第六章 多自由度體系的微振動(dòng)

1、第六章第六章 多自由度體系的微振動(dòng)多自由度體系的微振動(dòng) 內(nèi)容：內(nèi)容： 振動(dòng)概述振動(dòng)概述 兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) n個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) 簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)簡(jiǎn)正坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng) 重點(diǎn)：重點(diǎn)： 兩個(gè)自由度的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度的自由振動(dòng) 簡(jiǎn)正坐標(biāo)簡(jiǎn)正坐標(biāo) 難點(diǎn)：難點(diǎn)： 多自由度的自由振動(dòng)多自由度的自由振動(dòng) 難點(diǎn)：難點(diǎn)： 多自由度的自由振動(dòng)多自由度的自由振動(dòng) 振動(dòng)現(xiàn)象在宏觀的工程技術(shù)中和微觀領(lǐng)域（如固體物理中的晶格、光學(xué)振動(dòng)現(xiàn)象在宏觀的工程技術(shù)中和微觀領(lǐng)域（如固體物理中的晶格、光學(xué) 中的分子振動(dòng)光譜等）中普遍存在。本章討論多自由度體系微振動(dòng)的一般

2、中的分子振動(dòng)光譜等）中普遍存在。本章討論多自由度體系微振動(dòng)的一般 處理方法和微振動(dòng)在物理上的應(yīng)用。處理方法和微振動(dòng)在物理上的應(yīng)用。 6.1 振動(dòng)概述振動(dòng)概述 （1）振動(dòng)的分類振動(dòng)的分類 按體系的能量變化情況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振按體系的能量變化情況可把振動(dòng)分為自由振動(dòng)（機(jī)械能守恒）、阻尼振 動(dòng)（機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為熱能）和強(qiáng)迫振動(dòng)（不斷從外界獲得能量）三類，動(dòng)（機(jī)械能不斷轉(zhuǎn)化為熱能）和強(qiáng)迫振動(dòng)（不斷從外界獲得能量）三類， 其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種類型的。其運(yùn)動(dòng)微分方程是同一種類型的。 按體系的自由度劃分，振動(dòng)分為單自由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無限自由按體系的自由度劃分，振動(dòng)分為

3、單自由度振動(dòng)、有限多自由度振動(dòng)和無限自由 度振動(dòng)三類。度振動(dòng)三類。 按微分方程的類型，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類。按微分方程的類型，振動(dòng)分為線性振動(dòng)和非線性振動(dòng)兩類。 （2）線性振動(dòng)概念）線性振動(dòng)概念 凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振動(dòng)（振幅很小），只考慮一級(jí)（最低凡力學(xué)體系在平衡位置附近作微振動(dòng)（振幅很?。豢紤]一級(jí)（最低 級(jí)）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。級(jí)）近似時(shí)，其運(yùn)動(dòng)微分方程為線性方程，這種振動(dòng)都屬于線性振動(dòng)。 （3）力學(xué)體系平衡位置的性質(zhì)）力學(xué)體系平衡位置的性質(zhì) 平衡位置的三種情況：如圖平衡位置的三種情況：如圖6.1所示所示 （a）穩(wěn)定平衡）穩(wěn)定平

4、衡 如果在某一位置，保守系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn)如果在某一位置，保守系的勢(shì)能有嚴(yán)格的極小值，則此位置是體系的穩(wěn) 定平衡位置定平衡位置保守系平衡位置穩(wěn)定性拉格朗日定理，即保守系平衡位置穩(wěn)定性拉格朗日定理，即 0,0 2 2 dq Vd dq dV （自由度為（自由度為1） （6.1） 0,0 )2(1)( 0 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 2 2 21 2 21 q V q V q V q V qq V q V q V 自由度為自由度為（6.2） （b）不穩(wěn)定平衡）不穩(wěn)定平衡 勢(shì)能在平衡位置取極大值時(shí)為不穩(wěn)定平衡。勢(shì)能在平衡位置取極大值時(shí)為不穩(wěn)定平衡。 （c）隨遇

5、平衡）隨遇平衡 勢(shì)能在平衡位置為常數(shù)時(shí)為隨遇平衡。勢(shì)能在平衡位置為常數(shù)時(shí)為隨遇平衡。 6.2 兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng) （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 設(shè)體系的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為設(shè)體系的兩個(gè)廣義坐標(biāo)為、 1 x 2 x，則體系的拉格朗日方程為，則體系的拉格朗日方程為 0 0 212 111 x V x T x T dt d x V x T x T dt d （6.1） 對(duì)于平衡位置附近的微振動(dòng)、體系的約束是穩(wěn)定的，動(dòng)能必為廣義速度的對(duì)于平衡位置附近的微振動(dòng)、體系的約束是穩(wěn)定的，動(dòng)能必為廣義速度的 二次齊次式，即二次齊次式，即 )2( 2 1 2 1 2 2222112

6、 2 111 2 1, xAxxAxAxxAT ji ji ij （6.2） 其中其中 ij A是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，且是廣義坐標(biāo)的函數(shù)，且 ),(),( 2121 xxAxxA ijiij 勢(shì)能僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù)勢(shì)能僅是廣義坐標(biāo)的函數(shù) ),( 21 xxVV ),( 21 xxV),( 21 xxAij為了簡(jiǎn)化和近似，廣義坐標(biāo)零點(diǎn)取平衡位置上，將為了簡(jiǎn)化和近似，廣義坐標(biāo)零點(diǎn)取平衡位置上，將和和T T中的中的 在平衡位置用泰勒級(jí)數(shù)展開在平衡位置用泰勒級(jí)數(shù)展開 (*)( 2 1 )()0 , 0(),( 0 2 1, 2 0 2 1 21 ji ji ji i i i xx xx V x x V V

7、xxV （6.3） .)()0 , 0(),( 0 2 1 021 i i i ij ij x x A AxxA （6.4） 2 2222112 2 1110 2 1, 21 2 21 2( 2 1 )( 2 1 2 1 ),(xbxxbxbxx xx V xxV ji ji （6.36.3）式中的（）式中的（* * *）是）是 i x 三次以上的項(xiàng)。如果保留到最低階的非零小量，三次以上的項(xiàng)。如果保留到最低階的非零小量， （6.36.3）式可簡(jiǎn)化為）式可簡(jiǎn)化為 （6.5） 式中式中 ji ji ij b xx V b 0 2 )( ，是常數(shù)。，是常數(shù)。 0)0 , 0( 0 V0)( 0 i

8、x V 思考：（思考：（6.36.3）式中為何可略去（）式中為何可略去（* * *）項(xiàng)和取）項(xiàng)和取 ，？ 動(dòng)能動(dòng)能T T的表式中也只要保留到二級(jí)小量，故的表式中也只要保留到二級(jí)小量，故),( 21 xxAij 只取零級(jí)近似即可。只取零級(jí)近似即可。 ijijij aAxxA )0 , 0(),( 21 )2( 2 1 2 1 2 2222112 2 111 2 0 xaxxaxaxxaT ji ij ij 式中式中 jiij aa 也都是常數(shù)。也都是常數(shù)。 將（將（6.5）和（）和（6.6）代入（）代入（6.1）得）得 0 0 222121222121 212111212111 xbxbxaxa

9、 xbxbxaxa （6.7） 或或 2 , 10)( 2 1 ixbxa jijj j ij （6.86.8） 上式為兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)微分方程，是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊上式為兩個(gè)自由度保守系的自由振動(dòng)微分方程，是一個(gè)二階常系數(shù)線性齊 次次 微分方程組。微分方程組。 （2）微分方程的解）微分方程的解.頻率方程（久期方程）頻率方程（久期方程） 用常規(guī)方法求解。設(shè)（用常規(guī)方法求解。設(shè)（6.7）式的解為）式的解為 )sin( )sin( 22 11 tAx tAx （6.96.9） 將（將（6.9）式代入（）式代入（6.7）得）得 0)()( 0)()( 2 22222 2 21211 2

10、12122 2 11111 abAabA abAabA （6.106.10） 或或 2 , 1,0)( 2 2 1 iabA ijij j j （6.11） 由（由（6.10）知：）知： 0 21 AA ，由此得，由此得 0 21 xx ，對(duì)應(yīng)于體系的平衡狀態(tài)，對(duì)應(yīng)于體系的平衡狀態(tài)， 不是不是 所需要的解。要使（所需要的解。要使（6.10）中的）中的 21,A A有異于零的解，方程的系數(shù)行有異于零的解，方程的系數(shù)行 列式必須為列式必須為 零，因 零，因 12211221 ,bbaa ，得，得， 0)()( 22 1212 2 2222 2 1111 2 2222 2 1212 2 1212 2

11、 1111 ababab abab abab （6.12） 2 1 2 2 為為 和和 （方程（方程6.12）稱為頻率方程（或久期方程）?？梢宰C明它恒有兩個(gè)正的實(shí)根。）稱為頻率方程（或久期方程）?？梢宰C明它恒有兩個(gè)正的實(shí)根。 設(shè)設(shè) ，根據(jù)線性方程的原理，經(jīng)過計(jì)算得方程（，根據(jù)線性方程的原理，經(jīng)過計(jì)算得方程（6.7）的通解為）的通解為 )sin()sin( )sin()sin( 22 )2( 1 )2( 211 )1( 1 )1( 22 22 )2( 111 )1( 11 tAtAx tAtAx （6.13） )0(),0(),0(),0( 2121 xxxx式中四個(gè)常數(shù)式中四個(gè)常數(shù) 21 )2

12、( 1 )1( 1 , AA由初始條件由初始條件 決定。決定。 若兩個(gè)正根相等（正等根）：若兩個(gè)正根相等（正等根）： 21 ，則通解為，則通解為 )sin( )sin( 222 111 tAx tAx （6.14） 例例1 兩個(gè)相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。兩個(gè)相同的單擺耦合成雙單擺。求體系微振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。 1 2 解：解：自由度為自由度為2 2，取，取和和 為廣義坐為廣義坐標(biāo)，則標(biāo)，則 )2( 2 1 )22( 2 1 2 2 2 1 21 2 2 2 1 2 mglV mlT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 0 022 221 121 l g

13、 l g （2） 令（令（2）式的特解為）式的特解為 )sin( )sin( 22 11 tA tA （3） 將（將（3）代入（）代入（2）得）得 0)( 0)(2 2 2 1 2 2 2 1 2 A l g A AA l g （4） 要使上式的要使上式的 21,A A有不恒為零的解，必須有不恒為零的解，必須 0)(2 )(2 422 22 22 l g l g l g （5） 由（由（5）得）得 )22(),22( 2 2 2 1 l g l g （6） 將（將（6）代入（）代入（4）中的任一式得振幅比值）中的任一式得振幅比值 2 )(2 2 1 2 1 )1( 1 )1( 2 l g A

14、A 2 )(2 2 2 2 2 )2( 1 )2( 2 l g A A （7） )sin(2)sin(2 )sin()sin( 22 )2( 111 )1( 12 22 )2( 111 )1( 11 tAtA tAtA （8） 這里這里 )2( 2 )1( 2 )2( 1 )1( 1 ,AAAA為方程（為方程（4）的根，于是兩個(gè)特解即可確定，兩個(gè)特）的根，于是兩個(gè)特解即可確定，兩個(gè)特 解的解的 線性疊加即得通解線性疊加即得通解 常數(shù)常數(shù) 21 )2( 2 )1( 1 , AA由初始條件決定。由初始條件決定。 例例2 試求如圖試求如圖6.3所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻率。所示的兩個(gè)耦合振子的振動(dòng)頻

15、率。 解：解：自由度為自由度為2，以位移，以位移 21,x x為廣義坐標(biāo)，則為廣義坐標(biāo)，則 )( 2 1 )( 2 1 2 2 2 12 2 1 2 2 2 1 xxxxkV xxmT （1） 將（將（1）代入拉格朗日方程得）代入拉格朗日方程得 211 2kxkxxm （2） 212 2kxkxxm （3） 引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo)引進(jìn)兩個(gè)新的坐標(biāo) , 212211 xxqxxq 分別將（分別將（2）和（）和（3）相加減，得）相加減，得 0 11 q m k q 0 3 22 q m k q 1 q 2 q 由此得由此得和和振動(dòng)模式的頻率分別為振動(dòng)模式的頻率分別為 mk / 1 mk/3 2 和和 6

16、.3 n個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng)個(gè)自由度保守體系的自由振動(dòng) （1）拉格朗日方程）拉格朗日方程 將體系的動(dòng)能和勢(shì)能在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)保留到二級(jí)小量，得將體系的動(dòng)能和勢(shì)能在平衡位置展開成泰勒級(jí)數(shù)保留到二級(jí)小量，得 n ji jiij n ji jiij xxbV xxaT 1, 1, 2 1 2 1 （6.15） 代入拉格朗方程，得代入拉格朗方程，得 nixbxa jij n j jij , 2 , 1, 0 1 （6.16） （2）振動(dòng)規(guī)律（拉格朗方程的通解）振動(dòng)規(guī)律（拉格朗方程的通解） 令（令（6.16）的特解為）的特解為 nitAx ii , 2 , 1),sin( （6.17） （

17、6.17）代入（）代入（6.16）式：）式： niabA ijij n j j , 2 , 1,0)( 2 1 （6.18） 要使上式有不為零的解的條件為要使上式有不為零的解的條件為 0 22 22 2 11 2 22 2 2222 2 2121 2 11 2 1212 2 1111 nnnnnnnn nn nn ababab ababab ababab （6.19） 2 ), 2 , 1( 2 nj j 上式是關(guān)于上式是關(guān)于的的n次多項(xiàng)式，有次多項(xiàng)式，有n個(gè)根個(gè)根且都是正的實(shí)根。且都是正的實(shí)根。 振幅比：振幅比： 2 j 1 A 將將代入（代入（6.18）式，把）式，把看作已知的，然后已知對(duì)

18、（看作已知的，然后已知對(duì)（n-1）個(gè)）個(gè) n AAA, 32 求解，可得求解，可得 )( 1 )()()( 1 )( 3 )( 3 )( 1 )( 2 )( 2 , jj n j n jjjjjj AAAAAA （6.20） 這些這些 )( j i 都是常數(shù)，共有都是常數(shù)，共有n（n-1）個(gè)。）個(gè)。 方程（方程（6.16）的一個(gè)特解為）的一個(gè)特解為 nitAx jj j ii , 2 , 1),sin( )( （6.21） 這些特解的線性疊加即為通解：這些特解的線性疊加即為通解： nitAx jj n j j ii , 2 , 1)sin( 1 )( （6.22） 個(gè)振幅個(gè)振幅 ,（6.20）

19、式中提供了）式中提供了n（n-1）個(gè)已知的比）個(gè)已知的比 2 n )( j i A 2 nnnnn )1( 2 )( 1 )2( 1 )1( 1 , n AAA n , 21 方程（方程（6.22）中共有）中共有 個(gè)振幅中獨(dú)立的只有個(gè)振幅中獨(dú)立的只有個(gè)，即個(gè)，即 再加上再加上n個(gè)相角個(gè)相角，共有，共有2n個(gè)待定常數(shù)，可由初始條件決定。個(gè)待定常數(shù)，可由初始條件決定。 值，因此，值，因此， 6.4 簡(jiǎn)振坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng)簡(jiǎn)振坐標(biāo)和簡(jiǎn)正振動(dòng) 力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)可有多種選取方式，廣義坐標(biāo)選取得當(dāng)，拉格朗日方程很力學(xué)體系的廣義坐標(biāo)可有多種選取方式，廣義坐標(biāo)選取得當(dāng)，拉格朗日方程很 容易求解。容易求解。 以雙

20、單擺為例。以雙單擺為例。 2 q 1 q 若選取若選取為廣義坐標(biāo)：為廣義坐標(biāo)：和和 212 211 2 1 2 1 q q 2 2 21 2 21 1 qq q qq 或或 （6.23） 由此可得由此可得 )( 2 1 )2( 2 1 ) 2 1 1() 2 1 1( 2 1 )22( 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 221 2 1 2 qqmglmglV qqml mlT （6.24） 代入拉格朗日方程，得代入拉格朗日方程，得 0 12 2 0 12 2 22 11 q l g q q l g q （6.25） 顯然通解為顯然通解為 )sin( )sin( 2

21、222 1111 tAq tAq （6.26） 其中其中 )22( 12 2 )22( 12 2 2 2 2 1 l g l g l g l g （6.27） i q i q和廣義坐標(biāo)和廣義坐標(biāo)的平方和的形式的平方和的形式 因此，在處理線性振動(dòng)問題如果所選取的廣義坐標(biāo)能使因此，在處理線性振動(dòng)問題如果所選取的廣義坐標(biāo)能使T和和V同時(shí)成為廣義速度同時(shí)成為廣義速度 ),( 2 1 ),( 2 1 22 222 2 111 22 222 2 111 nnn nnn qbqbqbV qaqaqaT （6.28） 則代入拉格朗方程得則代入拉格朗方程得 0 0 0 2222222 111111 nnnnnn

22、 qbqa qbqa qbqa （6.29） 其解即為其解即為 nn nnnnn a bnn tAq a b tAq a b tAq 2 22 222 22222 11 112 11111 )sin( )sin( )sin( （6.30） 選取這種能使選取這種能使T和和V同時(shí)表示為同時(shí)表示為 i q i q 和和的平方和形式的廣義坐標(biāo)稱為的平方和形式的廣義坐標(biāo)稱為 簡(jiǎn)正坐標(biāo)。簡(jiǎn)正坐標(biāo)。 簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述了體系在振動(dòng)過程中只以一個(gè)頻率振動(dòng)，其余頻率的振動(dòng)沒有激簡(jiǎn)正坐標(biāo)描述了體系在振動(dòng)過程中只以一個(gè)頻率振動(dòng)，其余頻率的振動(dòng)沒有激 發(fā)，這種以單一頻率的振動(dòng)模式稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)式本征振動(dòng)。體系的任一種振動(dòng)狀態(tài)

23、，發(fā)，這種以單一頻率的振動(dòng)模式稱為簡(jiǎn)正振動(dòng)式本征振動(dòng)。體系的任一種振動(dòng)狀態(tài)， 則是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。則是各種簡(jiǎn)正振動(dòng)的線性疊加。 6.5 解題指導(dǎo)解題指導(dǎo) （1）習(xí)題類型基本解法）習(xí)題類型基本解法 本章習(xí)題的基本類型是已知體系所受的力及運(yùn)動(dòng)的某些條件，求體系本章習(xí)題的基本類型是已知體系所受的力及運(yùn)動(dòng)的某些條件，求體系 振動(dòng)振動(dòng) 頻率、周期和振動(dòng)方程（規(guī)律）。頻率、周期和振動(dòng)方程（規(guī)律）。 基本解法：基本解法：先應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，然后解先應(yīng)用拉格朗日方程建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程，然后解 方程。方程。 （2）范例）范例 弦的等分點(diǎn)上三個(gè)相同質(zhì)點(diǎn)弦的等分點(diǎn)上三個(gè)相同質(zhì)點(diǎn)m的振動(dòng)（的振動(dòng)（P.181例例） 解解：弦的伸長(zhǎng)量：弦的伸長(zhǎng)量l 為為 )()()()( 4 4)( )( 2322321221 22 3 22 23 22 12 22 1 a y a yy a yy a ya aayayy ayyayl （1） 弦的彈性勢(shì)能和動(dòng)能為弦的彈性勢(shì)能和動(dòng)能為 2 3 2 23 2 12 2 1 )()( 2 yyyyyy a F lFV )( 2 1 2 3 2 2 2 1 yyymT 將將T、V代入拉格朗日方程