2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第8章 第8講　曲線與方程含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第8章 第8講曲線與方程含解析第8講曲線與方程考綱解讀1。了解方程的曲線與曲線的方程的對應(yīng)關(guān)系,能用解析幾何的基本思想和坐標(biāo)法研究幾何問題（重點）2能夠根據(jù)所給條件選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ笄€的軌跡方程，并掌握求曲線方程的兩種常見題型：根據(jù)曲線確定方程，可用待定系數(shù)法；求軌跡方程，可用直接法、定義法、代入法(相關(guān)點法)、參數(shù)法(難點）考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個命題熱點預(yù)測2021年高考將會有以下兩種命題方式：用定義法求曲線的方程；由已知條件直接求曲線的方程題型為解答題中的一問，試題難度中等偏上考查知識點多,能力要求

2、較高，尤其是運算變形能力解題時注意函數(shù)與方程思想及等價轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。求曲線方程的基本步驟1概念辨析(1）f(x0，y0）0是點p(x0，y0)在曲線f（x，y）0上的充要條件（)(2）方程x2xyx的曲線是一個點和一條直線（）(3）到兩條互相垂直的直線距離相等的點的軌跡方程是x2y2.（）（4）方程y與xy2表示同一曲線（）答案(1）（2）（3）(4） 2小題熱身（1)已知點p(x，y)滿足方程x2y22x10,則點p（x，y）的軌跡是（）a圓 b一條直線c兩條直線 d直線的交點答案c解析點p（x，y)滿足方程x2y22x10，即(x1)2y2，可得x1y,即xy10或xy10,故點p(x,

3、y)的軌跡是兩條直線（2）在abc中，a(4，0），b(4,0)，abc的周長是18，則頂點c的軌跡方程是（）a。1（y0) b.1（y0)c。1(y0) d.1（y0)答案a解析由已知得，ab8，ca|cb|ab18，所以ca|cb10ab，所以頂點c的軌跡是以a，b為焦點的橢圓(去掉左右兩個頂點),其方程為1(y0）(3）已知點o(0，0），a(1，2),動點p滿足|pa|3po|，則點p的軌跡方程是(）a8x28y22x4y50b8x28y22x4y50c8x28y22x4y50d8x28y22x4y50答案a解析設(shè)點p坐標(biāo)為(x，y)，由pa|3po得（x1）2(y2)29(x2y2）

4、，整理得8x28y22x4y50.(4）直線1與x軸、y軸交點連線的中點軌跡方程是_答案xy1(x0且x1）解析直線1與x軸、y軸的交點坐標(biāo)分別為(a,0)和（0，2a），設(shè)此直線與x軸、y軸交點連線的中點坐標(biāo)為（x，y),則消去a，得y1x即xy1。由a0且2a0，得x0且x1，故所求的軌跡方程為xy1（x0且x1）題型一定義法求軌跡方程 1a為雙曲線1(a0，b0）上的任意一點,過焦點f1作f1af2的角平分線的垂線，垂足為m,則點m的軌跡方程為_答案x2y2a2解析如圖，延長f1m交af2延長線于點n，故|af1|an，af1|af2|2a，故an|af2|2a，所以f2n2a，所以om

5、f2n|a，故m點的軌跡方程為x2y2a2.2如圖所示，已知點c為圓（x）2y24的圓心，點a（，0)p是圓上的動點，點q在圓的半徑cp所在的直線上，且0，2.當(dāng)點p在圓上運動時，求點q的軌跡方程解由（x）2y24知圓心c(,0)，半徑r2.0,2,mqap，點m為ap的中點，因此qm垂直平分線段ap。如圖，連接aq，則|aq|qp|，qc|qa|qcqp|cp|2.又|ac|22，根據(jù)雙曲線的定義,點q的軌跡是以c(,0)，a(，0)為焦點，實軸長為2的雙曲線由c，a1，得b21，故點q的軌跡方程為x2y21.條件探究將本例中的條件“圓c的方程（x)2y24改為“圓c的方程（x）2y216”

6、,其他條件不變，求點q的軌跡方程解由（x)2y216知圓心c（，0），半徑r4。0，2，qm垂直平分ap，連接aq,則aq|qp，|qc|qa|qc|qp|r4。根據(jù)橢圓的定義，點q的軌跡是以c（，0)，a（，0）為焦點,長軸長為4的橢圓由c，a2，得b.因此點q的軌跡方程為1。定義法求軌跡方程的適用條件及關(guān)鍵點（1)求軌跡方程時，若動點與定點、定直線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫出其方程,見舉例說明1，2.(2)理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵(3）利用定義法求軌跡方程時，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是

7、完整的曲線,則應(yīng)對其中的變量x或y進行限制 abc的頂點a（5,0），b(5，0）,abc的內(nèi)切圓的圓心在直線x3上，則頂點c的軌跡方程是_答案1（x3）解析如圖，ad|ae8，bf|be|2，cd|cf,所以ca|cb|826。根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以a,b為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為1(x3）題型二直接法求軌跡方程 1（2019葫蘆島調(diào)研)在abc中，已知a(2，0)，b（2，0)，g，m為平面上的兩點，且滿足0，|，則頂點c的軌跡為()a焦點在x軸上的橢圓（長軸端點除外）b焦點在y軸上的橢圓(短軸端點除外）c焦點在x軸上的雙曲線(實軸端點除外)d焦點在x軸上的拋物線（頂

8、點除外）答案b解析設(shè)c(x，y)（y0）,則由0，即g為abc的重心,得g.又|,即m為abc的外心，所以點m在y軸上,又，則有m.所以x224，化簡得1,y0.所以頂點c的軌跡為焦點在y軸上的橢圓(除去短軸端點)2已知abc的頂點b(0,0)，c(5，0），ab邊上的中線長|cd|3,則頂點a的軌跡方程為_答案（x10）2y236（y0)解析設(shè)a（x，y），由題意可知d。又|cd3，229，即（x10）2y236，由于a，b，c三點不共線，點a不能落在x軸上，即y0，點a的軌跡方程為(x10）2y236(y0)3（2019全國卷節(jié)選)已知點a(2，0)，b(2，0），動點m（x，y)滿足直線

9、am與bm的斜率之積為.記m的軌跡為曲線c.求c的方程，并說明c是什么曲線解由題設(shè)，得，化簡得1(x2），所以c為中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上的橢圓，不含左右頂點1直接法求軌跡方程的應(yīng)用條件和步驟若曲線上的動點滿足的條件是一些幾何量的等量關(guān)系，則可用直接法,其一般步驟是：設(shè)點列式化簡檢驗2用直接法求軌跡方程需要注意的問題（1）求動點的軌跡方程時要注意檢驗,即除去多余的點，補上遺漏的點如舉例說明3。（2)若是只求軌跡方程，則把方程求出，把變量的限制條件附加上即可,如舉例說明2;若是求軌跡,則要說明軌跡是什么圖形如舉例說明1. 1設(shè)點a為圓(x1)2y21上的動點，pa是圓的切線，且|pa|1，則

10、p點的軌跡方程為（)ay22x b(x1）2y24cy22x d（x1）2y22答案d解析如圖，設(shè)p（x，y），圓心為m（1，0)，連接ma,則mapa，且|ma|1.又pa|1，pm|，即|pm22，(x1)2y22。故選d.2已知動圓過定點a（4，0）,且在y軸上截得的弦mn的長為8.求動圓圓心的軌跡c的方程解如圖,設(shè)動圓圓心為o1（x，y)，由題意,知|o1a|o1m|，當(dāng)o1不在y軸上時，過o1作o1hmn交mn于h，則h是mn的中點，o1m|.又|o1a|， ，化簡得y28x（x0）又當(dāng)o1在y軸上時，o1與o重合，點o1的坐標(biāo)（0，0）也滿足方程y28x，動圓圓心的軌跡c的方程為y

11、28x。題型三相關(guān)點法（代入法）求軌跡方程 1動點p在拋物線y2x21上移動，若p與點q（0,1）連線的中點為m，則動點m的軌跡方程為（）ay2x2 by4x2 cy6x2 dy8x2答案b解析設(shè)m（x，y)，p（x0，y0），因為p與點q(0，1)連線的中點為m，所以x02x，y02y1，又因為點p在拋物線y2x21上移動,所以2y12(2x)21,即y4x2.故選b。2（2019莆田二模)已知a(0，1)，b是曲線yx21上任意一點，動點p滿足 0.(1）求點p的軌跡e的方程；(2）過點d（0，1)的直線交e于m，n兩點，過原點o與點m的直線交直線y1于點h，求證：dnhn。解(1)設(shè)p(

12、x，y),b(x0，y0)，由0得，（x，y1)（xx0,yy0）（0，0），則即因為點b為曲線yx21上任意一點，故y0x1，代入得x24y.所以點p的軌跡e的方程是x24y.（2）證明：依題意，得直線mn的斜率存在，其方程可設(shè)為ykx1，m(x1，y1)，n(x2，y2),聯(lián)立得x24kx40，所以16k2160，x1x24.因為直線om的方程為yx，且點h是直線om與直線y1的交點,所以點h的坐標(biāo)為。根據(jù)拋物線的定義dn|等于點n到準(zhǔn)線y1的距離,由于點h在準(zhǔn)線y1上，所以要證明|dnhn，只需證明hn垂直準(zhǔn)線y1，即證hny軸因為點h的橫坐標(biāo)為x2，所以hny軸成立，所以dn|hn成立

13、代入法求軌跡方程的四步驟 如圖，已知p是橢圓y21上一點，pmx軸于m.若。(1）求點n的軌跡方程；(2）當(dāng)點n的軌跡為圓時，求的值解(1）設(shè)點p,點n的坐標(biāo)分別為p(x1，y1)，n(x，y），則m的坐標(biāo)為（x1,0),且xx1,（xx1,yy1)(0，yy1)，(x1x，y）（0,y),由得（0，yy1）(0，y）yy1y，即y1(1)y。p(x1，y1)在橢圓y21上，則y1，(1)2y21，故（1）2y21即為所求的點n的軌跡方程（2)要使點n的軌跡為圓,則（1)2，解得或.所以當(dāng)或時，點n的軌跡是圓組基礎(chǔ)關(guān)1到點f（0，4)的距離比到直線y5的距離小1的動點m的軌跡方程為（)ay16

14、x2 by16x2cx216y dx216y答案c解析由條件，知動點m到f(0,4)的距離與到直線y4的距離相等，所以點m的軌跡是以f(0，4)為焦點，直線y4為準(zhǔn)線的拋物線,其標(biāo)準(zhǔn)方程為x216y.2曲線c：x22xy40的對稱性為（)a關(guān)于原點成中心對稱b關(guān)于點(2，0)成中心對稱c關(guān)于直線yx對稱d曲線c不具有對稱性答案a解析設(shè)點p(a，b）(a，br）在曲線上，則a22ab40,即(a)22(a）(b）40，則p點關(guān)于原點的對稱點p（a，b)也在曲線上，曲線關(guān)于原點對稱3(2019長沙模擬）已知點集m（x，y）|xy，則平面直角坐標(biāo)系中區(qū)域m的面積是()a1 b3 c d2答案d解析當(dāng)

15、xy0時，只需要滿足x21，y21即可；當(dāng)xy0時,對不等式兩邊平方整理，得x2y21，所以區(qū)域m如圖易知其面積為2.4如圖,已知f1，f2是橢圓:1（ab0）的左、右焦點，p是橢圓上任意一點，過f2作f1pf2的外角的角平分線的垂線，垂足為q，則點q的軌跡為(）a直線 b圓 c橢圓 d雙曲線答案b解析延長f2q，與f1p的延長線交于點m，連接oq.因為pq是f1pf2的外角的角平分線，且pqf2m，所以在pf2m中，pf2|pm|，且q為線段f2m的中點又o為線段f1f2的中點，由三角形的中位線定理，得oq|f1m(pf1|pf2|）根據(jù)橢圓的定義,得pf1|pf22a,所以oq|a，所以點

16、q的軌跡為以原點為圓心，半徑為a的圓，故選b。5若曲線c上存在點m，使m到平面內(nèi)兩點a(5，0)，b（5，0)的距離之差為8，則稱曲線c為“好曲線”以下曲線不是“好曲線”的是（)axy5 bx2y29c.1 dx216y答案b解析m到平面內(nèi)兩點a（5，0），b（5，0)的距離之差為8，m的軌跡是以a（5,0)，b（5,0)為焦點的雙曲線的右支，方程為1（x4）a項，直線xy5過點(5,0)，與m的軌跡有交點；b項，x2y29的圓心為(0,0），半徑為3,與m的軌跡沒有交點；c項,1的右頂點為(5，0)，與m的軌跡有交點；d項，將x216y代入1，得y1，即y29y90,0。故選b.6已知兩定點

17、a（2，0），b（1，0）,如果動點p滿足|pa|2|pb|,則點p的軌跡所包圍的圖形的面積為_答案4解析設(shè)點p的坐標(biāo)為(x，y）則由|pa|2pb得（x2)2y24（x1)2y2，即(x2）2y24，所以點p的軌跡是以（2,0)為圓心，2為半徑的圓，所以點p的軌跡所包圍的圖形的面積為4.7在平面直角坐標(biāo)系中，o為坐標(biāo)原點，a（1，0)，b(2，2),若點c滿足t(），其中tr，則點c的軌跡方程是_答案y2x2解析設(shè)c(x，y)，則(x，y)，t（)(1t,2t)，所以消去參數(shù)t,得點c的軌跡方程為y2x2。8已知點p是橢圓1（ab0）上的任意一點,f1，f2是它的兩個焦點，o為坐標(biāo)原點，且，

18、則動點q的軌跡方程是_答案1解析由于，又22.設(shè)q（x，y)，則，即p點坐標(biāo)為,又p在橢圓上，則有1，即動點q的軌跡方程是1。組能力關(guān)1（2019寶雞二模)設(shè)d為橢圓x21上任意一點，a(0，2)，b（0,2)，延長ad至點p，使得|pdbd，則點p的軌跡方程為（）ax2(y2）220 bx2(y2)220cx2（y2)25 dx2(y2)25答案b解析如圖，由橢圓方程x21,得a25，b21，c2,則a（0，2)，b（0，2)為橢圓的兩焦點,da|db2a2，pd|bd|,|pa|pd|dabd|da2.點p的軌跡是以a為圓心,2為半徑的圓，其方程為x2(y2）220.2（2019北京高考）

19、數(shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線c：x2y21|x|y就是其中之一（如圖）給出下列三個結(jié)論：曲線c恰好經(jīng)過6個整點(即橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點)；曲線c上任意一點到原點的距離都不超過；曲線c所圍成的“心形區(qū)域的面積小于3.其中，所有正確結(jié)論的序號是()a b c d答案c解析由x2y21|x|y，當(dāng)x0時，y1;當(dāng)y0時，x1；當(dāng)y1時，x0，1.故曲線c恰好經(jīng)過6個整點：a（0，1)，b(0,1），c(1,0），d(1，1)，e(1,0)，f(1，1)，所以正確由基本不等式,當(dāng)y0時，x2y21x|y1xy|1，所以x2y22，所以，故正確如圖，由知長方形cdfe面積為2，三角形bce面積為1,所以曲線c所圍成的“心形”區(qū)域的面積大于3，故錯誤故選c。3已知圓c：x2y225，過點m(2，3）作直線l交圓c于a，b兩點,分別過a，b兩點作圓的切線,當(dāng)兩條切線相交于點q時，點q的軌跡方程為_答案2x3y250解析圓c:x2y225的圓心c為（0,0)，設(shè)a(x1，y1）,b（x2，y2)，q（x0，y0)，因為aq與圓c相切，所以aqca，所以（x1x0)(x10）(y1y0）(y10)0,即xx0x1yy0y10，因為xy25，所以x0x1y0y125，同理x0x2y0y225,所以過點a，b的直線方程為xx0