數(shù)學與應用數(shù)學畢業(yè)論文（設計）求函數(shù)極限方法的探討

1、本科學生畢業(yè)論文（設計） 題 目（中文）： 求求函函數(shù)數(shù)極極限限方方法法的的探探討討 （英文）：beg function limit method is discussed 姓 名： 學 號： 院 （系）： 數(shù)數(shù)學學與與計計算算機機科科學學系系 專業(yè)、年級 ： 數(shù)數(shù)學學與與應應用用數(shù)數(shù)學學 2 20 00 07 7級級 指導教師： 教教授授 2011年 3月20 目錄目錄 目錄目錄.2 2 1 1緒論緒論 .6 6 2 2一元函數(shù)極限概念與求法一元函數(shù)極限概念與求法 .7 7 2.1一元函數(shù)極限的概念.7 2.2一元函數(shù)極限的求解方法.7 2.2.1利用一元函數(shù)的定義求解 .7 2.2.2利用

2、極限的四則運算求函數(shù)極限 .8 2.2.3利用函數(shù)的性質求函數(shù)極限 .9 2.2.4利用等價無窮小代換求函數(shù)極限 .10 2.2.5利用無窮小量性質法 .11 2.2.6利用無窮小量與無窮大量的關系 .11 2.2.7利用數(shù)學公式，定理求函數(shù)極限 .12 2.2.8利用變量替換求函數(shù)極限 .16 2.2.9用左右極限與極限關系 .17 3 3二元函數(shù)極限的概念與求法二元函數(shù)極限的概念與求法 .1818 3.1二元函數(shù)極限的概念.18 3.2二元函數(shù)極限的求法.18 3.2.1利用二元函數(shù)的極限的定義求極限 .18 3.2.2利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解 .19 3.2.3利用極限的

3、四則運算求解 .20 3.2.4利用有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量求解 .20 3.2.5利用等價無窮小替換求解 .21 3.2.6利用分子或分母有理化求解 .21 3.2.7利用夾逼定理求解 .21 3.3小結 .22 4 4結語結語 .2222 5 5致謝致謝 .2323 6 6參考文獻參考文獻 .2323 求函數(shù)極限的方法探討求函數(shù)極限的方法探討 摘要摘要 函數(shù)極限概念與函數(shù)極限求法是近代微積分學的基礎，本文主要對一 元函數(shù)、二元函數(shù)極限定義和它們的求解方法進行了歸納和總結，并在某些具 體的求解方法中就其中要注意的細節(jié)和技巧做了說明，以便于我們了解函數(shù)的 各種極限以及對各類函數(shù)極限進

4、行計算。函數(shù)極限的求法有很多，每種方法都 有其優(yōu)缺點，對某個具體的求極限問題，我們應該選擇最簡單的方法。 【關鍵詞】：函數(shù)定義，數(shù)學定理，公式，函數(shù)極限 beg function limit method is discussed abstract function limit concept and function limit of modern calculus is introduced, this paper mainly based on a circular function, dual function limit definition and their solving me

5、thods, and summarizes some concrete, and the solving method of should pay attention to in the details and skills so that we understand that various extreme and the function of various function limit to calculate. we have many function limit, each method has its advantages and disadvantages, to a spe

6、cific ask, we should choose the limit of the most simple method 【 key words 】 : a function definition, mathematical theorems, formula, function limit 1緒論緒論 極限研究的是函數(shù)的變化趨勢, 在自變量的某個變化過程中, 對應的函數(shù) 值能無限接近某個確定的數(shù)，那這個數(shù)就是函數(shù)的極限了。極限是高等數(shù)學中 一個非常重要的概念, 是貫穿高等數(shù)學的一條主線, 它將高等數(shù)學的各個知識 點連在了一起。所以,求極限的方法顯得尤為重要的。我們知道,函數(shù)是高等數(shù) 學

7、研究的對象,而極限方法則是在高等數(shù)學中研究函數(shù)的重要方法, 因此怎樣求 極限就非常重要。 早在我國古代劉徽的九章算術中提到“割之彌細，所失彌少，割之又 割，以至于不可割，則與圓合體，而無所失矣”就涉及了到了極限。古希臘人 的“窮竭法”也蘊含了極限思想 。到了18世紀，羅賓斯、達朗貝爾與羅依 里埃等人先后明確地表示必須將極限作為微積分的基礎概念，并且都對極限 作出過各自的定義。在有了極限的定義之后，為了判斷具體某一函數(shù)是否有 極限，人們必須不斷地對極限存在的 充分條件和必要條件進行探討。在經(jīng) 過了許多數(shù)學家的不斷努力之后，法國數(shù)學家柯 西獲得了完善的結果 ，即 柯西收斂原理。到了近代，在數(shù)學家們

8、的努力下給了極限一個專業(yè)的定義.有 了極限的定義自然就有了許多求極限的方法。 求函數(shù)極限的方法有很多，其中有利用定義求函數(shù)極限、利用夾逼定理求 函數(shù)極限、利用函數(shù)的連續(xù)性求極限、利用極限的四則運算、利用變量替換、 利用等價無窮小代換、利用定積分求合公式、利用導數(shù)定義、利用泰勒公式、 利用黎曼引理、利用柯西收斂原理、利用羅必達法則求極限等一些方法，而其 中大部分是用于求解一元函數(shù)的極限。二元函數(shù)極限是在一元函數(shù)極限的基礎 上發(fā)展起來的,二者之間既有聯(lián)系又有區(qū)別。比如,極限的四則運算法則是相同的,但 是隨著變量個數(shù)的增加,二元函數(shù)的極限比一元函數(shù)極限變得要復雜得多。因此 本文除了對一元函數(shù)的求解方

9、法進行概括總結外，還對二元函數(shù)的求極限方法 進行了一些簡單的歸納和說明，并與求一元函數(shù)的極限方法進行了比較，從而 使閱讀本文的人更快更好的掌握一元函數(shù)，二元函數(shù)極限的求解技巧和它們的 異同點。 2一元函數(shù)極限概念與求法一元函數(shù)極限概念與求法 2.1 一元函數(shù)極限的概念一元函數(shù)極限的概念 設 f:(a,+)r 是一個一元實值函數(shù)， ar.如果對于任意給定的 0，存在正數(shù) x，使得對于適合不等式 xx 的一切 x，所對應的函 數(shù)值 f(x)都滿足不等式 . f(x)-a , 則稱數(shù) a 為函數(shù) f(x)當 x+時的極限，記作 f(x)a(x+). 2.2 一元函數(shù)極限的求解方法一元函數(shù)極限的求解方

10、法 2 2. .2 2. .1 1 利用一元函數(shù)的定義求解利用一元函數(shù)的定義求解 設 f:(a,+)r 是一個一元實值函數(shù)， ar.如果對于任意給定的 0，存在正數(shù) x，使得對于適合不等式 xx 的一切 x，所對應的函 數(shù)值 f(x)都滿足不等式 . f(x)-a1,n0) x n x a x lim 解: 當 x1 時,存在唯一的正整數(shù) k,使得 k xk+1 于是當 n0 的時候有: k n x n a k a x) 1( 以及 aa k a k a x k n k n x n 1 1 又因為當 x時,k 有 k n k a k) 1( lim00 ) 1( lim 1 aa a k k

11、n k 及 1 lim k n k a k 0 1 0 1 lim aaa k k n k 則：=0 x n x a x lim 小結：利用函數(shù)的基本性質來求解函數(shù)極限對一些特定的函數(shù)極限的求解 有著十分重要的作用，熟悉和了解函數(shù)的基本性質是解決此類函數(shù)極限方法的 重要前提。 2.2.4利用等價無窮小代換求函數(shù)極限利用等價無窮小代換求函數(shù)極限 設 都是同一極限過程中的無窮小量，且有： , ， 存在， , lim 則 也存在，且有= lim lim lim 例題： 求極限 22 2 0 sin cos1 lim xx x x 解: ,sin 22 xx 2 )( cos1 22 2 x x =

12、22 2 0 sin cos1 lim xx x x 2 1 2 )( 22 22 xx x 注： 在利用等價無窮小做代換時，一般只在以乘積形式出現(xiàn)時可以互換， 若以和、差出現(xiàn)時，不要輕易代換，因為此時經(jīng)過代換后，往往改變了它的無 窮小量之比的“階數(shù)” 此外不僅無窮小量代換能求函數(shù)極限，還能運用無窮小量與無窮大量的關 系，以及無窮小量的性質法來求解函數(shù)極限。 2.2.52.2.5 利用無窮小量性質法利用無窮小量性質法 （特別是利用無窮小量與有界量之乘積仍為無窮小量的性質） 設函數(shù) f(x)、g(x) 滿足： （1）0)(lim 0 xf xx (2) (m 為正整數(shù))mxg)( 則：0)()(

13、lim 0 xfxg xx 例題: 求 的極限 x x x 1 sinlim 0 解: 由 而 0lim 0 x x 1 1 sin x 故 原式 =0 1 sinlim 0 x x x 2.2.62.2.6 利用無窮小量與無窮大量的關系利用無窮小量與無窮大量的關系 （1）若： 則 )(limxf0 )( 1 lim xf (2) 若: 且 f(x)0 則 0)(limxf )( 1 lim xf 例題: 求下列極限 （1） （2） 5 1 lim x x 1 1 lim 1 x x 解: （1）由 故 )5(lim x x 0 5 1 lim x x （2） 由 故 =0) 1(lim 1

14、x x 1 1 lim 1 x x 2.2.72.2.7 利用數(shù)學公式，定理求函數(shù)極限利用數(shù)學公式，定理求函數(shù)極限 2.2.7.12.2.7.1羅比塔法則（適用于未定式極限）羅比塔法則（適用于未定式極限） 定理：若 a xg xf xg xf aa xg xf iii xgxuxgfii xgxfi xxxx xx xxxx )( )( lim )( )( lim ( )( )( lim)( 0)()()( 0)(lim, 0)(lim)( 0 0 0 00 0 00 ），則或可為實數(shù)，也可為 內(nèi)可導，且的某空心鄰域在與 此定理是對型而言，對于函數(shù)極限的其它類型，均有類似的法則。 0 0 注注

15、：運用羅比塔法則求極限應注意以下幾點： 1、要注意條件，也就是說，在沒有化為時不可求導。 , 0 0 2、應用羅比塔法則，要分別的求分子、分母的導數(shù)，而不是求整個分式的 導數(shù)。 3、要及時化簡極限符號后面的分式，在化簡以后檢查是否仍是未定式，若 遇到不是未定式，應立即停止使用羅比塔法則，否則會引起錯誤。 4、當 不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求 )( )( lim xg xf ax 極限須用另外方法。 例題： （1） )1ln( )21 ( lim 2 2 1 0 x xe x x （2）)0, 0( ln lim xa x x a x 解：（1）令 f(x)= , 2 1

16、)21 (xe x g(x)= l)1n( 2 x , 2 1 )21 ()( xexf x 2 1 2 )( x x xg 22 2 2 3 )1 ( )1 (2 )(,)21 ()( x x xgxexf x 由于0)0()0(, 0)0()0( ggff 但2)0(, 2)0( gf 從而運用羅比塔法則兩次后得到 1 2 2 )1 ( )1 (2 )21 ( lim 1 2 )21 ( lim )1ln( )21 ( lim 22 2 2 3 0 2 2 1 0 2 2 1 0 x x xe x x xe x xe x x x x x x （2） 由 故此例屬于型， a xx xxlim

17、,lnlim 由羅比塔法則有： )0, 0(0 1 lim 1 lim ln lim 1 xa axax x x x a x a x a x 小結：對于一些特定類型的函數(shù)求極限（型，型）可以適用羅比 0 0 塔法則進行求解，關系是要知道此類函數(shù)的類型是屬于型還是型。 0 0 2.2.7.22.2.7.2利用泰勒公式利用泰勒公式 對于求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方 便，下列為常用的展開式： 1、)( ! 2 1 2 n n x xo n xx xe 2、)( )!12( ) 1( ! 5! 3 sin 2 12 1 53 n n n xo n xxx xx 3、)(

18、)!2( ) 1( ! 4! 2 1cos 12 242 n n n xo n xxx x 4、)() 1( 2 )1ln( 1 2 n n n xo n xx xx 5、)( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( 1)1 ( 2nn xox n n xxx 6、)(xx1 1 1 2nn xox x 上述展開式中的符號都有:)( n xo 0 )( lim 0 n n x x xo 例題: 求)0( 2 lim 0 a x xaxa x 解:利用泰勒公式，當 有0 x )( 2 11xo x x 于是 x xaxa x 2 lim 0 = x a x a x a x )1 2 1( lim

19、 0 = x xo a x xo a x a x )( 2 1 1)() 2 ( 2 1 1 lim 0 = ax xox a x xo a x a xx 2 1 )( 2 1 lim )( 2 lim 00 小結：此類題型考驗的是我們對泰勒展式的熟悉程度，因此解決此類題目 要十分熟悉泰勒展式的結構以及用途。 2.2.7.32.2.7.3利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限 原理:若函數(shù) f 滿足如下條件： (i) f 在閉區(qū)間上連續(xù) (ii)f 在(a ,b)內(nèi)可導 則在(a ,b)內(nèi)至少存在一點,使得 ab afbf f )()( )( 此式變形可為: ) 10(

20、)( )()( abaf ab afbf 例題: 求 xx ee xx x sin lim sin 0 解:令 對它應用中值定理得 x exf)( ) 1(0 )sin(sin)sin()(sin)( sin xxxfxxxfxfee xx 即: 1)(0 )sin(sin sin sin xxxf xx ee xx 連續(xù) x exf)( 1)0()sin(sinlim 0 fxxxf x 從而有: 1 sin lim sin 0 xx ee xx x 小結：利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限關鍵至于拉格朗日中值定理的合 理運用。 2.2.7.4 利用黎曼引理求函數(shù)極限利用黎曼引理求函數(shù)極限 求（

21、a0） 2 0 cos lim 1 a p pxdx x 解：原式= 000 1 cos2111cos21 limlimlimln(1) 2(1)21212 aaa ppp pxpx dxdxdxa xxx 2.2.7.5 利用夾逼定理求函數(shù)極限利用夾逼定理求函數(shù)極限 若存在正整數(shù) n,當 nn 時,有 xnynzn,且,aznxn nn limlim 則有.ayn n lim 例題： 求 f(n)=的極限. 2 1 n n 解: 對任意正整數(shù) n,顯然有 , nn n n n n 2211 22 而,由夾逼性定理得0 1 n 0 2 n 0 1 lim 2 n n n 即 f(n)=的極限是

22、 0 2 1 n n 數(shù)學公式，定理在求函數(shù)極限的方法中有著大量的運用。不僅僅只有上述公式， 定理能求解出函數(shù)極限，還有柯西收斂準則，定積分求和公式等一些數(shù)學公式 定理能將函數(shù)極限求解出來。 2.2.82.2.8 利用變量替換求函數(shù)極限利用變量替換求函數(shù)極限 此方法適用于分子、分母的根指數(shù)不相同的極限類型 特別地有： m、n、k、l 為正整數(shù)。 nk ml x x m n k l x 1 1 lim 1 例題： 求下列函數(shù)極限 （1） 、n （2） m x x m n x ( 1 1 lim 1 )n 1 ) 12 32 (lim x x x x 解: （1）令 t= 則當 時 ,于是 mn

23、x1x1t 原式= n m tttt tttt t t n m t n m t )1)(1 ( )1)(1 ( lim 1 1 lim 12 12 11 （2）由于 1 ) 12 32 (lim x x x x = 1 ) 12 2 1 (lim x x x 令： t x1 2 12 則 ： 2 11 1 t x = 1 ) 12 32 (lim x x x x 1 ) 12 2 1 (lim x x x 2 11 0 )1 (lim t t t =eett t t t 1)1 (lim)1 (lim 2 1 0 1 0 2.2.92.2.9用左右極限與極限關系用左右極限與極限關系 (此方法適

24、用于分段函數(shù)求分段點處的極限，以及用定義求極限等情形)。 原理：函數(shù)極限存在且等于 a 的充分必要條件是左極限 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 及右極限都存在且都等于 a。即有：)(lim 0 xf xx =a axf xx )(lim 0 )(lim 0 xf xx )(lim 0 xf xx 例題：設= )(xf 1, 1 0 , 0,21 2 xx x x xx xe x 求 及 )(lim 0 xf x )(lim 1 xf x 1) 1(lim)(lim)(lim 1)21 (lim)(lim 000 00 x x xx xf exf xxx x xx 解：

25、由1)(lim)(lim 00 xfxf xx 1)(lim 0 xf x 不存在 由 （又 )(lim )01 ()01 ( 1lim)(lim 0) 1limlim)(lim 1 2 11 111 xf ff xxf x x xx xf x xx xxx 3 3二元函數(shù)極限的概念與求法二元函數(shù)極限的概念與求法 3.13.1 二元函數(shù)極限的概念二元函數(shù)極限的概念 設為定義在上的二元函數(shù),為的一個聚點,是一個確定的實fd 2 r 0 pda 數(shù).若對任給正數(shù),總存在某正數(shù),使得當時,都有 0 0; pupd ,則稱在上當時,以為極限,記作 f pafd 0 ppa 0 lim pp p d f

26、 pa 3.2 二元函數(shù)極限的求法二元函數(shù)極限的求法 3.2.13.2.1 利用二元函數(shù)的極限的定義求極限利用二元函數(shù)的極限的定義求極限 根據(jù)點沿任意連續(xù)曲線趨于時 00 , lim, x yxy f x ya , x y 00 ,xy 趨于.我們可取某一特殊方向,求出當趨于時, ,f x yaykx, x kx 00 ,xy 的極限,然后再利用定義驗證這一極限是即為二重極限.,f x y 例例 設 11 sinsin,00 , 0,00,0 xyxy yx f x y xo yxy 當且 當或 求 ,0,0 lim, x y f x y 解解 取特殊方向,求出沿直線趨于時的極限yx, x y

27、yx0,0 ,0,000 11 lim,lim,limsinsin x yxx y x f x yf x xxx xx 0 1 lim2 sin0 x x x 現(xiàn)在用定義證明 ,0,0 lim,0 x y f x y 對,當或時,則當,0 10,0 xyx0, y=0 0，0 x ,時,有0y ,0,0 x y ,0f x y 當,時,當, 20 x 0y 2 0 x0y 時,有 ,0,0 x y =,0f x y 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx 11 sinsinxy yx xy 2 于是,對,當,時,有0 2 xy ,0,0 x y ,0f x y 所以 ,0,

28、0 lim,0 x y f x y 3.2.2利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解利用連續(xù)函數(shù)的定義及初等函數(shù)的連續(xù)性求解 若在點處連續(xù),則,f x y 00 ,xy 00 00 , lim, x yxy f x yf xy 例例 求極限 22 ,0,1 1 lim x y xy xy 解解 因為在處連續(xù) 22 1xy xy 0,1 所以= 22 ,0,1 1 lim x y xy xy 22 0,1 11 0 1 0 1 xy xy 3.2.3利用極限的四則運算求解利用極限的四則運算求解 設時函數(shù)和的極限存在,則 00 ,x yxy,f x y,g x y ； 00 , 1lim, x

29、yxy f x yg x y 0000 , lim,lim, x yxyx yxy f x yg x y ； 000000 , 2lim,lim,lim, x yxyx yxyx yxy f x y g x yf x yg x y . 3 00 , , lim , x yxy f x y g x y 00 00 , , lim, lim, x yxy x yxy f x y g x y 00 , lim,0 x yxy g x y 例例 求極限 22 , lim x y x y xye 解解 22 , lim x y x y xye 22 , lim x y x y xy e 22 , 11

30、lim xyyx x y xy e ee e 因為且 2 lim0 x x x e 1 lim0 y y e 故 2 , 1 lim0 xy x y x e e 同理 2 , 1 lim0 yx x y y e e 所以 22 , lim x y x y xye 3.2.4利用有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量求解利用有界函數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量求解 若當時,而為有界變量 ,則當 00 ,x yxy,0f x y ,g x y 時, 00 ,x yxy,f x y,g x y0 例例 求極限 3 ,0,0 11 limsincos x y xy xy 解解 因為 3 ,0,0 lim x

31、 y xy 0 當時,與均有界0,0 xy 1 sin x 1 cos y 所以 3 ,0,0 11 limsincos0 x y xy xy 3.2.5利用等價無窮小替換求解利用等價無窮小替換求解 設與,與均是等價無窮小量,且,則當時,必lima 或 有l(wèi)imlima 或 例例 求極限 22 2222 ,0,0 1 cos lim x y xy xyx y 解解 因為 2 2222 1 1 cos 2 xyxy,0,0 x y 2 22 22 22 2222 1 2 2 xy xy x yxyx y 1 xy 又 ,0,0 1 lim x y xy 所以 22 2222 ,0,0 1 cos

32、 lim x y xy xyx y 2 22 2222 ,0,0 1 2 lim x y xy xyx y 3.2.6利用分子或分母有理化求解利用分子或分母有理化求解 若分子或分母的極限為,不能運用商的極限運算法則時,采用通過分子或0 分母有理化,消去分母中趨于零的因子,再運用極限運算法則. 例例 求極限 22 22,0,0 lim 11 x y xy xy 解解 22 22,0,0 lim 11 x y xy xy 2222 ,0,02222 11 lim 1111 x y xyxy xyxy 2222 22 ,0,0 11 lim 11 x y xyxy xy 22 ,0,0 lim112

33、 x y xy 3.2.7利用夾利用夾逼逼定理求解定理求解 若在的某個領域內(nèi),成立不等式,且 00 ,xy,u x yf x yv x y ,則 00 , lim x yxy ,u x y 00 , lim, x yxy v x ya 00 , lim, x yxy f x ya 例例 求極限 2 22 , lim x x y xy xy 解解 因為 2 2 22 1 0 2 x x xy xy 又 2 1 lim0 2 x x 所以 2 22 , lim0 x x y xy xy 3.3 小結小結 對于求二元函數(shù)極限，其中很多地方都能使用到求解一元函數(shù)極限的方法：定 義求解法、無窮小替代法，夾逼法等都能從中看到求一元函數(shù)極限的方法的蹤 跡，要解得一個二元函數(shù)的極限就必須得熟練的掌握好一元函數(shù)極限極限的求 解方法，將其方法融入到求解二元函數(shù)極限中去，從而使得問更加的簡單化， 明朗化。 4結語結語 本文主要是在考慮函數(shù)極限存在的前提下撰寫的。求函數(shù)極限的方法并不是 一成不變的，每一個題目適用于它的解決方法也不是唯一的，只要一個函數(shù)的 極限存在總會有一個或者多個方法與之對應。本文重點在于對一元函數(shù)極限的 求解方法，對于多元函數(shù)，只列舉了部分求解二重極限的方法，而其中與一元 函數(shù)極限的