備戰(zhàn)高考數(shù)學(xué)專題講座 第21講 高頻考點(diǎn)分析之平面向量探討

1、【備戰(zhàn)2013高考數(shù)學(xué)專題講座】第21講：高頻考點(diǎn)分析之平面向量探討12講，我們對(duì)客觀性試題解法進(jìn)行了探討，38講，對(duì)數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行了探討，912講對(duì)數(shù)學(xué)解題方法進(jìn)行了探討，從第13講開始我們對(duì)高頻考點(diǎn)進(jìn)行探討。平面向量是近代數(shù)學(xué)中重要和基本的數(shù)學(xué)概念之一，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種工具，有著極其豐富的實(shí)際背景，它包括向量的概念和運(yùn)算。向量的坐標(biāo)表示，定比分點(diǎn)及數(shù)量積。以前教材中，在解析幾何、復(fù)數(shù)中涉及到平面向量的問題，只是對(duì)一個(gè)概念的介紹；而在現(xiàn)在教材中，是高一的必學(xué)內(nèi)容，教學(xué)大綱要求理解平面向量及其運(yùn)算的意義，能用向量語(yǔ)言和方法表述和解決數(shù)學(xué)和物理中的一些問題，發(fā)展運(yùn)算能力和解決

2、實(shí)際問題的能力。一般來(lái)說，平面向量在高考中所占份量不大，一道選擇題或填空題，結(jié)合2012年全國(guó)各地高考的實(shí)例，我們從以下三方面探討平面向量問題的求解：1. 平面向量的概念、性質(zhì)和計(jì)算：2. 平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算；3. 平面向量與其它知識(shí)的綜合。一、平面向量的概念、性質(zhì)和計(jì)算：典型例題：例1. （2012年全國(guó)大綱卷理5分）中，邊上的高為，若，則【 】a b c d 【答案】d。【考點(diǎn)】向量垂直的判定，勾股定理，向量的加減法幾何意義的運(yùn)用?！窘馕觥浚谥?，根據(jù)勾股定理得。由等面積法得，即，得。又點(diǎn)在上，。故選d。例2.（2012年四川省理5分）設(shè)、都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使成立的充分條

3、件是【 】a、 b、 c、 d、且【答案】c?！究键c(diǎn)】充分條件?！窘馕觥咳羰钩闪?， 即要、共線且方向相同，即要。所以使成立的充分條件是。故選c。例3. （2012年天津市理5分）已知為等邊三角形，設(shè)點(diǎn)滿足，若，則【 】（a） （）（）（）【答案】a?！究键c(diǎn)】向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用.?！痉治觥?，=， 又，且，即，即，解得。故選a 。例4.（2012年天津市文5分）在中，=90，=1，設(shè)點(diǎn)滿足，。若，則=【 】（a） （b） （c） （d）2【答案】b?！究键c(diǎn)】向量加減法的幾何意義，平面向量基本定理，共線向量定理及其數(shù)量積的綜合運(yùn)用。【分析】如圖

4、，設(shè) ，則。又，。由得，即。故選b。例5. （2012年浙江省理5分）設(shè)，是兩個(gè)非零向量【 】 a若，則 b若，則 c若，則存在實(shí)數(shù)，使得 d若存在實(shí)數(shù)，使得，則【答案】c?！究键c(diǎn)】平面向量的綜合題?！窘馕觥坷门懦傻眠x項(xiàng)c是正確的：|ab|a|b|，則a，b共線，即存在實(shí)數(shù)，使得ab，選項(xiàng)a：|ab|a|b|時(shí)，a，b可為異向的共線向量，不正確；選項(xiàng)b：若ab，由正方形得|ab|a|b|，不正確；選項(xiàng)d：若存在實(shí)數(shù)，使得ab，a，b可為同向的共線向量，此時(shí)顯然|ab|a|b|，不正確。故選c。例6. （2012年遼寧省理5分）已知兩個(gè)非零向量a，b滿足|a+b|=|ab|，則下面結(jié)論正確

5、的是【 】(a) ab (b) ab (c) a=b (d)a+b=ab【答案】b?！究键c(diǎn)】平面向量的運(yùn)算，向量的位置關(guān)系?！窘馕觥坑蓔a+b|=|ab|，平方可得ab=0，所以ab。故選b。 或根據(jù)向量加法、減法的幾何意義可知|a+b|與|ab|分別為以向量a，b為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線的長(zhǎng)，因?yàn)閨a+b|=|ab|，所以該平行四邊形為矩形，所以ab。故選b。例7. （2012年全國(guó)課標(biāo)卷理5分）已知向量夾角為 ，且；則 【答案】?！究键c(diǎn)】向量運(yùn)算?！窘馕觥?，。向量夾角為 ，且 ，解得，。例8. （2012年北京市理5分）已知正方形abcd的邊長(zhǎng)為l，點(diǎn)e是ab邊上的動(dòng)點(diǎn)。則的值為 ；

6、 的最大值為 【答案】1；1?！究键c(diǎn)】平面向量的運(yùn)算法則?！窘馕觥咳鐖D，根據(jù)平面向量的運(yùn)算法則，得 。 ，正方形abcd的邊長(zhǎng)為l，。 又， 而就是在上的射影，要使其最大即要點(diǎn)e與點(diǎn)b重合，此時(shí)。 的最大值為。例9. （2012年浙江省理4分）在中，是的中點(diǎn)，則 【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算?！窘馕觥看祟}最適合的方法是特殊元素法：如圖，假設(shè)abc是以abac的等腰三角形，am3，bc10，由勾股定理得abac。則cosbac，。例10. （2012年江蘇省5分）如圖，在矩形中，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上，若，則的值是 【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，和的余弦公式，

7、銳角三角函數(shù)定義。【解析】由，得，由矩形的性質(zhì)，得。 ，。 記之間的夾角為，則。 又點(diǎn)e為bc的中點(diǎn)，。 。 本題也可建立以為坐標(biāo)軸的直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)坐標(biāo)后求解。例11. （2012年湖南省文5分）如圖，在平行四邊形abcd中 ，apbd，垂足為p，且 ，則= .【答案】18【考點(diǎn)】平面向量加法的幾何運(yùn)算、平面向量的數(shù)量積運(yùn)算?！窘馕觥吭O(shè)，則=。二、平面向量的坐標(biāo)表示和計(jì)算：典型例題：例1. （2012年安徽省理5分）在平面直角坐標(biāo)系中，將向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，則點(diǎn)的坐標(biāo)是【 】 【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)算?！窘馕觥吭O(shè)，得。又向量按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得向量，。故選。例2.（2012年廣

8、東省理5分）若向量=（2,3），=（4,7），則=【】a（-2,-4） b(2,4) c(6,10) d(-6,-10)【答案】a?！究键c(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算?！窘馕觥? 。故選a。例2.（2012年廣東省文5分）若向量，則【 】 a b c d 【答案】a?！究键c(diǎn)】平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算?！窘馕觥?。故選a。例3. （2012年福建省文5分）已知向量，則的充要條件是【 】ax bx1 cx5 dx0【答案】d?！究键c(diǎn)】向量數(shù)量積的運(yùn)算和性質(zhì)?！窘馕觥坑上蛄看怪钡某湟獥l件得 所以x =0 。故選d。例4. （2012年遼寧省文5分）已知向量若則=【 】(a) 1 (b) (c) (d)1【答案】d

9、?！究键c(diǎn)】向量的數(shù)量積?！窘馕觥浚?。故選d。例5. （2012年重慶市理5分）設(shè)r，向量且，則【 】（a） （b） （c） （d）10【答案】b?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算及向量共線、垂直的性質(zhì)。【分析】且，。 又，。 。故選b。例6. （2012年重慶市文5分）設(shè) ，向量且 ，則【 】（a） （b） （c） （d）【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角。【分析】通過向量的垂直，求出向量 ，求出 ，然后求出模： ，向量且，即。 。故選b。例7. （2012年陜西省文5分）設(shè)向量=（1，）與=（1， 2）垂直，則等于 【 】a. b. c .0 d.1【答案】c。【考點(diǎn)】數(shù)量積判斷

10、兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系，二倍角的余弦?！窘馕觥?，。 又=（1，）與=（1， 2），即。故選c。例8. （2012年上海市理4分）若是直線的一個(gè)法向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）.【答案】?！究键c(diǎn)】直線的方向向量，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角?！窘馕觥吭O(shè)直線的傾斜角為，則。例9. （2012年上海市文4分）若是直線的一個(gè)方向向量，則的傾斜角的大小為 （結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）【答案】。【考點(diǎn)】直線的方向向量，直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，反三角函數(shù)的表示角?！窘馕觥吭O(shè)直線的傾斜角為，則。例10. （2012年安徽省文5分）設(shè)向量，若,則 【答案】?！究键c(diǎn)】向量的計(jì)

11、算?！窘馕觥?， 。 又，即，解得。 。例11. （2012年山東省理4分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一單位圓的圓心的初始位置在（0，1），此時(shí)圓上一點(diǎn)p的位置在（0，0），圓在x軸上沿正向滾動(dòng)。當(dāng)圓滾動(dòng)到圓心位于（2，1）時(shí)，的坐標(biāo)為 ?！敬鸢浮俊！究键c(diǎn)】圓的弧長(zhǎng)，銳角三角函數(shù)，向量的坐標(biāo)?！窘馕觥扛鶕?jù)題意可知圓滾動(dòng)了2單位個(gè)弧長(zhǎng)，點(diǎn)p旋轉(zhuǎn)了弧度，此時(shí)點(diǎn)p的坐標(biāo)為：，。例12. （2012年湖北省文5分）已知向量，則 （）與同向的單位向量的坐標(biāo)表示為；（）向量與向量夾角的余弦值為。【答案】（）；（）?！究键c(diǎn)】向量的數(shù)量積，向量同向的條件，單位向量，向量間的夾角?！窘馕觥浚ǎ┯?，得。設(shè)與同

12、向的單位向量為，則,且，解得。，即與同向的單位向量的坐標(biāo)為。（）由，得。設(shè)向量與向量的夾角為，則。三、平面向量與其它知識(shí)的綜合：典型例題：例1. （2012年廣東省理5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量和，定義若平面向量滿足，與的夾角，且和都在集合中，則=【】a b.1 c. d. 【答案】c?！究键c(diǎn)】新定義，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域，集合的概念。【解析】由定義 ，=，。 ，即。，。又，=。 ，=。故選c。例2. （2012年廣東省文5分）對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量，定義若平面向量滿足與的夾角，且和都在集合中，則【 】a b c d 【答案】d?！究键c(diǎn)】新定義，平面向量的數(shù)量積，三角函數(shù)的值域

13、，集合的概念?！窘馕觥坑啥x ，=，。 ，即。，。=。故選d。例3. （2012年湖南省理5分）在abc中，ab=2，ac=3，= 1則【 】a. b. c. d. 【答案】 a?！究键c(diǎn)】平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，余弦定理。【解析】如圖知。又由余弦定理得，即，解得。故選a。例4. （2012年上海市理4分）在平行四邊形中，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 .【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算?！窘馕觥咳鐖D所示，以為原點(diǎn)，向量所在直線為軸，過垂直于的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。平行四邊形中，。設(shè)，則。由得，。的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為。函數(shù)在有最大值，在時(shí)，函數(shù)單調(diào)增

14、加。在時(shí)有最小值2；在時(shí)有最大值5。的取值范圍是。例5. （2012年上海市文4分）在矩形中，邊、的長(zhǎng)分別為2、1，若、分別是邊、上的點(diǎn)，且滿足，則的取值范圍是 【答案】?！究键c(diǎn)】平面向量的基本運(yùn)算?！窘馕觥咳鐖D所示，以為原點(diǎn)，向量所在直線為軸，過所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系。在矩形中， ，。設(shè)，則。由得，。的坐標(biāo)為。，。的取值范圍是。例6. （2012年安徽省理5分）若平面向量滿足：；則的最小值是 【答案】。【考點(diǎn)】平面向量，基本不等式的應(yīng)用。【解析】，。 又，。 的最小值是。例7.（2012年山東省理12分）已知向量m=（sinx，1），函數(shù)的最大值為6。（）求a；（）將函數(shù)y=f（x）

15、的圖象像左平移個(gè)單位，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g（x）的圖象。求g（x）在上的值域?！敬鸢浮拷猓海ǎ?。 函數(shù)的最大值為6。而 。（）函數(shù)y=f（x）的圖象像左平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖象，再將所得圖象各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)。當(dāng)時(shí)，.。函數(shù)g（x）在上的值域?yàn)??！究键c(diǎn)】向量的運(yùn)算，三角函數(shù)的值域，函數(shù)圖象平移的性質(zhì)。【解析】（）求出函數(shù)關(guān)于的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后根據(jù)三角函數(shù)的值域確定a。（）由平移的性質(zhì)，求出g（x），由得出的范圍，從而求得函數(shù)g（x）在上的值域。例8.（2012年湖北省理12分）已知向量，設(shè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線=對(duì)稱，其中為

16、常數(shù)，且（）求函數(shù)的最小正周期；（2）若的圖像經(jīng)過點(diǎn)，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍?！敬鸢浮拷猓?。（）函數(shù)的圖像關(guān)于直線=對(duì)稱，。又，。的最小正周期為。（ii）若的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則有，。，。函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍為?！究键c(diǎn)】數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，三角函數(shù)的恒等變化，正弦函數(shù)的定義域和值域?！窘馕觥浚ǎ┫壤孟蛄繑?shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，求函數(shù)的解析式，再利用二倍角公式和兩角差的余弦公式將函數(shù)化為，最后利用函數(shù)的對(duì)稱性和的范圍，計(jì)算的值，從而得函數(shù)的最小正周期。（ii）先將已知點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求得的值，再求內(nèi)層函數(shù)的值域，最后將內(nèi)層函數(shù)看做整體，利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得函數(shù)的值域。例9. （201

17、2年江蘇省14分）在中，已知（1）求證：；（2）若求a的值【答案】解：（1），即。 由正弦定理，得，。 又，。即。 （2） ，。 ，即。 由 （1） ，得，解得。 ，?！究键c(diǎn)】平面向。量的數(shù)量積，三角函數(shù)的基本關(guān)系式，兩角和的正切公式，解三角形。【解析】（1）先將表示成數(shù)量積，再根據(jù)正弦定理和同角三角函數(shù)關(guān)系式證明。 （2）由可求，由三角形三角關(guān)系，得到，從而根據(jù)兩角和的正切公式和（1）的結(jié)論即可求得a的值。例10.（2012年上海市理18分）對(duì)于數(shù)集，其中，定義向量集. 若對(duì)于任意，存在，使得，則稱x具有性質(zhì)p. 例如具有性質(zhì)p. （1）若2，且，求的值；（4分） （2）若x具有性質(zhì)p，求證

18、：1x，且當(dāng)n1時(shí)，1=1；（6分） （3）若x具有性質(zhì)p，且1=1，（為常數(shù)），求有窮數(shù)列的通項(xiàng)公式.（8分）【答案】解：（1）選取，則y中與垂直的元素必有形式。 ，從而=4。 （2）證明：取，設(shè)滿足。 由得，、異號(hào)。 1是x中唯一的負(fù)數(shù)，所以、中之一為1，另一為1。故1x。假設(shè)，其中，則。選取，并設(shè)滿足，即。則、異號(hào)，從而、之中恰有一個(gè)為1。若=1，則，矛盾；若=1，則，矛盾.=1。 （3）猜測(cè)，i=1, 2, , 。 記，=2, 3, , 。 先證明：若具有性質(zhì)p，則也具有性質(zhì)p。 任取，、.當(dāng)、中出現(xiàn)1時(shí)，顯然有滿足。 當(dāng)且時(shí)，、1。 具有性質(zhì)p，有，、，使得。從而和中有一個(gè)是1，不妨設(shè)=1，假設(shè)且