人教版新課標九年級數(shù)學導學案第21章二次根式學案

1、第二十一章 二次根式 教材內(nèi)容 1本單元教學的主要內(nèi)容： 二次根式的概念；二次根式的加減；二次根式的乘除；最簡二次根式 2本單元在教材中的地位和作用： 二次根式是在學完了八年級下冊第十七章反比例正函數(shù)、第十八章勾股定理及其應用等內(nèi)容的基礎之上繼續(xù)學習的，它也是今后學習其他數(shù)學知識的基礎 教學目標 1知識與技能 （1）理解二次根式的概念 （2）理解（a0）是一個非負數(shù)，（）2=a（a0），=a（a0） （3）掌握（a0，b0），=；=（a0，b0），=（a0，b0） （4）了解最簡二次根式的概念并靈活運用它們對二次根式進行加減 2過程與方法 （1）先提出問題，讓學生探討、分析問題，師生共同歸納，

2、得出概念再對概念的內(nèi)涵進行分析，得出幾個重要結(jié)論，并運用這些重要結(jié)論進行二次根式的計算和化簡 （2）用具體數(shù)據(jù)探究規(guī)律，用不完全歸納法得出二次根式的乘（除）法規(guī)定，并運用規(guī)定進行計算 （3）利用逆向思維，得出二次根式的乘（除）法規(guī)定的逆向等式并運用它進行化簡 （4）通過分析前面的計算和化簡結(jié)果，抓住它們的共同特點，給出最簡二次根式的概念利用最簡二次根式的概念，來對相同的二次根式進行合并，達到對二次根式進行計算和化簡的目的 3情感、態(tài)度與價值觀 通過本單元的學習培養(yǎng)學生：利用規(guī)定準確計算和化簡的嚴謹?shù)目茖W精神，經(jīng)過探索二次根式的重要結(jié)論，二次根式的乘除規(guī)定，發(fā)展學生觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題的能力 教

3、學重點 1二次根式（a0）的內(nèi)涵（a0）是一個非負數(shù)；（）2a（a0）；=a（a0）及其運用 2二次根式乘除法的規(guī)定及其運用 3最簡二次根式的概念 4二次根式的加減運算 教學難點 1對（a0）是一個非負數(shù)的理解；對等式（）2a（a0）及=a（a0）的理解及應用 2二次根式的乘法、除法的條件限制 3利用最簡二次根式的概念把一個二次根式化成最簡二次根式 單元課時劃分 本單元教學時間約需11課時，具體分配如下： 211 二次根式 3課時 212 二次根式的乘法 3課時 213 二次根式的加減 3課時 教學活動、習題課、小結(jié) 2課時 章節(jié)測試 講評 2課時211 二次根式(1)學案 課型: 上課時間：

4、 課時： 學習內(nèi)容： 二次根式的概念及其運用 學習目標： 1、理解二次根式的概念，并利用（a0）的意義解答具體題目 2、提出問題，根據(jù)問題給出概念，應用概念解決實際問題學習過程一、自主學習 （一）、復習引入 （學生活動）請同學們獨立完成下列三個問題： 問題1：已知反比例函數(shù)y=，那么它的圖象在第一象限橫、縱坐標相等的點的坐標是_（，） 問題2：甲射擊6次，各次擊中的環(huán)數(shù)如下：8、7、9、9、7、8，那么甲這次射擊的方差是s2，那么s=_（.）（二）學生學習課本知識4、5頁（三）、探索新知1、知識： 如、，都是一些正數(shù)的算術(shù)平方根像這樣一些正數(shù)的算術(shù)平方根的式子，我們就把它稱二次根式因此，一般地

5、，我們把形如 的式子叫做二次根式，“”稱為 例如：形如 、 、 是二次根式。 形如 、 、 不是二次根式。2、應用舉例例1下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：、（x0）、-、（x0，y0） 解：二次根式有： ；不是二次根式的有： 。 例2當x是多少時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 解：由 得： 。 當 時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義（3）注意：1、形如（a0）的式子叫做二次根式的概念；2、利用“（a0）”解決具體問題3、要使二次根式在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，必須滿足被開方數(shù)是非負數(shù)。 二、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 例3當x是多少時，+在實數(shù)范圍內(nèi)有意義？ 例4(1)已知y=+5，求的值(答案:2)(

6、2)若+=0，求a2004+b2004的值(答案:) 三、鞏固練習 教材p練習1、2、3 課本5頁練習、8頁第1題 四、課堂檢測 （1）、簡答題 1下列式子中，哪些是二次根式那些不是二次根式？ - x （2）、填空題 1形如_的式子叫做二次根式 2面積為5的正方形的邊長為_ （3）、綜合提高題 1某工廠要制作一批體積為1m3的產(chǎn)品包裝盒，其高為0.2m，按設計需要，底面應做成正方形，試問底面邊長應是多少？ 2若+有意義，則=_ 3.使式子有意義的未知數(shù)x有（ ）個 a0 b1 c2 d無數(shù)4.已知a、b為實數(shù)，且+2=b+4，求a、b的值211 二次根式(2)學案 課型: 上課時間： 課時：

7、學習內(nèi)容： 1（a0）是一個非負數(shù)； 2（）2=a（a0） 學習目標： 1、理解（a0）是一個非負數(shù)和（）2=a（a0），并利用它進行計算和化簡 2、通過復習二次根式的概念，用邏輯推理的方法推出（a0）是一個非負數(shù)，用具體數(shù)據(jù)結(jié)合算術(shù)平方根的意義導出（）2=a（a0）；最后運用結(jié)論嚴謹解題 教學過程一、自主學習（一）復習引入 1什么叫二次根式？2當a0時，叫什么？當a0時，有意義嗎？（二）學生學習課本知識5、6頁 （三）、探究新知1、（a0）是一個 數(shù)。（正數(shù)、負數(shù)、零）因為 。2、重點：（a0）是一個非負數(shù) 3、根據(jù)算術(shù)平方根的意義填空： （）2=_；（）2=_；（）2=_；（）2=_； 同

8、理可得：（）2=2， （）2=9， （）2=3， （）2=， （）2=0，所以 （）2=a（a0） (4) 例1 計算 1、（）2 = 2、（3）2 = 3、（）2 = 4、（）2= (5)注意：1、（a0）是一個非負數(shù)；（）2=a（a0）及其運用2、用分類思想的方法導出（a0）是一個非負數(shù)；用探究的方法導出（）2=a（a0）二、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展例2 計算 1（）2（x0） 2（）2 3（）2 例3 在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式:（1）x2-3 （2）x4-4 (3) 2x2-3三、鞏固練習（一）計算下列各式的值：（）2= （）2= （）2= （）2 = （4）2 = （二） 課本

9、p7、1 四、課堂檢測 （一）、選擇題 1下列各式中、，二次根式的個數(shù)是（ ） a4 b3 c2 d1 （二）、填空題 1（-）2=_ 2已知有意義，那么是一個_數(shù) （三）、綜合提高題 1計算（1）（）2 （2）-（）2 （3）（-3）2 (4) = = = = 2把下列非負數(shù)寫成一個數(shù)的平方的形式:（1）5= （2）3.4= （3） （4）x（x0）=3已知+=0，求xy的值 4在實數(shù)范圍內(nèi)分解下列因式: （1）x2-2 （2）x4-9 3x2-5211 二次根式(3)學案 課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容： a（a0）學習目標： 1、理解=a（a0）并利用它進行計算和化簡 2、通過具體

10、數(shù)據(jù)的解答，探究=a（a0），并利用這個結(jié)論解決具體問題 教學過程一、自主學習（一）、復習引入 1形如（a0）的式子叫做二次根式； 2（a0）是一個非負數(shù)； 3()2a（a0） 那么，我們猜想當a0時，=a是否也成立呢？下面我們就來探究這個問題 （二）、自主學習 學生學習課本知識6、7頁 （三）、探究新知 1、填空：根據(jù)算術(shù)平方根的意義， =_； =_； =_ ； =_；=_ _ ；=_ 2、 重點：=a（a0） 例1 化簡（1） （2） （3） （4）解：（1）= （2）= （3）= （4）= 3、 注意：（1）a（a0）（2）、只有a0時，a才成立 二、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 例

11、2 填空：當a0時，=_；當aa，則a可以是什么數(shù)？ 因為當a0時=a，要使a，即使aa所以a不存在；當aa，即使-aa，a0綜上，a2，化簡-三、鞏固練習 教材p7練習2p8習題第2題四、課堂檢測 （一）、選擇題1的值是（ ） a0 b c4 （二）、填空題 1-=_ 2若是一個正整數(shù)，則正整數(shù)m的最小值是_ 三、綜合提高題 1先化簡再求值：當a=9時，求a+的值，甲乙兩人的解答如下： 甲的解答為：原式=a+=a+（1-a）=1；乙的解答為：原式=a+=a+（a-1）=2a-1=17兩種解答中，_的解答是錯誤的，錯誤的原因是_2若1995-a+=a，求a-19952的值（提示：先由a-200

12、00，判斷1995-a的值是正數(shù)還是負數(shù)，去掉絕對值）3. 若-3x2時，試化簡x-2+。212 二次根式的乘除（1） 課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容 （a0，b0），反之=（a0，b0）及其運用 學習目標 理解（a0，b0），=（a0，b0），并利用它們進行計算和化簡學習過程:一、自主學習（一）復習引入 1填空：（1）=_，=_； _ （2）=_，=_； _ （3）=_，=_ _（二）、探索新知 1、 學生交流活動總結(jié)規(guī)律 2、一般地，對二次根式的乘法規(guī)定為 （a0，b0 反過來: =（a0，b0）例1計算 （1） （2） （3）32 （4） = = = = 例2 化簡（1） （2）

13、（3） （4） （5） = = = = = 二、鞏固練習（1）計算： 32 = = =(2) 化簡: ; ; ; ; = = = = = （3）教材p11練習 三、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 （一）例3判斷下列各式是否正確，不正確的請予以改正： （1） （2）=4=4=4=8（二）歸納小結(jié)（1）=（a0，b0），=（a0，b0）及其運用（2）要理解（a0,b0），反過來=（a0b0）及利用它們進行計算和化簡學習目標: 理解=（a0，b0）和=（a0，b0）及利用它們進行運算 教學過程一、 自主學習（一）復習引入 1寫出二次根式的乘法規(guī)定及逆向等式 2填空 （1）=_，=_； 規(guī)律： _；

14、 （2）=_，=_； _； （3）=_，=_； _；（4）=_，=_ _ （二）、探索新知 一般地，對二次根式的除法規(guī)定：=（a0，b0）反過來，=（a0，b0） 下面我們利用這個規(guī)定來計算和化簡一些題目 二、鞏固練習1、計算：（1） （2） （3） （4） = = = = 2、化簡： （1） （2） （3） （4） = = = = 3、鞏固練習 教材p14 練習1 三、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 1、 例3已知，且x為偶數(shù)，求（1+x）的值 2、歸納小結(jié) （1）本節(jié)課要掌握=（a0，b0）和=（a0，b0）及其運用并利用它們進行計算和化簡四、課堂檢測 （一）、選擇題 1計算的結(jié)果是（

15、）a b c d2閱讀下列運算過程：， 數(shù)學上將這種把分母的根號去掉的過程稱作“分母有理化”，請化簡的結(jié)果是（ ） a2 b6 c d （二）、填空題 1分母有理化:(1) =_;(2) =_;(3) =_. 2已知x=3，y=4，z=5，那么的最后結(jié)果是_三、綜合提高題（1）（-）（m0，n0）21.2 二次根式的乘除(3)課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容 最簡二次根式的概念及利用最簡二次根式的概念進行二次根式的化簡運算 學習目標理解最簡二次根式的概念，并運用它把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式學習過程一、 自主學習（一）復習引入1計算（1）=，（2）=，（3）=2現(xiàn)在我們來看本章引言

16、中的問題：如果兩個電視塔的高分別是h1km，h2km，那么它們的傳播半徑的比是_ （二）、探索新知 觀察上面計算題1的最后結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)這些式子中的二次根式有如下兩個特點： 1被開方數(shù)不含分母； 2被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式 我們把滿足上述兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式 那么上題中的比是否是最簡二次根式呢？如果不是，把它們化成最簡二次根式 =.例 1化簡：(1) ; (2) ; (3) = = = 例2如圖，在rtabc中，c=90，ac=2.5cm，bc=6cm，求ab的長 二、鞏固練習 教材p14 練習2、3 三、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展1、觀察下列各式，通過分母有

17、理數(shù)，把不是最簡二次根式的化成最簡二次根式：=-1，=-， 同理可得：=-， 從計算結(jié)果中找出規(guī)律，并利用這一規(guī)律計算 （+）（+1）的值 = 2、歸納小結(jié) （1）重點：最簡二次根式的運用 （2）難點關(guān)鍵：會判斷這個二次根式是否是最簡二次根式 四、課堂檢測（一）、選擇題 1將（y0）化為最簡二次根式是（ ） a（y0） b（y0） c（y0） d以上都不對 2把（a-1）中根號外的（a-1）移入根號內(nèi)得（ ） a b c- d- 3化簡的結(jié)果是（ ） a- b- c- d- 二、填空題 1化簡=_（x0） 2a化簡二次根式號后的結(jié)果是_ 三、綜合提高題 若x、y為實數(shù)，且y=，求的值21.3

18、二次根式的加減(1)課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容： 二次根式的加減學習目標： 1、理解和掌握二次根式加減的方法 2、先提出問題，分析問題，在分析問題中，滲透對二次根式進行加減的方法的理解再總結(jié)經(jīng)驗，用它來指導根式的計算和化簡 學習過程一、 自主學習（一）、復習引入計算（1）2x+3x； （2）2x2-3x2+5x2； （3）x+2x+3y； （4）3a2-2a2+a3 = = = = 以上題目，是我們所學的同類項合并同類項合并就是字母不變，系數(shù)相加減 （二）、探索新知 學生活動：計算下列各式（1）2+3 （2）2-3+5 = =（3）+2+3 （4）3-2+= = 由此可見，二次根式的

19、被開方數(shù)相同也是可以合并的，如2與表面上看是不相同的，但它們可以合并嗎？也可以 3+=3+2=5 3+=3+3=6 所以，二次根式加減時，可以先將二次根式化成最簡二次根式，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并 例1計算 （1）+ （2）+ = = 例2計算（1）3-9+3 （ 2）（+）+（-）= = 歸納： 第一步，將不是最簡二次根式的項化為最簡二次根式；第二步，將相同的最簡二次根式進行合并 二、鞏固練習 教材p19 練習1、2 三、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展1、 例3已知4x2+y2-4x-6y+10=0，求（+y2）-（x2-5x）的值 2、歸納小結(jié)本節(jié)課應掌握：（1）不是最簡二次根

20、式的，應化成最簡二次根式；（2）相同的最簡二次根式進行合并重難點關(guān)鍵 1重點：二次根式化簡為最簡根式 2難點關(guān)鍵：會判定是否是最簡二次根式四、課堂檢測 （一）、選擇題 1以下二次根式：；中，與是同類二次根式的是（ ） a和 b和 c和 d和 2下列各式：3+3=6；=1；+=2；=2，其中錯誤的有（ ） a3個 b2個 c1個 d0個 二、填空題 1在、3、-2中，與是同類二次根式的有_ 2計算二次根式5-3-7+9的最后結(jié)果是_ 三、綜合提高題 1已知2.236，求（-）-（+）的值（結(jié)果精確到0.01） 2先化簡，再求值（6x+）-（4x+），其中x=，y=2721.3 二次根式的加減(2

21、)課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容： 利用二次根式化簡的數(shù)學思想解應用題學習目標： 1、 運用二次根式、化簡解應用題 2、 通過復習，將二次根式化成被開方數(shù)相同的最簡二次根式，進行合并后解應用題學習過程一、 自主學習（一）、復習引入 上節(jié)課，我們已經(jīng)學習了二次根式如何加減的問題，我們把它歸為兩個步驟：第一步，先將二次根式化成最簡二次根式；第二步，再將被開方數(shù)相同的二次根式進行合并，（二）、探索新知例1如圖所示的rtabc中，b=90，點p從點b開始沿ba邊以1厘米/秒的速度向點a移動；同時，點q也從點b開始沿bc邊以2厘米/秒的速度向點c移動問：幾秒后pbq的面積為35平方厘米？pq的距離

22、是多少厘米？（結(jié)果用最簡二次根式表示） 分析：設x秒后pbq的面積為35平方厘米，那么pb=x，bq=2x，根據(jù)三角形面積公式就可以求出x的值 解：設x 后pbq的面積為35平方厘米 則有pb=x，bq=2x 依題意，得： 求解得： x= 所以秒后pbq的面積為35平方厘米pq= 答：秒后pbq的面積為35平方厘米，pq的距離為5厘米 例2要焊接如圖所示的鋼架，大約需要多少米鋼材（精確到0.1m）？分析：此框架是由ab、bc、bd、ac組成，所以要求鋼架的鋼材，只需知道這四段的長度 解：由勾股定理，得ab= bc= 所需鋼材長度為： ab+bc+ac+bd= 二、鞏固練習 教材p19 練習3三

23、、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展 1、 例3若最簡根式與根式是同類二次根式，求a、b的值（同類二次根式就是被開方數(shù)相同的最簡二次根式） 分析：同類二次根式是指幾個二次根式化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同的根式； 解：首先把根式化為最簡二次根式：= 由題意得方程組： 解方程組得： 2、本節(jié)課應掌握運用最簡二次根式的合并原理解決實際問題 四、課堂檢測 （一）、選擇題 1已知直角三角形的兩條直角邊的長分別為5和5，那么斜邊的長應為（ ）（結(jié)果用最簡二次根式） a5 b c2 d以上都不對 2小明想自己釘一個長與寬分別為30cm和20cm的長方形的木框，為了增加其穩(wěn)定性，他沿長方形的對角線又釘上了一

24、根木條，木條的長應為（ ）米（結(jié)果同最簡二次根式表示） a13 b c10 d5（二）、填空題 （結(jié)果用最簡二次根式）1有一長方形魚塘，已知魚塘長是寬的2倍，面積是1600m2，魚塘的寬是_m2已知等腰直角三角形的直角邊的邊長為，那么該等腰直角三角形的周長是_（三）、綜合提高題 1若最簡二次根式與是同類二次根式，求m、n的值 2同學們，我們觀察下式：（-1）2=（）2-21+12=2-2+1=3-2 反之，3-2=2-2+1=（-1）2 3-2=（-1）2 =-1求：（1）； （2）； （3）你會算嗎？21.3 二次根式的加減(3)課型: 上課時間： 課時： 學習內(nèi)容： 含有二次根式的單項式與

25、單項式相乘、相除；多項式與單項式相乘、相除；多項式與多項式相乘、相除；乘法公式的應用學習目標： 1、含有二次根式的式子進行乘除運算和含有二次根式的多項式乘法公式的應用 2、復習整式運算知識并將該知識運用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等運算 學習過程一、 自主學習（一）復習引入 1計算 （1）（2x+y）zx= （2）（2x2y+3xy2）xy= 2計算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2= =（二）、探索新知 如果把上面的x、y、z改寫成二次根式呢？以上的運算規(guī)律是否仍成立呢？仍成立 例1計算: （1）（+） （2）（4-3）2 = =例2計算 （1）（

26、+6）（3-） （2）（+）（-） = = 二、鞏固練習 課本p20練習1、2三、學生小組交流解疑，教師點撥、拓展1、例3已知，x=2 化簡+，并求值 解：原式=+=+ =（x+1）+x-2+x+2 =4x+2 當x=2時 原式=4x2+2=10 2、歸納小結(jié) 本節(jié)課應掌握二次根式的乘、除、乘方等運算四、課堂檢測 （一）、選擇題 1（-3+2）的值是（ ） a-3 b3- c2- d- 2計算（+）（-）的值是（ ）a2 b3 c4 d1 （二）、填空題 1（-+）2的計算結(jié)果（用最簡根式表示）是_2（1-2）（1+2）-（2-1）2的計算結(jié)果（用最簡二次根式表示）是_ 3若x=-1，則x2+

27、2x+1=_ 4已知a=3+2，b=3-2，則a2b-ab2=_ 三、綜合提高題 1化簡2當x=時，求+的值（用最簡二次根式表示） 課外知識 （1）、練習：下列各組二次根式中，是同類二次根式的是（ ）a與 b與 c與 d與（2）、互為有理化因式：互為有理化因式是指兩個二次根式的乘積是有理數(shù)，不含有二次根式：如2與就是互為有理化因式；+1與-1也是互為有理化因式 練習：1、+的有理化因式是_；2、x-的有理化因式是_ 3、 2的有理化因式是_二次根式復習課（1）課型: 上課時間： 課時： 學習目標：1使學生進一步理解二次根式的意義及基本性質(zhì)，并能熟練地化簡含二次根式的式子；2熟練地進行二次根式的

28、加、減、乘、除混合運算學習重點和難點重點：含二次根式的式子的混合運算難點：綜合運用二次根式的性質(zhì)及運算法則化簡和計算含二次根式的式子學習過程一、自主學習（一）復習1二次根式有哪些基本性質(zhì)？用式子表示出來，并說明各式成立的條件（1） （2） （3） 2二次根式的乘法及除法的法則是什么？用式子表示出來 乘法法則： . 除法法則： 反過來: . 3在二次根式的化簡或計算中，還常用到以下兩個二次根式的關(guān)系式：4在含有二次根式的式子的化簡及求值等問題中，常運用三個可逆的式子：二、復習練習課本知識重點題目：習題21.1、 1、2、7. 習題21.2、 1、2、3、6、7、10. 習題21.3、 1、3、4、5、8. 復習題：1、2、3