2021屆高考數(shù)學(xué)教學(xué)案：第章 第7講　解三角形應(yīng)用舉例含解析

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2021屆高考數(shù)學(xué)人教版一輪創(chuàng)新教學(xué)案：第3章 第7講解三角形應(yīng)用舉例含解析第7講解三角形應(yīng)用舉例考綱解讀1。能夠運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題（重點(diǎn)）2利用正、余弦定理解決實(shí)際問題，主要考查根據(jù)實(shí)際問題建立三角函數(shù)模型，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(難點(diǎn))考向預(yù)測從近三年高考情況來看，本講是高考中的一個(gè)考查內(nèi)容預(yù)計(jì)2021年會強(qiáng)化對應(yīng)用問題的考查以與三角形有關(guān)的應(yīng)用問題為主要命題方向，結(jié)合正、余弦定理求解平面幾何中的基本量,實(shí)際背景中求距離、高度、角度等均可作為命題角度試題可以為客觀題也可以是解答題，難度以中檔為主。對應(yīng)學(xué)生用書

2、p0821.仰角和俯角在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖)2方位角從指北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角,如b點(diǎn)的方位角為(如圖）3方向角相對于某一正方向的水平角（1）北偏東,即由指北方向順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向（如圖)(2)北偏西,即由指北方向逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到達(dá)目標(biāo)方向(3）南偏西等其他方向角類似4坡角與坡度（1）坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)（如圖，角為坡角）（2）坡度：坡面的鉛直高度與水平長度之比（如圖，i為坡度）坡度又稱為坡比1概念辨析(1)東北方向就是北偏東45的方向（)(2）從a處望b處的仰角為,從b處望a處的俯角為，則，的關(guān)系為18

3、0。（)（3)方位角與方向角其實(shí)質(zhì)是一樣的，均是確定觀察點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的位置關(guān)系()(4）方位角大小的范圍是0,2），方向角大小的范圍一般是.（）答案(1)（2）（3）（4)2小題熱身(1）在某測量中,設(shè)a在b的南偏東3427，則b在a的（)a北偏西3427 b北偏東5533c北偏西5533 d南偏西3427答案a解析由方向角的概念知，b在a的北偏西3427.（2）已知a,b兩地間的距離為10 km，b，c兩地間的距離為20 km，現(xiàn)測得abc120，則a,c兩地間的距離為（）a10 km b10 kmc10 km d10 km答案d解析由余弦定理可得，ac2ab2cb22abcbcos120

4、10220221020700。ac10(km)(3)如圖所示,設(shè)a,b兩點(diǎn)在河的兩岸,一測量者在a所在的同側(cè)河岸邊選定一點(diǎn)c，測出a,c的距離為50 m，acb45，cab105后,就可以計(jì)算出a，b兩點(diǎn)的距離為_ m。答案50解析在abc中，acb45,cab105，所以abc1804510530，又因?yàn)閍c50 m，所以由正弦定理得ab50（m)（4)如圖，從無人機(jī)a上測得正前方的河流的兩岸b，c的俯角分別為67，30，此時(shí)無人機(jī)的高度是46 m，則河流的寬度bc約等于_ m（用四舍五入法將結(jié)果精確到個(gè)位參考數(shù)據(jù)：sin670。92，cos670.39，sin370.60，cos370.8

5、0，1。73)答案60解析由圖可知，ab，在abc中，由正弦定理可知，所以bc60(m）對應(yīng)學(xué)生用書p083題型 一測量距離問題1一艘船以每小時(shí)15 km的速度向東航行，船在a處看到一個(gè)燈塔m在北偏東60方向，行駛4 h后，船到達(dá)b處，看到這個(gè)燈塔在北偏東15方向，這時(shí)船與燈塔的距離為（）a15 km b30 kmc45 km d60 km答案b解析作出示意圖如圖所示，依題意有ab15460，dac60,cbm15，mab30，amb45.在amb中，由正弦定理，得，解得bm30.2(2019寧德模擬)海洋藍(lán)洞是地球罕見的自然地理現(xiàn)象，被喻為“地球留給人類保留宇宙秘密的最后遺產(chǎn)”，我國擁有世界

6、上最深的海洋藍(lán)洞，若要測量如圖所示的藍(lán)洞的口徑a，b兩點(diǎn)間的距離，現(xiàn)在珊瑚群島上取兩點(diǎn)c，d,測得cd80,adb135，bdcdca15，acb120，則a，b兩點(diǎn)的距離為_答案80解析由已知，在acd中，acd15，adc150，所以dac15，由正弦定理，得ac40()，在bcd中，bdc15，bcd135，所以dbc30,由正弦定理，得bc160sin1540(）;在abc中，由余弦定理,ab2ac2bc22acbccosacb1600（84）1600（84）21600（）（)1600161600432000，解得ab80，則a，b兩點(diǎn)的距離為80。（1）測量距離問題,無論題型如何變化

7、，即兩點(diǎn)的情況如何變化，實(shí)質(zhì)都是要求這兩點(diǎn)間的距離，無非就是兩點(diǎn)所在三角形及其構(gòu)成元素的所知情況不同而已，恰當(dāng)?shù)禺嫵?找出）適合解決問題的三角形是解題的基礎(chǔ)，將已知線段長度和角度轉(zhuǎn)化為要解的三角形的邊長和角是解題的關(guān)鍵(2）求距離問題的兩個(gè)策略選定或確定要?jiǎng)?chuàng)建的三角形，首先確定所求量所在的三角形，若其他量已知?jiǎng)t直接求解；若有未知量,則把未知量放在另一確定三角形中求解確定用正弦定理還是余弦定理,如果都可用，就選擇更便于計(jì)算的定理 如圖,在海岸線上相距2千米的a，c兩地分別測得小島b在a的北偏西方向,在c的北偏西方向，且cos,則b，c之間的距離是（)a30千米 b30千米c12千米 d12千米答

8、案d解析由題意,得ac2,sinasincos，sinbsincos22cos21，在abc中,由正弦定理得bc12，則b與c的距離是12千米題型 二測量高度問題1（2019長沙一中模擬）如圖,在路邊安裝路燈，路寬為od，燈柱ob高為10 m，燈桿ab長為1 m，且燈桿與燈柱成120角，路燈采用圓錐形燈罩,其軸截面的頂角為2，燈罩軸線ac與燈桿ab垂直若燈罩截面的兩條母線所在直線中的一條恰好經(jīng)過點(diǎn)o，另一條與地面的交點(diǎn)為e.則該路燈照在路面上的寬度oe的長是_ m。答案解析在aob中,由余弦定理可得oa m,由正弦定理得sinbao，因?yàn)閎ao，所以cossinbao，sin,則sin22si

9、ncos.易知aco60，則sinaeosin（60)，在aoe中，由正弦定理可得oe m.2如圖,小明同學(xué)在山頂a處觀測到一輛汽車在一條水平的公路上沿直線勻速行駛，小明在a處測得公路上b，c兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，且bac135.若山高ad100 m,汽車從b點(diǎn)到c點(diǎn)歷時(shí)14 s,則這輛汽車的速度約為_ m/s（精確到0.1)參考數(shù)據(jù)：1.414，2.236。答案22。6解析因?yàn)樾∶髟赼處測得公路上b,c兩點(diǎn)的俯角分別為30，45，所以bad60，cad45.設(shè)這輛汽車的速度為v m/s，則bc14v.在rtadb中，ab200。在rtadc中,ac100.在abc中,由余弦定理，得bc

10、2ac2ab22acabcosbac，所以(14v)2（100）220022100200cos135,所以v22。6,所以這輛汽車的速度約為22.6 m/s.求解高度問題的注意事項(xiàng)（1）理解仰角、俯角（它是在鉛垂面上所成的角)、方向(位）角（它是在水平面上所成的角）等的定義（2)在實(shí)際問題中，可能會遇到空間與平面（地面)同時(shí)研究的問題，這時(shí)最好畫兩個(gè)圖形，一個(gè)空間圖形,一個(gè)平面圖形,這樣處理起來既清楚又不容易搞錯(cuò)如舉例說明2。(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題 1如圖,在離地面高400 m的熱氣球上，觀測到山頂c處的仰角為15,山腳a處的俯角為45，已知bac60，則

11、山的高度bc為()a700 m b640 m c600 m d560 m答案c解析在rtamd中，am400（m），在mac中，amc451560，mac180456075，mca180amcmac45,由正弦定理得ac400（m）在rtabc中，bcacsinbac400600（m）2如圖所示，為測量山高mn，選擇a和另一座山的山頂c為測量觀測點(diǎn)從a點(diǎn)測得m點(diǎn)的仰角man60,c點(diǎn)的仰角cab45以及mac75；從c點(diǎn)測得mca60.已知山高bc100 m,則山高mn_ m.答案150解析在abc中,ac100，在mac中，解得ma100，在mna中，sin60，故mn150，即山高mn為1

12、50 m。題型 三測量角度問題 1在某點(diǎn)b處測得建筑物ae的頂端a的仰角為,沿be方向前進(jìn)30 m,至點(diǎn)c處測得頂端a的仰角為2，再繼續(xù)前進(jìn)10 m至d點(diǎn)，測得頂端a的仰角為4，則的大小為_答案15解析在acd中，acbc30，adcd10,adc1804,由正弦定理得，所以，cos2，所以230，15。2在一次海上聯(lián)合作戰(zhàn)演習(xí)中，紅方一艘偵察艇發(fā)現(xiàn)在北偏東45方向，相距12 n mile的水面上，有藍(lán)方一艘小艇正以每小時(shí)10 n mile的速度沿南偏東75方向前進(jìn),若紅方偵察艇以每小時(shí)14 n mile的速度沿北偏東45方向攔截藍(lán)方的小艇若要在最短的時(shí)間內(nèi)攔截住，求紅方偵察艇所需的時(shí)間和角的

13、正弦值解如圖，設(shè)紅方偵察艇經(jīng)過x小時(shí)后在c處攔截住藍(lán)方的小艇,則ac14x，bc10x，abc120.根據(jù)余弦定理得(14x）2122(10x）2240xcos120，解得x2.故ac28，bc20。根據(jù)正弦定理得，解得sin。所以紅方偵察艇所需的時(shí)間為2小時(shí)，角的正弦值為.解決測量角度問題的注意事項(xiàng)（1）測量角度時(shí)，首先應(yīng)明確方位角及方向角的含義（2)求角的大小時(shí)，先在三角形中求出其正弦或余弦值（3）在解應(yīng)用題時(shí),要根據(jù)題意正確畫出示意圖,通過這一步可將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問題，解題中也要注意體會正、余弦定理“聯(lián)袂使用的優(yōu)點(diǎn) 如圖所示，位于a處的信息中心獲悉:在a處的正東方向相距

14、40海里的b處有一艘漁船遇險(xiǎn)，在原地等待營救信息中心立即把消息告知在a處的南偏西30、相距20海里的c處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東的方向沿直線cb前往b處救援，則cos等于(）a。 b.c。 d.答案b解析在abc中，ab40,ac20，bac120，由余弦定理得bc2ab2ac22abaccos1202800，所以bc20.由正弦定理得sinacbsinbac。由bac120知acb為銳角，故cosacb，故coscos(acb30）cosacbcos30sinacbsin30.對應(yīng)學(xué)生用書p285組基礎(chǔ)關(guān)1如圖所示，為了測量某湖泊兩側(cè)a,b間的距離，李寧同學(xué)首先選定了與a，b不共線的一點(diǎn)c（a

15、bc的角a，b，c所對的邊分別記為a,b,c),然后給出了三種測量方案：測量a，c,b;測量a，b,c；測量a，b，a。則一定能確定a,b間的距離的所有方案的序號為（）a b c d答案d解析知兩角一邊可用正弦定理解三角形，故方案可以確定a，b間的距離，知兩邊及其夾角可用余弦定理解三角形，故方案可以確定a,b間的距離2如圖所示，一座建筑物ab的高為(3010) m，在該建筑物的正東方向有一座通信塔cd。在它們之間的地面上的點(diǎn)m(b，m，d三點(diǎn)共線）處測得樓頂a，塔頂c的仰角分別是15和60，在樓頂a處測得塔頂c的仰角為30，則通信塔cd的高為()a30 m b60 mc30 m d40 m答案

16、b解析在rtabm中，am20（m）過點(diǎn)a作ancd于點(diǎn)n，如圖所示易知manamb15,所以mac301545.又amc1801560105,所以acm30。在amc中，由正弦定理得，解得mc40(m)在rtcmd中,cd40sin6060(m），故通信塔cd的高為60 m.3如圖，兩座相距60 m的建筑物ab，cd的高度分別為20 m,50 m，bd為水平面，則從建筑物ab的頂端a看建筑物cd的張角cad等于（)a30 b45 c60 d75答案b解析依題意可得ad20 m，ac30 m,又cd50 m，所以在acd中，由余弦定理得coscad,又0cad180，所以cad45，所以從頂端

17、a看建筑物cd的張角為45.4如圖所示，一艘海輪從a處出發(fā),測得燈塔在海輪的北偏東15方向，與海輪相距20 n mile的b處，海輪按北偏西60的方向航行了30 min后到達(dá)c處，又測得燈塔在海輪的北偏東75的方向上，則海輪的速度為()a。 n mile/min b。 n mile/minc3 n mile/min d10 n mile/min答案a解析由已知得acb45，b60，由正弦定理得，所以ac10,所以海輪航行的速度為(n mile/min)5如圖，測量河對岸的塔高ab時(shí)可以選與塔底b在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測點(diǎn)c與d,測得bcd15,bdc30，cd30，并在點(diǎn)c處測得塔頂a的仰角為6

18、0,則塔高ab等于（）a5 b15 c5 d15答案d解析在bcd中，cbd1801530135。由正弦定理得，所以bc15。在rtabc中，abbctanacb1515。6線段ab外有一點(diǎn)c,abc60,ab200 km，汽車以80 km/h的速度由a向b行駛,同時(shí)摩托車以50 km/h的速度由b向c行駛，則運(yùn)動(dòng)開始_ h后，兩車的距離最小答案解析如圖所示,設(shè)t h后，汽車由a行駛到d,摩托車由b行駛到e，則ad80t，be50t.因?yàn)閍b200，所以bd20080t，問題就是求de最小時(shí)t的值由余弦定理得de2bd2be22bdbecos60(20080t)22500t2(20080t）5

19、0t12900t242000t40000。當(dāng)t時(shí)de最小組能力關(guān)1如圖，為了測量某濕地a，b兩點(diǎn)間的距離，觀察者找到在同一直線上的三點(diǎn)c,d，e。從d點(diǎn)測得adc67。5，從c點(diǎn)測得acd45,bce75，從e點(diǎn)測得bec60.若測得dc2，ce(單位：百米)，則a,b兩點(diǎn)的距離為（)a. b2 c3 d2答案c解析根據(jù)題意，在adc中，acd45,adc67.5，dc2，則dac1804567.567。5,則acdc2，在bce中，bce75，bec60,ce,則ebc180756045,則有,變形可得bc,在abc中，ac2，bc，acb180acdbce60,則ab2ac2bc22acbccosacb9，則ab3。2（2019惠州調(diào)研)如圖所示，在一個(gè)坡度一定的山坡ac的頂上有一高度為25 m的建筑物cd，為了測量該山坡相對于水平地面的坡角，在山坡的a處測得dac15，沿山坡前進(jìn)50 m到達(dá)b處，又測得dbc45，根據(jù)以上數(shù)據(jù)可得cos_。答案1解析由dac15，dbc45，可得dba135，adb30.在abd中，根據(jù)正弦定理可得，即,所以bd100sin15100s