清華大學靜力學(九)

1、張毅主編；董桂花，徐繼忠，潘立常副主編張毅主編；董桂花，徐繼忠，潘立常副主編 歡迎學習歡迎學習 張張 毅毅 主主 編編 董桂花董桂花 徐繼忠徐繼忠 潘立常潘立常 副主編副主編 2006年年6月月 9.1 扭轉(zhuǎn)的概念 9.2 外力偶矩的計算和扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力 9.3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 9.4 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力 9.5 極慣性矩和抗扭截面系數(shù) 9.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件 9.7 小 結(jié) l理解扭轉(zhuǎn)的概念。較熟練地掌握扭矩的計算及扭矩圖的繪制。 l了解薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力計算公式。理解剪應力互等 定理。熟悉剪切胡克定律。 l掌握圓形及圓環(huán)形截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù)的計

2、算。 l較熟練地掌握圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上任一點的剪應力計算及強度和剛 度的計算。 9.1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念 扭轉(zhuǎn)變形是桿件的四種基本變形之一。在垂直于桿件 軸線的平面內(nèi)，作用一對大小相等、方向相反的外力偶 時，桿件的任意兩個橫截面都將繞軸線作相對轉(zhuǎn)動，這 種形式的變形稱為扭轉(zhuǎn)變形。 圖9.1 圓軸的扭轉(zhuǎn)和扭轉(zhuǎn)角 如圖9.1所示，桿件任意兩個橫截面繞軸線的相對轉(zhuǎn)角， 稱為扭轉(zhuǎn)角，通常用表示。在圖9.1中，截面B相對于 截面A的扭轉(zhuǎn)角為BA。 9.2 外力偶矩的計算和扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力外力偶矩的計算和扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力 在對桿件進行強度和剛度計算之前，先要計算出作用于桿軸上的外 力偶矩和橫截面上的內(nèi)力。 圖

3、9.2 功率的傳遞與分配 對于工程中常用的傳動軸，往往只知道它所傳遞的功率和轉(zhuǎn)速。 因此，為了對它進行強度和剛度計算，就要根據(jù)它所要傳遞的功 率和轉(zhuǎn)速，求出使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)的外力偶矩。下面結(jié)合圖9.2所示 傳動軸進行分析。 1. 1. 力偶矩的計算力偶矩的計算 設通過某一輪所傳遞的功率為 Nk，單位為千瓦(kW)。軸的轉(zhuǎn) 速為n，單位每分鐘轉(zhuǎn)(r/min) 。則作用在此軸上的外力偶矩 m可按以下方法求得： 或 式中N為公制馬力數(shù)。 在這種外力偶的作用下，圓軸橫截面上的內(nèi)力是一個作用 在該截面內(nèi)的力偶，其力偶矩T稱為扭矩。 內(nèi)力偶矩T與外力偶矩m相互平衡，根據(jù)平衡條件 ，可得內(nèi)力 偶矩T的大小為 T

4、=m 2. 2. 扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力扭矩扭矩 扭矩的單位為Nm(牛頓米)或kNm(千牛頓米)。 3. 3. 扭矩圖扭矩圖 表示軸上各橫截面上的扭矩變化規(guī)律的圖形稱為扭矩圖。 【例9.1】一傳動軸如圖9.3(a)所示，主動輪的輸入功率為 Nk1=500kW，若不計軸承摩擦所損失的功率，三個從動輪輸出的 功率分別為Nk1=Nk2=150kW，Nk4=200kW；軸的轉(zhuǎn)速為n=300r/min( 轉(zhuǎn)/分)。試畫出軸的扭矩圖。 解：(1)計算外力偶矩 (2)計算扭矩 根據(jù)已知條件，各段橫截面上的扭矩是不相同的，現(xiàn)用截面法計算 各段桿軸內(nèi)的扭矩。 在BC段，用一個假想的截面n-n將桿截開，選取左邊

5、部分為脫離體， T1 表示橫截面上的扭矩，并假設為正值，如圖9.3(b)所示。由平衡方程 (3)畫扭矩圖 根據(jù)計算的扭矩值及其正負號，即可畫出扭矩圖(圖9.3(c)。 從圖中可見，最大的扭矩 發(fā)生在CA段內(nèi)，其值為9.56 。 結(jié)果為負值，說明扭矩的實際轉(zhuǎn) 向與假設相反，也說明橫截面上 的實際扭矩為負值。 圖9.3圖 Mx=0 得T1+M1=0 T1=-m1=-4.17(kNgm) 同理，在CA段 在AD段，可選取右邊部分為研究 對象 壁厚遠小于其平均半徑 的圓筒，稱為薄壁圓筒。 圖9.4 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的變形分析 取一薄壁圓筒，當在其兩端垂直于桿軸的平面內(nèi)作用一對大小相 等、轉(zhuǎn)向相反的外力偶

6、m時，圓筒發(fā)生了扭轉(zhuǎn)變形。圓筒中任意 橫截面上的扭矩，可用截面法求得：T=m。 9.3 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn) 1. 1. 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力 為了求圓筒橫截面上的剪應力，先觀察薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時的變形現(xiàn)象。 在兩個相互垂直的平面上，垂直于公共棱邊的剪應力成 對存在，且大小相等，方向指向(或背離)該公共棱邊。這一 關(guān)系稱為剪應力互等定理。 2. 2. 剪應力互等定理剪應力互等定理 公式： 3. 3. 剪切胡克定律剪切胡克定律 剪切胡克定律 G稱為材料的剪切彈性模量，它反映了材料抵抗剪切變形 的能力，單位為Pa或MPa。各種材料的G值可由實驗測定。 1

7、. 1. 幾何變形方面幾何變形方面 圖9.5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形分析 圖9.6 楔形體的變形分析 9.4 等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力等直圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應力 2. 2. 物理關(guān)系方面物理關(guān)系方面 圖9.7 剪應力在橫截面上的分布規(guī)律 圖9.8 微剪力與扭矩之間的關(guān)系 3. 3. 靜力學關(guān)系方面靜力學關(guān)系方面 1.受扭的桿件是等直圓軸 4. 4. 公式的適用范圍公式的適用范圍 2.必須在彈性范圍之內(nèi)，即橫截面上的剪應力不超過材料的剪切 比例極限。 微面積dA與它到某一點的距離P的平方的乘積在整個截面A上的 總和，稱為平面圖形對該點的極慣性矩。即： 對于直徑為D的實心圓截面其抗扭截面系數(shù)為 9

8、.5 極慣性矩和抗扭截面系數(shù)極慣性矩和抗扭截面系數(shù) 對于空心圓截面其抗扭截面系數(shù)為 【例9.2】一直徑d=50mm的圓軸，已知軸上的扭矩為T=1kNgn，材料 的剪切彈性模量G=80GPa。 試求：(1)距離圓心p=20mm處的剪應力和剪應變。 (2)最大剪應力和單位長度的扭轉(zhuǎn)角。 解：(1)計算截面的極慣性矩和抗扭截面系數(shù) 由 得 由胡克定律 得 (2)最大剪應力為 單位長度的扭轉(zhuǎn)角為： 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形是用兩個橫截面繞軸線發(fā)生的相對轉(zhuǎn)角即扭轉(zhuǎn) 角來度量的。 為了使圓軸在工作中不因強度不足而發(fā)生破壞，應使軸內(nèi)的最大剪 應力不超過材料的許用剪應力。因此，圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件為 單位長度的扭轉(zhuǎn)角

9、為 9.6 圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度條件和剛度條件 1. 1. 強度條件強度條件 2. 2. 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形 在工程中，為了保證圓軸的正常工作，除了要滿足強度條件外，還 要限制它的扭轉(zhuǎn)變形。 3. 3. 剛度條件剛度條件 通常這種變形是通過限制圓軸的最大單位長度扭轉(zhuǎn)角不超過許用的 單位長度扭轉(zhuǎn)角來實現(xiàn)的，即 【例9.5】一空心圓截面軸，已知軸的內(nèi)徑d=85mm，外徑D=90mm， 材料的許用剪應力=60MPa，剪切彈性模量G=80GPa，軸的許 用單位長度扭轉(zhuǎn)角 。試求軸所能傳遞的許用扭矩。 的數(shù)值，可從有關(guān)手冊中查到。 4. 4. 計算舉例計算舉例 解

10、：(1)強度方面 因此，圓軸所能傳遞的許用扭矩為T=1.47kNgm 圓軸的抗扭截面系數(shù)為 由強度條件得 (2)剛度方面 圓軸的極慣性矩為 由剛度條件得 外力偶矩與功率、轉(zhuǎn)速之間的換算關(guān)系為： 9.7 小小 結(jié)結(jié) 1. 1. 外力偶矩、扭矩和扭矩圖外力偶矩、扭矩和扭矩圖 本章主要研究圓軸扭轉(zhuǎn)時的內(nèi)力、應力和變形及其強度和剛度的 計算；薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力、剪應力互等定理和剪 切胡克定律。 2. 2. 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、剪應力互等定理和剪切胡克定律薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)、剪應力互等定理和剪切胡克定律 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力沿筒壁均勻分布，其計算公式為： 4. 4. 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 在彈性范圍內(nèi)，圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應力沿半徑