2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第二講 證明不等式的基本方法 第2節(jié) 綜合法與分析法創(chuàng)新應(yīng)用教學(xué)案 -5

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第2節(jié) 綜合法與分析法創(chuàng)新應(yīng)用核心必知1綜合法一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，又叫順推證法或由因?qū)Ч?分析法證明命題時(shí)，我們還常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件,直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)（定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等），從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種執(zhí)果索因的思考和證明方法問(wèn)題思考1如何理解分析法尋找的是充分條件？提示：用分析法證題時(shí)，語(yǔ)氣總是假定的，常用“欲證a只需證b表示,說(shuō)明只要b成立，就一定有a成立，所以b必須是a

2、的充分條件才行，當(dāng)然b是a的充要條件也可2用綜合法和分析法證明不等式有怎樣的邏輯關(guān)系？提示：綜合法：ab1b2bnb(逐步推演不等式成立的必要條件），即由條件出發(fā)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立分析法：bb1b2bna（步步尋求不等式成立的充分條件),總之，綜合法與分析法是對(duì)立統(tǒng)一的兩種方法已知a，b，cr,且互不相等,又abc1。求證：ab.求證：cac.精講詳析本題考查分析法在證明不等式中的應(yīng)用解答本題需要對(duì)原不等式變形為ac，然后再證明要證cac，只需證ac，即證|ac，兩邊平方得a22acc2c2ab,也即證a2ab2ac，即a（ab)2ac。a，br，且ab2c，a(ab)2ac顯然成立原

3、不等式成立(1）當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或很難發(fā)現(xiàn)條件與結(jié)論之間的關(guān)系時(shí)，可用分析法來(lái)尋找證明途徑(2)對(duì)于無(wú)理不等式的證明，常采用分析法通過(guò)乘方將其有理化，但在乘方的過(guò)程中，要注意其變形的等價(jià)性(3）分析法證題的本質(zhì)是從被證的不等式出發(fā)尋求使結(jié)論成立的充分條件，證明的關(guān)鍵是推理的每一步都必須可逆2已知x0,y0，求證：(x2y2）(x3y3)。證明：要證明(x2y2）（x3y3)，只需證(x2y2）3(x3y3)2,即證x63x4y23x2y4y6x62x3y3y6，即證3x4y23x2y42x3y3.x0,y0，x2y20，即證3x23y22xy.3x23y2

4、x2y22xy,3x23y22xy成立，(x2y2)(x3y3）.已知a，b,c為不全相等的正實(shí)數(shù)，且b2ac.求證:a4b4c4（a2b2c2)2.精講詳析本題考查綜合法與分析法的綜合應(yīng)用解答本題可先采用分析法將所要證明的不等式轉(zhuǎn)化為較易證明的不等式，然后再用綜合法證明欲證原不等式成立，只需證a4b4c4a4b4c42a2b22a2c22b2c2,即證a2b2b2c2a2c20，b2ac，故只需證（a2c2)aca2c20.a、c0,故只需證a2c2ac0，又a2c22ac，a2c2ac0顯然成立原不等式成立(1）通過(guò)等式或不等式的運(yùn)算,將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式

5、易于證明(2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合,稱(chēng)之為分析綜合法,或稱(chēng)“兩頭擠”法，如本例，這種方法充分表明了分析與綜合之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系 3若a，b，c是不全相等的正數(shù)，求證lglglglg alg blg c。證明：要證lglglglgalgblgc,只需證lglg（abc），即證abc.又a，b，c是不全相等的正數(shù)，由基本不等式得：0,0,0，以上三式中由于a，b，c不全相等,故等號(hào)不同時(shí)成立abc。lglglglgalgblgc。數(shù)學(xué)證明是數(shù)學(xué)高考的核心問(wèn)題，有時(shí)單獨(dú)考查,有時(shí)以解答題的一問(wèn)出現(xiàn)，綜合法是解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的基本方法，而分析法又為綜合法的

6、使用提供了思路，因此，綜合法與分析法是解決數(shù)學(xué)證明問(wèn)題的重要工具考題印證設(shè)a，b為非負(fù)實(shí)數(shù)，求證:a3b3(a2b2）命題立意本題考查綜合法的應(yīng)用，考查學(xué)生分類(lèi)討論的思想和轉(zhuǎn)化化歸思想的應(yīng)用證明由a，b是非負(fù)實(shí)數(shù),作差得a3b3(a2b2）a2（）b2()（）()5(）5)當(dāng)ab時(shí)，從而(）5（)5，得(）（)5()5)0；當(dāng)ab時(shí)，,從而（）50.所以a3b3(a2b2)一、選擇題1設(shè)a，br，a，b，則a、b的大小關(guān)系是（)aabbabcab dab解析：選c用綜合法（)2a2b,所以a2b20。又a0，b0,ab。2已知a，b，c滿(mǎn)足cba且ac0,那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()aaba

7、c bc(ba)0cb2ab2 dac(ac）0解析：選a又bc,abac，故a正確ba0，c0，ac(ac）0，故d錯(cuò)誤3設(shè)a，b，c，則a，b，c的大小關(guān)系是（)aacb babcccab dbca解析：選a構(gòu)造指數(shù)函數(shù)y（xr),由該函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減可得bc;又y（xr）與y(xr)之間有如下結(jié)論：當(dāng)x0時(shí)，有，故，所以ac，故acb.4已知a、b、c為三角形的三邊且sa2b2c2，pabbcca,則（)as2p bps2pcsp dps2p解析:選da2b22ab，b2c22bc,c2a22ca,a2b2c2abbcca，即sp.又三角形中ab|c，a2b22abc2，同理b22

8、bcc2a2，c22aca2b2，a2b2c22，xr,ma,n，則m，n的大小關(guān)系是_解析:a2,ma（a2)2224。x222，n4,mn.答案：mn6設(shè)a,b，c都是正實(shí)數(shù)，且abc1,若m，則m的取值范圍是_解析:abc1，m2228.即m的取值范圍是8，）答案:8，)7已知a0，b0,若p是a，b的等差中項(xiàng),q是a，b的正的等比中項(xiàng)，是，的等差中項(xiàng)，則p、q、r按從大到小的排列順序?yàn)開(kāi)解析:由已知p，q，,即r，顯然pq，又，qr。pqr。答案:pqr8若不等式0在條件abc時(shí)恒成立，則的取值范圍是_解析:不等式可化為.abc，ab0，bc0，ac0,恒成立2224。b0，求證：.證明：要證，只要證ab2，即證()2，即證0,即證2，即證121，即證 1b0，所以1，1，故 1, 1成立，所以有成立11已知實(shí)數(shù)a、b、c滿(mǎn)足cba，abc1，a2b2c21.求證:1ab。證明：abc1,欲證結(jié)論等價(jià)于11c，即c0.又a2b2c21，則有abc2c.又ab1c。由得a、b是方程x2(1c)xc2c0的兩個(gè)不等實(shí)根，從而(1c）24(c2c）0，解得c1。c