。h=fspecial(gaussian);freqz2(h) 圖1 濾波器頻率響應(yīng)5.2 快速卷積傅里葉變換的另一個重要用途是可以用于實現(xiàn)快速卷積運算。

8、由線性系統(tǒng)理論可知，兩個函數(shù)卷積的傅里葉變換等于這兩個函數(shù)傅里葉變換的乘積。利用該性質(zhì)，并集合快速傅里葉變換的算法，可以快速計算兩個函數(shù)的卷積。 假設(shè)a,b是5階矩陣，則a和b的卷積可以通過如下程序?qū)崿F(xiàn)：a=magic(5); b=ones(5);c=conv2(a,b) c = 17 41 42 50 65 48 24 23 15 40 69 77 99 130 90 61 53 31 44 79 100 142 195 151 116 95 53 54 101 141 204 260 206 159 119 56 65 130 195 260 325 260 195 130 65 48 8

9、9 153 210 260 212 171 107 50 25 61 118 161 195 170 134 77 34 21 51 95 118 130 109 79 35 12 11 29 54 56 65 54 36 11 9 5.3 圖像特征定位傅里葉變化還可以用于與卷積密切相關(guān)的相關(guān)運算。在數(shù)字圖像處理中，相關(guān)運算可以用來實現(xiàn)特征定位，通常也稱做模板匹配。例如，想在一含有許多數(shù)字的圖像中定位數(shù)字“130”，就可以通過如下方法進行定位：首先，讀取圖像，并且產(chǎn)生字母“130”的模板，程序代碼如下，結(jié)果如圖2所示。 a 原圖 b 模板 圖2 在圖形中定位數(shù)字“130”所謂將模板和原圖進行相

10、關(guān)運算，就是先分別對其作快速傅里葉變換，然后利用快速卷積的方法，計算模板和原圖的卷積，并提取卷積運算結(jié)果的最大值，即得到原圖中數(shù)字“130”的定位結(jié)果。c=conv2(a,b);imshow(c, )thresh=max(c,(:);figure,imshow(cthresh)6結(jié)束語傅里葉變換很好的理論背景，使其在空間濾波、光學(xué)信息處理中發(fā)揮著重要作用。隨著圖像處理所用的計算機設(shè)備不斷降價，隨著支持傅里葉變換的硬件的出現(xiàn)，傅里葉變換在數(shù)字圖像處理領(lǐng)域?qū)⒌玫竭M一步發(fā)展。圖像處理特別是數(shù)字圖像處理科學(xué)經(jīng)初創(chuàng)期、發(fā)展期、普及期及廣泛應(yīng)用幾個階段，如今已是各個學(xué)科競相研究并在各個領(lǐng)域廣泛應(yīng)用的一門科學(xué)。今天，隨著科技事業(yè)的進步以及人類需求的多樣化發(fā)展，多學(xué)科的交叉、融合已是現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的突出特色和必然途徑，而圖像處理科學(xué)又是一門與國計民生緊密相聯(lián)的一門應(yīng)用科學(xué)，它的發(fā)展與應(yīng)用與我國的現(xiàn)代化建設(shè)聯(lián)系之密切、影響之深遠(yuǎn)是不可估量的。圖像處理科學(xué)無論是在理論上還是實踐上都存在著巨大的潛力。參考文獻1(美)卡斯?fàn)柭?castleman，kr)著；朱志剛等譯.數(shù)字圖像處理.北京：電