力學(xué)與結(jié)構(gòu)_04桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度

1、 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.1 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.2 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 桿件的剪切和扭轉(zhuǎn)桿件的剪切和扭轉(zhuǎn) 梁的彎曲應(yīng)力及強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力及強(qiáng)度計算 桿件的組合變形桿件的組合變形 習(xí)習(xí) 題題 本章內(nèi)容本章內(nèi)容 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.3 教學(xué)要求教學(xué)要求：了解平面圖形的靜矩、形心、慣性矩、截面模量、慣：了解平面圖形的靜矩、形心、慣性矩、截面模量、慣 性半徑等幾何性質(zhì)的概念及計算方法；熟悉內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等基本性半徑等幾何性質(zhì)的概念及計算方法；熟悉內(nèi)力、應(yīng)力、應(yīng)變等基本 概念；了解

2、材料在軸向拉、壓時的力學(xué)性能；掌握虎克定律及其應(yīng)用；概念；了解材料在軸向拉、壓時的力學(xué)性能；掌握虎克定律及其應(yīng)用； 熟悉剪切虎克定律、剪應(yīng)力互等定理；掌握桿件軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、剪熟悉剪切虎克定律、剪應(yīng)力互等定理；掌握桿件軸向拉壓、扭轉(zhuǎn)、剪 切、彎曲等基本變形的概念及內(nèi)力、應(yīng)力、變形、強(qiáng)度、剛度的計算；切、彎曲等基本變形的概念及內(nèi)力、應(yīng)力、變形、強(qiáng)度、剛度的計算； 重點掌握軸向拉壓、圓軸扭轉(zhuǎn)、平面彎曲時梁的強(qiáng)度及剛度的計算。重點掌握軸向拉壓、圓軸扭轉(zhuǎn)、平面彎曲時梁的強(qiáng)度及剛度的計算。 了解桿件組合變形的概念、掌握簡單組合變形時桿件的強(qiáng)度計算。了解桿件組合變形的概念、掌握簡單組合變形時桿件的強(qiáng)度計算

3、。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.4 平面圖形的幾何性質(zhì)是影響桿件承載能力的重要因素，桿件的應(yīng)力和變形不僅與桿件的內(nèi)平面圖形的幾何性質(zhì)是影響桿件承載能力的重要因素，桿件的應(yīng)力和變形不僅與桿件的內(nèi) 力有關(guān)，而且還與桿件截面的橫截面面積、慣性矩、抗彎截面模量力有關(guān)，而且還與桿件截面的橫截面面積、慣性矩、抗彎截面模量W、極慣性矩和抗扭截面模、極慣性矩和抗扭截面模 量等平面圖形的幾何性質(zhì)密切相關(guān)。平面圖形的幾何性質(zhì)純粹是一個幾何問題，但它是計算桿量等平面圖形的幾何性質(zhì)密切相關(guān)。平面圖形的幾何性質(zhì)純粹是一個幾何問題，但它是計算桿 件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的必不可少的幾何參數(shù)。件強(qiáng)度、剛度、穩(wěn)定性的必不

4、可少的幾何參數(shù)。 一、一、 靜矩和形心靜矩和形心 1. 靜矩靜矩 如圖如圖4.1所示，一任意形狀的平面圖形，面積為所示，一任意形狀的平面圖形，面積為A，在平面圖形所在平面內(nèi)內(nèi)任意選取一個，在平面圖形所在平面內(nèi)內(nèi)任意選取一個 平面坐標(biāo)系平面坐標(biāo)系zoy，在坐標(biāo)，在坐標(biāo)(z,y)處取微面積處取微面積dA，則微面積，則微面積dA與坐標(biāo)與坐標(biāo)y(或坐標(biāo)或坐標(biāo)z)的乘積稱為微面積的乘積稱為微面積 dA對對z軸軸(或?qū)驅(qū)軸軸)的靜矩，記作的靜矩，記作dSz(或或dSy)。即。即 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) dd z Sy Add y Sz A 平面圖形上所有微面積對平面圖形上所有微面積對z軸軸(或?qū)?/p>

5、或?qū)軸軸)的靜矩之和，稱為平面圖形對的靜矩之和，稱為平面圖形對z軸軸(或?qū)驅(qū)軸軸)的靜矩，的靜矩， 用用Sz(或或Sy)表示，即表示，即 dd zz AA SSy A (4-1a) dd yy AA SSz A dd yy AA SSz A dd yy AA SSz A dd yy AA SSz A (4-1b) 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.5 從靜矩的定義可以看出，靜矩是對特定的坐標(biāo)軸而言的。選擇不同的坐標(biāo)軸，靜矩也不同。從靜矩的定義可以看出，靜矩是對特定的坐標(biāo)軸而言的。選擇不同的坐標(biāo)軸，靜矩也不同。 靜矩的數(shù)值可能為正，可能為負(fù)，也可能等于零。靜矩常用的單位是靜矩的數(shù)值可能為

6、正，可能為負(fù)，也可能等于零。靜矩常用的單位是m3或或mm3。 若若 則則 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 2. 形心形心 現(xiàn)設(shè)平面圖形的形心現(xiàn)設(shè)平面圖形的形心C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(Zc，Yc)。 均質(zhì)等厚薄板的形心在板平面均質(zhì)等厚薄板的形心在板平面zoy中的坐標(biāo)為中的坐標(biāo)為 d A c y A y A (4-2a) d A c z A z A (4-2b) 0, c y d0 Ay A 則則 0, c z d0 Az A 由上述可知：平面圖形對通過其形心的軸的靜矩恒為零；由上述可知：平面圖形對通過其形心的軸的靜矩恒為零； 反之，若平面圖形對某軸的靜矩為零，則此軸必過形心。反之，若平面圖形對某軸的靜

7、矩為零，則此軸必過形心。 若平面圖形有一個對稱軸，則形心在此對稱軸上；若平若平面圖形有一個對稱軸，則形心在此對稱軸上；若平 面圖形有兩個或以上的對稱軸，則形心在對稱軸的交點上。面圖形有兩個或以上的對稱軸，則形心在對稱軸的交點上。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.6 【例【例4.1】 矩形截面尺寸如圖矩形截面尺寸如圖4.2所示，以矩形的形心為原點建立坐標(biāo)系所示，以矩形的形心為原點建立坐標(biāo)系zoy，z1通過矩形的底通過矩形的底 邊。試求該矩形對邊。試求該矩形對z軸的靜矩和對軸的靜矩和對z1軸的靜矩。軸的靜矩。 圖圖4.2 矩形截面矩形截面 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 解解 : (1) 計算矩

8、形截面對計算矩形截面對z軸的靜矩。由于軸的靜矩。由于z軸是矩形截面的對稱軸是矩形截面的對稱 軸，通過截面形心，所以矩形對軸，通過截面形心，所以矩形對z軸的靜矩等于零，即軸的靜矩等于零，即 。 (2) 計算矩形截面對計算矩形截面對Z1軸的靜矩。軸的靜矩。 0 z S 2 1 22 zc hbh Sy Abh 【例【例4.2】 試確定如圖試確定如圖4.3所示的組合截面的形心位置，長度單所示的組合截面的形心位置，長度單 位為位為cm。 圖圖4.3 組合截面組合截面 解解: 取坐標(biāo)取坐標(biāo)zoy，因為，因為y為截面的對稱軸，所以形心必在為截面的對稱軸，所以形心必在y軸上，軸上， 即。故只需確定即。故只需

9、確定yc。 該截面可視為由矩形該截面可視為由矩形和矩形和矩形組合而成。組合而成。 矩形矩形的面積的面積 ，形心縱坐標(biāo)，形心縱坐標(biāo) 。 矩形矩形的面積的面積 ，形心縱坐標(biāo)，形心縱坐標(biāo) 。 0 c z 2 1 8 1.512cmA 1 18/25cm c y 2 2 1 1010cmA 2 0.5cm c y 2 0.5cm c y 1 125100.5 2.95cm 1012 n ici i c A y y A 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.7 一、慣性矩、慣性積和慣性半徑一、慣性矩、慣性積和慣性半徑 1. 慣性矩慣性矩 圖圖4.4 慣性矩慣性矩 如圖如圖4.4所示，在圖形所在平面內(nèi)任意取

10、一個平面坐標(biāo)系所示，在圖形所在平面內(nèi)任意取一個平面坐標(biāo)系zoy。 微面積微面積dA與坐標(biāo)與坐標(biāo)y(或坐標(biāo)或坐標(biāo)z)平方的乘積平方的乘積y2dA或或(Z2dA)稱為微面稱為微面 積積dA對對z軸軸(或?qū)驅(qū)軸軸)的慣性矩。整個平面圖形上所有微面積對的慣性矩。整個平面圖形上所有微面積對 z軸軸(或?qū)驅(qū)軸軸)的慣性矩之和，稱為平面圖形對的慣性矩之和，稱為平面圖形對z軸軸(或?qū)驅(qū)軸軸)的的 慣性矩，用慣性矩，用Iz(或或Iy)表示，即表示，即 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 2 1 d n z i IyA 2 1 d n y i IzA 用積分精確表示為用積分精確表示為 2d z A IyA

11、2d z A IyA (4-3a) 2d y A IzA (4-3b) 微面積微面積dA與坐標(biāo)原點與坐標(biāo)原點O的距離的距離的平方的乘積的平方的乘積2 2dAdA稱為微面積稱為微面積dA對坐標(biāo)原點對坐標(biāo)原點O的的 極慣性矩，整個圖形對坐標(biāo)原點極慣性矩，整個圖形對坐標(biāo)原點O的極慣性矩用積分表達(dá)為的極慣性矩用積分表達(dá)為 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.8 所以所以 由于存在幾何關(guān)系：由于存在幾何關(guān)系： 即截面對任意兩個互相垂直坐標(biāo)軸的慣性矩之和等于截面對兩軸交點的極慣性矩。即截面對任意兩個互相垂直坐標(biāo)軸的慣性矩之和等于截面對兩軸交點的極慣性矩。 由慣性矩的定義可知，慣性矩是對坐標(biāo)軸而言的。同一圖

12、形對不同坐標(biāo)軸的慣性矩也由慣性矩的定義可知，慣性矩是對坐標(biāo)軸而言的。同一圖形對不同坐標(biāo)軸的慣性矩也 不同。極慣性矩是對點而言的，同一圖形對不同點的極慣性矩也不同。式不同。極慣性矩是對點而言的，同一圖形對不同點的極慣性矩也不同。式(4-5)中，中，z2和和y2恒恒 為正值，故慣性矩也恒為正值，慣性矩常用的單位是為正值，故慣性矩也恒為正值，慣性矩常用的單位是m4或或mm4。簡單圖形的慣性矩可以直。簡單圖形的慣性矩可以直 接由式接由式(4-5)計算。在建筑工程中，常用圖形的慣性矩可在有關(guān)計算手冊中查到，型鋼截面計算。在建筑工程中，常用圖形的慣性矩可在有關(guān)計算手冊中查到，型鋼截面 的慣性矩可在型鋼表中

13、查找。的慣性矩可在型鋼表中查找。 2. 慣性積慣性積 如圖如圖4.4所示，微面積所示，微面積dA與坐標(biāo)與坐標(biāo)y和坐標(biāo)和坐標(biāo)z的乘積的乘積zydA稱為微面積稱為微面積dA對對y和和z兩軸的慣性兩軸的慣性 積，記為積，記為zydA。整個圖形上所有的微面積對。整個圖形上所有的微面積對z和和y兩軸的慣性積之和稱為該圖形對兩軸的慣性積之和稱為該圖形對z和和y軸的軸的 慣性積，用表示慣性積，用表示Izy，即，即 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 2d A IA (4-4) 222 zy 222 ddd zy AAA IAzAyAII (4-5) d zy A Izy A (4-6) 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和

14、剛度 3.9 慣性積是平面圖形對兩個正交坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性積不慣性積是平面圖形對兩個正交坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性積不 同。由于同。由于x、y有正有負(fù)，因此慣性積也可能有正有負(fù)，也可能為零。慣性積的常用單位是有正有負(fù)，因此慣性積也可能有正有負(fù)，也可能為零。慣性積的常用單位是m4或或 mm4。 如圖如圖4.4所示，微面積所示，微面積dA與坐標(biāo)與坐標(biāo)y和坐標(biāo)和坐標(biāo)z的乘積的乘積yzdA稱為微面積稱為微面積dA對對z和和y兩軸的慣性積，兩軸的慣性積， 記為記為yzdA。整個圖形上所有的微面積對。整個圖形上所有的微面積對z和和y兩軸的慣性積之和稱為該

15、圖形對兩軸的慣性積之和稱為該圖形對z和和y軸的慣性積，軸的慣性積， 用用Izy表示，即表示，即 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) d zy A Izy A (4-6) 慣性積是平面圖形對兩個正交坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性慣性積是平面圖形對兩個正交坐標(biāo)軸而言的，同一圖形對不同的正交坐標(biāo)軸，其慣性 積不同。由于積不同。由于x、y有正有負(fù)，因此慣性積也可能有正有負(fù)，也可能為零。慣性積的常用單有正有負(fù)，因此慣性積也可能有正有負(fù)，也可能為零。慣性積的常用單 位是位是m4或或mm4。 如圖如圖4.5所示，所示，y軸是圖形的對稱軸，在軸是圖形的對稱軸，在y軸兩側(cè)各取一相同的微面積軸兩側(cè)各取

16、一相同的微面積dA，顯然，兩者的，顯然，兩者的 y坐標(biāo)相等，而坐標(biāo)相等，而z坐標(biāo)互為相反數(shù)。所以對稱軸兩側(cè)的兩個微面積的慣性積也互為相反數(shù)，它坐標(biāo)互為相反數(shù)。所以對稱軸兩側(cè)的兩個微面積的慣性積也互為相反數(shù)，它 們之和為零。對于對稱圖形來說，它們的慣性積必然等于零，即們之和為零。對于對稱圖形來說，它們的慣性積必然等于零，即 d0 zy A Izy A 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.10 如果如果z軸是圖形的對稱軸，同理可得，軸是圖形的對稱軸，同理可得， 3. 慣性半徑慣性半徑 在工程中因為某些計算的特殊需要，經(jīng)常將圖形的慣在工程中因為某些計算的特殊需要，經(jīng)常將圖形的慣 性矩表示為圖形面積性

17、矩表示為圖形面積A與某一長度平方的乘積，即與某一長度平方的乘積，即 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 0 zy I 2 2 2 zz yy Ii A Ii A Ii A (4-7) 或?qū)懗苫驅(qū)懗?z z y y I i A I i A I i A (4-8) 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.11 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 式中，式中，iz、iy、i分別稱為平面圖形對分別稱為平面圖形對z軸、軸、y軸和極點的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑，單軸和極點的慣性半徑，也叫回轉(zhuǎn)半徑，單 位為位為m或或mm。在建筑力學(xué)中，分析組合截面壓桿的穩(wěn)定性時，常用慣性半徑來表示組合。在建筑力學(xué)中，分析組合截面壓桿的穩(wěn)定性

18、時，常用慣性半徑來表示組合 圖形截面的幾何特征。圖形截面的幾何特征。 規(guī)則圖形的慣性半徑可用公式直接計算，或查相關(guān)的圖表，常用組合截面規(guī)則圖形的慣性半徑可用公式直接計算，或查相關(guān)的圖表，常用組合截面(如如T形、形、L 形截面形截面)的慣性半徑可查相關(guān)計算手冊，也可直接由式的慣性半徑可查相關(guān)計算手冊，也可直接由式(4-8)計算；型鋼的慣性半徑可查型計算；型鋼的慣性半徑可查型 鋼表。鋼表。 4. 抗彎截面模量抗彎截面模量W 在計算抗彎構(gòu)件的應(yīng)力時，經(jīng)常用到抗彎截面模量的概念，抗彎截面模量用表示，用在計算抗彎構(gòu)件的應(yīng)力時，經(jīng)常用到抗彎截面模量的概念，抗彎截面模量用表示，用 下面公式計算：下面公式計算

19、： max I W y (4-9) 式式(4-9)中是截面關(guān)于形心軸的慣性矩，中是截面關(guān)于形心軸的慣性矩，ymax是截面上垂直并距離形心軸最遠(yuǎn)的點是截面上垂直并距離形心軸最遠(yuǎn)的點 到形心軸的距離。對于低碳鋼、鋁合金等塑性材料抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度一樣大，抗彎到形心軸的距離。對于低碳鋼、鋁合金等塑性材料抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度一樣大，抗彎 截面模量截面模量w只有一個值，而對于鑄鐵等脆性材料抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度不一樣大，抗彎截只有一個值，而對于鑄鐵等脆性材料抗拉強(qiáng)度和抗壓強(qiáng)度不一樣大，抗彎截 面模量面模量w有兩個值，就是式有兩個值，就是式(4-9)中的中的ymax分別取形心軸兩側(cè)距形心軸最遠(yuǎn)的點到形心軸分別取

20、形心軸兩側(cè)距形心軸最遠(yuǎn)的點到形心軸 的距離。的距離。 【例【例4.3】 矩形截面尺寸如圖矩形截面尺寸如圖4.6所示。試計算矩形截面對形心軸所示。試計算矩形截面對形心軸z、y的慣性矩、的慣性矩、 慣性半徑、慣性積和抗彎截面模量。慣性半徑、慣性積和抗彎截面模量。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.12 圖圖4.6 矩形截面矩形截面 解解: (1) 計算矩形截面對計算矩形截面對z軸和軸和y軸的慣性矩。取平行于軸的慣性矩。取平行于z軸的微面積軸的微面積dA， dA到到z軸的距離為軸的距離為y，則，則 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) ddAb y 3 22 2 2 dd 12 h hz A bh IyA

21、y b y 同理可得，矩形截面對同理可得，矩形截面對y軸的慣性矩：軸的慣性矩： 3 22 2 2 dd 12 b by A b h IzAz b x (2) 計算矩形截面對計算矩形截面對z軸和軸和y軸的慣性半徑：軸的慣性半徑： 3 /12 122 3 z z Ibhhh i Abh 3 /12 122 3 y y I b hbb i Abh 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.13 (3) 計算矩形截面對計算矩形截面對z軸和軸和y軸的慣性積。因為軸的慣性積。因為z軸和軸和y軸均是矩形的對稱軸，所以：軸均是矩形的對稱軸，所以： (4) 抗彎截面模量：抗彎截面模量： 【例【例4.4】 直徑為直徑為

22、D的圓形截面，如圖的圓形截面，如圖4.7所示。所示。(1) 試計算截面對通過圓心的軸的慣性矩和試計算截面對通過圓心的軸的慣性矩和 慣性半徑；慣性半徑；(2) 計算抗彎截面模量。計算抗彎截面模量。 解解: (1) 以圓心為原點，建立平面坐標(biāo)系以圓心為原點，建立平面坐標(biāo)系yOz。 (2) 計算圓截面對原點計算圓截面對原點O的極慣性矩，圓的直徑為的極慣性矩，圓的直徑為D，取圓的半徑，取圓的半徑 ，為截面上為截面上 任一點到原點的距離，則截面對原點任一點到原點的距離，則截面對原點O的極慣性矩為：的極慣性矩為： d0 zy A Izy A 32 max 12 26 Ibhbh W yh 截面的幾何性質(zhì)截

23、面的幾何性質(zhì) /2RD 2d A IA 微面積微面積(圖中陰影部分圖中陰影部分)為：為： d2 dA 44 22 0 d2 d 232 R A RD IA 由于由于 ，圓截面對任意通過圓心的軸對稱，所以，圓截面對任意通過圓心的軸對稱，所以 zy III zy II 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.14 可得：可得： (3) 計算慣性半徑計算慣性半徑 (4) 計算抗彎截面模量：計算抗彎截面模量： 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 4 /2 64 zy D III 圖圖4.7 圓形截面圓形截面 42 64442 z zy IDRDD ii A 42 64442 z zy IDRDD ii A 43

24、 max 64 232 IDD W yD 5. 慣性矩的平行移軸公式慣性矩的平行移軸公式 前面我們介紹的慣性矩和慣性積的計算方法都是針對平面圖形的形心軸的，實際上，前面我們介紹的慣性矩和慣性積的計算方法都是針對平面圖形的形心軸的，實際上， 慣性矩和慣性積可以針對平面內(nèi)任意軸。慣性矩和慣性積可以針對平面內(nèi)任意軸。 圖圖4.8 慣性矩的平行移軸慣性矩的平行移軸 如圖如圖4.8所示所示C點是截面的形心。點是截面的形心。zc軸和軸和yc軸通過截面形軸通過截面形 心。心。z軸和軸和y軸是分別和軸是分別和zc軸和軸和yc軸平行的坐標(biāo)軸且軸平行的坐標(biāo)軸且y軸與軸與yc 軸相距為軸相距為b，z軸與軸與zc軸相

25、距為軸相距為a。若圖形對通過形心的坐標(biāo)。若圖形對通過形心的坐標(biāo) 軸的慣性矩和慣性積分別為軸的慣性矩和慣性積分別為Izc、Iyc及及Izyc，下面計算圖形對，下面計算圖形對 z軸和軸和y軸的慣性矩。軸的慣性矩。 微面積微面積dA在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有如下關(guān)系：在兩個坐標(biāo)系中的坐標(biāo)有如下關(guān)系： 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.15 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) c zzb c yya 根據(jù)慣性矩定義，圖形對根據(jù)慣性矩定義，圖形對z軸的慣性矩為：軸的慣性矩為： 2222 d() dd2dd zccccc AAAAA IyAyaAyAayAaA 式中：式中： 2d czc A yAI d0 cz

26、A yAS (截面面積對自身形心軸的靜矩為零截面面積對自身形心軸的靜矩為零) 于是得到于是得到 2 zzc IIa A(4-10a) 同理可得：同理可得： 2 yyc IIb A (4-10b) 式式(4-10a)、式、式(4-10b)分別為慣性矩的平行移軸公式。式中分別為慣性矩的平行移軸公式。式中Izc和和Iyc是對平面圖形形心軸是對平面圖形形心軸 的慣性矩。式的慣性矩。式(4-10a)、式、式(4-10b)分別表明：圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對與該軸平分別表明：圖形對任意軸的慣性矩，等于圖形對與該軸平 行的形心軸的慣性矩加上圖形面積與兩平行軸距離平方的乘積。由于行的形心軸的慣性矩加上圖

27、形面積與兩平行軸距離平方的乘積。由于a2 (或或b2)恒為正值，恒為正值， 故在所有平行軸中，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。故在所有平行軸中，平面圖形對形心軸的慣性矩最小。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.16 【例【例4.5】 用平移軸公式計算圖用平移軸公式計算圖4.2中矩形截面對底邊的慣性矩。中矩形截面對底邊的慣性矩。 解：解： (1) 計算截面對計算截面對z的慣性矩：的慣性矩： (2) 根據(jù)慣性矩的平移軸公式，得：根據(jù)慣性矩的平移軸公式，得： 截面的幾何性質(zhì)截面的幾何性質(zhì) 3 12 zc bh I 2 333 1 21243 zzc hbhbhbh IIA 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和

28、剛度 3.17 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 一、一、 軸向拉伸和壓縮的概念軸向拉伸和壓縮的概念 軸向拉伸變形和軸向壓縮變形是桿件的基本變形之一，在工程中經(jīng)常見到。如圖軸向拉伸變形和軸向壓縮變形是桿件的基本變形之一，在工程中經(jīng)常見到。如圖4.9(a) 所示三角形托架中的斜桿，在荷載作用下就發(fā)生軸向壓縮變形；還有桁架中的所有桿件所示三角形托架中的斜桿，在荷載作用下就發(fā)生軸向壓縮變形；還有桁架中的所有桿件(如如 圖圖4.9(b)所示所示)，發(fā)生的都是軸向變形，發(fā)生的都是軸向變形(拉伸或壓縮拉伸或壓縮)；屋架中的水平拉桿；屋架中的水平拉桿(圖圖4.9(c)AB線上各線上各 桿桿)，發(fā)生軸向拉伸變形；

29、建筑結(jié)構(gòu)中的柱子，發(fā)生軸向拉伸變形；建筑結(jié)構(gòu)中的柱子(如圖如圖4.9(d)所示所示)發(fā)生軸向壓縮變形等。這些桿發(fā)生軸向壓縮變形等。這些桿 件受力的共同特點是：作用在桿件上的外力的作用線與桿軸線重合，桿件的主要變形是軸件受力的共同特點是：作用在桿件上的外力的作用線與桿軸線重合，桿件的主要變形是軸 向伸長或縮短。這類構(gòu)件稱為拉向伸長或縮短。這類構(gòu)件稱為拉(壓壓)桿。相應(yīng)的變形分別稱為軸向拉伸變形和軸向壓縮變桿。相應(yīng)的變形分別稱為軸向拉伸變形和軸向壓縮變 形，如圖形，如圖4.10所示。所示。 圖圖4.9 軸向拉軸向拉(壓壓)桿桿 圖圖4.10 軸向拉伸軸向拉伸(壓縮壓縮)變變 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)

30、度和剛度 3.18 圖圖4.11 截面法截面法 二、二、 軸向受拉軸向受拉( (壓壓) )桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力 1. 內(nèi)力的概念內(nèi)力的概念 桿件的內(nèi)力是指桿件在外力作用下發(fā)生變形，引起內(nèi)部相鄰兩部分的相對位置發(fā)生變化，桿件的內(nèi)力是指桿件在外力作用下發(fā)生變形，引起內(nèi)部相鄰兩部分的相對位置發(fā)生變化， 從而產(chǎn)生附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。從而產(chǎn)生附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。 荷載作用荷載作用F，桿件內(nèi)力是由于外力而引起的，桿件所受的外力越大，內(nèi)力也就越大，同時，桿件內(nèi)力是由于外力而引起的，桿件所受的外力越大，內(nèi)力也就越大，同時， 變形也越大。內(nèi)力與桿件的強(qiáng)度、剛度有密切的關(guān)系。討論桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問題時，變形也越

31、大。內(nèi)力與桿件的強(qiáng)度、剛度有密切的關(guān)系。討論桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定問題時， 必須先求出桿件的內(nèi)力。必須先求出桿件的內(nèi)力。 2. 求桿件內(nèi)力的方法求桿件內(nèi)力的方法截面法截面法 為了確定外力作用下桿件所產(chǎn)生內(nèi)力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一個假想的為了確定外力作用下桿件所產(chǎn)生內(nèi)力的大小和方向，通常采用截面法。即先用一個假想的 平面將桿件平面將桿件“截開截開”，使桿件在被截開處的內(nèi)力顯示出來；然后取桿件的任一部分作為研究對，使桿件在被截開處的內(nèi)力顯示出來；然后取桿件的任一部分作為研究對 象，將另外部分對它的的作用以截面的內(nèi)力代替；利用平衡條件求出桿件在被截斷處的內(nèi)力，象，將另外部分對它的的作

32、用以截面的內(nèi)力代替；利用平衡條件求出桿件在被截斷處的內(nèi)力， 這種求內(nèi)力的方法稱為截面法。截面法是求桿件內(nèi)力的基本方法。這種求內(nèi)力的方法稱為截面法。截面法是求桿件內(nèi)力的基本方法。 如圖如圖4.11(a)所示，桿件受一對軸向拉力作用而產(chǎn)生軸向拉伸，計算桿上任一截面所示，桿件受一對軸向拉力作用而產(chǎn)生軸向拉伸，計算桿上任一截面C上的內(nèi)上的內(nèi) 力。力。 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.19 (1) 截開：用假想的截面，在要求內(nèi)力的位置處將桿件截開，把桿件分為兩部分。如圖截開：用假想的截面，在要求內(nèi)力的位置處將桿件截開，把桿件分為兩部分。如圖 4.11(b)、(c)所示，

33、在所示，在C-C處用假想面把桿截斷。處用假想面把桿截斷。 (2) 代替：取截開后的任一部分作為研究對象，畫受力圖?，F(xiàn)以左部分為研究對象，在截開代替：取截開后的任一部分作為研究對象，畫受力圖。現(xiàn)以左部分為研究對象，在截開 截面處用該截面上的內(nèi)力代替右部分對它的的作用，如圖截面處用該截面上的內(nèi)力代替右部分對它的的作用，如圖4.11(d)所示，用所示，用FN、FN來表示兩部分來表示兩部分 的相互作用力。的相互作用力。 (3) 平衡：由于整體桿件本身處于平衡狀態(tài)，因此被平衡：由于整體桿件本身處于平衡狀態(tài)，因此被“截開截開”后。任一部分都處于平衡狀態(tài)。后。任一部分都處于平衡狀態(tài)。 對如圖對如圖4.11(

34、d)所示的桿件，列方程所示的桿件，列方程 ，得，得 ，內(nèi)力方向如圖，內(nèi)力方向如圖4.11(d)圖圖4.11(e)所示。所示。 3. 軸向拉軸向拉(壓壓)桿的內(nèi)力桿的內(nèi)力軸力軸力 軸向拉壓桿的內(nèi)力是一個作用線與桿件軸線重合的內(nèi)力，習(xí)慣上稱為軸力，用符號軸向拉壓桿的內(nèi)力是一個作用線與桿件軸線重合的內(nèi)力，習(xí)慣上稱為軸力，用符號FN表表 示。通常規(guī)定，拉力示。通常規(guī)定，拉力(軸力軸力FN的作用方向背離該力作用的截面的作用方向背離該力作用的截面)為正，壓力為正，壓力(軸力軸力FN的作用方向指的作用方向指 向該力作用的截面向該力作用的截面)為負(fù)。軸力的常用單位是為負(fù)。軸力的常用單位是N(牛牛頓頓)或或kN

35、(千牛千牛)。 說明：說明：(1) 截面法計算軸力時通常先假設(shè)軸力為拉力，在列平衡方程時，把截面法計算軸力時通常先假設(shè)軸力為拉力，在列平衡方程時，把FN作為正值來看待，作為正值來看待， 這樣如果計算結(jié)果為正，表示假設(shè)與實際相符，軸力為拉力；如果計算結(jié)果為負(fù)，表示假設(shè)與這樣如果計算結(jié)果為正，表示假設(shè)與實際相符，軸力為拉力；如果計算結(jié)果為負(fù)，表示假設(shè)與 實際相反，軸力為壓力。實際相反，軸力為壓力。 (2) 列平衡方程時，軸力及外力在平衡方程中的正、負(fù)號由其投影的正負(fù)決定，與軸力本列平衡方程時，軸力及外力在平衡方程中的正、負(fù)號由其投影的正負(fù)決定，與軸力本 身正負(fù)無關(guān)。身正負(fù)無關(guān)。 (3) 計算軸力時

36、，可以取被截開處截面的任意一側(cè)研究，計算結(jié)果相同，但為了簡化計算計算軸力時，可以取被截開處截面的任意一側(cè)研究，計算結(jié)果相同，但為了簡化計算 過程，通常取桿件上外力較少的一側(cè)研究。過程，通常取桿件上外力較少的一側(cè)研究。 (4) 在計算桿件內(nèi)力時，在將桿件截開之前，不能用合力來代替力系的作用，也不能使用在計算桿件內(nèi)力時，在將桿件截開之前，不能用合力來代替力系的作用，也不能使用 力的可傳性原理，因為這樣會改變桿件內(nèi)部的內(nèi)力及變形。力的可傳性原理，因為這樣會改變桿件內(nèi)部的內(nèi)力及變形。 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 0 x F N FF 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.20 4. 軸力圖軸力圖 工程

37、中有些拉工程中有些拉(壓壓)桿件受多個軸向外力而平衡，隨著外力的變化，各段軸力也在變化。為桿件受多個軸向外力而平衡，隨著外力的變化，各段軸力也在變化。為 了形象地表示桿的軸力隨橫截面位置而變化的規(guī)律，通常以平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的了形象地表示桿的軸力隨橫截面位置而變化的規(guī)律，通常以平行于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面的 位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力，按適當(dāng)比例將軸力隨橫截面位置變化的情位置，以垂直于桿軸線的坐標(biāo)表示橫截面上的軸力，按適當(dāng)比例將軸力隨橫截面位置變化的情 況畫成圖形，這種表明軸力隨橫截面位置而變化規(guī)律的圖形稱為軸力圖。從軸力圖上可以很直況畫成圖形，這種表明軸力隨橫截面

38、位置而變化規(guī)律的圖形稱為軸力圖。從軸力圖上可以很直 觀地看出最大軸力所在位置及大小、正負(fù)。習(xí)慣上將正軸力觀地看出最大軸力所在位置及大小、正負(fù)。習(xí)慣上將正軸力(拉力拉力)畫在畫在x軸上方，負(fù)軸力軸上方，負(fù)軸力(壓力壓力) 畫在畫在x軸下方。軸下方。 【例【例4.6】 一個桿件受力經(jīng)簡化后，其計算簡圖如圖一個桿件受力經(jīng)簡化后，其計算簡圖如圖4.12(a)所示。試求桿件的軸力并畫出軸所示。試求桿件的軸力并畫出軸 力圖。力圖。 解：解： (1) 在第一段內(nèi)任意取一截面將桿斷開，取左段為隔離體，假設(shè)軸力為拉力，在截開處在第一段內(nèi)任意取一截面將桿斷開，取左段為隔離體，假設(shè)軸力為拉力，在截開處 施加方向向右

39、的力施加方向向右的力FNI，如圖，如圖4.12(b)所示。由平衡條件：所示。由平衡條件： ， ，得，得 ，故，故 假設(shè)軸力為拉力是正確的。假設(shè)軸力為拉力是正確的。 (2) 在第二段范圍內(nèi)任意取一截面將桿斷開，取左段為隔離體，同樣假設(shè)軸力為拉力，在在第二段范圍內(nèi)任意取一截面將桿斷開，取左段為隔離體，同樣假設(shè)軸力為拉力，在 截開處施加方向向右的力截開處施加方向向右的力FN2，如圖，如圖4.12(c)所示由平衡條件：所示由平衡條件： ， ，得，得 ， 如圖如圖4.12(d)所示。所示。 (3) 用同樣的方法可以得到用同樣的方法可以得到 ，如圖，如圖4.12(d)所示。所示。 (4) 桿件的全部軸力已

40、經(jīng)求出來了，可根據(jù)前述方法作桿件的軸力圖，如圖桿件的全部軸力已經(jīng)求出來了，可根據(jù)前述方法作桿件的軸力圖，如圖4.12(e)所示所示 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 0 x F N1 50F N1 5kNF 0 x F N2 530F N2 8kNF N3 13kNF 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.21 1. 應(yīng)力的概念應(yīng)力的概念 在確定了桿件的內(nèi)力后，還不能解決工程中的強(qiáng)度問在確定了桿件的內(nèi)力后，還不能解決工程中的強(qiáng)度問 題。例如兩根同種材料制成的但橫截面積不同的拉桿，承題。例如兩根同種材料制成的但橫截面積不同的拉桿，承 受同樣的拉力。顯然二者的軸力相同。但當(dāng)拉力逐漸增大受同樣的拉力。顯然

41、二者的軸力相同。但當(dāng)拉力逐漸增大 時，截面積小的桿必定首先被拉斷。這說明，桿的強(qiáng)度不時，截面積小的桿必定首先被拉斷。這說明，桿的強(qiáng)度不 僅與桿件上的內(nèi)力有關(guān)，還與橫截面的面積有關(guān)。要解決僅與桿件上的內(nèi)力有關(guān)，還與橫截面的面積有關(guān)。要解決 強(qiáng)度問題，僅研究內(nèi)力的合力是不夠的，還要研究分布內(nèi)強(qiáng)度問題，僅研究內(nèi)力的合力是不夠的，還要研究分布內(nèi) 力在橫截面上各點的集度。截面上的分布內(nèi)力在某一點的力在橫截面上各點的集度。截面上的分布內(nèi)力在某一點的 集度，稱為截面上這一點的應(yīng)力。集度，稱為截面上這一點的應(yīng)力。 如圖如圖4.13所示，在受力桿件橫截面上任一點所示，在受力桿件橫截面上任一點C的周圍取的周圍取

42、一微面積一微面積A (圖中陰影圖中陰影)，設(shè)作用在微面積，設(shè)作用在微面積A上的分布內(nèi)力上的分布內(nèi)力 的合力為的合力為F，取，取F和和A的比值為的比值為A上的平均應(yīng)力。一般上的平均應(yīng)力。一般 來說，桿件橫截面上的應(yīng)力不是均勻分布的，因此，習(xí)慣來說，桿件橫截面上的應(yīng)力不是均勻分布的，因此，習(xí)慣 上將微面積上將微面積A無限縮小而趨向于零時平均應(yīng)力的極限值稱無限縮小而趨向于零時平均應(yīng)力的極限值稱 為為C點的內(nèi)力集度，即點的內(nèi)力集度，即C點的總應(yīng)力，用點的總應(yīng)力，用p表示：表示： 一、一、軸向拉壓桿的應(yīng)力軸向拉壓桿的應(yīng)力 圖圖4.12 桿件軸力圖桿件軸力圖 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 第4章 桿件的應(yīng)

43、力、強(qiáng)度和剛度 3.22 總應(yīng)力總應(yīng)力p是一個矢量，通常情況下，既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問是一個矢量，通常情況下，既不與截面垂直，也不與截面相切。為了研究問 題時方便，習(xí)慣上將它分解為與截面垂直的分量題時方便，習(xí)慣上將它分解為與截面垂直的分量和與截面相切的分量和與截面相切的分量，如圖，如圖4.13(b)所所 示。示。稱為正應(yīng)力，稱為正應(yīng)力，稱為切應(yīng)力。稱為切應(yīng)力。 應(yīng)力的常用單位為應(yīng)力的常用單位為Pa(帕帕)，MP(兆帕兆帕)，換算關(guān)系為，換算關(guān)系為 圖圖4.13 應(yīng)力應(yīng)力 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 d lim d nn FF p AA (4-11) 2 1Pa1N/m 2

44、 1MPa1N/mm 關(guān)于應(yīng)力的幾點說明。關(guān)于應(yīng)力的幾點說明。 (1) 應(yīng)力是針對某桿件的某一截面上的某點而言的，所以提及應(yīng)應(yīng)力是針對某桿件的某一截面上的某點而言的，所以提及應(yīng) 力時，必須指明桿件、截面和點的位置。力時，必須指明桿件、截面和點的位置。 (2) 應(yīng)力是矢量，不僅有大小，還有方向。對于正應(yīng)力，通常規(guī)應(yīng)力是矢量，不僅有大小，還有方向。對于正應(yīng)力，通常規(guī) 定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，對于切應(yīng)力定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)，對于切應(yīng)力，通常規(guī)定使研究對象內(nèi)，通常規(guī)定使研究對象內(nèi) 部順時針摶動為正，反之為負(fù)。部順時針摶動為正，反之為負(fù)。 (3) 內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系。內(nèi)力是對桿件的整個截面而言，是整

45、個內(nèi)力與應(yīng)力的關(guān)系。內(nèi)力是對桿件的整個截面而言，是整個 截面上各點處的應(yīng)力總和；應(yīng)力是對截面上一點而言的，是內(nèi)力在截截面上各點處的應(yīng)力總和；應(yīng)力是對截面上一點而言的，是內(nèi)力在截 面某一點的集度。面某一點的集度。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.23 2. 軸向拉壓桿上的應(yīng)力軸向拉壓桿上的應(yīng)力 軸向拉壓桿上的內(nèi)力只有軸力，截面上的應(yīng)力只能是與橫截面垂直的正應(yīng)力。通過實驗證軸向拉壓桿上的內(nèi)力只有軸力，截面上的應(yīng)力只能是與橫截面垂直的正應(yīng)力。通過實驗證 明正應(yīng)力在桿件橫截面上均勻分布，由此可導(dǎo)出軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力的計算公式。明正應(yīng)力在桿件橫截面上均勻分布，由此可導(dǎo)出軸向拉壓桿橫截面上正應(yīng)力

46、的計算公式。 若用若用A表示拉表示拉(壓壓)桿橫截面的面積，則拉桿橫截面的面積，則拉(壓壓)桿橫截面上的正應(yīng)力為桿橫截面上的正應(yīng)力為 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 N F A (4-12) 正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定與軸力正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定與軸力FN一致，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。一致，拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。 對于等截面直桿，最大正應(yīng)力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。對于等截面直桿，最大正應(yīng)力一定發(fā)生在軸力最大的截面上。 Nmax max F A 習(xí)慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力稱為工作應(yīng)力，并且通常把產(chǎn)生最大工作應(yīng)習(xí)慣上把桿件在荷載作用下產(chǎn)生的應(yīng)力稱為工作應(yīng)力，并且通常把產(chǎn)生最大工作應(yīng) 力的截面稱為危

47、險截面，產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的點稱為危險點。可見，對于產(chǎn)生軸向拉壓力的截面稱為危險截面，產(chǎn)生最大工作應(yīng)力的點稱為危險點?？梢姡瑢τ诋a(chǎn)生軸向拉壓 變形的等截面直桿，軸力最大的截面就是危險截面，該截面上任意一點都是危險點。變形的等截面直桿，軸力最大的截面就是危險截面，該截面上任意一點都是危險點。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.24 【例【例4.7】 某軸向受力柱如圖某軸向受力柱如圖4.14(a)所示，柱子頂部所受壓力為所示，柱子頂部所受壓力為Fp，柱子材料的重度為，柱子材料的重度為，橫截，橫截 面為矩形，尺寸為面為矩形，尺寸為 ，柱高為，柱高為H，求柱子的最大工作應(yīng)力。，求柱子的最大工作應(yīng)力。

48、由由 可得可得 解解: (1) 求軸力。該柱需要考慮自重，在距柱頂處用求軸力。該柱需要考慮自重，在距柱頂處用m-m截面把柱子截面把柱子 截開，截開，m-m截面處的軸力用截面處的軸力用FN(x)表示，取表示，取m-m截面以上部分研究，畫截面以上部分研究，畫 出受力圖，列平衡方程。出受力圖，列平衡方程。 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 ab 圖圖4.14 軸向受力柱軸向受力柱 0 x F NP ( )0FxFabx NP ( )FxFabx 由此可見，柱子各橫截面上的軸力隨由此可見，柱子各橫截面上的軸力隨x位置變化而變化，軸力隨位置變化而變化，軸力隨x 位置變化的函數(shù)稱為軸力方程位置變化的函數(shù)稱為軸

49、力方程 當(dāng)當(dāng)x=0時，時， NP ( )FxF 當(dāng)當(dāng)x=H時，時， N P ( )FxFabH (2) 求應(yīng)力。該柱為等截面柱，柱子底部截面的內(nèi)力和應(yīng)力最大，是危險截面。其應(yīng)求應(yīng)力。該柱為等截面柱，柱子底部截面的內(nèi)力和應(yīng)力最大，是危險截面。其應(yīng) 力值為：力值為： NBPP max FFabHF H Aabab 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.25 四、四、 軸向拉壓桿的變形及虎克定律軸向拉壓桿的變形及虎克定律 實驗結(jié)果表明，直桿在軸向荷載作用下既產(chǎn)生沿軸線方向的縱向變形。也產(chǎn)生垂直于軸實驗結(jié)果表明，直桿在軸向荷載作用下既產(chǎn)生沿軸線方向的縱向變形。也產(chǎn)生垂直于軸 線方向的橫向變形。桿的變形量

50、與所受外力有關(guān)，也與桿件尺寸與選用材料有關(guān)。線方向的橫向變形。桿的變形量與所受外力有關(guān)，也與桿件尺寸與選用材料有關(guān)。 1. 桿的縱桿的縱(橫橫)向變形向變形 如圖如圖4.15所示正方形截面桿，受軸向力作用，產(chǎn)生軸向拉伸和壓縮變形，設(shè)桿變形前的所示正方形截面桿，受軸向力作用，產(chǎn)生軸向拉伸和壓縮變形，設(shè)桿變形前的 長度為，其橫截面的邊長為長度為，其橫截面的邊長為a，變形后長度為，變形后長度為l1，橫截面邊長為，橫截面邊長為a1。則桿的縱向變形量。則桿的縱向變形量 為為 ，桿在軸向拉伸時為正值，壓縮時為負(fù)值。桿的橫向變形量為，桿在軸向拉伸時為正值，壓縮時為負(fù)值。桿的橫向變形量為 ，桿在，桿在 軸向拉

51、伸時為負(fù)值，壓縮時為正值。軸向拉伸時為負(fù)值，壓縮時為正值。 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 1 lll 1 aaa 圖圖4.15 桿的縱、橫向變形桿的縱、橫向變形 桿件的縱向變形量和橫向變形量只能說明縱向和橫向總桿件的縱向變形量和橫向變形量只能說明縱向和橫向總 的變形量，不能說明變形程度。為了消除桿件尺寸對桿件變的變形量，不能說明變形程度。為了消除桿件尺寸對桿件變 形量的影響，準(zhǔn)確說明桿件的變形程度，將桿件的縱向變形形量的影響，準(zhǔn)確說明桿件的變形程度，將桿件的縱向變形 量量l除以桿的原始長度除以桿的原始長度l，得到桿件單位長度的縱向變形，得到桿件單位長度的縱向變形 l l (4-13a) 第4章

52、 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.26 稱為縱向線應(yīng)變，簡稱線應(yīng)變。稱為縱向線應(yīng)變，簡稱線應(yīng)變。的正負(fù)號與的正負(fù)號與l相同，桿在軸向拉伸時為正值，壓縮時為負(fù)相同，桿在軸向拉伸時為正值，壓縮時為負(fù) 值。值。是一個無量綱的量。同理，將桿的橫向變形量是一個無量綱的量。同理，將桿的橫向變形量a除以桿的截面原邊長除以桿的截面原邊長a，得到桿件單位長，得到桿件單位長 度的橫向變形度的橫向變形 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 a a (4-13b) 稱為橫向線應(yīng)變。稱為橫向線應(yīng)變。的正負(fù)號與的正負(fù)號與a相同，桿在軸向拉伸時為負(fù)值，壓縮時為正值。相同，桿在軸向拉伸時為負(fù)值，壓縮時為正值。也也 是一個無量綱的量。是一

53、個無量綱的量。 2. 泊松比泊松比 從上述分析可知，桿件在軸向拉壓變形時，縱向線應(yīng)變從上述分析可知，桿件在軸向拉壓變形時，縱向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變與橫向線應(yīng)變總是正負(fù)相反的。總是正負(fù)相反的。 通過試驗表明：當(dāng)軸向拉壓桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時，對同一材料，橫向線應(yīng)通過試驗表明：當(dāng)軸向拉壓桿的應(yīng)力不超過材料的比例極限時，對同一材料，橫向線應(yīng) 變變與縱向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變的比值的絕對值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)，的比值的絕對值為一常數(shù)，通常將這一常數(shù)稱為泊松比或橫向變形系數(shù)， 用用表示。表示。 (4-14) 泊松比是一個無量綱的量，它的值與材料有關(guān)，可由實驗測出。建筑工程中

54、常用材料的泊松比是一個無量綱的量，它的值與材料有關(guān)，可由實驗測出。建筑工程中常用材料的 泊松比見表泊松比見表4-1。 泊松比建立了某種材料的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之間的關(guān)系。在工程中，一般先根據(jù)泊松比建立了某種材料的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之間的關(guān)系。在工程中，一般先根據(jù) 受力情況計算縱向線應(yīng)變，然后通過泊松比確定橫向變形。受力情況計算縱向線應(yīng)變，然后通過泊松比確定橫向變形。 由于桿件的橫向線應(yīng)變由于桿件的橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變總是符號相反，所以總是符號相反，所以 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.27 3. 虎克定律虎克定律 計算桿件變形時，關(guān)鍵是計算桿件的縱向變形量。試驗表明，

55、工程中使用的材料都有一個計算桿件變形時，關(guān)鍵是計算桿件的縱向變形量。試驗表明，工程中使用的材料都有一個 彈性范圍，在彈性范圍內(nèi)桿的變形量與桿所受的軸力成正比，與桿的橫截面積成反比，用公式彈性范圍，在彈性范圍內(nèi)桿的變形量與桿所受的軸力成正比，與桿的橫截面積成反比，用公式 表示為：表示為： 引進(jìn)比例常數(shù)引進(jìn)比例常數(shù)E后，得后，得 這一公式是英國科學(xué)家虎克提出來的，故稱為虎克定律。對于長度相同，所受軸力相等的這一公式是英國科學(xué)家虎克提出來的，故稱為虎克定律。對于長度相同，所受軸力相等的 構(gòu)件，分母構(gòu)件，分母EA越大，則桿的縱向變形越??；分母越大，則桿的縱向變形越??；分母EA越小，則桿的縱向變形越大。

56、由此可見，越小，則桿的縱向變形越大。由此可見， EA反映了拉壓桿抵抗變形的能力，所以稱為拉壓桿的抗拉壓剛度。反映了拉壓桿抵抗變形的能力，所以稱為拉壓桿的抗拉壓剛度。 將式將式(4-16)兩邊除以兩邊除以l，并把，并把 和和 代入，于是得代入，于是得 (4-15) (4-16) 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 N F l l A N F l l EA l l N F A E (4-17) 式式(4.17)是虎克定律的另一種表達(dá)方式，它表明在線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正是虎克定律的另一種表達(dá)方式，它表明在線彈性范圍內(nèi)，正應(yīng)力與線應(yīng)變成正 比，比例系數(shù)即為材料的彈性模量比，比例系數(shù)即為材料的彈性模

57、量E。工程中常用的材料的彈性模量。工程中常用的材料的彈性模量E見表見表4-1。 彈性模量彈性模量En5應(yīng)力應(yīng)力有相同的量綱，單位為有相同的量綱，單位為Pa、MPa和和GPa。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.28 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 表表4-1 常用工程材料的彈性模量和泊松比常用工程材料的彈性模量和泊松比 【例【例4.8】 試計算如圖試計算如圖4.16所示柱子頂點的位移。已知柱子材料的彈性模量為所示柱子頂點的位移。已知柱子材料的彈性模量為E，重，重 度為度為。 圖圖4.16 求柱子頂點位移求柱子頂點位移 解解 ： 例例4.7已計算出柱子任意高度已計算出柱子任意高度x處的軸力為：處

58、的軸力為： NP ( )FxFabx (0 xH) 則高度則高度x處的正應(yīng)力為處的正應(yīng)力為 P ( )/()xFabx (0 xH) 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.29 根據(jù)虎克定律，高度根據(jù)虎克定律，高度x處的應(yīng)變?yōu)樘幍膽?yīng)變?yōu)?圖圖4.17 桿的軸力圖桿的軸力圖 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 P ( )/()/xFEabx E P ( )/()/xFEabx E (0 xH) 則應(yīng)變在高度則應(yīng)變在高度H上積分，可得柱子頂點處的位移上積分，可得柱子頂點處的位移 2 P P 000 ( )d/()dd 2 HHH AY F HxH xxFEabxx EEabE 2 P P 000 ( )d

59、/()dd 2 HHH AY F HxH xxFEabxx EEabE (方向向下方向向下) 頂點位移由兩部分組成，頂點位移由兩部分組成， 部分是由頂點集中力部分是由頂點集中力FP引起的，引起的， 部分是由柱子自重引部分是由柱子自重引 起的。起的。 P F H Eab 2 2 H E 【例【例4.9】 如圖如圖4.17所示，桿受軸向力作用，所示，桿受軸向力作用， ， ，材料為鋼材，彈性模量，材料為鋼材，彈性模量 為為 ，桿件的截面面積，桿件的截面面積 ，求桿的總的縱向變形。，求桿的總的縱向變形。 P 20kNF 1ma 200GPaE 2 396mmF 解解: 桿的總的縱向變形就是沿著桿的長度

60、方向各段縱向變形之桿的總的縱向變形就是沿著桿的長度方向各段縱向變形之 和。和。 (1) 求軸力，并做出軸力圖，如圖求軸力，并做出軸力圖，如圖4.17(b)所示。該桿可分三所示。該桿可分三 段計算軸力。段計算軸力。 第4章 桿件的應(yīng)力、強(qiáng)度和剛度 3.30 AB段：段： FNAB=FP=20KN BC段：段： FNBC=0KN CD段：段： FNCD=-20KN (2) 求桿總的縱向變形。求桿總的縱向變形。 總的變形：總的變形： 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮 AB段：段： 33 NAB AB 3 20 101 10 0.25 200 10396 AB Fl lmm EA BC段：段： NBC B