歷屆大學物理力學試題解答

1、歷屆大學物理力學試題解答歷屆大學物理力學試題解答 （共（共21題）題） 1、均勻細桿、均勻細桿AOB 的的A 端，端，B 端和中央位置端和中央位置O處各有處各有1個光滑的個光滑的 小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞小孔先讓桿在光滑的水平大桌面上繞 O 孔以角速度孔以角速度 w w。作順時。作順時 針方向旋轉如圖（圖平面為大桌面）。今將一光滑的細桿迅速針方向旋轉如圖（圖平面為大桌面）。今將一光滑的細桿迅速 插入插入 A 孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動，穩(wěn)定后，在孔，棍在插入前后無任何水平方向的移動，穩(wěn)定后，在 迅速拔迅速拔A棍的同時，將另一光滑細棍如前所述插入棍的同時，將另一光滑細棍如前所述

2、插入B 孔，再次孔，再次 穩(wěn)定后，又在迅速拔出穩(wěn)定后，又在迅速拔出 B 棍的同時，將另一光滑細棍如前所述棍的同時，將另一光滑細棍如前所述 插入插入 O 孔。試求：最終穩(wěn)定后，細桿孔。試求：最終穩(wěn)定后，細桿AOB 繞繞O 孔旋轉方向和孔旋轉方向和 旋轉角速度的大小。旋轉角速度的大小。 解：解： AOB m , l 22 3 1 , 12 1 mlIImlI BAo AA LL PrLL ccA 0 w w ocA ILL AAA ILw w 插入插入A孔前后孔前后 AOB m , l 0 w w ocA ILL AAA ILw w 00 4 1 w w w w w w A o A I I 插入插

3、入 B 孔前后孔前后 PrLL ccB c r c v Prc c L OAAoB mu l IL 2 w w AAcOA l ruw w w w 2 0 2 24 1 w wmlLB BBB ILw w 0 8 1 w w w wB w wB 反向轉了反向轉了 再次插入再次插入O孔前后孔前后 BOO ILw w w w ooo IL 00 8 1 w w w w w w B AOB m , l 逆時針轉逆時針轉 2、質量分別為質量分別為m1 和和m2 的的 兩物塊與勁度系數(shù)為兩物塊與勁度系數(shù)為 k 的的 輕彈簧構輕彈簧構 成系統(tǒng)如圖，物塊與物體（平面）光滑接觸，右側水平外力使成系統(tǒng)如圖，物塊

4、與物體（平面）光滑接觸，右側水平外力使 彈簧壓縮量為彈簧壓縮量為 l 。物體靜止。將右側外力撤去，系統(tǒng)質心。物體靜止。將右側外力撤去，系統(tǒng)質心 C 可獲得的最大加速度為可獲得的最大加速度為 ，可獲得的最大速度值為，可獲得的最大速度值為 。 m1 m2 k解：解： F m1 N f f F m2 c ammkxN)( 21 lx x mm k ac 21 21 max mm kl ac 質心質心 的最大加速度的最大加速度 質心質心 的最大速度的最大速度 m1 m2 k F m2過平衡位置時的速度過平衡位置時的速度 2 max2 2 2 1 2 1 mvkl l m k v 2 max2 max

5、21 2211 max )( mm vmvm vc l mm km 21 2 = 0 3、如圖所示。表面呈光滑的如圖所示。表面呈光滑的 剛體無轉動地豎直下落。圖中虛線剛體無轉動地豎直下落。圖中虛線 對應過剛體唯一地對應過剛體唯一地 最低點部位最低點部位P1 的水平切平面。圖中豎直虛線的水平切平面。圖中豎直虛線 P1 P2 對應著過對應著過 P1 點的鉛垂線，點的鉛垂線， C 為剛體的為剛體的 質心。設質心。設C與鉛垂與鉛垂 線線P1 P2確定的平面即為鉛垂面，將確定的平面即為鉛垂面，將C到到P1 P2 的距離記為的距離記為 d ，剛，剛 體質量為體質量為 m。剛體相對于過。剛體相對于過 C 點

6、且與圖平面垂直的水平轉軸的點且與圖平面垂直的水平轉軸的 轉動慣量為轉動慣量為 JC . 設設 JCm d 2。已知剛體與水平地面將發(fā)生的碰。已知剛體與水平地面將發(fā)生的碰 撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點部位撞為彈性碰撞，且無水平摩擦力，試在剛體中找出這樣的點部位 ，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大，它們在剛體與地面碰撞前、后的兩個瞬間，速度方向相反，大 小不變。小不變。 C d P1 P2 v0 解：解： C d P1 P2 N y vc )( 0 vmmvtN c 解：解： C d P1 P2 N y w w c JtdN 2 0 22 2 1 2

7、1 2 1 mvJmv cc w w 0 2 2 v mdJ mdJ v c c c 0 2 2 v mdJ md c w w P0 c v 0 vdvv c w w 4、 兩個質量相同的小球兩個質量相同的小球A 、B, 用長為用長為 2a 的無彈性且的不可伸的無彈性且的不可伸 長的繩子聯(lián)結。開始時長的繩子聯(lián)結。開始時A、B 位于同一豎直線上，位于同一豎直線上， B在在A 的下方，的下方， 相距為相距為a，如圖所示。今給，如圖所示。今給A 一水平初速度一水平初速度v0 ， 同時靜止釋放同時靜止釋放B ，不計空氣阻力。且設繩子一旦伸直便不再回縮，問：經過多長，不計空氣阻力。且設繩子一旦伸直便不再

8、回縮，問：經過多長 時間，時間，A、B 恰好在同一水平線上？恰好在同一水平線上？ a v0 A B C A B 2 a 解：解： 00 1 3 30cos2 v a v a t 選擇質心系，角動量守恒選擇質心系，角動量守恒 2 0 v 2 0 v 繩子拉緊前，繩子拉緊前， A 、B 相對于質心的速度大相對于質心的速度大 小為小為 2 0 v 繩子拉緊后，繩子拉緊后， A 、B相對于質心做圓周運動，速度設為相對于質心做圓周運動，速度設為 vt t 從釋放到繩子拉直所用時間從釋放到繩子拉直所用時間 dt Ld M c c C B 2 0 v vt t0 2 0 v a v0 A B C A B 解

9、：解： 00 2 t tt tt t mavmavmav 30sin 2 22 0 v mamav t t 4 0 v v t t 22 6 t a v t t t w w 0 2 3 2 v a v a t t t 0 21 ) 3 2 3( v a ttt 30 vt t vt t 5、 某慣性系中有兩個質點某慣性系中有兩個質點A、B， 質量分別為質量分別為 m1、 m2 ，它們，它們 之間只受萬有引力作用。開始時兩質點相距之間只受萬有引力作用。開始時兩質點相距 l0，質點，質點A靜止，靜止， 質點質點B 沿連線方向的初速度為沿連線方向的初速度為 v0 .為使質點為使質點 B 維持速度維持

10、速度v0不變，不變， 可對質點可對質點 B 沿連線方向施一變力沿連線方向施一變力 F，試求：（，試求：（1）兩質點的最）兩質點的最 大間距，及間距為最大時的大間距，及間距為最大時的 F 值（值（2）從開始時刻到間距最大）從開始時刻到間距最大 的過程中，變力的過程中，變力 F 作的功（相對慣性系）作的功（相對慣性系） 0 2 0 2 l Gm v （G為引力常數(shù)）為引力常數(shù)） l0 F v0 m1 m2 A B 解：解： 以以 m2 為為 S系系 S S f 0 v m1 F f l0 F v0 m1 m2 A B S S 解：解： （1）以）以 m2 為為 S系系 f 0 v m1 F f m

11、ax 21 0 212 01 2 1 l mm G l mm Gvm 機械能守恒機械能守恒 0 2 002 2 max 2 2 l vlGm Gm l max 2 21 2 21 l mm G r mm GF 2 2 0 1 22 002 4 )2( Gml mvlGm l0 F v0 m1 m2 A B S （2）S系中系中 當當 l = lmax 時，時，m1的速度的速度 v =v0 由動能定理，對（由動能定理，對（m1+ m2 ） 2 02 2 021 2 1 )( 2 1 vmvmmWW fF 一一對對 max 0 l l f rdfW 一對一對 f 0 v m1 dr r mm G

12、l l max 0 2 21 0 21 max 21 l mm G l mm G 2 02 2 021 2 1 )( 2 1 vmvmmWW fF 一一對對 0 21 max 21 l mm G l mm GW f 一一對對 2 02 2 021 2 1 )( 2 1 vmvmmWF 0 21 max 21 l mm G l mm G 6、質量為、質量為 M 的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開一個小缺口的剛性均勻正方形框架，在某邊的中點開一個小缺口 ，缺口對質量分布的影響可以忽略。將框架放在以紙平面為代表的，缺口對質量分布的影響可以忽略。將框架放在以紙平面為代表的 光滑水平面后，令質量為光滑

13、水平面后，令質量為m 的剛性小球在此水平面上從缺口處以速的剛性小球在此水平面上從缺口處以速 度度 v 進入框內，圖中進入框內，圖中v 的方向的角的方向的角 =45 ，設小球與框架發(fā)生的，設小球與框架發(fā)生的 碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：（）小球必將通過缺口離碰撞均為無摩擦力的彈性碰撞，試證：（）小球必將通過缺口離 開框架。（）框架每邊長為開框架。（）框架每邊長為a，則小球從進入框架到離開框架，則小球從進入框架到離開框架， 相對于水平面的位移為：相對于水平面的位移為： vmM vam )( 22 v 解：（解：（ 1 ） v v a 2 2 （2） )(mM rmrM r mM c )( .

14、 . mM rmrM r mM c v Mm m rV Cc . v v 小小 球在框架內運動的時間為球在框架內運動的時間為 T a vv a T 22 2 2 4 在在T 時間間隔內，質心的位移為時間間隔內，質心的位移為 a v v Mm m TvS c 22 v vMm ma )( 22 v v )(mM rmrM r mM c )(mM rmrM Sr mM c MmMm rrr 0 mM r m mm c r mM rmrM Sr )( v vMm ma Sr m )( 22 7、小滑塊、小滑塊A 位于光滑水平桌面上，小滑塊位于光滑水平桌面上，小滑塊 B 處于位于桌面上處于位于桌面上

15、的光滑小槽中，兩滑塊的質量均是的光滑小槽中，兩滑塊的質量均是，用長為，用長為L ，不可伸長、，不可伸長、 無彈性的輕繩連接。開始時無彈性的輕繩連接。開始時A、B 間的距離為間的距離為 L/ 2, A、B 間的間的 連線與小槽垂直（如圖連線與小槽垂直（如圖 ）。今給滑塊一沖擊，使之獲得平行）。今給滑塊一沖擊，使之獲得平行 于槽的速度于槽的速度v ，求滑塊 ，求滑塊 B 開始運動時的速度。開始運動時的速度。 y 解：解：y 方向動量守恒方向動量守恒 y mvmvmv 120 A 對對B 原位置角動量守恒原位置角動量守恒 cossin 2 110 LmvLmv L mv yx y v1 x v1 2

16、 L 0 v B A L 3 yx mvmvmv 110 3 2 v 以以 B 為參照系，為參照系，A 相對于相對于B 的運動為以的運動為以 B 中心的圓，中心的圓， A 相相 對于對于B 的速度為的速度為 v vvv 21 21 1 cos sin vvv vv y x vv x 2 3 1 02 7 3 vv y mvmvmv 120 yx mvmvmv 110 3 21 2 1 vvv y 2 L 0 v y B A y v1 x v1 L 1 2 2 v A v B L 2 v x v1 y v1 8、長為、長為 l ，質量為，質量為m 的勻質細桿，置于光滑水平面上，可繞過桿的勻質細桿

17、，置于光滑水平面上，可繞過桿 的中點的中點 O 的光滑固定豎直軸轉動，初始時桿靜止。有一質量與光的光滑固定豎直軸轉動，初始時桿靜止。有一質量與光 滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度滑桿相同的小球沿與桿垂直的速度 v 飛來，與桿碰撞并粘在桿端飛來，與桿碰撞并粘在桿端 點上，如圖。（點上，如圖。（1）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運動狀態(tài)。（）定量分析系統(tǒng)碰撞后的運動狀態(tài)。（2）若去）若去 掉固定軸，桿中點不固定，再求系統(tǒng)碰撞后的運動狀態(tài)。掉固定軸，桿中點不固定，再求系統(tǒng)碰撞后的運動狀態(tài)。 v m m C 解：解： （1）角動量守恒）角動量守恒 w w) 4 1 12 1 ( 2 22 mlml l mv l

18、v 2 3 w w 以以 3v/2l 為角速度做勻角速轉動為角速度做勻角速轉動 O v m C 去掉固定軸，桿中點不固定去掉固定軸，桿中點不固定 平動轉動平動轉動 桿小球系統(tǒng)，動量守恒桿小球系統(tǒng)，動量守恒 c mvmv2 2 v vc 桿小球系統(tǒng)，外力矩為零，角動量守恒，桿小球系統(tǒng)，外力矩為零，角動量守恒， C 新質心新質心C位置位置 4 0 2 l mm m l m 對新質心對新質心C w w )( 4 21cc JJ l mv O v m C C 4 l 對新質心對新質心C w w )( 4 21cc JJ l mv 22 1 ) 4 ( 12 1l mmlJ c 2 48 7 ml （平

19、行軸定理）（平行軸定理） 2 2 ) 4 ( l mJc l v 5 6 w w 系統(tǒng)的質心以系統(tǒng)的質心以 v/2 速度平動，速度平動， 系統(tǒng)繞過質心的軸以系統(tǒng)繞過質心的軸以 w w 6v/5l 為角速度做勻角速轉動。為角速度做勻角速轉動。 9、 車廂內的滑輪裝置如圖所示，平臺車廂內的滑輪裝置如圖所示，平臺 C 與車廂一起運動，滑與車廂一起運動，滑 輪固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊輪固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊A 與平桌面與平桌面 摩擦系數(shù)摩擦系數(shù) m m0.25，A 的質量的質量 mA 20kg，物塊，物塊 B 的質量的質量 m B 30 kg 。今使車廂沿水平方向

20、朝左勻加速運動，加速度。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度 a0 2m/s2 ，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃,試求繩子張力試求繩子張力T。 C A B 0 a 解：解： mA g N f T f * mB g f * T a 以車廂為參照系，引入慣性力以車廂為參照系，引入慣性力 amgmamT AAA m m 0 A B amTgmam B BB 2222 0 BA BA mm mm agga T 0 22 0 m m 125.4（N） a 純滾動純滾動（無滑動的滾動）（無滑動的滾動） c v A B w wRvc 接觸點對地的速度為接觸點對地的速度為零零 Rac 質心

21、的速度為質心的速度為 c v 質心的加速度為質心的加速度為 c a 相對于質心系的角速度為相對于質心系的角速度為 w w相對于質心系的角加速度為相對于質心系的角加速度為 10、半徑為、半徑為R 的圓環(huán)靜止在水平地面上。的圓環(huán)靜止在水平地面上。 t 0 時刻開始以恒時刻開始以恒 定角加速度定角加速度 沿直線純滾動。任意時刻沿直線純滾動。任意時刻 t 0，環(huán)上最低點，環(huán)上最低點 A 的加速度的大小為的加速度的大小為 , 最高點最高點 B 的加速度的大小為的加速度的大小為 。 c v A B 解：解： 質心系中質心系中 最低點最低點A，地面系中，地面系中 2 2 w wR R v an 22t R

22、Rat ctt aaa Rat 向左向左 Ra c 向右向右 0 t a 22 n tRa 22t Ra 合加速度的大小合加速度的大小 t a c v A B 最高點最高點B ctt aaa Raa ct Rat2 22t Ran 2222 )()2(tRRa 42 4tR 純滾動純滾動（無滑動的滾動）（無滑動的滾動） c v A B w wRvc 接觸點對地的速度為接觸點對地的速度為零零 Rac 質心的速度為質心的速度為 c v 質心的加速度為質心的加速度為 c a 輪子上一點相對于質心系的角速度為輪子上一點相對于質心系的角速度為 w w 輪子上一點相對于質心系的角加速度為輪子上一點相對于質

23、心系的角加速度為 11、半徑為、半徑為R 的圓環(huán)靜止在水平地面上。的圓環(huán)靜止在水平地面上。 t 0 時刻開始以恒時刻開始以恒 定角加速度定角加速度 沿直線純滾動。任意時刻沿直線純滾動。任意時刻 t 0，環(huán)上最低點，環(huán)上最低點 A 的加速度的大小為的加速度的大小為 , 最高點最高點 B 的加速度的大小為的加速度的大小為 。 c v A B 解：解： 質心系中質心系中 最低點最低點A，地面系中，地面系中 2 2 w wR R v an 22t R Rat ctt aaa Rat 向左向左 Ra c 向右向右 0 t a 22 n tRa 22t Ra 合加速度的大小合加速度的大小 t a c v

24、A B 最高點最高點B ctt aaa Raa ct Rat2 22t Ran 2222 )()2(tRRa 42 4tR 2 2 w wR R v an 22t R Rat 12、一長、一長 L=4.8m 的輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車的輕車廂靜止于光滑的水平軌道上，固定于車 廂地板上的擊發(fā)器廂地板上的擊發(fā)器 A 自車廂中部以自車廂中部以 u0 = 2m/s 的速度將質量為的速度將質量為 m1 = 1kg 的物體沿車廂內光滑地板彈出，與另一質量為的物體沿車廂內光滑地板彈出，與另一質量為 m2 =1 kg 的的 物體碰撞并粘在一起，此時物體碰撞并粘在一起，此時 m2 恰好與另一端固定

25、于車廂的水平恰好與另一端固定于車廂的水平 位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數(shù)位置的輕彈簧接觸，彈簧的彈性系數(shù) k = 400N/m ，長度，長度l =0 .30m ，車廂和擊發(fā)器的總質量，車廂和擊發(fā)器的總質量 M = 2kg 求車廂自靜止至彈簧壓縮最甚求車廂自靜止至彈簧壓縮最甚 時的位移（不計空氣阻力，時的位移（不計空氣阻力， m1 和和m2 視作質點）視作質點） 解：解：車車m1+m2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 0 01 MVum A m1m2 0 u + V m1+m2 系統(tǒng)動量守恒系統(tǒng)動量守恒 0 1 u M m V ummum)( 2101 )( 21 01 mm um u A m1m2

26、 0 u + V 令令m1從被彈出到與從被彈出到與m2 碰撞結束所用的時間為碰撞結束所用的時間為 t m1相對車廂的位移為相對車廂的位移為 ) 2 (l L m1相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u0+V tuVl L )( 2 0 0 ) 2 ( uV l L t ) 2 ( 0 1 l L uV V tVX ) 2 () 2 ( 1 1 00 1 01 l L Mm m l L uu M m M um 在在 t 內，車廂向左的位移為：內，車廂向左的位移為： 車車m1+m2彈簧系統(tǒng)機械能守恒彈簧系統(tǒng)機械能守恒 彈簧壓縮最甚時，彈簧壓縮最甚時，m1、m2 速度為零。車廂相對地面也靜速度為零。車

27、廂相對地面也靜 止止 2 21 22 )( 2 1 2 1 )( 2 1 ummMVlk 2 1 21 01 ) 11 ( 1 mmMk uml 在在m1和和m2與彈簧碰撞的過程中，全部系統(tǒng)的動量守恒與彈簧碰撞的過程中，全部系統(tǒng)的動量守恒 0)()()()( 2121 tMVtummMVumm V u mm M tV tu )()( )( 21 A )(tu )(tV )( )( )( 21 tV mm M tu A )(tu )(tV 設設m1和和m2與彈簧碰撞所用的時間為與彈簧碰撞所用的時間為 t 在在 t 內，內， m1和和m2相對車廂的速度為相對車廂的速度為 u(t) )()()(tu

28、tVtu )( )( )( 21 tV mm M tV )( )( 21 21 tV mm Mmm ldttu t 0 )( 2 0 )(XdttV t l mm Mmm X )( 21 21 2 2 1 21 01 21 21 ) 11 ( 1 mmMk um Mmm mm 車廂的總位移為車廂的總位移為 X 21 XXX ) 2 ( 1 1 l L Mm m 2 1 21 01 21 21 ) 11 ( 1 mmMk um Mmm mm X= 0.75(m) A )(tu )(tV 13、 車廂內的滑輪裝置如圖所示，平臺車廂內的滑輪裝置如圖所示，平臺 C 與車廂一起運動，滑與車廂一起運動，滑

29、 輪固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊輪固定不轉動，只是為輕繩提供光滑的接觸。物塊A 與平桌面與平桌面 摩擦系數(shù)摩擦系數(shù) m m0.25，A 的質量的質量 mA 20kg，物塊，物塊 B 的質量的質量 m B 30 kg 。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度。今使車廂沿水平方向朝左勻加速運動，加速度 a0 2m/s2 ，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃，假定穩(wěn)定后繩將傾斜不晃,試求繩子張力試求繩子張力T。 C A B 0 a 解：解： mA g N f T f * mB g f * T a 以車廂為參照系，引入慣性力以車廂為參照系，引入慣性力 amgmamT AAA m m 0 A B a

30、mTgmam B BB 2222 0 BA BA mm mm agga T 0 22 0 m m 125.4（N） a P1 v1 P2c a b 行星繞恒星的橢圓運動行星繞恒星的橢圓運動 一、能量和角動量一、能量和角動量 )()( 21 camvcamv ca Mm Gmv ca Mm Gmv 2 2 2 2 1 2 1 1 由由 由由 2 2 2 2 4 1 b GMc vv GM ab ca v 2 2 2 2 )( )( 21 ca ca vv 222 bca a GM mbvcamL 2 )(P1 v1 P2c a b GM ab ca v 2 2 2 2 )( ca Mm GmvE

31、 2 2 2 1 a GMm 2 222 bca 二、橢圓在二、橢圓在 P1 點的曲率半徑為點的曲率半徑為 a b 2 三、橢圓軌道的偏心率為三、橢圓軌道的偏心率為 a ba a c e 22 四、軌道按能量的分類四、軌道按能量的分類 E 0，則偏心率，則偏心率 e 0，則偏心率，則偏心率 e1， 質點的運動軌道為雙曲線。質點的運動軌道為雙曲線。 以地球為例：以地球為例： rmax U(r) RE E10 0 r 2 2 2 1 k h m E e 14、行星原本繞著恒星、行星原本繞著恒星S 做圓周運動。設做圓周運動。設S 在很短的時間內發(fā)在很短的時間內發(fā) 生爆炸，通過噴射流使其質量減少為原來

32、的質量的生爆炸，通過噴射流使其質量減少為原來的質量的 g g 倍，行星倍，行星 隨即進入橢圓軌道繞隨即進入橢圓軌道繞S 運行，試求該橢圓軌道的偏心率運行，試求該橢圓軌道的偏心率 e 。提。提 示（記橢圓的半長，半短軸分別為示（記橢圓的半長，半短軸分別為A、B ，則，則 ) 22 A BA e 解：變軌后解：變軌后 P 或為近地點，或為遠地點或為近地點，或為遠地點 對圓軌道對圓軌道 P 點：點： P1 v1 P2C 2 0 2 )( 0 CA mGM CA mv 對橢圓軌道對橢圓軌道 P1 點：點： 2 0 2 )( 0 CA mMG mv g g A B 2 222 CBA S v0 P A

33、B 先考慮先考慮 P 為近地點，后考慮為近地點，后考慮P 為遠地點的情況為遠地點的情況 2 0 2 )( 0 CA mGM CA mv 2 0 2 )( 0 CA mMG mv g g A B 2 222 CBA g g 1 )( CA g g 1 )( 2 CAA B A C A BA e 22 P1 v1 P2C g g 1 A CA g g g g 1 e 2 0 2 )( 0 CA mGM CA mv 對對P2 點點 2 0 2 )( 0 CA mMG mv g g g g 1 A CA P1 v1 P2C 因為因為 g g 1 ，因此上式不成立，因此上式不成立 。 故故 行星變軌后不

34、可能處于行星變軌后不可能處于P2點，只能處于點，只能處于P1 點。點。 解二：解二： )()( 21 CAmvCAmv CA Mm Gmv CA Mm Gmv 2 2 2 2 1 2 1 1 橢圓軌道的角動量橢圓軌道的角動量 P1 v1 P2C A GM mBvCAmL 2 )( 圓軌道的角動量圓軌道的角動量 RGMmmvRL 0 CAR 0 MMg g CA A B 2 g g 222 CBA A BA A C e 22 P1 v1 P2C A B g g g g 1 e 1 )( g g A CA 角動量守恒角動量守恒 A MG mBL 0 g g )( 0 CAGMm 15、一個質量為一

35、個質量為m 的衛(wèi)星繞著質量為的衛(wèi)星繞著質量為 M ，半徑為，半徑為 R 的大星體的大星體 作半徑為作半徑為 2R 的圓運動。遠處飛來一個質量為的圓運動。遠處飛來一個質量為 2m，速度為，速度為 的小流星，它恰好沿著衛(wèi)星的運動方向的小流星，它恰好沿著衛(wèi)星的運動方向 追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞，結合成一個新的星體，作用追上衛(wèi)星并和衛(wèi)星發(fā)生激烈碰撞，結合成一個新的星體，作用 時間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的時間非常短。假定碰撞前后位置的變化可以忽略不計，新星的 速度仍沿原來的方向，速度仍沿原來的方向， （1）用計算表明新的星體的運動軌道類型，算出軌道的偏心）用計算表明新的星體

36、的運動軌道類型，算出軌道的偏心 率率e （2）如果用小流星沿著衛(wèi)星的速度的反方向發(fā)生碰撞，算出）如果用小流星沿著衛(wèi)星的速度的反方向發(fā)生碰撞，算出 此時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的此時新星體的軌道的偏心率。給出新星體能否與大星體碰撞的 判斷。判斷。 R GM v 解：解： M R 2R m 2m (1) 碰撞前衛(wèi)星的速度碰撞前衛(wèi)星的速度 )2()2( 2 0 2 R v m R Mm G R GM v 2 0 M R 2R m 2m 小流星與衛(wèi)星碰撞，動量守恒小流星與衛(wèi)星碰撞，動量守恒 vmm R GM m R GM m)2(2 2 R GM v R GM v 6 24 新

37、星體的能量新星體的能量 R mM GvmE 2 )3( )3( 2 1 2 0 4 . 52 )3( R mGM 橢圓軌道橢圓軌道 a GMm E 2 對比對比Ra4 . 5 R2 在近地點在近地點 a 63. 0 a ra e 近近 偏心率偏心率 M R 2R m 2m R GM v (2) 小流星與衛(wèi)星反方向碰撞，動量守恒小流星與衛(wèi)星反方向碰撞，動量守恒 vmm R GM m R GM m )2(2 2 R GM v 23 122 新星體的能量新星體的能量 R mM GvmE 2 )3( )3( 2 1 2 0 2 . 12 )3( R mGM 橢圓軌道橢圓軌道 a GMm E 2 對比對

38、比Ra2 . 1 R2 M R 2R m 2m R GM v Ra2 . 1 R2 a 在遠地點在遠地點 67. 0 a ar e 新星與新星與 M 在近地點時的距離在近地點時的距離 RRrar 4 . 02 近近 兩者發(fā)生碰撞兩者發(fā)生碰撞 16、質量為、質量為2m 的勻質圓盤形滑輪可繞過中心的勻質圓盤形滑輪可繞過中心O 并與盤面垂直并與盤面垂直 的水平固定光滑軸轉動，轉軸半經線度可忽略，物體的水平固定光滑軸轉動，轉軸半經線度可忽略，物體1、2的質的質 量分別為量分別為m 和和2m ，它們由輕質、不可伸長的細繩繞過滑輪掛，它們由輕質、不可伸長的細繩繞過滑輪掛 在兩側。細繩與滑輪間的摩擦系數(shù)處處

39、相同，記為在兩側。細繩與滑輪間的摩擦系數(shù)處處相同，記為 m m，開始時，開始時 ，滑輪和兩物體均處于靜止狀態(tài)，而后若，滑輪和兩物體均處于靜止狀態(tài)，而后若m m 0則滑輪不會轉動則滑輪不會轉動 ；若；若m m 0，但較小時，滑輪將會轉動，同時與繩之間有相對滑，但較小時，滑輪將會轉動，同時與繩之間有相對滑 動；當動；當 m m 達到某臨界值達到某臨界值m m0 0 時，滑輪與繩之間的相對滑動剛好消時，滑輪與繩之間的相對滑動剛好消 失，試求失，試求m m0 0 值。值。 T2 T1 m1 g m2 g 解：解： amgmT 111 amTgm 222 mm 1 mm2 2 2 12 2 2 1 mR

40、JRTRT Ra T2 T1 m1 g m2 g 解：解： amgmT 111 amTgm 222 mm 1 mm2 2 2 12 mRJRTRT Ra mamgT 1 maTmg22 2 maTT 12 ga 4 1 mgT 4 5 1 mgT 2 3 2 繩子的質量忽略不計繩子的質量忽略不計 0 i F 0 d dTTdTdf )()( 2 )( 2 )( d T d dTdN 22 sin dd 2 sin)( 2 sin)( d T d dTdN TddN 對臨界對臨界m m值值 dNdf 0 m m Nd T ( ) df d 2 d T ( d ) 2 cos)( 2 cos)(

41、d Tdf d dT m mTddT 0 m md T dT 0 m m 0 0 2 1 d T dT T T m m0 1 2 ln T T m m0 12 eTT 5 6 ln 1 0 m m dTTdTdf )()( TddN dNdf 0 m m mgT 4 5 1 mgT 2 3 2 17、光滑的平面上整齊地排列著一組長為、光滑的平面上整齊地排列著一組長為 l,質量為質量為m 的均勻的均勻 細桿細桿 ， 桿的間距足夠大。桿的間距足夠大。 現(xiàn)有一質量現(xiàn)有一質量 為為 M 的小球以垂直于桿的的小球以垂直于桿的 速度速度 V0 與桿的一端做彈性碰撞，隨著細桿的旋轉，桿的另一端又與小與桿的一

42、端做彈性碰撞，隨著細桿的旋轉，桿的另一端又與小 球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二桿、第三桿球做彈性碰撞，而后小球相繼再與第二桿、第三桿.相碰。當相碰。當 m/M 為何值時，為何值時， M才能仍以速度才能仍以速度 V0 穿出細桿陣列？穿出細桿陣列？ 0 V m , l M 解：解： c mVMVMV 0 由動量守恒由動量守恒 由角動量守恒由角動量守恒w w c J l MV l MV 22 0 2 12 1 mlJc 由動能守恒由動能守恒 2222 2 1 2 1 2 1 2 1 0 w w JmVMVMV c V = Vc c mVMVMV 0 w w c J l MV l MV 22 0

43、2222 2 1 2 1 2 1 2 1 0 w w JmVMVMV c V = Vc 由由 得：得： l Vc6 w w 代入代入 2 1 m M 18、將勁度系數(shù)為、將勁度系數(shù)為 k，自由長度為自由長度為L，質量為質量為m 的均勻柱形圓的均勻柱形圓 柱彈性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。柱彈性體豎直朝下，上端固定，下端用手托住。 （1）設開始時彈性體處于靜止的平衡狀態(tài)，其長度恰好為）設開始時彈性體處于靜止的平衡狀態(tài)，其長度恰好為L, 試求此時手上的向上托力。試求此時手上的向上托力。 （2）而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體分離，試求其間）而后將手緩慢向下移動，最終與彈性體分離，試求其間

44、 手的托力所作的功手的托力所作的功W。 解解:(1) 取下面一段研究取下面一段研究 0 F0 T G 它處于靜止的平衡狀態(tài)它處于靜止的平衡狀態(tài) T GF0 0 Fmg L yL 取取 一微元一微元dy計算其彈性系數(shù)計算其彈性系數(shù) 將圓柱看做由許多的小段將圓柱看做由許多的小段 dy 串聯(lián)而成串聯(lián)而成 n kkkk 1111 21 0 y F0 y y dy dy L kdy 1 k y L kdy d T T+dT 對微元對微元dy， 設伸長為設伸長為 dx x x xd dy kT x xd d k y L y Lk T dd x xyFmg L yL Lk d)( 1 0 其總伸長為其總伸長

45、為 L yFmg L yL Lk 0 0 d)( 1 dx xx x 令令 x x 為零為零 0d)( 1 0 0 L yFmg L yL Lk x x mgF 2 1 0 （2）問）問 中中 x x 為為 LL yFmg L yL Lk 0 0 0 d)( 1 dx xx x) 2 1 ( 1 0L FmgL Lk k F k mg 0 2 x x x xkmgF 2 1 0 令令F 0 mg k2 1 0 x x 0 0 d x x x xFW x xx xd) 2 1 ( 2 0 k mg mgk k mg 8 )( 2 19、如圖所示，光滑水平面上有一半徑為、如圖所示，光滑水平面上有一

46、半徑為R的固定圓的固定圓 環(huán)，長環(huán)，長2l 的勻質細桿開始時繞著中心的勻質細桿開始時繞著中心C點旋轉，點旋轉，C點點 靠在圓環(huán)上，且無初速度，假定此后細桿可無相對靠在圓環(huán)上，且無初速度，假定此后細桿可無相對 滑動的繞著圓環(huán)外側運動，直到細桿的一端與環(huán)接滑動的繞著圓環(huán)外側運動，直到細桿的一端與環(huán)接 觸后彼此分離，已知細桿與圓環(huán)之間的摩擦因數(shù)觸后彼此分離，已知細桿與圓環(huán)之間的摩擦因數(shù) 處處相同，試求處處相同，試求的取值范圍。的取值范圍。 ll R A B R ABC P v R r A B R P v Rr ABC 解：設細桿初始角速度為解：設細桿初始角速度為 0 0，轉過，轉過角后角速度為角后角速度為 ， 在光滑水平面中轉動，機在光滑水平面中轉動，機