初中數(shù)學(xué)論文：例析定義型試題

1、例析定義型試題近年來在各級競賽和中考中，涌現(xiàn)了大量的著意考查學(xué)生的創(chuàng)新意識、創(chuàng)新精神的定義型試題，體現(xiàn)了新中考、新競賽、新特點(diǎn).定義型試題即試題中給出了一個考生從未接觸過的新規(guī)定，要求考生當(dāng)即應(yīng)用，用以考查考生接受能力和應(yīng)變能力.一、 新概念的定義例1.（2005年四川實(shí)驗(yàn)區(qū)）如圖1，四邊形abcd為正方形，曲線defghij叫做“四邊形abcd的漸開線”，其中、 的圓心依次按a、b、c、d循環(huán)，當(dāng)漸開線延伸開時，形成了扇形s1，s2，s3，s4和一系列的扇環(huán)s5，s6， 當(dāng)ab=1時，它們的面積， 那么扇環(huán)的面積s8 = _. 分析 此題內(nèi)容取材于高中的解幾，學(xué)生對四邊形abcd的漸開線概念

2、雖較陌生，但試題的難度并不大，只要運(yùn)用已有的扇形面積公式與求扇環(huán)的方法，就能得出s8 =12.例2 、(北京市競賽題)一個自然數(shù)若能表示為兩個數(shù)的平方差，則稱這個自然數(shù)為“智慧數(shù)”，比如16 = 52 32，故16是一個“智慧數(shù)”. 在自然數(shù)列中，從1開始起，第1990個“智慧數(shù)”是_.分析 自然數(shù)可分為奇數(shù)和偶數(shù)，解題時首先要分析奇數(shù)與偶數(shù)中哪些是“智慧數(shù)”. ，每個大于1 的奇數(shù)與每個大于4且是4 的倍數(shù)的數(shù)都是智慧數(shù)，而被4除余數(shù)為2的偶數(shù)都不是智慧數(shù)，最小智慧數(shù)為3，從5開始，智慧數(shù)是：5，7，8；9，11，12；13，15，16；17，19，20，即2個奇數(shù)，1 個4的倍數(shù)，三個一組

3、依次排列下去 .因?yàn)椋吹?990個智慧數(shù)是664組最后一個，所以這個智慧數(shù)是6644=2656.例3.（江蘇泰州）閱讀下面材料，并解答下列各題：在形如的式子中，我們已經(jīng)研究過兩種情況：已知a 和b，求n，這是乘方運(yùn)算；已知b和n，求a，這是開方運(yùn)算；現(xiàn)在我們研究第三種情況：已知n和a，求b，我們把這種運(yùn)算叫做對數(shù)運(yùn)算.定義：如果（a 0 , a 1, n 0），則b 叫做以a 為底n的對數(shù)，記作.例如，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所?（1）根據(jù)定義計(jì)算：_,_,_,如果，那么x = _.(2)設(shè)（a 0 , a 1, m、n均為正數(shù)），.這是對數(shù)運(yùn)算的重要性質(zhì)之一，進(jìn)一步地，我們可以得出：_(其中m

4、 1 、m 2、 m 3 m n 均為正數(shù)，a 0 , a 1)，_（m、n均為正數(shù)，a 0 , a 1）.分析：本題是高中教材的“對數(shù)”內(nèi)容，要求學(xué)生讀懂“對數(shù)”這一新概念定義，并運(yùn)用這一定義進(jìn)行解題.（1） 4, 1 , 0 ,如果，那么x = 2 .（2）；.此類試題定義了一類新概念，考查學(xué)生閱讀理解、信息遷移的能力.讀懂題意是很關(guān)鍵的一步，搞清題意才能確定探索方向，尋找合理的解題途徑.二、 新運(yùn)算的定義例4.（2003年無錫市）讀一讀：式子“1234100”表示從1開始的100個連續(xù)自然數(shù)的和，由于上述式子比較長，書寫也不方便，為了方便起見，我們可將“1234100”表示為這“”是求和

5、符號.例如“135799”（即從1開始的100以內(nèi)的連續(xù)奇數(shù)的和）可表示為又如“132333103”可表示為，同學(xué)們，通過對以上材料的閱讀，請解答以下問題：（1）2468100用求和符號可表示為_；（2）計(jì)算_.分析：此題定義了一個書本中從未介紹過的求和符號“”，其本質(zhì)是將任意有窮數(shù)列中的所有數(shù)（或式）連加. 如：表示的和，即. （其中i表示數(shù)的起始位，n表示數(shù)的個數(shù)，代表該數(shù)列中的數(shù)，表示第一個數(shù)，表示最后一個數(shù)）.解：（1）由135799 =類推，2 n1表示奇數(shù)，則偶數(shù)用2 n表示，于是2468100 = ；（2）由=132333103 ，得：0381524 = 50.例5.（2005年

6、北京海淀）用“”、“”定義新運(yùn)算：對于任意實(shí)數(shù)都有b = 和b = b.例如：3 2 = 3 ，3 2 = 2 ，則（20062005）（20042003）=_.解：由b = ，b = b 知，（20062005）（20042003）=20052003=2005.例6.（2005年云南）閱讀下列材料并解決有關(guān)問題：我們知道 | x | = ，現(xiàn)在我們可以用這一結(jié)論來化簡含有絕對值的代數(shù)式，如化簡代數(shù)式 | x 1 | | x 2 | 時，可令 x 1 = 0 和 x 2 = 0 ，分別求得 x = 1 , x = 2 （稱1，2分別為 | x 1 | 與 | x 2 | 的零點(diǎn)值）.在實(shí)數(shù)范圍

7、內(nèi)，零點(diǎn)值x = 1和 x = 2可將全體實(shí)數(shù)分成不重復(fù)且不遺漏的如下3種情況：（1） 當(dāng) x 1 時，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1;（2） 當(dāng)1 x 2 時，原式 =（x 1）( x 2 ) = 3；（3） 當(dāng)x 2 時，原式 = （x 1）( x 2 ) = 2 x 1.綜上討論，原式 = 通過以上閱讀，請你解決以下問題：（1） 分別求出 | x 2 | 和 | x 4 | 的零點(diǎn)值；（2） 化簡代數(shù)式 | x 2 | | x 4 | .解：（1）分別令 x 2 = 0 和 x 4 = 0 ，分別求得x = 2和 x = 4 ，| x 2 | 和 | x 4 | 的零

8、點(diǎn)值分別為x = 2和 x = 4.（2）當(dāng) x 2時，原式 = （x 2）( x 4 ) = x 2 x 4 = 2 x 2;當(dāng)2 x y b、x y 和x y 和x acab，在圖中畫出abc的所有“友好矩形”，指出其中周長最小的矩形并加以證明. 分析 (1) 如果一個三角形和一個平行四邊形滿足條件：三角形的一邊與平行四邊形的一邊重合，三角形這邊所對的頂點(diǎn)在平行四邊形這邊的對邊上，則稱這樣的平行四邊形為三角形的“友好平行四邊形”.(2) 此時共有2個友好矩形，如圖的bcad、abef. 易知，矩形bcad、abef的面積都等于abc面積的2倍， abc的“友好矩形”的面積相等. (3) 此時共有3個友好矩形，如圖的bcde、cafg及abhk，其中的矩形abhk的周長最小 . 證明如下：易知，這三個矩形的面積相等，令其為s. 設(shè)矩形bcde、cafg及abhk的周長分別為l1，l2，l3，abc的邊長bc = a，ca = b，ab = c，則l1 =+ 2a，l2 =+2b，l3 = + 2c . l1 - l2 = (+2 a ) - ( +2b) = 2( a - b)，而 ab s，a b， l1 - l20，即l1 l2 . 同理可得，l