第2章_2彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波—波動(dòng)方程的解

1、第二章第二章 彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波彈性力學(xué)基礎(chǔ)與地震波 彈性力學(xué)基礎(chǔ)彈性力學(xué)基礎(chǔ) 波動(dòng)方程的解波動(dòng)方程的解 1. 不均勻彈性桿的一維波動(dòng)方程的解不均勻彈性桿的一維波動(dòng)方程的解 分離變量法求解分離變量法求解 均勻桿均勻桿 c(x)=c C1、C2、C3、C4 為任意函數(shù)。為任意函數(shù)。是是DAlembert形形式解式解 五、波動(dòng)方程的解五、波動(dòng)方程的解 注：注：是可以任取的常數(shù)是可以任取的常數(shù)，波動(dòng)方程的解表示由無數(shù)頻率成分的簡諧波合，波動(dòng)方程的解表示由無數(shù)頻率成分的簡諧波合 成的任意形狀的函數(shù)。地成的任意形狀的函數(shù)。地震儀記錄的地震波的頻帶范圍可震儀記錄的地震波的頻帶范圍可從從0.0001200

2、Hz 。地震波的波速在地殼中約地震波的波速在地殼中約為為5km/s，因此記錄的地震波信號(hào)的波長范圍因此記錄的地震波信號(hào)的波長范圍 在在0.02550000km之之間。間。 地面運(yùn)動(dòng)地面運(yùn)動(dòng) 是實(shí)函數(shù)是實(shí)函數(shù) 地震學(xué)名詞地震學(xué)名詞 非均勻桿非均勻桿 當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑ニ俣鹊目臻g變化量大大小于感興趣的頻率，即不均勻一維介質(zhì)當(dāng)?shù)卣鸩▊鞑ニ俣鹊目臻g變化量大大小于感興趣的頻率，即不均勻一維介質(zhì) 中高頻地震波的波動(dòng)方程解可以表達(dá)為中高頻地震波的波動(dòng)方程解可以表達(dá)為 2. 三維均勻空間中波動(dòng)方程的平面波解三維均勻空間中波動(dòng)方程的平面波解 其中 i i n nk k 同樣同樣 注：無論是波還是波，其波數(shù)矢量的方向注

3、：無論是波還是波，其波數(shù)矢量的方向 代表的是平面波的播方向，上述波動(dòng)方程的解代表的是平面波的播方向，上述波動(dòng)方程的解 中波數(shù)矢量前只需取單一的中波數(shù)矢量前只需取單一的號(hào)。號(hào)。 舉例：舉例：X1X3 平面內(nèi)傳播的平面波解平面內(nèi)傳播的平面波解 一組在一組在 平面內(nèi)傳播的 平面內(nèi)傳播的平面波平面波，其相位函數(shù)為，其相位函數(shù)為 波陣面方程波陣面方程 的表達(dá)式的表達(dá)式在在 x1x3 平面上的一條平面上的一條 直線，該直線所代直線，該直線所代 表的是一個(gè)垂直于表的是一個(gè)垂直于 x1x3 平面的等相面平面的等相面 固定時(shí)刻的一系列不同相位的波陣面固定時(shí)刻的一系列不同相位的波陣面 等相位的波陣面在不同時(shí)刻的空

4、間位置等相位的波陣面在不同時(shí)刻的空間位置 波數(shù)矢量波數(shù)矢量（k1，3）與波陣面是正交的）與波陣面是正交的 定義波矢量方向與定義波矢量方向與 軸方向的夾角為入射角，并記為 軸方向的夾角為入射角，并記為 射線參數(shù)或水平慢度射線參數(shù)或水平慢度 垂直慢度垂直慢度 在在 平面內(nèi)傳播的 平面內(nèi)傳播的平面波平面波，同樣也有，同樣也有 又 對在對在 平面內(nèi)傳播的平面波，則有 平面內(nèi)傳播的平面波，則有 波的質(zhì)元運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)）方向與波矢量方向（傳播方向）是平行的波的質(zhì)元運(yùn)動(dòng)（振動(dòng)）方向與波矢量方向（傳播方向）是平行的 在在 平面內(nèi)傳播的平面波，則有 平面內(nèi)傳播的平面波，則有 在在 平面內(nèi)傳播的平面波的振動(dòng)，并不像波

5、一樣，只局 平面內(nèi)傳播的平面波的振動(dòng)，并不像波一樣，只局 限在傳播平面上，在垂直于傳播平面的限在傳播平面上，在垂直于傳播平面的 方向上也存在波分量。 方向上也存在波分量。 uS=uSV+uSH uS在X2軸的投影分量為 uSHuSHe2 uS在X1 X3坐標(biāo)基平面(入射面)上的投影分量為 uSVuSV1e1 + uSV2e3 入射面 界面 波陣面 X1 X2 X3 SV SH 垂直于傳播平面的垂直于傳播平面的 方向上的 方向上的 波分量記為波分量記為 波，傳播平面上波，傳播平面上 的波分量記為波。的波分量記為波。 地震學(xué)中將垂直于傳播平面的地震學(xué)中將垂直于傳播平面的 方向上的波分量記為方向上的

6、波分量記為 波，傳播平面波，傳播平面 上的波分量記為波。上的波分量記為波。 波的位移函數(shù)也滿足波動(dòng)方程波的位移函數(shù)也滿足波動(dòng)方程 則有則有 波的位移為波的位移為 盡管的振動(dòng)局限在波的傳播平面內(nèi)，但其振動(dòng)方向與傳播方盡管的振動(dòng)局限在波的傳播平面內(nèi)，但其振動(dòng)方向與傳播方 向是垂直的。向是垂直的。 波勢函數(shù)的解有波勢函數(shù)的解有 波的總位移為波的總位移為 彈彈性介質(zhì)中可以同時(shí)存在兩種振動(dòng)方向互相正交的不同類型的性介質(zhì)中可以同時(shí)存在兩種振動(dòng)方向互相正交的不同類型的 波波波和波，它們在介質(zhì)中是以不同速度獨(dú)立傳播的，互不干波和波，它們在介質(zhì)中是以不同速度獨(dú)立傳播的，互不干涉涉 波波分解成振動(dòng)方向相互正交的兩

7、個(gè)分量：波和分解成振動(dòng)方向相互正交的兩個(gè)分量：波和 波波； 波的振動(dòng)方向與波和波的振動(dòng)方向都是垂直的，波將波的振動(dòng)方向與波和波的振動(dòng)方向都是垂直的，波將 獨(dú)立傳播，不會(huì)與波或波間發(fā)生波型相互轉(zhuǎn)換或能量交換。而獨(dú)立傳播，不會(huì)與波或波間發(fā)生波型相互轉(zhuǎn)換或能量交換。而 波與波的振動(dòng)方向由于都在傳播平面內(nèi)，當(dāng)波傳播至垂直于傳播平波與波的振動(dòng)方向由于都在傳播平面內(nèi)，當(dāng)波傳播至垂直于傳播平 面的介質(zhì)速度間斷面時(shí)，波與波間可能會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)換和能量交面的介質(zhì)速度間斷面時(shí)，波與波間可能會(huì)發(fā)生相互轉(zhuǎn)換和能量交 換，即可能產(chǎn)生反射或折射的轉(zhuǎn)換波。換，即可能產(chǎn)生反射或折射的轉(zhuǎn)換波。 三分量地震儀記錄的地面振動(dòng)通常分別

8、記錄的波動(dòng)矢量是：垂直向振動(dòng)三分量地震儀記錄的地面振動(dòng)通常分別記錄的波動(dòng)矢量是：垂直向振動(dòng) （向上為正），北南向振動(dòng)（向北為正）和東西向振動(dòng)（向東為正）。通（向上為正），北南向振動(dòng)（向北為正）和東西向振動(dòng)（向東為正）。通 過對兩個(gè)水平振動(dòng)分量的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，不難將波動(dòng)矢量旋轉(zhuǎn)為：垂直向振動(dòng)過對兩個(gè)水平振動(dòng)分量的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)，不難將波動(dòng)矢量旋轉(zhuǎn)為：垂直向振動(dòng) ，徑向振動(dòng)（由源到記錄臺(tái)的連線的水平投影，分量）和切向振動(dòng)（與，徑向振動(dòng)（由源到記錄臺(tái)的連線的水平投影，分量）和切向振動(dòng)（與 徑向正交的水平分量，分量）。右圖顯示了一個(gè)地震記錄的實(shí)例，切向徑向正交的水平分量，分量）。右圖顯示了一個(gè)地震記錄的實(shí)例，切

9、向 分量上記錄的波顯然是波；垂直分量上，分量上記錄的波顯然是波；垂直分量上，P波最清晰，只有很少能波最清晰，只有很少能 量在切向上量在切向上 波、波及波偏振方向（左）和三分量遠(yuǎn)震原記錄及旋轉(zhuǎn)后的地震圖（右）波、波及波偏振方向（左）和三分量遠(yuǎn)震原記錄及旋轉(zhuǎn)后的地震圖（右） SKS、PS、SKKS從從P 波轉(zhuǎn)換為波轉(zhuǎn)換為SV波；波； Sdiff或或Sd表示表示S波波 沿核幔沿核幔邊界衍射，邊界衍射， 為為SH波。波。 3. 波動(dòng)方程的柱面波解波動(dòng)方程的柱面波解 軸對稱波場，柱坐標(biāo)系下，波動(dòng)方程化為：軸對稱波場，柱坐標(biāo)系下，波動(dòng)方程化為： rrrt 1 2 2 2 2 2 設(shè)設(shè)?R(r)T(t)，代

10、入求解，可以得到：，代入求解，可以得到： )()( )2( 0 ) 1 ( 0 krBHkrAHR CeT tik ) 4 -(kr- )2( 0 ) 4 -(kr )1( 0 )2( 0 )1( 0 2 )( 2 )( 1 Hankel ii e kr krHe kr krH kr HH 時(shí)，當(dāng) 函數(shù)是零階和 分別表示以速度分別表示以速度 向極軸匯聚和離開的柱面波。柱面波的振幅是向極軸匯聚和離開的柱面波。柱面波的振幅是 r-1/2，可以從物理上分析得到理解；，可以從物理上分析得到理解； 當(dāng)柱面波向外傳播時(shí)，波前面的面積與r成正比，因此每單位 面積上的能流按r-1減少。又因能流與振幅的平方成正比，所以振幅 應(yīng)與r-1/2成正比。 柱坐標(biāo)系下波場的一般形式(不滿足軸對稱時(shí))： 波動(dòng)方程為： zz eeu 22