人教版高中數(shù)學(xué)必修⑤3.3.2《簡單的線性規(guī)劃問題》教學(xué)設(shè)計

1、課題：必修3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題三維目標(biāo)： 1、 知識與技能（1）使學(xué)生進(jìn)一步了解二元一次不等式表示平面區(qū)域；了解線性規(guī)劃的意義以及約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念；（2）了解線性規(guī)劃問題的圖解法，并能應(yīng)用它解決相關(guān)問題及一些簡單的實際問題。 2、過程與方法（1）通過引導(dǎo)學(xué)生合作探究，將實際生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)中的線性規(guī)劃問題來解決，提高數(shù)學(xué)建模能力。同時，可借助計算機(jī)的直觀演示可使教學(xué)更富趣味性和生動性；（2）將實際問題中錯綜復(fù)雜的條件列出目標(biāo)函數(shù)和約束條件對學(xué)生而言既是重點又是難點，在此，教師要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知、理解情況，引導(dǎo)學(xué)生自己動手建立數(shù)學(xué)模型，自我不斷體驗、感

2、受、總結(jié)；同時，要給學(xué)生正確的示范，利用精確的圖形并結(jié)合推理計算求解3、情態(tài)與價值觀（1）培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化、等與不等辯證的數(shù)學(xué)思想； (2) 通過對不等式知識的進(jìn)一步學(xué)習(xí)，不斷培養(yǎng)自主學(xué)習(xí)、合作交流、善于反思、勤于總結(jié)的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的鉆研精神，提高參與意識和合作精神；（3）通過生動具體的現(xiàn)實問題，激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情，培養(yǎng)勇于探索的精神，勇于創(chuàng)新精神，同時體會事物之間普遍聯(lián)系的辯證思想。體驗在學(xué)習(xí)中獲得成功的成就感，為遠(yuǎn)大的志向而不懈奮斗。 教學(xué)重點：（1）把實際問題轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題，即建立數(shù)學(xué)模型；（2）用圖解法解決簡單的

3、線性規(guī)劃問題。教學(xué)難點：準(zhǔn)確求得線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解（尤其是整數(shù)解的求解思想）教 具：多媒體、實物投影儀教學(xué)方法：合作探究、分層推進(jìn)教學(xué)法教學(xué)過程：一、雙基回眸 科學(xué)導(dǎo)入：前面，我們學(xué)習(xí)了二元一次不等式（組）及其表示的區(qū)域并且體會到在實際問題中的應(yīng)用前景，感受到其重要性。下面，首先我們一起回顧一下這些知識和方法：幾個概念：1. 二元一次不等式.：我們把含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式稱為二元一次不等式.2. 二元一次不等式組.：我們把由幾個二元一次不等式組成的不等式組稱為二元一次不等式組.3二元一次不等式組的解集：滿足二元一次不等式組的 x 和y的取值構(gòu)成有序數(shù)對，所有這樣的有序數(shù)

4、對構(gòu)成的集合稱為二元一次不等式組的解集.結(jié)論：1二元一次不等式ax+by+c0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線ax+by+c=0某一側(cè)所有點組成的平面區(qū)域.（虛線表示區(qū)域不包括邊界直線）而不等式表示區(qū)域時則包括邊界,把邊界畫成實線.2二元一次不等式表示哪個平面區(qū)域的判斷方法：由于對在直線ax+by+c=0同一側(cè)的所有點()，把它的坐標(biāo)（)代入ax+by+c，所得到實數(shù)的符號都相同，所以只需在此直線的某一側(cè)取一特殊點（x0,y0)，從ax0+by0+c的正負(fù)即可判斷ax+by+c0表示直線哪一側(cè)的平面區(qū)域.（特殊地，當(dāng)c0時，常把原點作為此特殊點）在生活、生產(chǎn)中，經(jīng)常會遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排

5、的等問題，如某工廠用a、b兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品使用4個a配件耗時1h，每生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品使用4個b配件耗時2h，該廠每天最多可從配件廠獲得16個a配件和12個b配件，按每天工作8h計算，該廠所有可能的日生產(chǎn)安排是什么？根據(jù)我們上節(jié)課所學(xué)知識，大家不難列出相應(yīng)的量的約束條件，但我們列出（或畫出）后，應(yīng)該要解決生產(chǎn)中的必需的問題，這就是我們今天要探究的問題二、 創(chuàng)設(shè)情境 合作探究 ：【引領(lǐng)學(xué)生合作探究，通過上述問題的進(jìn)一步所求總結(jié)線性規(guī)劃問題】上面的問題應(yīng)該到達(dá)下面的位置：解：設(shè)甲、乙兩種產(chǎn)品分別生產(chǎn)x、y件，由已知條件可的二元一次不等式組： （）將上述不等式組表示成平面上的

6、區(qū)域，如圖中陰影部分的整點。xyo242468y=3x=4x+2y-8=0 若繼續(xù)問：若生產(chǎn)一件甲產(chǎn)品獲利2萬元，生產(chǎn)一件乙產(chǎn)品獲利3萬元，采用哪種生產(chǎn)安排利潤最大？探究如下：設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x乙產(chǎn)品y件時，工廠獲得的利潤為z,則z=2x+3y.這樣，上述問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)x、y滿足不等式（）并且為非負(fù)整數(shù)時，z的最大值是多少？ 變形：把這是斜率為；當(dāng)z變化時，可以得到一組互相平行的直線；的平面區(qū)域內(nèi)有公共點時，在區(qū)域內(nèi)找一個點p，使直線經(jīng)點p時截距最大； 平移：通過平移找到滿足上述條件的直線； 求解：找到給m（4，2）后，求出對應(yīng)的截距及z的值。由上圖可以看出，當(dāng)實現(xiàn)金國直線x=4與直線x+2y-

7、8=0的交點m（4，2）時，截距的值最大，最大值為，這時2x+3y=14.所以，每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品4件，乙產(chǎn)品2件時，工廠可獲得最大利潤14萬元?！疽I(lǐng)學(xué)生總結(jié)出線性規(guī)劃問題的相關(guān)概念】若，式中變量x、y滿足上面不等式組，則不等式組叫做變量x、y的 ，叫做 ；又因為這里的是關(guān)于變量x、y的一次解析式，所以又稱為 。滿足線性約束條件的解叫做 ，由所有可行解組成的集合叫做可行域；其中使目標(biāo)函數(shù)取得最大值的可行解 叫做最優(yōu)解?！拘≡嚺５丁?求的最大值，使、滿足約束條件 2. 求的最大值，使、滿足約束條件 3、不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標(biāo)為 三、互動達(dá)標(biāo) 鞏固所學(xué)：問題.1營養(yǎng)學(xué)家指出，成人良好的日

8、常飲食應(yīng)該至少提供0.075kg的碳水化合物,0.06kg的蛋白質(zhì),0.06kg的脂肪.1kg的食物a含有0.105kg的碳水化合物,0.07kg蛋白質(zhì),0.14kg脂肪,花費28元;而1kg食物b含有0.105kg碳水化合物,0.14kg蛋白質(zhì),0.07kg脂肪,花費21元.為了滿足營養(yǎng)專家指出的日常飲食要求,同時花費最低,需要同時食用食物a和食物b多少kg?【分析】將已知數(shù)據(jù)列成下表：食物/kg碳水化合物/kg蛋白質(zhì)/kg脂肪/kga0.1050.070.14b0.1050.140.07【解析】設(shè)每天食用kg食物a，kg食物b，總成本為，那么 化簡得 目標(biāo)函數(shù)為 .作出二元一次不等式組所表

9、示的平面區(qū)域，即可行域.考慮，將它變形為，這是斜率為、隨變化的一族平行線.是直線在軸上的截距，當(dāng)取最小值時，的值最小.當(dāng)然直線要與可行域相交，即在滿足約束條件時目標(biāo)函數(shù)取得最小值.由上圖可見，當(dāng)直線經(jīng)過可行域上的點時，截距最小，即最小.解方程組 得的坐標(biāo)為 ，.所以.答：每天食用食物a約143g，食物b約571g，能夠滿足日常飲食要求，又使花費最低，最低成本為16元.【點評】線性規(guī)劃問題首先要根據(jù)實際問題列出表達(dá)約束條件的不等式，然后分析目標(biāo)函數(shù)中所求量的幾何意義，由數(shù)形結(jié)合思想求解問題. 利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應(yīng)用，關(guān)鍵在于找出約束條件與目標(biāo)函數(shù)，準(zhǔn)確地描可

10、行域，再利用圖形直觀求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解.問題.2要將兩種大小不同的鋼板截成a、b、c三種規(guī)格，每張鋼板可同時截得三種規(guī)格的小鋼板的塊數(shù)如下表所示： 鋼板類型 規(guī)格類型a規(guī)格b規(guī)格c規(guī)格第一種鋼板211第二種鋼板123今需要a、b、c三種規(guī)格的成品分別為15，18，27塊，用數(shù)學(xué)關(guān)系式和圖形表示上述要求。并求出各截這兩種鋼板多少張可得到所需a、b、c三種規(guī)格成品，且使所用鋼板張數(shù)最少？【分析】解決問題1時是先將已知數(shù)據(jù)列成表，而此題已經(jīng)給出了表，根據(jù)此表直接列出約束條件既可【解析】設(shè)需截第一種鋼板x張，第二種鋼板y張，根據(jù)題意可得：作出以上不等式組所表示的平面區(qū)域（或打出投影片7.4.3 b）

11、,即可行域：目標(biāo)函數(shù)為z=x+y，作出在一組平行直線x+y=t（t為參數(shù)）中經(jīng)過可行域內(nèi)的點且和原點距離最近的直線，此直線經(jīng)過直線x+3y=37和直線2x+y=15的交點a（），直線方程為x+y=.由于都不是整數(shù)，而最優(yōu)解（x，y）中，x、y必須滿足x，yz，所以，可行域內(nèi)點()不是最優(yōu)解.經(jīng)過可行域內(nèi)的整點（橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點）且與原點距離最近的直線是x+y=12,經(jīng)過的整點是b(3,9)和c(4,8)，它們是最優(yōu)解.答：要截得所需規(guī)格的三種鋼板，且使所截兩種鋼板的張數(shù)最少的方法有兩種，第一種截法是截第一種鋼板3張、第二種鋼板9張；第二種截法是截第一種鋼板4張、第二種鋼板8張，兩種方

12、法都最少要截得兩種鋼板共12張.【點評】解題步驟小結(jié)：先將數(shù)據(jù)整理列表, 分析各量之間的關(guān)系，進(jìn)一步確立變量和目標(biāo)函數(shù)分析約束條件并列出約束條件圖解法求解問題.3設(shè)，式中滿足下列條件：. 求z的最大值和最小值。【分析】此種問題顯然是上面實際問題中的一個步驟，解決此題是為了進(jìn)一步讓學(xué)生鍛煉解決此種問題的方法和步驟【解析】讓學(xué)生自主作出此題并總結(jié)出簡明的步驟：【點評】簡明的步驟為： 指出線性約束條件和線性目標(biāo)函數(shù) 畫出可行域的圖形 平移直線，在可行域內(nèi)找到最優(yōu)解問題.4已知求的取值范圍?！痉治觥看祟}是先分別求出x、y范圍還是用和把表示出來，再進(jìn)一步求解同學(xué)們交流一下 【解析】大家看下面兩種解法哪一

13、種錯了解法一：由已知可求出x和y的取值范圍： 所以的取值范圍為： 0 , 12 解法二：因所以，的取值范圍為： 2 ，10 【點評】經(jīng)過分析、探討解法一是錯誤的，原因是：此處不是相互獨立的關(guān)系，而是由不等式組決定的相互制約關(guān)系，x取最大（?。┲禃r，y并不能同時取得最大（小）值；y取最大（?。┲禃r，x并不能同時取得最大（小）值；四、思悟小結(jié)：知識線：（1）線性規(guī)劃的含義； （2）線性規(guī)劃的相關(guān)概念：目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等基本概念。思想方法線：（1）建模思想方法；（2）等價轉(zhuǎn)化思想；（3）數(shù)形結(jié)合思想。題目線：（1）解決線性規(guī)劃的基本問題；（2）解決關(guān)于線性規(guī)劃的實際問題；（3）解決關(guān)

14、于線性規(guī)劃的綜合問題。五、針對訓(xùn)練 鞏固提高：1. 已知x，y滿足，則的最小值為 2. 已知x，y滿足，則的取值范圍是 3. 電視臺應(yīng)某企業(yè)制約播放兩套連續(xù)劇，其中，連續(xù)劇甲每次播放時間為80min，其中廣告時間為1min，收視觀眾為60萬，連續(xù)劇乙每次播放時間為40min，廣告時間為1min，收視觀眾為20萬，已知此企業(yè)與電視臺達(dá)成協(xié)議，要求電視臺每周至少播放6min廣告，而電視臺每周只能為該企業(yè)提供不多于320min的節(jié)目時間，如果你是電視臺的制片人，電視臺每周應(yīng)播映兩套連續(xù)劇各多少次，才能獲得最高的收視率？4 一個化肥廠生產(chǎn)甲、乙兩種混合肥料，生產(chǎn)1車皮甲種肥料的主要原料是磷酸鹽4t、硝

15、酸鹽18t；生產(chǎn)一車皮乙種肥料需要的主要原料是磷酸鹽1t、硝酸鹽15t.現(xiàn)庫存磷酸鹽10t、硝酸鹽66t，在此基礎(chǔ)上生產(chǎn)這兩種混合肥料。列出滿足生產(chǎn)條件的數(shù)學(xué)關(guān)系式，并畫出相應(yīng)的平面區(qū)域。若生產(chǎn)1車皮甲種肥料，產(chǎn)生的利潤為10000元；生產(chǎn)1車皮乙種肥料，產(chǎn)生的利潤為5000元。那么分別生產(chǎn)甲、乙兩種肥料各多少車皮，能夠產(chǎn)生最大的利潤？5. 求z=x-y的最大值和最小值，使式中的x，y滿足線性約束條件6. 中，三個頂點坐標(biāo)分別為a(2,4),b(-1,0),c(1,0),點p（x，y）在的內(nèi)部和邊界上運動，則z=x-y的最大值是 ，最小值是 。7. 已知，若，則的最小值是 ，最大值是 。【作業(yè)

16、】課本第93頁a組4，b組3【疑點答疑】典型錯解剖析已知f(x)=ax2+bx,1f(-1)2,2f(1)4,求f(-2)的取值范圍?！惧e解】由1f(-1)2,2f(1)4得(1)+(2),并同除以2，得（3）再由（1）得-2-a+b-1 (4)(2)+(4),并同除以2得0b (5)由（3），（5）得64a12,-3-2b034a-2b12, 故3f(-2)12.【剖析】對于所求變量與已知量之間有依賴關(guān)系，即所求范圍的變量是非獨立的這類問題，學(xué)生一般都想從根據(jù)題設(shè)把所求量中的參數(shù)求出，再求出所求變量的范圍。由于這類問題量與量間的依賴性，因此該解法有時會擴(kuò)大（或縮小）變量的取值范圍。上述解答中

17、，確定與0b是對的，但a,b不是相互獨立的量，不能在這兩個區(qū)間內(nèi)獨立取值（如當(dāng)a=2時,b只能在 0,1內(nèi)取值；當(dāng)a=時，b只能?。?因此4a-2b的最大值不是12，最小值也不是3.顯然是忽視了a,b間的依賴關(guān)系誤選基本量而致錯?！菊?】（基本量法）一個二次函數(shù)由三個獨立的條件確定，本題中的二次函數(shù)f(x)=ax2+bx,由于常數(shù)項已確定為0，故由兩個獨立條件即可確定?？梢元毩⑦x取的變量是f(-1)及f(1)，應(yīng)將f(-1)和f(1)作為基本量，將f(-2)用f(-1)及f(1)表示，才可求得正確結(jié)論。設(shè)f(-1)=u, f(1)=v,由已知得，解得，f(-2)=4a-2b=(2u+2v)-(v-u)=3u+v