工程力學(xué)第8章 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算

1、 工工 程程 力力 學(xué)學(xué) 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8.4 8.4 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例如：例如：AC和和DB段。段。 橫截面上有彎矩又有剪力。橫截面上有彎矩又有剪力。 稱為稱為橫力彎曲橫力彎曲( (剪切

2、彎曲剪切彎曲) )。 例如：例如：CD段。段。 橫截面上有彎矩沒有剪力。橫截面上有彎矩沒有剪力。 稱為稱為純彎曲。純彎曲。 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.1.1 純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力純彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 平面假設(shè)：平面假設(shè)：梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變梁的橫截面在彎曲變形后仍然保持平面，且與變 形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。形后的軸線垂直，只是繞截面的某一軸線轉(zhuǎn)過了一個角度。 單向受力假設(shè)：單向受力假設(shè)：各縱向纖維之間相互不擠壓。各縱向纖維之間相互不擠壓。

3、橫向線橫向線( (mm、nn): ): 仍保持為直線，仍保持為直線， 發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。發(fā)生了相對轉(zhuǎn)動，仍與弧線垂直。 實(shí)驗觀察變形實(shí)驗觀察變形 縱向線縱向線( (aa、bb) )：變?yōu)榛【€，凹側(cè)變?yōu)榛【€，凹側(cè) 縮短，凸側(cè)伸長?？s短，凸側(cè)伸長。 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 中性軸：中性軸：中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ中性層與梁的橫截面的交線，垂直于梁的縱向?qū)ΨQ 面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動）面。（橫截面繞中性軸轉(zhuǎn)動） 中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。中性軸垂直于縱向?qū)ΨQ面。 設(shè)想梁由平行

4、于軸線的眾設(shè)想梁由平行于軸線的眾 多縱向纖維組成，由底部纖維多縱向纖維組成，由底部纖維 的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w的伸長連續(xù)地逐漸變?yōu)轫敳坷w 維的縮短，中間必定有一層纖維的縮短，中間必定有一層纖 維的長度不變。維的長度不變。 中性層：中性層：中間既不伸長也中間既不伸長也 不縮短的一層纖維。不縮短的一層纖維。 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系： 式式( (a) )表明線應(yīng)變表明線應(yīng)變與它到中性層的距與它到中性層的距 離離 y 成正比。成正比。 yy d d d (a) 設(shè)橫截面的對稱

5、軸為設(shè)橫截面的對稱軸為y 軸，向下為軸，向下為 正，中性軸為正，中性軸為 z 軸（位置未定）。軸（位置未定）。 d ybb d dOOOOxbb 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 物理關(guān)系：物理關(guān)系： 式式( (b) )表明表明橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力 與該點(diǎn)到中性軸的距離與該點(diǎn)到中性軸的距離 y 成正比。成正比。 yy d d d (a) 因為縱向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。因為縱向纖維之間無正應(yīng)力，每一纖維都是單向拉伸或壓縮。 當(dāng)應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律知當(dāng)

6、應(yīng)力小于比例極限時，由胡克定律知 E y E(b) 在中性軸上：在中性軸上：y0 0， 0 0。 將將 (a) 代入上式，得代入上式，得 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 A AFd N A y AzMd A z AyMd 0d N A AF 0d A y AzM e d MAyM A z E 常量，常量，0d A Ay E 0 z S z 軸（中性軸）通軸（中性軸）通 過截面形心。過截面形心。 梁的軸線在中性層內(nèi)，其長度不變。梁的軸線在中性層內(nèi)，其長度不變。 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系 (c) (d) (e) 0

7、d d AA A yE A 將式將式 代入式代入式(c)，得，得 y E 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 EIz 稱稱為梁的為梁的彎曲剛度彎曲剛度。 式中式中1/為梁彎曲后軸線的曲率。為梁彎曲后軸線的曲率。 將式將式(b)代入式代入式(d)，得，得 y E(b) 0d A y AzM MAyM A z d (d) (e) 0d d AA Azy E Az 0d yz A IAzy y 軸為對稱軸，必然有軸為對稱軸，必然有Iyz=0。 (自然滿足自然滿足) 將式將式(b)代入式代入式(e)，得，得 AA Ay

8、 E AyMd d 2 z I E M z EI M 1 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 由上面兩式，得由上面兩式，得純彎曲時正應(yīng)力的計算公式：純彎曲時正應(yīng)力的計算公式： y E(b) z EI M 1 z I yM 將彎矩將彎矩 M 和坐標(biāo)和坐標(biāo) y 按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為按規(guī)定的正負(fù)代入，所得到的正應(yīng)力若為 正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力。正，即為拉應(yīng)力，若為負(fù)則為壓應(yīng)力。 一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。一點(diǎn)的應(yīng)力是拉應(yīng)力或壓應(yīng)力，也可由彎曲變形直接判定。 以中性層

9、為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。以中性層為界，梁在凸出的一側(cè)受拉，凹入的一側(cè)受壓。 只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個平面內(nèi)，上面的只要梁有一縱向?qū)ΨQ面，且載荷作用于這個平面內(nèi)，上面的 公式就可適用。公式就可適用。 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.1.2 橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力橫力彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 在工程實(shí)際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不在工程實(shí)際中，一般都是橫力彎曲，此時，梁的橫截面上不 但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。因此，梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和但有正應(yīng)力還有剪應(yīng)力。

10、因此，梁在純彎曲時所作的平面假設(shè)和 各縱向纖維之間無擠壓的假設(shè)都不成立。各縱向纖維之間無擠壓的假設(shè)都不成立。 雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時正雖然橫力彎曲與純彎曲存在這些差異，但是應(yīng)用純彎曲時正 應(yīng)力計算公式來計算橫力彎曲時的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大，應(yīng)力計算公式來計算橫力彎曲時的正應(yīng)力，所得結(jié)果誤差不大， 足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比足以滿足工程中的精度要求。且梁的跨高比 l/h 越大，其誤差越小。越大，其誤差越小。 z I My 8.1 8.1 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例： 已

11、知已知 l=1m，q=6kN/m，10號槽號槽 鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。鋼。求最大拉應(yīng)力和壓應(yīng)力。 解：解：（1）作彎矩圖）作彎矩圖 mN3000 2 1 2 max qlM （2）由型鋼表查得，）由型鋼表查得，10號槽鋼號槽鋼 4 cm6 .25 z Icm8 . 4bcm52. 1 1 y （3）求最大應(yīng)力）求最大應(yīng)力 z I yM 1max max, t z I yM 2max max, c 48- 2 m1025.6 )m1052. 1)(mN3000( MPa1 .178 48- 2 m1025.6 m10)52. 18 . 4()mN3000( MPa4 .384 8.1 8.1

12、 梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力梁彎曲時橫截面上的正應(yīng)力 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 Wz 稱為稱為彎曲截面模量。彎曲截面模量。它與它與截面的幾何形狀有關(guān)，單位為截面的幾何形狀有關(guān)，單位為m3。 z I yM maxmax max max y I W z z z W M max max 橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng)橫力彎曲時，彎矩隨截面位置變化。一般情況下，最大正應(yīng) 力力 發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處。即發(fā)生在彎矩最大的截面上，且離中性軸最遠(yuǎn)處。即 max 引用記號引用記號 則則 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件

13、8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 對于寬為對于寬為 b ，高為，高為 h 的矩形截面的矩形截面 max y I W z z 對于直徑為對于直徑為 D 的圓形截面的圓形截面 max y I W z z 對于內(nèi)外徑分別為對于內(nèi)外徑分別為 d 、D 的空心圓截面的空心圓截面 max y I W z z 2/ 12/ 3 h bh 6 2 bh 2/ 64/ 4 D D 32 3 D 2/ 64/ )1 ( 44 D D )1 ( 32 4 3 D 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 如果梁的最大工作應(yīng)力，

14、不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就如果梁的最大工作應(yīng)力，不超過材料的許用彎曲應(yīng)力，梁就 是安全的。因此，梁彎曲時的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為是安全的。因此，梁彎曲時的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為 z W M max max 對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料對于抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料 ( (如炭鋼如炭鋼) )，只要絕對值最大，只要絕對值最大 的正應(yīng)力不超過許用彎曲應(yīng)力即可。的正應(yīng)力不超過許用彎曲應(yīng)力即可。 對于抗拉和抗壓不等的材料對于抗拉和抗壓不等的材料 ( (如鑄鐵如鑄鐵) )，則最大的拉應(yīng)力和最，則最大的拉應(yīng)力和最 大的壓應(yīng)力分別不超過各自的許用彎曲應(yīng)力。大的壓應(yīng)力分別不超過各自的許用彎曲應(yīng)力。 8.2 8.2 彎曲正

15、應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例：20a工字鋼梁。若工字鋼梁。若 ，試求許可荷載，試求許可荷載 F 。 MPa160 FAFB 解：解：（1）計算支反力）計算支反力 N 3 F FF BA （2）作彎矩圖）作彎矩圖 mN 3 2 max F FaM （3）確定許可荷載）確定許可荷載 zz W F W M 3 2 max max z WF 2 3 N)10160)(10237( 2 3 66 kN9 .56 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例：一矩形

16、截面木梁，已知一矩形截面木梁，已知 F =10 kN，a =1.2 m。木材的許用應(yīng)力。木材的許用應(yīng)力 =10MPa。設(shè)梁橫截面的高寬比為。設(shè)梁橫截面的高寬比為h/b=2，試選梁的截面尺寸。，試選梁的截面尺寸。 解：解：1.1.計算支反力計算支反力 kN255 . 2FFF BA 2.2.作彎矩圖作彎矩圖 mkN12 max FaM 3.3.選擇截面尺寸選擇截面尺寸 A,B截面最危險，該截面截面最危險，該截面 3 2 6 )2( 6 322 bbbbh Wz FAFB 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 mkN12 m

17、ax FaM 3 2 6 )2( 6 322 bbbbh Wz 強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 3/2 3 maxmax b M W M z 所以所以 3 max 2 3 M b mm243h 最后選用最后選用 125250mm2 的截面。的截面。 121.6mmm1216. 0 3 6 3 Pa1010 mN1012 2 3 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例：T字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力字形截面鑄鐵梁如圖。鑄鐵許用拉應(yīng)力 =30MPa, 許用壓許用壓 應(yīng)力應(yīng)力 =160 MPa。已知中性軸位置。已知中性軸位置 y

18、1 = 52 mm，截面對形心軸，截面對形心軸 z 的慣性矩為的慣性矩為 Iz=763 cm4。試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。 t c 解：解： 1.1.計算支反力計算支反力 kN5 . 2 A F kN5 .10 B F 2.2.繪彎矩圖繪彎矩圖 mkN4 B M mkN5 . 2 C M FBFA 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 mkN4 B M mkN5 . 2 C M 3.3.強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 B截面：截面： C截面：截面： z B I yM 1 max, t 48 33 m10763 m)1088)(m

19、N104( z C I yM 2 max, t 故該梁滿足強(qiáng)度條件。故該梁滿足強(qiáng)度條件。 t MPa1 .46 MPa8 .28 48 33 m10763 m)1052)(mN104( MPa3 .27 z B I yM 2 max, c c 48 33 m10763 m)1088)(mN105 . 2( t 8.2 8.2 彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.3.1 梁的彎曲剪應(yīng)力梁的彎曲剪應(yīng)力 1. 矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布關(guān)于橫截面上剪應(yīng)力的分布 規(guī)律，作以下兩個假設(shè)：規(guī)律，作以

20、下兩個假設(shè)： ( (1) ) 橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方橫截面上各點(diǎn)的剪應(yīng)力的方 向都平行于剪力向都平行于剪力FS； ( (2) ) 剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。剪應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。 在截面高度在截面高度 h 大于寬度大于寬度 b 的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到的情況下，以上述假設(shè)為基礎(chǔ)得到 的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。的解，與精確解相比有足夠的準(zhǔn)確度。 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 剪應(yīng)力計算公式為剪應(yīng)力計算公式為 bI SF z z * S 2 2/ 2 * yh yy h bSz 2 2 42

21、y hb 2 2 S 42 y h I F z 矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按矩形截面梁的彎曲剪應(yīng)力沿截面高度按拋物線拋物線規(guī)律變化。規(guī)律變化。 y =0，即中性軸上各點(diǎn)處：，即中性軸上各點(diǎn)處： ， 2 h y0 bh F S max 2 3 即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處：即橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處： A F S 2 3 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 2. 工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力工字形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 腹板上的剪應(yīng)力腹板上的剪應(yīng)力 bI SF z z S 222 1 222 hHhhH BSz 2 2 22

22、 428 y h b hH B y h yy h b 22 1 2 bI SF z z S 2 2 22 S 428 y hb hH B bI F z 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8 )1 ( 8 22 S max Bh B bBH bI F z 88 22 S min BhBH bI F z minmax 2 h y0y和和 計算結(jié)果表明：計算結(jié)果表明： SS1 )97. 095. 0(FF 腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計算公式腹板內(nèi)的剪應(yīng)力近似計算公式 bh F S 2 2 22 S 428 y hb hH B

23、bI F z 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 3. 圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力圓形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 ( (2) ) ab 弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量弦上各點(diǎn)剪應(yīng)力的垂直分量 y 為常量。為常量。 橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè)橫截面上彎曲剪應(yīng)力分布的假設(shè) bI SF z z y S b為為 ab 弦的長度；弦的長度； Sz*為為 ab 弦以上的面積對中性軸弦以上的面積對中性軸 z 的靜矩。的靜矩。 ( (1) ) ab 弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于弦上各點(diǎn)的剪應(yīng)力都匯交于 D點(diǎn)；點(diǎn)； 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條

24、件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 在在y =0處處，即中性軸上各點(diǎn)處：，即中性軸上各點(diǎn)處： 2 S max max 3 4 R F y bI SF z z y S 22 2yRb 23 22 3 2 yRSz 3 22 S z y I yRF A F S 3 4 max 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 4. 薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力薄壁圓環(huán)形截面梁的彎曲剪應(yīng)力 因為薄壁圓環(huán)的壁厚因為薄壁圓環(huán)的壁厚 t 遠(yuǎn)小于平均半徑遠(yuǎn)小于平均半徑 R ，故可以認(rèn)為剪應(yīng)力，故可以

25、認(rèn)為剪應(yīng)力 沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。沿壁厚均勻分布，方向與圓周相切。 最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為最大剪應(yīng)力仍發(fā)生在中性軸上，其值為 bI SF z z * S max 33* ) 2 ( 3 2 ) 2 ( 3 2t R t RSz 44 ) 2 ( 4 ) 2 ( 4 t R t RI z tb2 Rt F 2 2 S max A F S 2 tR 2 2 tR 3 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出現(xiàn)最大剪一般情況，在剪力為最大值的截面的中性軸上，出

26、現(xiàn)最大剪 應(yīng)力應(yīng)力 bI SF z * maxmaxS max 彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度條件 max 細(xì)長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。細(xì)長梁的控制因素通常是彎曲正應(yīng)力。 滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件的梁，一般都能滿足剪應(yīng)力的強(qiáng)度 條件。條件。 8.3.2 梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況：必須進(jìn)行剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核的情況： (1) (1) 梁的跨度較短，或在支座附近作用梁的跨度較短，或在

27、支座附近作用較大的載荷較大的載荷；以致梁；以致梁 的彎矩較小，而剪力很大。的彎矩較小，而剪力很大。 (2) (2) 焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大，焊接或鉚接的工字梁，如果腹板較薄而截面高度很大， 以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時，對腹板應(yīng)進(jìn)以致厚度與高度的比值小于型鋼的相應(yīng)比值，這時，對腹板應(yīng)進(jìn) 行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 (3) (3) 經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對焊縫、鉚經(jīng)焊接、鉚接或膠合而成的組合梁，一般需對焊縫、鉚 釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。釘或膠合面進(jìn)行剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條

28、件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例：已知：已知：F=58kN，a=0.15m，l=1m，試選擇工字鋼的型號。試選擇工字鋼的型號。 FAFB （1）計算支反力）計算支反力 解：解： F l a FA)1 ( F l a FB （2）作剪力圖和彎矩圖）作剪力圖和彎矩圖 kN50 max S FF mkN5 . 7 max FaM （3）選擇工字鋼型號）選擇工字鋼型號 336 cm9 .46m109 .46 max M Wz Pa10160 mN105 . 7 6 3 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)

29、力與強(qiáng)度計算 3 cm0 .49 z Wcm59. 8: * zz SImm5 . 4d 查型鋼表，選用查型鋼表，選用10號工字鋼，其號工字鋼，其 （4）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度）校核剪應(yīng)力強(qiáng)度 dI SF z z * S max 必須重新選擇更大的截面?，F(xiàn)以必須重新選擇更大的截面?，F(xiàn)以12.6號工字鋼進(jìn)行試算。號工字鋼進(jìn)行試算。 cm8 .10: * zz SImm0 . 5d dI SF z z * S max 因此，要同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選因此，要同時滿足正應(yīng)力和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件，應(yīng)選12.6號工字鋼。號工字鋼。 )m105 . 4)(m1059. 8( N1050 32 3 MPa3

30、 .129 )m100 . 5)(m108 .10( N1050 32 3 MPa6 .92 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 例：例：梁由梁由3根木條膠合而成。根木條膠合而成。 ， ， MPa10MPa34. 0 膠 MPa1 試求許可荷載試求許可荷載F。 FAFB （1）計算支反力）計算支反力 解：解： （2）作剪力圖和彎矩圖）作剪力圖和彎矩圖 （3）確定許可荷載）確定許可荷載F 3 F FA 3 2F FB 3 2 max S F F)m1 ( 3 max F M 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的

31、剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 z W M max max m1 3 z W F 由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 bh F maxS max 2 3 bhF 由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件由膠合面上剪應(yīng)力強(qiáng)度條件 z W F 3 )m1 ( m1 )6/(3 2 bh m)1 (2 )Pa1010()m15. 0)(m1 . 0( 62 kN25.11 bh F )m15. 0)(m1 . 0)(Pa101 ( 6 kN0 .15 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎

32、曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 bI SF z z * S 膠 * 2 3 z z S bI F 膠 綜上所述，膠合梁的許可荷載為綜上所述，膠合梁的許可荷載為 kN74. 5F bI FS z z 3 2 * 膠 )m05. 0)(m05. 0)(m1 . 0(2 )Pa1034. 0)(m1 . 0( 12 )m15. 0)(m1 . 0( 3 6 3 kN74. 5 8.3 8.3 梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件梁的剪應(yīng)力及其強(qiáng)度條件 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 按強(qiáng)度條件設(shè)計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件按強(qiáng)度條件設(shè)計梁時，主要是根據(jù)梁的彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條

33、件 W M max max 由上式可見，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，即降低最大正應(yīng)力，可以從由上式可見，要提高梁的彎曲強(qiáng)度，即降低最大正應(yīng)力，可以從 兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩兩個方面來考慮，一是合理安排梁的受力情況，以降低最大彎矩 Mmax 的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)的數(shù)值；二是采用合理的截面形狀，以提高彎曲截面系數(shù)W 的數(shù)值。的數(shù)值。 8.4 8.4 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.4.1 合理安排梁的受力情況合理安排梁的受力情況 合理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。合

34、理安排作用在梁上的荷載，可以降低梁的最大彎矩。 8.4 8.4 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。合理布置梁的支座，同樣也可以降低梁的最大彎矩。 僅為原簡支梁最大彎矩值的僅為原簡支梁最大彎矩值的20%。 8.4 8.4 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 在工程實(shí)際中，圖示的門式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容在工程實(shí)際中，圖示的門式起重機(jī)的大梁，圖示的圓柱形容 器，其支撐點(diǎn)都略向中間移動，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn)器，其支撐點(diǎn)都略向中間

35、移動，就考慮了降低由荷載和自重所產(chǎn) 生的最大彎矩。生的最大彎矩。 8.4 8.4 提高彎曲強(qiáng)度的措施提高彎曲強(qiáng)度的措施 8 8 梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算梁的彎曲應(yīng)力與強(qiáng)度計算 8.4.2 采用合理的截面形狀采用合理的截面形狀 當(dāng)彎矩值一定時，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成當(dāng)彎矩值一定時，橫截面上的最大正應(yīng)力與彎曲截面系數(shù)成 反比，即彎曲截面系數(shù)反比，即彎曲截面系數(shù)W，越大越好。另一方面，橫截面面積越小，越大越好。另一方面，橫截面面積越小， 梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積梁使用的材料越少，自重越輕，即橫截面面積A，越小越好。，越小越好。 因此，合理的橫截面形狀應(yīng)該是截面面積因此，合理的橫截面形狀應(yīng)該是截面面積 A 較小，而彎曲截較小，而彎曲截 面系數(shù)面系數(shù) W 較大。我們可以用比值較大。我們可以用比值 來衡量截面形狀的