高三數(shù)學一輪復習必備精品：空間夾角和距離

1、20092010學年度高三數(shù)學（人教版a版）第一輪復習資料第37講 空間夾角和距離一【課標要求】1能借助空間幾何體內(nèi)的位置關系求空間的夾角和距離；2能用向量方法解決線線、線面、面面的夾角的計算問題，體會向量方法在研究幾何問題中的作用。二【命題走向】空間的夾角和距離問題是立體幾何的核心內(nèi)容，高考對本講的考察主要有以下情況：（1）空間的夾角；（2）空間的距離；（3）空間向量在求夾角和距離中的應用預測2010年高考對本講內(nèi)容的考察將側(cè)重空間向量的應用求夾角、求距離。課本淡化了利用空間關系找角、求距離這方面內(nèi)容的講解，而是加大了向量在這方面內(nèi)容應用的講解，因此作為立體幾何的解答題，用向量方法處理有關夾

2、角和距離將是主要方法，在復習時應加大這方面的訓練力度題型上空間的夾角和距離主要以主觀題形式考察三【要點精講】1空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角 （1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用三角形來求角（2）直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。dbac具體步驟如下：找過斜線上一點與平面垂直的直線；連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平

3、面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計算。注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（3）確定點的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上；兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等

4、或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心；b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c. 如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心；（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法棱上一點雙垂線法：在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；面上一點三垂線法：自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連

5、線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點垂面法：自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角斜面面積和射影面積的關系公式：(為原斜面面積,為射影面積,為斜面與射影所成二面角的平面角)這個公式對于斜面為三角形,任意多邊形都成立.是求二面角的好方法.當作二面角的平面角有困難時,如果能找得斜面面積的射影面積,可直接應用公式,求出二面角的大小2空間的距離（1）點到直線的距離：點到直線的距離為點到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為，過作的垂線，垂足為連，則由三垂線定理可得線段即為點到直線的距離。在直角三角形中求出的長即可。點到

6、平面的距離：點到平面的距離為點到平面的垂線段的長常用求法作出點到平面的垂線后求出垂線段的長；轉(zhuǎn)移法，如果平面的斜線上兩點，到斜足的距離，的比為，則點，到平面的距離之比也為特別地，時，點，到平面的距離相等；體積法（2）異面直線間的距離：異面直線間的距離為間的公垂線段的長常有求法先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離根據(jù)異面直線間的距離公式求距離。（3）直線到平面的距離：只存在于直線和平面平行之間為直線上任意一點到平面間的距離。（4）平面與平面間的距離：

7、只存在于兩個平行平面之間為一個平面上任意一點到另一個平面的距離。以上所說的所有距離：點線距，點面距，線線距，線面距，面面距都是對應圖形上兩點間的最短距離。所以均可以用求函數(shù)的最小值法求各距離abef3空間向量的應用（1）用法向量求異面直線間的距離如右圖所示，a、b是兩異面直線，是a和b 的法向量，點ea，fb，則異面直線 a與b之間的距離是 ；abc（2）用法向量求點到平面的距離如右圖所示，已知ab是平面的 一條斜線，為平面的法向量，則 a到平面的距離為；（3）用法向量求直線到平面間的距離首先必須確定直線與平面平行，然后將直線到平面的距離問題轉(zhuǎn)化成直線上一點到平面的距離問題（4）用法向量求兩平

8、行平面間的距離首先必須確定兩個平面是否平行，這時可以在一個平面上任取一點，將兩平面間的距離問題轉(zhuǎn)化成點到平面的距離問題。（5）用法向量求二面角如圖，有兩個平面與，分別作這兩個平面的法向量與，則平面與所成的角跟法向量與所成的角相等或互補，所以首先必須判斷二面角是銳角還是鈍角。（6）法向量求直線與平面所成的角要求直線a與平面所成的角，先求這個平面的法向量與直線a的夾角的余弦，易知=或者。四【典例解析】題型1：異面直線所成的角例1（1）直三棱住a1b1c1abc，bca=，點d1、f1 分別是a1b1、a1c1的中點，bc=ca=cc1，則bd1與af1所成角的余弦值是（ ） （a ） （b） （c

9、） （d）解析：（1）連結(jié)d1f1，則d1f1，bc d1f1設點e為bc中點，d1f1be，bd1ef1，ef1a或其補角即為bd1與af1所成的角。由余弦定理可求得。故選a。（2）（2009廣東卷理）（本小題滿分14分）zyxe1g1如圖6，已知正方體的棱長為2，點是正方形的中心，點、分別是棱的中點設點分別是點，在平面內(nèi)的正投影（1）求以為頂點，以四邊形在平面內(nèi)的正投影為底面邊界的棱錐的體積；（2）證明：直線平面；（3）求異面直線所成角的正弦值.解：（1）依題作點、在平面內(nèi)的正投影、，則、分別為、的中點，連結(jié)、，則所求為四棱錐的體積，其底面面積為 ，又面，.（2）以為坐標原點，、所在直線分

10、別作軸，軸，軸，得、，又，則，即，又，平面.（3），則，設異面直線所成角為，則.a1b1c1d1abcdexyz例2已知正方體abcda1b1c1d1的棱長為2，點e為棱ab的中點。求：d1e與平面bc1d所成角的大?。ㄓ糜嘞抑当硎荆┙馕觯航⒆鴺讼等鐖D，則、，。不難證明為平面bc1d的法向量， 。 d1e與平面bc1d所成的角的余弦值為。點評：將異面直線間的夾角轉(zhuǎn)化為空間向量的夾角。題型2：直線與平面所成的角例3pa、pb、pc是從p點出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線pc與平面pab所成角的余弦值是（ ）da. b. c. d. 解：構(gòu)造正方體如圖所示，過點c作co平面pab，

11、垂足為o，則o為正abp的中心，于是cpo為pc與平面pab所成的角。設pc=a，則po=，故，即選c。思維點撥：第（2）題也可利用公式直接求得。例4（2009北京卷文）（本小題共14分）如圖，四棱錐的底面是正方形，點e在棱pb上.（）求證：平面；（）當且e為pb的中點時，求ae與平面pdb所成的角的大小.【解法1】本題主要考查直線和平面垂直、平面與平面垂直、直線與平面所成的角等基礎知識，考查空間想象能力、運算能力和推理論證能力（）四邊形abcd是正方形，acbd，pdac，ac平面pdb，平面.（）設acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， o

12、，e分別為db、pb的中點， oe/pd，又， oe底面abcd，oeao， 在rtaoe中， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.【解法2】如圖，以d為原點建立空間直角坐標系， 設則，（），acdp，acdb，ac平面pdb，平面.（）當且e為pb的中點時， 設acbd=o，連接oe， 由（）知ac平面pdb于o， aeo為ae與平面pdb所的角， ，即ae與平面pdb所成的角的大小為.點評：先處理平面的法向量，再求直線的方向向量與法向量夾角間的夾角轉(zhuǎn)化為線面角。題型3：二面角例5在四棱錐pabcd中，abcd為正方形，pa平面abcd，paaba，e為bc中點。（1）求平面pde與平面p

13、ab所成二面角的大小（用正切值表示）；（2）求平面pba與平面pdc所成二面角的大小解析：（1）延長ab、de交于點f，則pf為平面pde與平面pad所成二面角的棱，pa平面abcd，adpa、ab, paab=ada平面bpa于a，過a作aopf于o，連結(jié)od，則aod即為平面pde與平面pad所成二面角的平面角。易得，故平面pde與平pad所成二面角的正切值為；（2）解法1（面積法）如圖adpa、ab, paab=a，da平面bpa于a, 同時，bc平面bpa于b，pba是pcd在平面pba上的射影, 設平面pba與平面pdc所成二面角大小為,cos=spab/spcd=/2 =450。即

14、平面bap與平面pdc所成的二面角的大小為45。解法2（補形化為定義法）如圖：將四棱錐p-abcd補形得正方體abcdpqmn，則pqpa、pd，于是apd是兩面所成二面角的平面角。在rtpad中，pa=ad，則apd=45。即平面bap與平面pdc所成二面角的大小為45。例6（1）(2009山東卷理)（本小題滿分12分）e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d 如圖，在直四棱柱abcd-abcd中，底面abcd為等腰梯形，ab/cd，ab=4, bc=cd=2, aa=2, e、e、f分別是棱ad、aa、ab的中點。（1） 證明：直線ee/平面fcc；（2） 求二面角b-fc-c

15、的余弦值。 解法一：（1）在直四棱柱abcd-abcd中，取a1b1的中點f1，e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d f1 o p 連接a1d，c1f1，cf1，因為ab=4, cd=2,且ab/cd，所以cda1f1，a1f1cd為平行四邊形，所以cf1/a1d，又因為e、e分別是棱ad、aa的中點，所以ee1/a1d，所以cf1/ee1，又因為平面fcc，平面fcc，所以直線ee/平面fcc.（2）因為ab=4, bc=cd=2, 、f是棱ab的中點,所以bf=bc=cf,bcf為正三角形,取cf的中點o,則obcf,又因為直四棱柱abcd-abcd中,cc1平面abcd,

16、所以cc1bo,所以ob平面cc1f,過o在平面cc1f內(nèi)作opc1f,垂足為p,連接bp,則opb為二面角b-fc-c的一個平面角, 在bcf為正三角形中,在rtcc1f中, opfcc1f, 在rtopf中,所以二面角b-fc-c的余弦值為.解法二:（1）因為ab=4, bc=cd=2, f是棱ab的中點,e a b c f e1 a1 b1 c1 d1 d x y z m 所以bf=bc=cf,bcf為正三角形, 因為abcd為等腰梯形,所以bac=abc=60,取af的中點m,連接dm,則dmab,所以dmcd,以dm為x軸,dc為y軸,dd1為z軸建立空間直角坐標系,則d（0,0,0

17、）,a（,-1,0）,f（,1,0）,c（0,2,0）,c1（0,2,2）,e（,0）,e1（,-1,1）,所以,設平面cc1f的法向量為則所以取,則,所以,所以直線ee/平面fcc. （2）,設平面bfc1的法向量為,則所以,取,則, 所以,由圖可知二面角b-fc-c為銳角,所以二面角b-fc-c的余弦值為. 【命題立意】:本題主要考查直棱柱的概念、線面位置關系的判定和二面角的計算.考查空間想象能力和推理運算能力,以及應用向量知識解答問題的能力.（2）（2009安徽卷理）（本小題滿分13分）如圖，四棱錐fabcd的底面abcd是菱形，其對角線ac=2，bd=，ae、cf都與平面abcd垂直，

18、ae=1，cf=2.（i）求二面角bafd的大?。唬╥i）求四棱錐eabcd與四棱錐fabcd公共部分的體積.本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系、相交平面所成二面角以及空間幾何體的體積計算等知識，考查空間想象能力和推理論證能力、利用綜合法或向量法解決立體幾何問題的能力。本小題滿分13分解：（i）（綜合法）連接ac、bd交于菱形的中心o，過o作ogaf，g為垂足。連接bg、dg。由bdac，bdcf得bd平面acf，故bdaf。 于是af平面bgd，所以bgaf，dgaf，bgd為二面角bafd 的平面角。由， ，得， 由，得（向量法）以a為坐標原點，、方向分別為x軸、y

19、軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系（如圖）設平面abf的法向量，則由得令，得，同理，可求得平面adf的法向量。 由知，平面abf與平面adf垂直，二面角b-af-d的大小等于。（ii）連eb、ec、ed，設直線af與直線ce相交于點h，則四棱錐e-abcd與四棱錐f-abcd的公共部分為四棱錐h-abcd。過h作hp平面abcd，p為垂足因為ea平面abcd，fc平面abcd，所以平面acfe平面abcd，從而由得。又因為 故四棱錐h-abcd的體積評析：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找證求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎談化了學生的空間想象

20、能力，但實質(zhì)不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神；（2）此法在處理二面角問題時，可能會遇到二面角的具體大小問題，如本題中若取時，會算得，從而所求二面角為，但依題意只為。因為二面角的大小有時為銳角、直角，有時也為鈍角。所以在計算之前不妨先依題意判斷一下所求二面角的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或取“補角”。（2）解析：球的半徑是r=，三點都在球面上，兩點和兩點的球面距離都是，則aob，aoc都等于，ab=ac，兩點的球面距離是，boc=，bc=1，過b做bdao，垂足為d，連接cd，則cdad，則bdc是二面角的平面角，bd=cd=，bd

21、c=，二面角的大小是，選c。題型4：異面直線間的距離例7如圖，已知正方體棱長為，求異面直線與的距離解法一：連結(jié)交的中點，取的中點，連結(jié)交于，連，則，過作交于，則。又斜線的射影為，。同理，為與的公垂線，由于為的中點，。，故，解法二（轉(zhuǎn)化為線面距）因為平面，平面，故與的距離就是到平面的距離由，即，得o解法三（轉(zhuǎn)化為面面距）易證平面平面，用等體積法易得到平面的距離為。同理可知：到平面的距離為，而，故兩平面間距離為解法四（垂面法）如圖，平面，平面，平面平面，故o到平面的距離為斜邊上的高。解法五。（函數(shù)最小值法）如圖，在上取一點m，作mebc于e，過e作enbd交bd于n，易知mn為bd與的公垂線時，m

22、n最小。設be=，ce=me=，en=，mn=。當時，時，。abcdos圖2例8如圖2，正四棱錐的高，底邊長。求異面直線和之間的距離？分析：建立如圖所示的直角坐標系，則， ，。，。令向量，且，則，。異面直線和之間的距離為：。題型5：點面距離例92009江西卷文）（本小題滿分12分）如圖，在四棱錐中，底面是矩形，平面，以的中點為球心、為直徑的球面交于點（1）求證：平面平面；（2）求直線與平面所成的角；（3）求點到平面的距離解：方法（一）：（1）證：依題設，在以為直徑的球面上，則.因為平面，則，又，所以平面，則，因此有平面，所以平面平面.（）設平面與交于點，因為，所以平面，則，由（1）知，平面，則

23、mn是pn在平面abm上的射影，所以 就是與平面所成的角，且 所求角為（3）因為o是bd的中點，則o點到平面abm的距離等于d點到平面abm距離的一半，由（1）知，平面于m，則|dm|就是d點到平面abm距離.因為在rtpad中，所以為中點，則o點到平面abm的距離等于。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系，則， ，設平面的一個法向量，由可得：，令，則，即.設所求角為，則，所求角的大小為. （3）設所求距離為，由，得：15.（2009江西卷理）（本小題滿分12分）在四棱錐中，底面是矩形，平面，. 以的中點為球心、為直徑的球面交于點，交于點.（1）求證：平面平面； （2）求

24、直線與平面所成的角的大?。淮砑拥碾[藏文字內(nèi)容3（3）求點到平面的距離.解：方法一：（1）依題設知，ac是所作球面的直徑，則ammc。又因為p a平面abcd，則pacd，又cdad，所以cd平面，則cdam，所以a m平面pcd，所以平面abm平面pcd。（2）由（1）知，又，則是的中點可得，則設d到平面acm的距離為，由即，可求得，設所求角為，則，。（1） 可求得pc=6。因為annc，由，得pn。所以。故n點到平面acm的距離等于p點到平面acm距離的。又因為m是pd的中點，則p、d到平面acm的距離相等，由（2）可知所求距離為。方法二：（1）同方法一；（2）如圖所示，建立空間直角坐標系

25、，則， ，；設平面的一個法向量，由可得：，令，則。設所求角為，則， 所以所求角的大小為。（3）由條件可得，.在中，,所以,則, ，所以所求距離等于點到平面距離的，設點到平面距離為則，所以所求距離為。思維點拔：注意點距，線面距，面面距的轉(zhuǎn)化，利用平面互相垂直作距離也是一種常用的方法。例10（1）(2009湖北卷理)（本小題滿分12分）（注意：在試題卷上作答無效） 如圖，四棱錐sabcd的底面是正方形，sd平面abcd，sd=2a，點e是sd上的點，且（）求證：對任意的，都有（）設二面角caed的大小為，直線be與平面abcd所成的角為，若，求的值 18.（）證法1：如圖1，連接be、bd，由地面

26、abcd是正方形可得acbd。 sd平面abcd，bd是be在平面abcd上的射影，acbe（）解法1：如圖1，由sd平面abcd知，dbe= , sd平面abcd，cd平面abcd, sdcd。 又底面abcd是正方形， cdad，而sd ad=d，cd平面sad.連接ae、ce，過點d在平面sad內(nèi)作deae于f，連接cf，則cfae，故cdf是二面角c-ae-d的平面角，即cdf=。在rtbde中，bd=2a，de=在rtade中, 從而在中，. 由，得.由，解得，即為所求.（i） 證法2：以d為原點，的方向分別作為x，y，z軸的正方向建立如 圖2所示的空間直角坐標系，則 d（0，0，0

27、），a（，0，0），b（，0），c（0，0），e（0，0）， ， 即。（ii） 解法2：由（i）得.設平面ace的法向量為n=(x，y，z)，則由得。 易知平面abcd與平面ade的一個法向量分別為. . 0， . 由于，解得，即為所求。bacd例11已知正三棱柱的底面邊長為8，對角線，d是ac的中點。（1）求點到直線ac的距離。（2）求直線到平面的距離。解析：（1）連結(jié)bd，由三垂線定理可得：，所以就是點到直線ac的距離。在中。（2）因為ac與平面bd交于的中點，設，則/de，所以/平面，所以到平面bd的距離等于點到平面bd的距離，等于點到平面bd的距離，也就等于三棱錐的高。，所以，直線到平面bd的距離是。思維點拔：求空間距離多用轉(zhuǎn)化的思想。acbpef圖7例12如圖7，已知邊長為的正三角形中，、分別為和的中點，面，且，設平面過且與平行。 求與平面間的距離？分析：設、的單位向量分別為、，