專題訓(xùn)練一由動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題教師版

1、專題訓(xùn)練一： 因動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生的相似三角形問題 例1 2012年蘇州市中考第29題如圖1，已知拋物線（b是實(shí)數(shù)且b2）與x軸的正半軸分別交于點(diǎn)a、b（點(diǎn)a位于點(diǎn)b是左側(cè)），與y軸的正半軸交于點(diǎn)c（1）點(diǎn)b的坐標(biāo)為_，點(diǎn)c的坐標(biāo)為_（用含b的代數(shù)式表示）；（2）請你探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)p，使得四邊形pcob的面積等于2b，且pbc是以點(diǎn)p為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？如果存在，求出點(diǎn)p的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由；（3）請你進(jìn)一步探索在第一象限內(nèi)是否存在點(diǎn)q，使得qco、qoa和qab中的任意兩個(gè)三角形均相似（全等可看作相似的特殊情況）？如果存在，求出點(diǎn)q的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體

2、驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12蘇州29”，拖動(dòng)點(diǎn)b在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等，存在四邊形pcob的面積等于2b的時(shí)刻雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)b，可以體驗(yàn)到，存在oqab的時(shí)刻，也存在oqab的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（2）題中，等腰直角三角形pbc暗示了點(diǎn)p到兩坐標(biāo)軸的距離相等2聯(lián)結(jié)op，把四邊形pcob重新分割為兩個(gè)等高的三角形，底邊可以用含b的式子表示3第（3）題要探究三個(gè)三角形兩兩相似，第一直覺這三個(gè)三角形是直角三角形，點(diǎn)q最大的可能在經(jīng)過點(diǎn)a與x軸垂直的直線上滿分解答（1）b的坐標(biāo)為(b, 0)，點(diǎn)c的坐標(biāo)為(0, )（2）如圖2，過點(diǎn)p作pdx軸，pey軸

3、，垂足分別為d、e，那么pdbpec因此pdpe設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為(x, x)如圖3，聯(lián)結(jié)op所以s四邊形pcobspcospbo2b解得所以點(diǎn)p的坐標(biāo)為()圖2 圖3（3）由，得a(1, 0)，oa1如圖4，以oa、oc為鄰邊構(gòu)造矩形oaqc，那么oqcqoa當(dāng)，即時(shí)，bqaqoa所以解得所以符合題意的點(diǎn)q為()如圖5，以oc為直徑的圓與直線x1交于點(diǎn)q，那么oqc90。因此ocqqoa當(dāng)時(shí)，bqaqoa此時(shí)oqb90所以c、q、b三點(diǎn)共線因此，即解得此時(shí)q(1,4)圖4 圖5考點(diǎn)伸展第（3）題的思路是，a、c、o三點(diǎn)是確定的，b是x軸正半軸上待定的點(diǎn)，而qoa與qoc是互余的，那么我們自然想到

4、三個(gè)三角形都是直角三角形的情況這樣，先根據(jù)qoa與qoc相似把點(diǎn)q的位置確定下來，再根據(jù)兩直角邊對應(yīng)成比例確定點(diǎn)b的位置如圖中，圓與直線x1的另一個(gè)交點(diǎn)會(huì)不會(huì)是符合題意的點(diǎn)q呢？如果符合題意的話，那么點(diǎn)b的位置距離點(diǎn)a很近，這與ob4oc矛盾例2 2012年黃岡市中考模擬第25題如圖1，已知拋物線的方程c1： (m0)與x軸交于點(diǎn)b、c，與y軸交于點(diǎn)e，且點(diǎn)b在點(diǎn)c的左側(cè)（1）若拋物線c1過點(diǎn)m(2, 2)，求實(shí)數(shù)m的值；（2）在（1）的條件下，求bce的面積；（3）在（1）的條件下，在拋物線的對稱軸上找一點(diǎn)h，使得bheh最小，求出點(diǎn)h的坐標(biāo)；（4）在第四象限內(nèi)，拋物線c1上是否存在點(diǎn)f，使

5、得以點(diǎn)b、c、f為頂點(diǎn)的三角形與bce相似？若存在，求m的值；若不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“12黃岡25”，拖動(dòng)點(diǎn)c在x軸正半軸上運(yùn)動(dòng)，觀察左圖，可以體驗(yàn)到，ec與bf保持平行，但是bfc在無限遠(yuǎn)處也不等于45觀察右圖，可以體驗(yàn)到，cbf保持45，存在bfcbce的時(shí)刻思路點(diǎn)撥1第（3）題是典型的“牛喝水”問題，當(dāng)h落在線段ec上時(shí)，bheh最小2第（4）題的解題策略是：先分兩種情況畫直線bf，作cbfebc45，或者作bf/ec再用含m的式子表示點(diǎn)f的坐標(biāo)然后根據(jù)夾角相等，兩邊對應(yīng)成比例列關(guān)于m的方程滿分解答（1）將m(2, 2)代入，得解得m4（2）當(dāng)m4時(shí)，所以c

6、(4, 0)，e(0, 2)所以sbce（3）如圖2，拋物線的對稱軸是直線x1，當(dāng)h落在線段ec上時(shí)，bheh最小設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為p，那么因此解得所以點(diǎn)h的坐標(biāo)為（4）如圖3，過點(diǎn)b作ec的平行線交拋物線于f，過點(diǎn)f作ffx軸于f由于bcefbc，所以當(dāng)，即時(shí)，bcefbc設(shè)點(diǎn)f的坐標(biāo)為，由，得解得xm2所以f(m2, 0)由，得所以由，得整理，得016此方程無解圖2 圖3 圖4如圖4，作cbf45交拋物線于f，過點(diǎn)f作ffx軸于f，由于ebccbf，所以，即時(shí)，bcebfc在rtbff中，由ffbf，得解得x2m所以f所以bf2m2，由，得解得綜合、，符合題意的m為考點(diǎn)伸展第（4）題也

7、可以這樣求bf的長：在求得點(diǎn)f、f的坐標(biāo)后，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求bf的長例3 2011年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題直線分別交x軸、y軸于a、b兩點(diǎn)，aob繞點(diǎn)o按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90后得到cod，拋物線yax2bxc經(jīng)過a、c、d三點(diǎn)(1) 寫出點(diǎn)a、b、c、d的坐標(biāo)；(2) 求經(jīng)過a、c、d三點(diǎn)的拋物線表達(dá)式，并求拋物線頂點(diǎn)g的坐標(biāo)；(3) 在直線bg上是否存在點(diǎn)q，使得以點(diǎn)a、b、q為頂點(diǎn)的三角形與cod相似？若存在，請求出點(diǎn)q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11閘北25”， 拖動(dòng)點(diǎn)q在直線bg上運(yùn)動(dòng)， 可以體驗(yàn)到，abq的兩條直角邊的比為13共有四種情況，

8、點(diǎn)b上、下各有兩種思路點(diǎn)撥1圖形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角2用待定系數(shù)法求拋物線的解析式，用配方法求頂點(diǎn)坐標(biāo)3第（3）題判斷abq90是解題的前提4abq與cod相似，按照直角邊的比分兩種情況，每種情況又按照點(diǎn)q與點(diǎn)b的位置關(guān)系分上下兩種情形，點(diǎn)q共有4個(gè)滿分解答（1）a(3，0)，b(0，1)，c(0，3)，d(1，0)（2）因?yàn)閽佄锞€yax2bxc經(jīng)過a(3，0)、c(0，3)、d(1，0) 三點(diǎn)，所以 解得 所以拋物線的解析式為yx22x3(x1)24，頂點(diǎn)g的坐標(biāo)為(1，4)（3）如圖2，直線bg的解析式為y3x1，直線cd的解析式為y3x3，因此

9、cd/bg因?yàn)閳D形在旋轉(zhuǎn)過程中，對應(yīng)線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角，所以abcd因此abbg，即abq90因?yàn)辄c(diǎn)q在直線bg上，設(shè)點(diǎn)q的坐標(biāo)為(x，3x1)，那么rtcod的兩條直角邊的比為13，如果rtabq與rtcod相似，存在兩種情況：當(dāng)時(shí)，解得所以，當(dāng)時(shí)，解得所以， 圖2 圖3考點(diǎn)伸展第（3）題在解答過程中運(yùn)用了兩個(gè)高難度動(dòng)作：一是用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明abbg；二是我們換個(gè)思路解答第（3）題：如圖3，作ghy軸，qny軸，垂足分別為h、n通過證明aobbhg，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等，可以證明abg90在rtbgh中，當(dāng)時(shí)，在rtbqn中，當(dāng)q在b上方時(shí)，；當(dāng)q在b下方時(shí)，當(dāng)時(shí)，同理得到，例4 2

10、011年上海市楊浦區(qū)中考模擬第24題rtabc在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示，反比例函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象與bc邊交于點(diǎn)d（4，m），與ab邊交于點(diǎn)e（2，n），bde的面積為2（1）求m與n的數(shù)量關(guān)系；（2）當(dāng)tana時(shí)，求反比例函數(shù)的解析式和直線ab的表達(dá)式；（3）設(shè)直線ab與y軸交于點(diǎn)f，點(diǎn)p在射線fd上，在（2）的條件下，如果aeo與efp 相似，求點(diǎn)p的坐標(biāo)圖1動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“11楊浦24”，拖動(dòng)點(diǎn)a在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，直線ab保持斜率不變，n始終等于m的2倍，雙擊按鈕“面積bde2”，可以看到，點(diǎn)e正好在bd的垂直平分線上，fd/x軸拖動(dòng)點(diǎn)p在射線fd上運(yùn)動(dòng)，可

11、以體驗(yàn)到，aeo與efp 相似存在兩種情況思路點(diǎn)撥1探求m與n的數(shù)量關(guān)系，用m表示點(diǎn)b、d、e的坐標(biāo)，是解題的突破口2第（2）題留給第（3）題的隱含條件是fd/x軸3如果aeo與efp 相似，因?yàn)閵A角相等，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況滿分解答（1）如圖1，因?yàn)辄c(diǎn)d（4，m）、e（2，n）在反比例函數(shù)的圖象上，所以 整理，得n2m（2）如圖2，過點(diǎn)e作ehbc，垂足為h在rtbeh中，tanbehtana，eh2，所以bh1因此d(4，m)，e(2，2m)，b(4，2m1)已知bde的面積為2，所以解得m1因此d(4，1)，e(2，2)，b(4，3)因?yàn)辄c(diǎn)d（4，1）在反比例函數(shù)的圖象上，所以k

12、4因此反比例函數(shù)的解析式為設(shè)直線ab的解析式為ykxb，代入b(4，3)、e(2，2)，得 解得，因此直線ab的函數(shù)解析式為圖2 圖3 圖4（3）如圖3，因?yàn)橹本€與y軸交于點(diǎn)f（0，1），點(diǎn)d的坐標(biāo)為（4，1），所以fd/ x軸，efpeao因此aeo與efp 相似存在兩種情況：如圖3，當(dāng)時(shí)，解得fp1此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（1，1）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得fp5此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（5，1）考點(diǎn)伸展本題的題設(shè)部分有條件“rtabc在直角坐標(biāo)系內(nèi)的位置如圖1所示”，如果沒有這個(gè)條件限制，保持其他條件不變，那么還有如圖5的情況：第（1）題的結(jié)論m與n的數(shù)量關(guān)系不變第（2）題反比例函數(shù)的解析式為，直線ab為第（3

13、）題fd不再與x軸平行，aeo與efp 也不可能相似圖5例5 2010年義烏市中考第24題如圖1，已知梯形oabc，拋物線分別過點(diǎn)o（0，0）、a（2，0）、b（6，3）（1）直接寫出拋物線的對稱軸、解析式及頂點(diǎn)m的坐標(biāo)；（2）將圖1中梯形oabc的上下底邊所在的直線oa、cb以相同的速度同時(shí)向上平移，分別交拋物線于點(diǎn)o1、a1、c1、b1，得到如圖2的梯形o1a1b1c1設(shè)梯形o1a1b1c1的面積為s，a1、 b1的坐標(biāo)分別為 (x1，y1)、(x2，y2)用含s的代數(shù)式表示x2x1，并求出當(dāng)s=36時(shí)點(diǎn)a1的坐標(biāo)；（3）在圖1中，設(shè)點(diǎn)d的坐標(biāo)為(1，3)，動(dòng)點(diǎn)p從點(diǎn)b出發(fā)，以每秒1個(gè)單位

14、長度的速度沿著線段bc運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)q從點(diǎn)d出發(fā)，以與點(diǎn)p相同的速度沿著線段dm運(yùn)動(dòng)p、q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)q到達(dá)點(diǎn)m時(shí)，p、q兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)設(shè)p、q兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，是否存在某一時(shí)刻t，使得直線pq、直線ab、x軸圍成的三角形與直線pq、直線ab、拋物線的對稱軸圍成的三角形相似？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由 圖1 圖2動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10義烏24”，拖動(dòng)點(diǎn)i上下運(yùn)動(dòng)，觀察圖形和圖象，可以體驗(yàn)到，x2x1隨s的增大而減小雙擊按鈕“第（3）題”，拖動(dòng)點(diǎn)q在dm上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，如果gafgqe，那么gaf與gqe相似思路點(diǎn)撥1第（2）題用含s的代數(shù)式表示x2x1，我

15、們反其道而行之，用x1，x2表示s再注意平移過程中梯形的高保持不變，即y2y13通過代數(shù)變形就可以了2第（3）題最大的障礙在于畫示意圖，在沒有計(jì)算結(jié)果的情況下，無法畫出準(zhǔn)確的位置關(guān)系，因此本題的策略是先假設(shè)，再說理計(jì)算，后驗(yàn)證3第（3）題的示意圖，不變的關(guān)系是：直線ab與x軸的夾角不變，直線ab與拋物線的對稱軸的夾角不變變化的直線pq的斜率，因此假設(shè)直線pq與ab的交點(diǎn)g在x軸的下方，或者假設(shè)交點(diǎn)g在x軸的上方滿分解答（1）拋物線的對稱軸為直線，解析式為，頂點(diǎn)為m（1，）（2） 梯形o1a1b1c1的面積，由此得到由于，所以整理，得因此得到當(dāng)s=36時(shí)， 解得 此時(shí)點(diǎn)a1的坐標(biāo)為（6，3）（3

16、）設(shè)直線ab與pq交于點(diǎn)g，直線ab與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)e，直線pq與x軸交于點(diǎn)f，那么要探求相似的gaf與gqe，有一個(gè)公共角g在geq中，geq是直線ab與拋物線對稱軸的夾角，為定值在gaf中，gaf是直線ab與x軸的夾角，也為定值，而且geqgaf因此只存在gqegaf的可能，gqegaf這時(shí)gafgqepqd由于，所以解得 圖3 圖4考點(diǎn)伸展第（3）題是否存在點(diǎn)g在x軸上方的情況？如圖4，假如存在，說理過程相同，求得的t的值也是相同的事實(shí)上，圖3和圖4都是假設(shè)存在的示意圖，實(shí)際的圖形更接近圖3例6 2010年上海市寶山區(qū)中考模擬第24題如圖1，已知點(diǎn)a (-2，4) 和點(diǎn)b (1，0

17、)都在拋物線上（1）求m、n；（2）向右平移上述拋物線，記平移后點(diǎn)a的對應(yīng)點(diǎn)為a，點(diǎn)b的對應(yīng)點(diǎn)為b，若四邊形a abb為菱形，求平移后拋物線的表達(dá)式；（3）記平移后拋物線的對稱軸與直線ab 的交點(diǎn)為c，試在x軸上找一個(gè)點(diǎn)d，使得以點(diǎn)b、c、d為頂點(diǎn)的三角形與abc相似圖1 動(dòng)感體驗(yàn)請打開幾何畫板文件名“10寶山24”，拖動(dòng)點(diǎn)a向右平移，可以體驗(yàn)到，平移5個(gè)單位后，四邊形a abb為菱形再拖動(dòng)點(diǎn)d在x軸上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，bcd與abc相似有兩種情況思路點(diǎn)撥1點(diǎn)a與點(diǎn)b的坐標(biāo)在3個(gè)題目中處處用到，各具特色第（1）題用在待定系數(shù)法中；第（2）題用來計(jì)算平移的距離；第（3）題用來求點(diǎn)b 的坐標(biāo)、ac

18、和bc的長2拋物線左右平移，變化的是對稱軸，開口和形狀都不變3探求abc與bcd相似，根據(jù)菱形的性質(zhì)，baccbd，因此按照夾角的兩邊對應(yīng)成比例，分兩種情況討論滿分解答(1) 因?yàn)辄c(diǎn)a (-2，4) 和點(diǎn)b (1，0)都在拋物線上，所以 解得，(2)如圖2，由點(diǎn)a (-2，4) 和點(diǎn)b (1，0)，可得ab5因?yàn)樗倪呅蝍 abb為菱形，所以a abb ab5因?yàn)?，所以原拋物線的對稱軸x1向右平移5個(gè)單位后，對應(yīng)的直線為x4因此平移后的拋物線的解析式為圖2(3) 由點(diǎn)a (-2，4) 和點(diǎn)b (6，0)，可得a b如圖2，由am/cn，可得，即解得所以根據(jù)菱形的性質(zhì)，在abc與bcd中，bacc

19、bd如圖3，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)od3，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（3，0）如圖4，當(dāng)時(shí)，解得此時(shí)od，點(diǎn)d的坐標(biāo)為（，0） 圖3 圖4考點(diǎn)伸展在本題情境下，我們還可以探求bcd與ab b相似，其實(shí)這是有公共底角的兩個(gè)等腰三角形，容易想象，存在兩種情況我們也可以討論bcd與cb b相似，這兩個(gè)三角形有一組公共角b，根據(jù)對應(yīng)邊成比例，分兩種情況計(jì)算例7 2009年臨沂市中考第26題如圖1，拋物線經(jīng)過點(diǎn)a(4，0)、b（1，0)、c（0，2）三點(diǎn)（1）求此拋物線的解析式；（2）p是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過p作pmx軸，垂足為m，是否存在點(diǎn)p，使得以a、p、m為頂點(diǎn)的三角形與oac相似？若存在，請求出符合條件的 點(diǎn)p的坐

20、標(biāo)；若不存在，請說明理由；（3）在直線ac上方的拋物線是有一點(diǎn)d，使得dca的面積最大，求出點(diǎn)d的坐標(biāo),圖1動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“09臨沂26”，拖動(dòng)點(diǎn)p在拋物線上運(yùn)動(dòng)，可以體驗(yàn)到，pam的形狀在變化，分別雙擊按鈕“p在b左側(cè)”、“ p在x軸上方”和“p在a右側(cè)”，可以顯示pam與oac相似的三個(gè)情景雙擊按鈕“第(3)題”， 拖動(dòng)點(diǎn)d在x軸上方的拋物線上運(yùn)動(dòng)，觀察dca的形狀和面積隨d變化的圖象，可以體驗(yàn)到，e是ac的中點(diǎn)時(shí)，dca的面積最大思路點(diǎn)撥1已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，用待定系數(shù)法求解析式時(shí)，設(shè)交點(diǎn)式比較簡便2數(shù)形結(jié)合，用解析式表示圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)，用點(diǎn)的坐標(biāo)表示線段的長3按

21、照兩條直角邊對應(yīng)成比例，分兩種情況列方程4把dca可以分割為共底的兩個(gè)三角形，高的和等于oa滿分解答 （1）因?yàn)閽佄锞€與x軸交于a(4，0)、b（1，0)兩點(diǎn)，設(shè)拋物線的解析式為，代入點(diǎn)c的 坐標(biāo)（0，2），解得所以拋物線的解析式為（2）設(shè)點(diǎn)p的坐標(biāo)為如圖2，當(dāng)點(diǎn)p在x軸上方時(shí)，1x4，如果，那么解得不合題意如果，那么解得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，1）如圖3，當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)a的右側(cè)時(shí)，x4，解方程，得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為解方程，得不合題意如圖4，當(dāng)點(diǎn)p在點(diǎn)b的左側(cè)時(shí)，x1，解方程，得此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為解方程，得此時(shí)點(diǎn)p與點(diǎn)o重合，不合題意綜上所述，符合條件的 點(diǎn)p的坐標(biāo)為（2，1）或或 圖2 圖3 圖4（3

22、）如圖5，過點(diǎn)d作x軸的垂線交ac于e直線ac的解析式為設(shè)點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為m，那么點(diǎn)d的坐標(biāo)為，點(diǎn)e的坐標(biāo)為所以因此當(dāng)時(shí)，dca的面積最大，此時(shí)點(diǎn)d的坐標(biāo)為（2，1） 圖5 圖6考點(diǎn)伸展第（3）題也可以這樣解：如圖6，過d點(diǎn)構(gòu)造矩形oamn，那么dca的面積等于直角梯形camn的面積減去cdn和adm的面積設(shè)點(diǎn)d的橫坐標(biāo)為（m，n），那么由于，所以例8 2009年上海市閘北區(qū)中考模擬第25題如圖1，abc中，ab5，ac3，cosad為射線ba上的點(diǎn)（點(diǎn)d不與點(diǎn)b重合），作de/bc交射線ca于點(diǎn)e.(1) 若cex，bdy，求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域；(2) 當(dāng)分別以線段bd，ce為直徑的兩圓相切時(shí)，求de的長度；(3) 當(dāng)點(diǎn)d在ab邊上時(shí)，bc邊上是否存在點(diǎn)f，使abc與def相似？若存在，請求出線段bf的長；若不存在，請說明理由 圖1 備用圖 備用圖動(dòng)感體驗(yàn) 請打開幾何畫板文件名“09閘北25”，拖動(dòng)點(diǎn)d