高中數(shù)學《圓錐曲線中的最值問題》教學設計

1、圓錐曲線中的最值問題教學設計一、內(nèi)容與內(nèi)容解析圓錐曲線的單元復習的基礎內(nèi)容包括橢圓、雙曲線和拋物線的定義、標準方程、簡單幾何性質(zhì)，直線與圓錐曲線的位置關系,在掌握以上一些陳述性知識和程序性知識的基礎上，再學習圓錐曲線的一些綜合應用.在解析幾何中，運動是曲線的靈魂，在形的運動中必然伴隨著量的變化，而在變化中，往往重點關注變化中不變的量或關系，以及變量的變化趨勢，由此產(chǎn)生圓錐曲線中的定點、定值問題，圓錐曲線的中的參數(shù)取值范圍問題，圓錐曲線中的最值問題等.圓錐曲線的最值問題是本單元復習綜合性較強的內(nèi)容.重點研究變化的距離、弦長、角度、面積、斜率、定比等幾何量的最值及相關問題.本課重點是借助對常見的距

2、離問題等的研究提煉出解決此類問題的思想方法和基本策略，并能進行簡單的應用.解決圓錐曲線的最值問題，不僅要用到圓錐曲線定義、方程、幾何性質(zhì)，還常用到函數(shù)、方程、不等式及三角函數(shù)等重要知識，綜合性強，聯(lián)系性廣,策略性要求高.其基本的思想是函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合思想，基本策略主要是代數(shù)和幾何兩個角度分析.由于圓錐曲線是幾何圖形，研究的量也往往是幾何量，因此借助幾何性質(zhì)，利用幾何直觀來分析是優(yōu)先選擇；但幾何直觀往往嚴謹性不強，難以細致入微，在解析幾何中需要借助代數(shù)的工具來實現(xiàn)突破.幾何方法主要結(jié)合圖形的幾何特征，借助圓錐曲線的定義以及平面幾何知識作直接論證及判斷;代數(shù)方法主要是將幾何量及幾何關系用代數(shù)形式

3、表示,通過設動點坐標或動直線的方程，將目標表示為變量的函數(shù)，從而轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，再借助函數(shù)、方程、不等式等知識解決問題.二、教學問題診斷圓錐曲線的最值問題的解決，涉及的知識面廣，需要綜合運用圓錐曲線、平面幾何、代數(shù)等相關知識，還需要較強的運算技能和分析問題解決問題的能力.在本課的學習中，學生可能存在的問題有：知識的聯(lián)系性和系統(tǒng)性較弱，難以調(diào)動眾多的知識合理地解決問題；運算能力不強，算得慢，易算錯，影響問題解決的執(zhí)行力；問題解決的策略性不強，就題論題，對問題的數(shù)學本質(zhì)認識模糊等現(xiàn)象.再加上學生對復習課的認識比較片面，對復習課缺乏新鮮感。在教學中，可以從簡單的問題（或者教材中的問題）出發(fā)，通

4、過問題的提出、問題的拓展、問題的變式等措施，使學生對圓錐曲線最值問題的本質(zhì)特征有更新、更深的認識，同時激發(fā)學生學習的積極性；在教學中，通過學生對一類問題的主動思考、交流互動、反思提煉，構(gòu)建知識體系，形成基本技能，關注數(shù)學本質(zhì)，體驗與感悟問題解決的策略。為了更好地加強策略性知識的學習，教學中可一題多用，減少問題解決的運算量,使學生在關鍵點加強思考與交流，有更多的時間進行創(chuàng)造性的實踐與反思.三、目標與目標解析：1.進一步理解圓錐曲線的定義、標準方程和幾何性質(zhì)，會求解橢圓、拋物線的相關變量的最值問題，并形成一定的方法;2.進一步體會“解析法”思想，會從代數(shù)與幾何兩個角度分析和解決曲線的最值問題，并會

5、進行合理的選擇；3.在問題的提出、分析、解決的過程，進一步形成圓錐曲線最值問題的方法體系和數(shù)學思想，形成處理最值問題的基本策略,養(yǎng)成質(zhì)疑和創(chuàng)新的意識.解決問題后需要重構(gòu)認知結(jié)構(gòu)，對知識間的聯(lián)系有新的認識，并在操作中形成技能;會通過反思與交流，感悟并提煉重要的數(shù)學思想；在具體的最值問題中，能根據(jù)問題的結(jié)構(gòu)有意識地選擇幾何或代數(shù)的策略，并進行具體的操作.四、教學支持條件分析由于圓錐曲線的最值問題涉及到圖形運動和數(shù)量變化，學生往往缺乏對問題的直覺把握和深切的感受，教學中可通過幾何畫板、tinspire圖形計算器、geogebra等軟件，直觀地呈現(xiàn)數(shù)、式、形的聯(lián)動變化，使學生逐步形成多元聯(lián)系的觀點.對

6、于一些的運算，可以利用tinspire cas代數(shù)運算系統(tǒng)，幫助學生在課堂上降低運算的難度，減少運算的時間，更深入地體會數(shù)學的本質(zhì).五、教學過程設計（一）提出問題解決問題形成初步經(jīng)驗圓錐曲線中求一些變量的最值，是一類常見的問題，如何根據(jù)這類問題的特點，尋求相應的解題策略是我們本課研究的重點.請大家做一做問題一.并與同學交流，進行解題后的反思.問題一已知f(0,1),m(0,3),n(3,0),p是拋物線上的一動點，（1）求|pf|的最小值；（2）求|pm|的最小值；（3）求|pm|+|pn|的最小值.反思：（1）通過問題一的解決，你能否總結(jié)出解決此類問題的基本策略？體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想？（2）

7、你能對每一種策略，總結(jié)出明確的操作步驟嗎？（3）面對具體問題時如何選擇相應的策略，你有了怎樣的經(jīng)驗？設計意圖：問題一入口簡單，計算容易，在方法上有回歸定義，構(gòu)造函數(shù)，幾何論證等典型方法。讓學生先做，一方面是了解學生學習水平，診斷學生學習中存在的問題；另一方面，通過學生的做，讓學生對此類問題及其解法有切身的感受與體驗.注重學生在解題后的反思活動，通過相互的交流和表達，對解決的策略進行反思提煉，并作進一步的明確，是使策略性知識內(nèi)化的重要過程.預設：解決圓錐曲線中的最值問題主要有兩種策略：一是幾何方法：根據(jù)圖形的特點，借助圓錐曲線的定義及幾何圖形的一些性質(zhì)，進行直接判斷.二是代數(shù)方法：核心是函數(shù)思想

8、，具體步驟：設參變量，找關系，建立目標函數(shù)，求函數(shù)的最值.一般地，當條件中幾何關系比較明顯時，可借助幾何直觀，否則選用代數(shù)的方法.（二）了解策略簡單應用形成基本技能你能否用前面所總結(jié)的解題策略來解決下列問題：問題二練一練（1）點p是拋物線c：上的動點,f是拋物線c的焦點，m(2,4),則的最小值為.（2）若p，q分別橢圓與圓上的兩個動點，則的最小值和最大值分別為，.設計意圖：題(1)是動點到兩定點的距離的最值問題，由于涉及到拋物線上的點到焦點的距離問題，可以利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點p到準線的距離,從而利用平面幾何中點到直線的所有距離中垂線段最短的結(jié)論得到問題結(jié)果.解決此類問題，要求學生有結(jié)合曲

9、線的幾何性質(zhì)進行轉(zhuǎn)化與化歸的能力.題(2)對象涉及橢圓與圓，目標是動點到動點的距離最值問題，與問題一相比在結(jié)構(gòu)上有較大差異；設計成填空題的形式可以引導學生優(yōu)先選擇圖形直觀解決問題，同時強調(diào)推導需要理性，本題先借助“形”的結(jié)構(gòu)特點，得到，從而將問題轉(zhuǎn)化為求橢圓上動點p到定點m(0,3)的距離的最值問題，進而從代數(shù)的角度，設點的坐標，建立目標函數(shù)進行求解.實際教學中學生易憑直覺判斷，需要進行適當?shù)淖兪?如“壓扁橢圓”使學生直觀地感知錯誤，促進學生進行反思并調(diào)整策略.圖3有學生用“曲率”來進行說明,也可以用同心圓來直覺猜想，最簡單的方法還是用代數(shù)法函數(shù)思想分析.（三）問題變式策略優(yōu)化形成能力問題三.

10、議一議點m(0,3)的直線與橢圓交于p,q兩個不同點,若,求數(shù)的取值范圍.分析：先審題：（1）誰在動？目標量是誰？（2）動直線有限制條件嗎？（3）動直線確定時，p，q的位置確定嗎？不同的位置對目標量的值是否會有影響？預設：本題若從代數(shù)的角度求解，當直線斜率存在時，設直線的斜率為參變量，則將代入，得.可得.（）若直接求出方程的兩根，則（）若設，則但若從幾何的角度，卻有意外的驚喜！設計意圖:可以建立與斜率的等量關系，再由的范圍求的取值范圍，也可以利用問題2的結(jié)論從幾何的角度直接判斷.同樣的思想方法,可以訓練學生的學習能力,形成解決問題的策略.實際教學中，學生更多選擇代數(shù)方法，只有三個同學選擇幾何法

11、，學生一利用了練習二的結(jié)論，但這里事實上對一般的問題有個方法上的漏洞，教師可以提出質(zhì)疑：當橢圓足夠扁時，的最小值點和最大值點不共線，還能用類似的幾何方法處理嗎？其實同樣只需再換一個角度就可以順利解決，用幾何畫板演示的變化即可.練一練直線y=kx(k0)與橢圓交于p,q兩點,a,b分別是橢圓的右、上頂點,則四邊形apbq面積的最大值為你能說明理由嗎？談談你的解題思路，并與同學議一議，了解一些不同的思路.設計意圖：本題的目標量是四邊形的面積，需要借助三角形的面積，轉(zhuǎn)化為距離問題進行求解.由此產(chǎn)生不同的策略.如1：，以為參數(shù)構(gòu)建目標函數(shù);如2：，以p點的坐標為參數(shù)建立目標函數(shù);如3：，以p點坐標為參

12、數(shù)，建立目標函數(shù).如4：以思路2為基礎，可以通過幾何直觀判斷面積的最大值，即求p,q兩點到直線ab的距離之和的最大值，即為平行于ab且與橢圓相切的兩直線之間的距離通過交流，了解不同的解法，使學生進一步體會兩種策略的靈活運用，提升解題能力有學生提出兩種幾何法（1）如4；（2）較有創(chuàng)意：將橢圓通過伸縮變換成為圓，先解決圓中的四邊形面積最大問題，再進行還原！(四)反思小結(jié)策略內(nèi)化本節(jié)課的學習，你有什么收獲？（1）你認為解決最值問題有哪些策略？（2）每種策略如何操作？（3）這些思想體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學思想？（4）還有其他收獲或感想嗎？設計意圖：解題后，在教師的引導下學生的自主反思，才能使學生的解題技能提升為策略，并內(nèi)化成自身的能力.（五）目標檢測（必做題）1.若p，q分別拋物線c：與圓上的兩個動點，求的最小值.2.2.若p，q分別是兩條曲線上的任意兩