第四章 彎曲應(yīng)力

1、第四章 彎曲應(yīng)力 4.1 彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖彎曲的概念及計(jì)算簡(jiǎn)圖 一一、工程實(shí)例、工程實(shí)例(Example problem)(Example problem) 鏜刀桿鏜刀桿 車(chē)削工件車(chē)削工件 火車(chē)輪軸火車(chē)輪軸 鐵路橋鐵路橋 二、二、基本概念基本概念 2.梁梁 (Beam) 以彎曲變形為主的桿件以彎曲變形為主的桿件 外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線外力（包括力偶）的作用線垂直于桿軸線. （1） 受力特征受力特征 （2） 變形特征變形特征 變形前為直線的軸線變形前為直線的軸線,變形后成為曲線變形后成為曲線. 1.彎曲變形彎曲變形 3.平面彎曲平面彎曲 作用于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用

2、于梁上的所有外力都在縱向?qū)ΨQ面內(nèi),彎曲變形后的軸線是一條在該彎曲變形后的軸線是一條在該 縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線縱向?qū)ΨQ面內(nèi)的平面曲線,這種彎曲稱為平面彎曲這種彎曲稱為平面彎曲. A B 對(duì)稱軸對(duì)稱軸 縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面 梁變形后的軸線與梁變形后的軸線與 外力在同一平面內(nèi)外力在同一平面內(nèi) 梁的軸線梁的軸線 FRA F1F2 FRB （3） 支座的類型支座的類型 4.梁的力學(xué)模型的梁的力學(xué)模型的簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化 （1） 梁的簡(jiǎn)化梁的簡(jiǎn)化 通常取梁的軸線來(lái)代替梁。通常取梁的軸線來(lái)代替梁。 （2）載荷類型）載荷類型 集中力集中力 集中力偶集中力偶 分布載荷分布載荷 可動(dòng)鉸可動(dòng)鉸支座支座1個(gè)約束，個(gè)約束，2個(gè)

3、自個(gè)自 由度。由度。 如：橋梁下的輥軸支座，滾珠如：橋梁下的輥軸支座，滾珠 軸承等。軸承等。 F A A A A 固定固定鉸支座鉸支座 固定端固定端 A A A FRAy A FRAx F F M 2個(gè)約束，個(gè)約束，1個(gè)自由度。個(gè)自由度。 如：橋梁下的固定支座，止推滾如：橋梁下的固定支座，止推滾 珠軸承等。珠軸承等。 3個(gè)約束，個(gè)約束，0個(gè)自由度。個(gè)自由度。 如：游泳池的跳水板支座、車(chē)刀架、木樁如：游泳池的跳水板支座、車(chē)刀架、木樁 下端的支座等。下端的支座等。 簡(jiǎn)化實(shí)例簡(jiǎn)化實(shí)例 5.5.靜定梁的基本靜定梁的基本形式形式 懸臂梁懸臂梁 外伸梁外伸梁 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁 一、內(nèi)力一、內(nèi)力計(jì)算計(jì)算 例例

4、已知已知 如圖，如圖，F(xiàn)，a，l. 求距求距A端端x處截面上內(nèi)力處截面上內(nèi)力. 解解: 求支座反力求支座反力 4-2 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 B A a l F F F FRB AB F , , () , R R R 00 0 0 xAx AB yAy FF Fa MF l F la FF l 求內(nèi)力求內(nèi)力截面法截面法 彎曲構(gòu)件內(nèi)力彎曲構(gòu)件內(nèi)力 剪力剪力 彎矩彎矩 1. 1.彎矩彎矩M 構(gòu)構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于件受彎時(shí)，橫截面上其作用面垂直于 截面的內(nèi)力偶矩截面的內(nèi)力偶矩. . M FRAx F AB Fm m x RAy Q C F FR

5、B Q C M () , , Q R R 0 0 yAy CAy F la FF l MMFx 2. 剪力剪力Q 構(gòu)構(gòu)件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于件受彎時(shí)，橫截面上其作用線平行于 截面的內(nèi)力截面的內(nèi)力. Q dx m m Q + 1.1.剪力符號(hào)剪力符號(hào) 使使dx 微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)微段有左端向上而右端向下的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫橫 截面截面m-m上的剪力為正上的剪力為正.或使或使dx微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)微段有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì) 的剪力為正的剪力為正. 二、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定二、內(nèi)力的符號(hào)規(guī)定 使使dx微段有左端向下而右端向上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí)微段有左端向下而右端向上的相對(duì)錯(cuò)動(dòng)時(shí),橫截橫截 面

6、面m-m上的剪力為負(fù)上的剪力為負(fù).或使或使dx微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的微段有逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)趨勢(shì)的 剪力為負(fù)剪力為負(fù). dx m m Q Q - 當(dāng)當(dāng)dx 微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉微段的彎曲下凸（即該段的下半部受拉 ）時(shí)）時(shí), 橫截面橫截面m-m上的彎矩為正；上的彎矩為正； 2.2.彎矩符號(hào)彎矩符號(hào) m m + MM 當(dāng)當(dāng)dx 微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓）微段的彎曲上凸（即該段的下半部受壓） 時(shí)時(shí),橫截面橫截面m-m上的彎矩為負(fù)上的彎矩為負(fù). m m M M 解：解：（1）求梁的支反力）求梁的支反力 FRA 和和 FRB 例題例題 圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖示梁的計(jì)算簡(jiǎn)圖. .已知已知 F1

7、、F2, ,且且 F2 F1 , ,尺寸尺寸a、b、c和和 l 亦亦 均為已知均為已知. .試求梁在試求梁在 E 、 F 點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩點(diǎn)處橫截面處的剪力和彎矩. . 0 AM FRB B d E D A a b c l C F F1 F2 FRA 0 21R bFaFlF B 0 B M 0)()( 21R blFalFlF A l blFalF F A )()( 21 R l bFaF F B 21 R 記記 E 截面處的剪力為截面處的剪力為QE 和和 彎矩彎矩 ME ，且假設(shè)，且假設(shè)QE 和彎矩和彎矩ME 的指向和轉(zhuǎn)向均為正值的指向和轉(zhuǎn)向均為正值. A E c QE FRA R

8、 00 yAE F,FQ 0, 0 R cF MM A EE 解得解得 REA QF R E A Fc M FRB B d E D A a b c l C F F1 F2 FRA 取右段為研究對(duì)象取右段為研究對(duì)象 a-c b-c CD l-c B E QE F1 F2FRB 0 y F 12 R 0 EB QF FF 0 EM 12 R ()()()0 E B Fl ca cb c FFM 解解得得 + + R E A Fc M REA QF A E c QE FRA 計(jì)算計(jì)算F點(diǎn)橫截面處的剪點(diǎn)橫截面處的剪力力QF 和彎矩和彎矩MF . B d E D A a b c l C F F1 F2

9、FRA F d B QF MF FRB , , R R 00 00 yFB FFB FQF MMFd 解得：解得： - + RFB QF dF M B F R Q= Q(x) M= M(x) 三、三、剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程 用用函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作函數(shù)關(guān)系表示沿梁軸線各橫截面上剪力和彎矩的變化規(guī)律，分別稱作 剪力方程和彎矩方程剪力方程和彎矩方程. . 1.1.剪力剪力方程方程 2.2.彎矩彎矩方程方程 彎矩圖為正值畫(huà)在彎矩圖為正值畫(huà)在 x 軸上側(cè)軸上側(cè), ,負(fù)值畫(huà)在負(fù)值畫(huà)在x 軸下側(cè)軸下側(cè) 五、五、剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 剪力圖為正值

10、畫(huà)在剪力圖為正值畫(huà)在 x 軸上側(cè)軸上側(cè), ,負(fù)值畫(huà)在負(fù)值畫(huà)在x 軸下側(cè)軸下側(cè) 以平行于梁軸的橫坐標(biāo)以平行于梁軸的橫坐標(biāo)x表示橫截面的位置表示橫截面的位置,以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪以縱坐標(biāo)表示相應(yīng)截面上的剪 力和彎矩力和彎矩.這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖這種圖線分別稱為剪力圖和彎矩圖 x Q(x) Q圖的坐標(biāo)系圖的坐標(biāo)系 O M 圖的坐標(biāo)系圖的坐標(biāo)系 xO M(x) 例題例題 如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載如圖所示的懸臂梁在自由端受集中荷載 F 作用作用, , 試作此梁的剪力試作此梁的剪力 圖和彎矩圖圖和彎矩圖. . B A F l x 解解: : 列出梁的剪力方程列出梁的剪力方程 和彎

11、矩方程和彎矩方程 ( )(0) ( )(0) Q xFxl M xFxxl Q x F Fl x M 例題例題 圖示的簡(jiǎn)支梁圖示的簡(jiǎn)支梁, ,在全梁上受集度為在全梁上受集度為q的均布荷載用的均布荷載用. .試作此梁的試作此梁的 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖. . 解：解： （1 1） 求支反力求支反力 2 RR ql FF BA l q FF A B x （2 2）列剪力方程和彎矩方程）列剪力方程和彎矩方程. . R 2 R ( )(0) 2 ( )(0) 222 A A ql Q xFqxqxxl xqlxqx M xF xqxxl 剪力圖為一傾斜直線剪力圖為一傾斜直線 繪出剪力圖繪出剪力圖

12、 ( )(0) 2 ql Q xqxxl x=0 處處 ， x= l 處處 , , 2 ql Q 2 ql Q + ql/2 ql/2 B l q F A x F 彎矩圖為一條二次拋物線彎矩圖為一條二次拋物線 )0( 222 )( 2 R lx qxqlxx qxxFxM A l q F A B x F 00 Mx ， 0, Mlx 令令 ( ) d 0 d2 M xql qx x 得駐點(diǎn)得駐點(diǎn) 2 l x 彎矩的極值彎矩的極值 8 2 2 max ql MM l x 繪出彎矩圖繪出彎矩圖 + 8 2 ql l/2 由圖可見(jiàn)，此梁在跨中截面上由圖可見(jiàn)，此梁在跨中截面上 的彎矩值為最大的彎矩值為

13、最大 但此截面上但此截面上 Q= 0= 0 兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力兩支座內(nèi)側(cè)橫截面上剪力 絕對(duì)值為最大絕對(duì)值為最大 l q F A B x F + ql/2 ql/2 + 8 2 ql l/2 8 2 max ql M max 2 ql Q 解解: : （1 1）求梁的支反力）求梁的支反力 例題例題 圖示的簡(jiǎn)支梁在圖示的簡(jiǎn)支梁在C點(diǎn)處受集中荷載點(diǎn)處受集中荷載 F 作用作用(b a) 試作此梁的剪力圖和彎矩圖試作此梁的剪力圖和彎矩圖. l F AB C a b FF l Fb F A R l Fa F B R 因?yàn)橐驗(yàn)锳C段和段和CB段的內(nèi)力方程不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程段的內(nèi)力方程

14、不同，所以必須分段列剪力方程和彎矩方程. 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端 AC段段 CB段段 x x l F AB C a b FRAFRB ( )(0)(1) ( )(0)(2) Fb Q xxa l Fb M xxxa l () ( )()(3) ( )()()()(4) FbF lbFa Q xFaxl lll FbFa M xxF xalxaxl ll 由（由（1 1）, ,（3 3）兩式可知，）兩式可知，AC、CB兩段兩段 梁的剪力圖各是一條平行于梁的剪力圖各是一條平行于 x 軸的直線軸的直線. . ( )(0)(1) Fb Q xxa l ( )() (3) Fa Q

15、 xaxl l x x l F AB C a b FRAFRB + lFb lFa )4()()()(lxaxl l Fa xM )2()0()(axx l Fb xM + l Fba 由（由（2 2），（），（4 4）式可知，）式可知，AC、CB 兩兩 段梁的彎矩圖各是一條斜直線段梁的彎矩圖各是一條斜直線. . x x l F AB C a b FRAFRB + l Fba lFb lFa 在集中荷載作用處的左在集中荷載作用處的左, ,右兩側(cè)截面上右兩側(cè)截面上 剪力值剪力值( (圖圖) )有突變有突變, ,突變值等于集中荷載突變值等于集中荷載F. . 彎矩圖形成尖角彎矩圖形成尖角, ,該處彎

16、矩值最大該處彎矩值最大. . Qmax=Fb/l Mmax=Fba/l 0M ACAC段段 C Fab M l x = l ， M = 0 C Fba M l CBCB段段 解：求梁的支反力解：求梁的支反力 例題例題 圖示的簡(jiǎn)支梁在圖示的簡(jiǎn)支梁在 C點(diǎn)處受矩為點(diǎn)處受矩為M的集中力偶作用的集中力偶作用. . 試作此梁的的剪力圖和彎矩圖試作此梁的的剪力圖和彎矩圖. . R A M F l RB M F l 將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端將坐標(biāo)原點(diǎn)取在梁的左端. . 因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以因?yàn)榱荷蠜](méi)有橫向外力，所以 全梁只有一個(gè)剪力方程全梁只有一個(gè)剪力方程 ( )() ( )Q01 M xxl l l

17、AB C a b FRAFRB M 由由(1)(1)式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條式畫(huà)出整個(gè)梁的剪力圖是一條 平行于平行于 x 軸的直線軸的直線. . + M l AC段段 CB段段 AC 段和段和 BC 段的彎矩方程不同段的彎矩方程不同 x x l AB C a b FRAFRB M ( ) M M xx l )0(ax ( )() MM M xx Mlx ll )(lxa AC，CB 兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線兩梁段的彎矩圖各是一條傾斜直線. . C Ma M l 左左 0M AC段段 CB段段 C M b M l 右右 + Ma l Mb l 梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面梁上集中力

18、偶作用處左、右兩側(cè)橫截面 上的彎矩值上的彎矩值( (圖圖) )發(fā)生突變，其突變值等于集發(fā)生突變，其突變值等于集 中力偶矩的數(shù)值中力偶矩的數(shù)值. .此處剪力圖沒(méi)有變化此處剪力圖沒(méi)有變化. . l AB C a b FRAFRB M + /M l + Ma l Mb l 2.2.以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處以集中力、集中力偶作用處、分布荷載開(kāi)始或結(jié)束處, ,及支座截面處及支座截面處 為界點(diǎn)將梁分段為界點(diǎn)將梁分段. .分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程分段寫(xiě)出剪力方程和彎矩方程, ,然后繪出剪力圖和彎矩圖然后繪出剪力圖和彎矩圖. . 1.1.取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)取梁的左端點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，x

19、 軸向右為正軸向右為正: :剪力圖、彎矩圖向上為正剪力圖、彎矩圖向上為正. . 5.5.梁上的梁上的Qmax發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處發(fā)生在全梁或各梁段的邊界截面處; ;梁上的梁上的Mmax發(fā)生在全梁或發(fā)生在全梁或 各梁段的邊界截面各梁段的邊界截面, ,或或Q = 0 = 0 的截面處的截面處. . 小小 結(jié)結(jié) 3.3.梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上梁上集中力作用處左、右兩側(cè)橫截面上, ,剪力（圖）有突變剪力（圖）有突變, ,突變值等突變值等 于集中力的數(shù)值于集中力的數(shù)值. .在此處彎矩圖則形成一個(gè)尖角在此處彎矩圖則形成一個(gè)尖角. . 4.4.梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩

20、（圖）有突變梁上集中力偶作用處左、右兩側(cè)橫截面上的彎矩（圖）有突變, ,其突變其突變 值等于集中力偶矩的數(shù)值值等于集中力偶矩的數(shù)值. .但在此處剪力圖沒(méi)有變化但在此處剪力圖沒(méi)有變化. . 例題例題 一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載一簡(jiǎn)支梁受移動(dòng)荷載 F 的作用如圖所示的作用如圖所示. .試求梁的最大彎矩為極試求梁的最大彎矩為極 大時(shí)荷載大時(shí)荷載 F 的位置的位置. . AB F l x 解解 : :先設(shè)先設(shè)F 在距左支座在距左支座 A 為為 x 的任意位置的任意位置. . 求此情況下梁的最大彎矩為極大求此情況下梁的最大彎矩為極大. . 荷載在任意位置時(shí)，支反力為荷載在任意位置時(shí)，支反力為 l xlF F A

21、 )( R l Fx F B R 當(dāng)荷載當(dāng)荷載 F 在距左支座為在距左支座為 x 的任意位置的任意位置 C 時(shí)，梁的彎矩為時(shí)，梁的彎矩為 x l xlF xFM AC )( R 令令0 d d x MC 0)2(xl l F 2 l x 此結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)移動(dòng)荷載此結(jié)果說(shuō)明，當(dāng)移動(dòng)荷載 F 在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大在簡(jiǎn)支梁的跨中時(shí)，梁的最大彎矩為極大. . 得最大彎矩值得最大彎矩值 代入式代入式將將 2 l x x l xlF xFM AC )( R Fl M 4 1 max 作業(yè)：作業(yè)：4-1 (a) (b) 4-2 (a) (b) m m M 、彎曲構(gòu)件橫截面上的彎曲構(gòu)件橫截面上的

22、應(yīng)力應(yīng)力 當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫當(dāng)梁上有橫向外力作用時(shí)，一般情況下，梁的橫 截面上既又彎矩截面上既又彎矩M，又有剪，又有剪力力Q. 4-3 梁橫截面上的正應(yīng)力梁橫截面上的正應(yīng)力 m m m m M 只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素只有與正應(yīng)力有關(guān)的法向內(nèi)力元素 dN = dA 才能合成彎矩才能合成彎矩. 彎矩彎矩M 正應(yīng)正應(yīng)力力 剪剪力力Q 切應(yīng)切應(yīng)力力 內(nèi)力內(nèi)力 只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素只有與切應(yīng)力有關(guān)的切向內(nèi)力元素 dQ = dA 才能合成才能合成剪力；剪力； 所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力，所以，在梁的橫截面上一般既有正應(yīng)力， 又有切應(yīng)力又有切應(yīng)力. 、分析分

23、析方法方法 平面彎曲時(shí)橫截面平面彎曲時(shí)橫截面 純彎曲梁純彎曲梁(橫截面上只有橫截面上只有M而而無(wú)無(wú)Q的的情況情況) 平面彎曲時(shí)橫截面平面彎曲時(shí)橫截面 橫力彎曲橫力彎曲(橫截面上既橫截面上既有有Q又又有有M的情況的情況) 簡(jiǎn)支梁簡(jiǎn)支梁CD段任一橫截面上，剪力等于零，段任一橫截面上，剪力等于零， 而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎而彎矩為常量，所以該段梁的彎曲就是純彎 曲曲. 若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量，若梁在某段內(nèi)各橫截面的彎矩為常量， 剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲剪力為零，則該段梁的彎曲就稱為純彎曲. 、純純彎曲彎曲 + + F F + Fa FF aa C D AB 、實(shí)驗(yàn)

24、、實(shí)驗(yàn) 1.變形變形現(xiàn)象現(xiàn)象 縱向線縱向線 且靠近頂端的縱向線縮短，且靠近頂端的縱向線縮短， 靠近底端的縱向線段伸長(zhǎng)靠近底端的縱向線段伸長(zhǎng). 相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度，相對(duì)轉(zhuǎn)過(guò)了一個(gè)角度， 仍與變形后的縱向弧線垂直仍與變形后的縱向弧線垂直. 各橫向線仍保持為直線，各橫向線仍保持為直線， 各縱向線段彎成弧線，各縱向線段彎成弧線， 橫向線橫向線 一、一、 純彎曲時(shí)的正純彎曲時(shí)的正應(yīng)力應(yīng)力 2.提出提出假設(shè)假設(shè) （a）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面）平面假設(shè)：變形前為平面的橫截面 變形后仍保持為平面且垂直于變形變形后仍保持為平面且垂直于變形 后的梁軸線；后的梁軸線； （b）單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠）

25、單向受力假設(shè)：縱向纖維不相互擠 壓，只受單向拉壓壓，只受單向拉壓. 推論：必有一層變形前后長(zhǎng)度不變的纖維推論：必有一層變形前后長(zhǎng)度不變的纖維中性層中性層 中性軸中性軸 橫截面對(duì)稱軸橫截面對(duì)稱軸 中性軸中性軸 純彎曲純彎曲時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式時(shí)橫截面上正應(yīng)力的計(jì)算公式: z I My M為梁橫截面上的彎矩；為梁橫截面上的彎矩； y為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離；為梁橫截面上任意一點(diǎn)到中性軸的距離； Iz為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩為梁橫截面對(duì)中性軸的慣性矩. （1 1）應(yīng)用公式時(shí)，一般將）應(yīng)用公式時(shí)，一般將 M、y 以絕對(duì)值代入以絕對(duì)值代入. . 根據(jù)梁變形的情況直接根據(jù)梁變形的情況直接

26、 判斷判斷 的正負(fù)號(hào)的正負(fù)號(hào). . 以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力( ( 為為 正號(hào)正號(hào)).).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力（ 為負(fù)號(hào)）；為負(fù)號(hào)）； （2 2）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離）最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離 中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)處. . I yM z max max 則公式改寫(xiě)為則公式改寫(xiě)為 W M max 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) max y I W z 圓截面圓截面 矩形截面矩形截面 空心圓截面空心圓截面 空心矩形截面空心矩形截面 A dAyI 2 Z max Z Z y I W 64 4 Z d I 3

27、2 3 Z d W )1 ( 64 4 4 Z D I)1 ( 32 4 3 Z D W 12 3 Z bh I 6 2 Z bh W 1212 3 3 00 Z bhhb I)2/() 1212 ( 0 3 3 00 Z h bhhb W （1 1）對(duì)于中性軸是對(duì)稱軸的橫截面）對(duì)于中性軸是對(duì)稱軸的橫截面 其橫截面最大拉壓應(yīng)力相等，發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)處，截面的其橫截面最大拉壓應(yīng)力相等，發(fā)生在離中性軸最遠(yuǎn)處，截面的 IZ 和和 WZ由下列公式計(jì)算由下列公式計(jì)算 z y y maxc y maxt M 應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離

28、 和和 直接代入公式直接代入公式y(tǒng) maxt y maxc z I My maxc tmax I My z maxc maxc I My z maxt maxt （2）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面）對(duì)于中性軸不是對(duì)稱軸的橫截面 當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既又彎矩又有剪力當(dāng)梁上有橫向力作用時(shí)，橫截面上既又彎矩又有剪力.梁在此種情梁在此種情況下況下 的的彎曲稱為橫力彎曲彎曲稱為橫力彎曲. 二、二、 橫力彎曲時(shí)的正橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力應(yīng)力 橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力橫力彎曲時(shí)，梁的橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力.切應(yīng)力使橫切應(yīng)力使橫截面截面 發(fā)發(fā)生翹曲，生翹曲， 橫向力引起與中性層

29、平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲橫向力引起與中性層平行的縱截面的擠壓應(yīng)力，純彎曲時(shí)所時(shí)所 作作的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立的平面假設(shè)和單向受力假設(shè)都不成立. 、橫力橫力彎曲彎曲 等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為等直梁橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力公式為 z M y I 雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，工程雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但進(jìn)一步的分析表明，工程 中常用的細(xì)長(zhǎng)梁中常用的細(xì)長(zhǎng)梁（l/h5），純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，可以精確的計(jì)算，純彎曲時(shí)的正應(yīng)力計(jì)算公式，可以精確的計(jì)算 橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲時(shí)橫截面上的正應(yīng)力 、公式的應(yīng)用公式的應(yīng)用范圍范

30、圍 1.在彈性范在彈性范圍內(nèi)圍內(nèi) 3.平面平面彎曲彎曲 4.直梁直梁 2.具有切應(yīng)力具有切應(yīng)力的梁的梁5/ hl 、強(qiáng)度強(qiáng)度條件條件 1.數(shù)學(xué)表數(shù)學(xué)表達(dá)式達(dá)式 max max W M 梁梁內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力內(nèi)的最大工作應(yīng)力不超過(guò)材料的許用應(yīng)力. 2.強(qiáng)度條件的強(qiáng)度條件的應(yīng)用應(yīng)用 max M W max WM （3）確定許可載荷）確定許可載荷 （1） 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 max W M 對(duì)于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的對(duì)于鑄鐵等脆性材料制成的梁，由于材料的 ct 且梁橫截面的中性軸一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的且梁橫截面的中性軸一般也不是對(duì)稱軸，所以梁的 maxcmaxt （兩

31、者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上）（兩者有時(shí)并不發(fā)生在同一橫截面上） 要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力要求分別不超過(guò)材料的許用拉應(yīng)力和許用壓應(yīng)力 tmaxt cmaxc 例題例題 螺栓壓板夾緊裝置如圖所示（螺栓壓板夾緊裝置如圖所示（B截面有一直徑為截面有一直徑為14mm的圓孔）的圓孔）.已知已知 板長(zhǎng)板長(zhǎng)3a150mm，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力，壓板材料的彎曲許用應(yīng)力140MPa.試計(jì)算壓板傳給試計(jì)算壓板傳給 工件的最大允許壓緊力工件的最大允許壓緊力F. A C B F a 2a 20 30 14 FRA FRB Fa 解：（解：（1）作出彎矩圖的最大彎矩為）作出彎矩圖的最大彎矩為Fa；

32、（2）求慣性矩，抗彎截面系數(shù)）求慣性矩，抗彎截面系數(shù) 22 322 3 84 (3 10 )(2 10 )(1.4 10 )(2 10 ) 1.07 10 m 1212 z I 8 63 2 max 1.07 10 1.07 10 m 1 10 z z I W y （3）求許可載荷）求許可載荷 max WM z 3kNN 3 103 a z W F z WFa 例例我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是我國(guó)營(yíng)造法中，對(duì)矩形截面梁給出的尺寸比例是 h:b=3:2。試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁，試用彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度證明：從圓木鋸出的矩形截面梁， 上述尺寸比例接近最佳比值。上述尺

33、寸比例接近最佳比值。 b h d （使Wz最大） 解：解： bhd 222 b h d W bh z 2 6 b db() 22 6 W b db z 22 62 0 由此得由此得 b d 3 hdbd 22 2 3 h d 2 F 例題例題 一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示一簡(jiǎn)易起重設(shè)備如圖所示. .起重起重 量量( (包含電葫蘆自重包含電葫蘆自重) )F = 30 kN. .跨跨長(zhǎng)長(zhǎng)l = 5 m. . 吊車(chē)大梁吊車(chē)大梁AB由由20a工字鋼制成工字鋼制成. .其許用彎曲其許用彎曲 正應(yīng)力正應(yīng)力 =170MPa, , 試試校核梁的強(qiáng)度校核梁的強(qiáng)度. . + 37.5 kNm 5m AB 2.5m F C 解解：此吊車(chē)梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，力：此吊車(chē)梁可簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)支梁，力 F 在梁中在梁中 間位置時(shí)有最大正應(yīng)力間位置時(shí)有最大正應(yīng)力 . mkN5 .37 max M 正應(yīng)力正應(yīng)力強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 由型鋼表查得由型鋼表查得20a工字鋼的工字鋼的 3 237cm