數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)論文正交矩陣及其應(yīng)用

1、正交矩陣及其應(yīng)用the orthogonal matrix and its applicalion 專 業(yè): 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)作者: 指導(dǎo)老師: 學(xué)校二一 摘 要正交矩陣是數(shù)學(xué)研究中的一類重要的工具, 它的應(yīng)用非常廣泛. 本文從以下主要例舉了正交矩陣的三大應(yīng)用: 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在物理中的應(yīng)用. 關(guān)鍵詞: 矩陣; 正交矩陣; 標(biāo)準(zhǔn)正交基; 集合; 特征根; 行列式abstractorthogonal matrix is the mathematical study of an important class of tools, it is w

2、idely used. this article cites the following main four orthogonal matrix applications :orthogonal matrix in linear algebra, orthogonal matrix topology and modem algebra, orthogonal matrix the application of physics.keywords: matrix; orthogonal matrix; orthonormal basis; a collection of eigenvalues;

3、determinant目 錄摘 要iabstractii0 引言11 正交矩陣的定義及其簡(jiǎn)單性質(zhì)11.1 正交矩陣的定義及其判定11.2 正交矩陣的性質(zhì)12 正交矩陣的應(yīng)用22.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用2 2.2 正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用82.3 正交矩陣在物理中的作用11參考文獻(xiàn)150 引言正交矩陣是一類重要的實(shí)方陣, 由于它的一些特殊性質(zhì), 使得它在不同的領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用, 也推動(dòng)了其它學(xué)科的發(fā)展. 本文從正交矩陣的定義以及其性質(zhì)入手, 來(lái)探討它的四大應(yīng)用即: 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用、正交矩陣在物理中的應(yīng)用. 1 正交矩陣的定義及其簡(jiǎn)

4、單性質(zhì)1.1 正交矩陣的的定義及其判定定義1.11 階實(shí)矩陣, 若滿足, 則稱為正交矩陣.判定1 為正交矩陣.判定2 為正交矩陣.判定3 為正交矩陣.1.2 正交矩陣的性質(zhì)設(shè)為正交矩陣, 它有如下性質(zhì):性質(zhì)15 , 存在, 并且也為正交矩陣;性質(zhì)25 ,也是正交矩陣;當(dāng)時(shí), , 即;當(dāng)時(shí). , 即.性質(zhì)35 若也是正交矩陣, 則都為正交矩陣.證明 性質(zhì)1 顯然, 所以也是正交矩陣. 性質(zhì)2 , 顯然為正交矩陣.由,當(dāng)時(shí), , 即;當(dāng)時(shí), , 即;所以為正交矩陣.性質(zhì)3 由可知,故為正交矩陣. 由性質(zhì)1, 性質(zhì)2推知均為正交矩陣.正交矩陣的性質(zhì)主要有以上幾點(diǎn), 還有例如它的特征值的模為1, 且屬

5、于不同特征值的特征向量相互正交; 如果是它的特征值, 那么也是它的特征值, 另外正交矩陣可以對(duì)角化, 即存在復(fù)可逆矩陣, 使其中為的全部特征值, 即. 這些性質(zhì)這里就不再證明了.2 正交矩陣的應(yīng)用2.1 正交矩陣在線性代數(shù)中的應(yīng)用在正交矩陣中,有一類初等旋轉(zhuǎn)矩陣,我們也稱它為givens矩陣. 這里, 我們將利用正交矩陣可以表示成若干初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積, 給出化歐空間的一組基為標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法. 設(shè)向量 , 令, 則稱階矩陣 i列 j列為初等旋轉(zhuǎn)矩陣.初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 是由向量的第兩個(gè)元素定義的, 與單位矩陣只在第行和第列相應(yīng)的四個(gè)元素上有差別.設(shè)是由向量定義的初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 則有如下的性

6、質(zhì): 是正交矩陣; 設(shè), 則有; 用左乘任一矩陣,只改變的第行和行元素（用右乘任一矩陣,只改變的第列和列元素）. 證明 , 故, 是正交矩陣. 由得定義知, 用左乘向量, 只改變的第兩個(gè)元素, 且所以左乘, 使的第個(gè)分量非負(fù), 第個(gè)分量為0, 其余分量不變. 根據(jù) 及矩陣乘法即可以得出結(jié)論. 引理 2.1.17 任何階實(shí)非奇異矩陣, 可通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣化為上三角矩陣, 且其對(duì)角線元素除最后一個(gè)外都是正的.定理 2.1.17 設(shè)是階正交矩陣 若, 則可表示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積, 即; 若, 則可以表示成若干個(gè)初等旋轉(zhuǎn)矩陣的乘積再右乘以矩陣, 即, 其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣.證明 由于是階正

7、交矩陣, 根據(jù)引理1知存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使這里是階上三角陣, 而且得對(duì)角線上的元素除最后一個(gè)外都是正的, 所以有 (2.1)由是正交矩陣和(2.1)式得 即 (2.2)設(shè) 其中,則由上式得所以 (2.3)于是由(2.1)(2.3)式得 當(dāng)時(shí), ; 當(dāng)時(shí), .記, 是初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 故定理1結(jié)論成立.引理 2.1.27 設(shè), 秩, 則可以通過(guò)左連乘初等旋轉(zhuǎn)矩陣, 把變?yōu)榈男问? 其中是階上三角陣, 是矩陣.證明 由引理2知, 其中是階正交矩陣, 是階上三角陣, 又根據(jù)定理1知:其中是初等旋轉(zhuǎn)矩陣. 當(dāng)時(shí), 令 當(dāng)時(shí), 于是有顯然, 是階上三角陣, 當(dāng)時(shí)與除最后一行對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值相等、符號(hào)相反外,

8、其余元素對(duì)應(yīng)相等. 當(dāng)時(shí), 所以由、知本定理的結(jié)論成立.設(shè)是歐式空間的子空間的一組基, 記是秩為的矩陣.若滿足定理2的條件, 則存在初等旋轉(zhuǎn)矩陣使 (2.4)且所以 (2.5)由(2.4)、(2.5)兩式知, 對(duì)做同樣的旋轉(zhuǎn)變換, 在把化為的同時(shí), 就將化成了, 而的前個(gè)列向量屬于子空間.綜上所述可得化歐式空間的子空間的一組基:為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基德方法為: 由已知基為列向量構(gòu)成矩陣; 對(duì)矩陣施行初等旋轉(zhuǎn)變換, 化為, 同時(shí)就被化為正交矩陣, 這里是階上三角陣; 取的前個(gè)列向量便可得的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.顯然, 上述方法是求子空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基的另一種方法.下面, 我們通過(guò)實(shí)例說(shuō)明此方法的應(yīng)用.例

9、2.1.1 求以向量為基的向量空間的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.解 矩陣對(duì)分塊矩陣依次左乘, 其中得則取則就是由得到的的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.2.2 正交矩陣在拓?fù)浜徒来鷶?shù)中的應(yīng)用全體階正交矩陣作成的集合, 記為, 從代數(shù)和拓?fù)涞慕嵌葋?lái)看, 我們可以證明它構(gòu)成一拓?fù)淙? 并且進(jìn)一步證明它是不連通的緊致lie群.(1) 構(gòu)成拓?fù)淙涸谧C明構(gòu)成拓?fù)淙褐? 先介紹一下相關(guān)的概念. 定義 2.2.13 設(shè)是任一集合, 是的子集構(gòu)成的子集族, 且滿足:1、 結(jié)合與空集屬于;2、 中任意個(gè)集的并集屬于;3、 中任意有窮個(gè)集的交集屬于;稱是上的一個(gè)拓?fù)? 集合上定義了拓?fù)? 稱是一個(gè)拓?fù)淇臻g.定義 2.2.23 如果是一個(gè)

10、拓?fù)淇臻g, 兵賦予群的機(jī)構(gòu), 使得群的乘法運(yùn)算 ;求逆運(yùn)算 ;是連續(xù)映射, 就稱為拓?fù)淙?根據(jù)上面的定義, 我們分三步來(lái)實(shí)現(xiàn)證明全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成拓?fù)淙? 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淇臻g. 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一群. 全體階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙?證明 設(shè)表示所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合, 以表示的一個(gè)代表元素. 我們可以把等同于維歐氏空間, 也就是將對(duì)應(yīng)于的點(diǎn).是點(diǎn)集的子集族, 則和都屬于,中任意個(gè)集的并集屬于,中有窮個(gè)集的交集也屬于, 可以驗(yàn)證構(gòu)成一拓?fù)淇臻g, 從而成為一拓?fù)淇臻g. 是所有實(shí)元素的階正交矩陣, 所以是的子集合, 于是由的拓?fù)淇梢哉T導(dǎo)出這

11、個(gè)子集合的拓?fù)? 從而構(gòu)成的一個(gè)子拓?fù)淇臻g. 10 由于矩陣的乘法滿足集合律, 所以 20 30 所以正交矩陣作成的集合對(duì)于乘法運(yùn)算可構(gòu)成一群. 對(duì)于中的拓?fù)淇臻g的拓?fù)? 定義矩陣乘法設(shè), 則乘積的個(gè)元素是現(xiàn)在具有乘積空間(個(gè)因子)的拓?fù)? 對(duì)于任何滿足的, 我們有投影映射, 將和的乘積映為它的第個(gè)元素. 現(xiàn)在是和的元素的多項(xiàng)式, 因此連續(xù), 投影映射是連續(xù)的,從而證明映射是連續(xù)的. 因?yàn)榫哂械淖涌臻g拓?fù)? 是的一個(gè)子拓?fù)淇臻g,且由正交矩陣的性質(zhì)及上面的討論知, 映射也是連續(xù)的.中的矩陣可逆,定義求逆映射,. 由于合成映射, 將映為的第個(gè)元素, 由正交矩陣的性質(zhì), , 所以, 即, 的行列式及

12、的代數(shù)余子式都是內(nèi)元素的多項(xiàng)式, 且, 所以為連續(xù)的, 而投影映射為連續(xù)的, 所以求逆映射為連續(xù)的.至此, 又是一個(gè)拓?fù)淇臻g,并且構(gòu)成群, 對(duì)群的乘法與求逆運(yùn)算都是拓?fù)淇臻g的連續(xù)映射, 因而所有階正交矩陣作成的集合構(gòu)成一拓?fù)淙? 稱它為正交群.(2) 是緊致lie群在證明之前我們知道以下有關(guān)的定義和定理.定義 2.2.34 設(shè)為拓?fù)淙? 的拓?fù)錇榫S實(shí)(或復(fù))解析流形, 且映射 為解析流形到上的解析映射, 則稱為維lie群.定理 2.2.14 歐氏空間內(nèi)的有界閉集是緊致子集.證明 (所有具有實(shí)元素的階矩陣作成的集合), 對(duì)應(yīng)維歐氏空間的點(diǎn),可作為維歐氏空間. 的行列式為元素的解析函數(shù), 為中的開

13、子集. 這時(shí), 按誘導(dǎo)拓?fù)淇梢灾罏榻馕隽餍? 且關(guān)于矩陣的乘法和求逆運(yùn)算均解析, 故為維lie群. 為的閉子集, 按誘導(dǎo)拓?fù)錇樽恿餍? 為lie群.為了證明緊致, 根據(jù)定理內(nèi)容, 只要證明等同于時(shí), 相當(dāng)于內(nèi)的有界閉集. 設(shè), 由于有 對(duì)于任意的,定義映射 則為系列各集合的交集 由于都是連續(xù)映射, 所以上述每個(gè)集合都是閉集. 因此是的有界閉集, 這就證明了的緊致性.在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上是緊致的lie群, 我們稱為緊lie群, 所以是緊lie群.(3) 是不連通的定義 2.2.43 設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g, 中存在著兩個(gè)非空的閉子集和, 使和成立, 則稱是不連通的.證明 我們?cè)僭O(shè)是所有行列式為1的正交矩陣構(gòu)

14、成的集合, 為所有行列式為-1的正交矩陣構(gòu)成的集合. 因?yàn)槭沁B續(xù)映射, 而我們知道單點(diǎn)集是的閉集, 在連續(xù)映射下, 任何一個(gè)閉集的原象也是閉集, 所以也為閉集,為的閉集, 同理, 我們也可以證明是閉集, 因?yàn)?,而和是閉集, 有不連通的定義我們可以直接證明是不連通的.2.3 正交矩陣在物理中的應(yīng)用任意剛體運(yùn)動(dòng)都對(duì)應(yīng)一個(gè)正交矩陣, 三維空間一條曲線經(jīng)過(guò)剛體運(yùn)動(dòng), 其曲率和撓率是不變的, 稱它們?yōu)檫\(yùn)動(dòng)不變量. 下面, 我們來(lái)考察曲線作剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)的量.設(shè)曲線與曲線只差一個(gè)運(yùn)動(dòng), 從曲線到曲線的變換為 (2.6)其中是三階正交矩陣, 是常數(shù).對(duì)(2.6)兩邊求n階導(dǎo)數(shù)得從而有 (2.7)因?yàn)閍是正交矩

15、陣, 所以也有 (2.8)另一方面, 由一階, 二階, 三階導(dǎo)數(shù), 可作成矩陣兩邊取行列式, 由得現(xiàn)在取可類似地討論.因?yàn)?(2.9) (2.10)(2.7)代入(2.9)的右邊得 （2.11）因(2.9)與(2.10)右邊相等, 有(2.10)右邊與(2.11)式右邊相等得由正交矩陣的性質(zhì)2知, 且由將上面三式左右分別平方相加=+=寫成矢函數(shù), 即得于是我們可推得這里的分別是曲線的曲率與撓率.致謝 本文是在 的指導(dǎo)和幫助下完成的, 在此對(duì)汪老師表示衷心的感謝!參考文獻(xiàn)1 張凱院, 徐仲矩陣論同步學(xué)習(xí)輔導(dǎo)m. 西安: 西北工業(yè)大學(xué)出版社, 2002. 10160-1642 趙大成等物質(zhì)機(jī)構(gòu)m人

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