人教版數(shù)學九年級上冊課件 24.1圓的有關性質(zhì)（第4課時）

1、第二十四章 圓 24.1圓的有關性質(zhì) 第4課時 學習目標 1.理解圓周角的概念，會敘述并證明圓周角定理. 2.理解圓周角與圓心角的關系并能運用圓周角定理解 決簡單的幾何問題.（重點、難點） 3.理解掌握圓周角定理的推論及其證明過程和運用. （難點） 問題1 什么叫圓心角？指出圖中的圓心角？ 頂點在圓心的角叫圓心角, BOC. 導入新課導入新課 問題2 如圖，BAC的頂點和邊有哪些特點? A BAC的頂點在O上，角的兩邊分別交O于B、 C兩點. 復習引入 C A E D B 思考： 圖中過球門A、C兩點畫圓，球員射中球門的難易程度 與他所處的位置B、D、E有關（張開的角度大?。?、僅從數(shù)學 的角度

2、考慮，球員應選擇從哪一點的位置射門更有利？ 頂點在圓上，并且兩邊都與圓相交的角叫做圓周角. （兩個條件必須同時具備，缺一不可） 講授新課講授新課圓周角的定義 C O A B C O B C O B A A C O A B C O B C O B A A 判一判：下列各圖中的BAC是否為圓周角并簡述理由. （2）（1） （3） （5） （6） 頂點不在圓上 頂點不在圓上 邊AC沒有和圓相交 如圖，連接BO,CO,得圓心角BOC.試猜想BAC與 BOC存在怎樣的數(shù)量關系. 1 2 BACBOC 測量與猜測 圓周角定理及其推論 圓心O O 在BACBAC 的 內(nèi)部 圓心O在BAC 的一邊上 圓心O在

3、BAC 的外部 推導與論證 n圓心O在BAC的一邊上（特殊情形） OA=OCA= C BOC= A+ C 1 2 BACBOC O A B D O A C D O A B C D n圓心O在BAC的內(nèi)部 O A C D O A B D BADBOD 1 2 DACDOC 1 2 BAC BADDAC BODDOCBOC 11 () 22 DACDOC 1 2 D A BD O B 1 2 O A B D C O A D C O A B D C O A D O A B D C O A D O A B D 1 () 2 BACDACDAB DOCDOBBOC 1 2 n圓心O在BAC的外部 u圓周

4、角定理： 一條弧所對的圓周角等于該弧它所對的圓心角的一 半； 圓周角定理 要點歸納 問題1 如圖，OB，OC都是 O的半徑，點A ,D 是上 任意兩點，連接AB，AC，BD，CD.BAC與BDC 相等嗎？請說明理由. D 互動探究 1 , 2 BACBOC 1 , 2 BDCBOC BAC=BDC. 相等 D A B O C E F 問題2 如圖，若 CD=EF , A與B相等嗎？ 相等 .CODEOF Q，ACODBEOF 11 22 .AB 想一想：(1)反過來，若A=B，那么 CD=EF成立嗎？ (2)若CD是直徑，你能求出A的度數(shù)嗎？ CD=EF 圓周角定理的推論 同弧或等弧所對的圓周

5、角相等. 知識要點 A1 A2 A 3 試一試： 1.如圖，點A、B、C、D在O上，點A與點D在點B、 C所在直線的同側，BAC=35. (1)BOC= ，理由 是 ; (2)BDC= ，理由是 . 70 35 同弧所對的圓周角相等 一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半 (1)完成下列填空： 1= . 2= . 3= . 5= . 2.如圖，點A、B、C、D在同一個圓上，AC、BD 為四邊形ABCD的對角線. 4 8 6 7 A B C D O 1 ( ( ( ( ( ( ( ( 2 3 4 5 6 7 8 想一想 如圖，線段AB是O的直徑，點C是 O上的任意一 點（除點A、B外），那么

6、，ABC就是直徑AB所對 的圓周角，想一想，ACB會是怎樣的角？ O A C B 解：OA=OB=OC， AOC、BOC都是等腰三角形. OAC=OCA，OBC=OCB. 又 OAC+OBC+ACB=180. ACB=OCA+OCB=1802=90. 圓周角和直徑的關系 u圓周角和直徑的關系： 半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等于90. 知識要點 典例精析 例1 如圖，AB是O的直徑，A=80.求 ABC的大小. O CA B 解：AB是O的直徑， ACB=90（直徑所對 的圓周角等于90.） ABC=180-A-ACB =180-90-80=10. 例2 如圖，分別求出圖中x的大小. 60

7、x 30 20 x 解：(1)同弧所對圓周角相等，x=60. A D B E C (2)連接BF， F 同弧所對圓周角相等， ABF=D=20，F(xiàn)BC=E=30. x=ABF+FBC=50. 例3：如圖， O的直徑AC為10cm，弦AD為6cm. （1）求DC的長； （2）若ADC的平分線交 O 于B, 求AB、BC的長 B 解：(1)AC是直徑， ADC=90. 在RtADC中，中， 2222 1068;DCACAD 在RtABC中，AB2+BC2=AC2， (2) AC是直徑, ABC=90. BD平分ADC, ADB=CDB. 又ACB=ADB ,BAC=BDC . BAC=ACB, A

8、B=BC. 22 105 2(cm). 22 ABBCAC B 解答圓周角有關問題時，若題中出現(xiàn)“直徑”這個條 件，則考慮構造直角三角形來求解. 歸納 如圖，BD是 O的直徑，CBD30，則A 的度數(shù)為() A30 B45 C60 D75 解析：BD是 O的直徑， BCD90. CBD30， D60，AD60.故選C. 方法總結：在圓中，如果有直徑，一般要找直徑所對的圓 周角，構造直角三角形解題 練一練 C 例4 如圖,AB是 O的直徑,弦CD交AB于點P, ACD=60,ADC=70.求APC的度數(shù). . O A D C P B 解:連接BC,則ACB=90, DCBACBACD 9060=

9、30. 又BAD=DCB=30, APC=BADADC30 70100. 如果一個多邊形所有頂點都在同一個圓上，這 個多邊形叫做圓內(nèi)接多邊形，這個圓叫做這個多邊 形的外接圓. 圓內(nèi)接四邊形 如圖，四邊形ABCD為 O的內(nèi)接四邊形， O為四邊形ABCD的外接圓. u探究性質(zhì) 猜想：A與C, B與D之間 的關系為： A+ C=180， B+ D=180 想一想： 如何證明你的猜想呢？ 弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角， AC180， 同理BD180， 證明猜想 歸納總結 推論：圓的內(nèi)接四邊形的對角互補. C O D B A 弧BCD和弧BAD所對的圓心角的和是周角， AC180， 同理BD

10、180， E 延長BC到點E，有 BCDDCE180. ADCE. 想一想 圖中A與DCE的大小有何關系？ 歸納總結 推論：圓的內(nèi)接四邊形的任何一個外 角都等于它的內(nèi)對角. C O D B A E 1四邊形ABCD是 O的內(nèi)接四邊形，且A=110， B=80，則C= ，D= . 2 O的內(nèi)接四邊形ABCD中， A B C=1 2 3 ，則D= . 70100 90 練一練 例5：如圖，AB為 O的直徑，CFAB于E，交 O于D， AF交 O于G. 求證：FGDADC. 證明：四邊形ACDG內(nèi)接于 O， FGDACD. 又AB為 O的直徑，CFAB于E， AB垂直平分CD， ACAD， ADCA

11、CD， FGDADC. 方法總結：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)是溝通角相等關 系的重要依據(jù) 如圖，在 O的內(nèi)接四邊形ABCD中，BOD 120，那么BCD是() A120 B100 C80 D60 解析：BOD120，A60，C 18060120，故選A. 練一練 A 解：設A，B，C的度數(shù)分別對于2x，3x，6x， 例6 在圓內(nèi)接四邊形ABCD中， A，B，C的度 數(shù)之比是236.求這個四邊形各角的度數(shù). 四邊形ABCD內(nèi)接于圓， A+ C=B+D=180， 2x+6x=180， x=22.5. A=45，B=67.5，C =135， D=180-67.5=112.5. 1.判斷 （1）同一個圓中等弧

12、所對的圓周角相等 （ ） （2）相等的弦所對的圓周角也相等 （ ） （3）同弦所對的圓周角相等 （ ） 當堂訓練當堂訓練 2.已知ABC的三個頂點在 O上,BAC=50, ABC=47, 則AOB= B A C O 166 3.如圖，已知BD是 O的直徑， O的弦ACBD于 點E，若AOD=60，則DBC的度數(shù)為（ ） A.30 B.40 C.50 D.60 A 【規(guī)律方法】解決圓周角和圓心角的計算和證明問題,要準 確找出同弧所對的圓周角和圓心角,然后再靈活運用圓周角 定理. A B C D O 4.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于 O,如 果BOD=130,則BCD的度數(shù)是 （ ） A 115 B

13、 130 C 65 D 50 5.如圖，等邊三角形ABC內(nèi)接于 O， P是AB上的一點，則APB= . A B C P C 120 6.如圖，已知圓心角AOB=100,則圓周角 ACB= ，ADB= .D A O C B 13050 7.如圖，ABC的頂點A、B、C 都在 O上，C30 ，AB2， 則 O的半徑是 . C A B O 解：連接OA、OB C=30 ，AOB=60 又OA=OB ，AOB是等邊三角形 OA=OB=AB=2，即半徑為2. 2 A O B C ACB=2BAC 證明： 8. 如圖，OA，OB，OC都是 O的半徑，AOB= 2BOC. 求證：ACB=2BAC. QACB

14、AOB 1 , 2 1 , 2 BACBOC AOB=2BOC， 9.船在航行過程中，船長通過測定角數(shù)來確定是否遇到暗礁， 如圖，A、B表示燈塔，暗礁分布在經(jīng)過A、B兩點的一個圓形 區(qū)域內(nèi)，優(yōu)弧AB上任一點C都是有觸礁危險的臨界點，ACB 就是“危險角”，當船位于安全區(qū)域時，與“危險角”有 怎樣的大小關系？ 解：當船位于安全區(qū)域時， 即船位于暗礁區(qū)域外（即 O外） ，與兩個燈塔的夾 角小于“危險角”. 拓展提升：如圖，在ABC中，AB=AC, 以AB為直徑的圓交BC于D,交AC于E, (1)BD與CD的大小有什么關系?為什么? (2)求證： BD=DE. . A B C D E AB是圓的直徑，點D在圓上， ADB=90， ADBC， AB=AC， BD=CD. AD平分頂角BAC，即BAD=CAD， （同圓或等圓中相等的圓周角所對弧相等）. 解:BD=CD.