數(shù)學(xué)構(gòu)造法的使用講解

1、 引 語思想是客觀存在反映于人的意識中經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。方法是人們?yōu)檎J(rèn)識世界和改造世界所進(jìn)行的活動方式、手段的統(tǒng)稱。數(shù)學(xué)思想方法能使人們領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的價值，懂得思考和解決數(shù)學(xué)問題的根本途徑。因此，研究數(shù)學(xué)思想方法是我們學(xué)習(xí)科學(xué)和應(yīng)用科學(xué)的有效辦法。 本文分為兩個章節(jié)多個小節(jié)介紹了構(gòu)造法的有關(guān)知識,第一章主要介紹構(gòu)造法的相關(guān)背景歷史。第二章主要介紹的是構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，本文將通過多個例題闡述如何應(yīng)用構(gòu)造法，讓大家都了解構(gòu)造法的神效。關(guān)鍵詞：構(gòu)造法 中學(xué)數(shù)學(xué) 解題應(yīng)用 目 錄 第一章 構(gòu)造法的背景和歷史 1.1 構(gòu)造法的含義與產(chǎn)生 1.2 構(gòu)造法的發(fā)展 第二章 構(gòu)造法在中學(xué)解題中的應(yīng)用

2、2.1 構(gòu)造方程（組）在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2.2 構(gòu)造函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2.3 構(gòu)造數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2.4 構(gòu)造向量在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2.5 構(gòu)造圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 2.6 其他構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 小結(jié) 參考文獻(xiàn) 第一章 構(gòu)造法的背景和歷史1 .1 構(gòu)造法的含義與產(chǎn)生 昆明到北京，在古代，我們的前輩主要靠騎馬，做馬車?，F(xiàn)今我們有的人會選擇乘火車、有的人會選擇乘客車、而又得人會選擇作飛機(jī)?？梢娫诓煌臍v史時期，都是為了達(dá)到同一目的，選擇的過程和方法都有著不同。而有一個不可否認(rèn)的事實是后期的方式方法總是要比前面的先進(jìn)和便捷。語音是人類出生就擁有的一

3、項技能，它不過是需要后期的磨練才能表達(dá)得清楚和理解。構(gòu)造法的產(chǎn)生就如同人類自己的語音一樣伴隨著數(shù)學(xué)科學(xué)的產(chǎn)生而出現(xiàn)。它就像人類語音和昆明到北京的交通工具那樣服務(wù)著數(shù)學(xué)中的解題和研究，在數(shù)學(xué)領(lǐng)域占著一個重要的地位。給數(shù)學(xué)研究帶來絢麗輝煌的一面。 什么是構(gòu)造法呢？所謂構(gòu)造，就是為達(dá)到某一目的，經(jīng)常會選擇某種合理的、讓大家能理解的方式去達(dá)到目的的途徑。數(shù)學(xué)中的構(gòu)造法是為了對數(shù)學(xué)科學(xué)的研究和解題方便而應(yīng)用的一種思想。它能讓原來一個復(fù)雜的過程簡單化。在數(shù)學(xué)界有許多的數(shù)學(xué)家都用構(gòu)造法做過自己研究和解題，如歐幾里得、歐拉、高斯、拉格朗日、柯西等,都用構(gòu)造法”解決了許多的數(shù)學(xué)難題。在對構(gòu)造法的應(yīng)用過程中,國內(nèi)

4、外有許多的研究成果。如西方的和中國的.我國的構(gòu)造法主要是注重問題的能行性,它對推動中國數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了深遠(yuǎn)的影響.當(dāng)今的計算機(jī)科學(xué),在很大程度上是靠數(shù)學(xué)來發(fā)展的,而這一過程離不開構(gòu)造性數(shù)學(xué).1. 2 構(gòu)造法的發(fā)展 構(gòu)造法的發(fā)展不是單獨(dú)的在某個地域，它是在整個地球上不同的國度改進(jìn)和發(fā)揮著作用的。猶如當(dāng)今的航天事業(yè)，它不單在中國發(fā)展的很好，在西方國家里有著重要的角色。在早期中國的九章算術(shù)里就從分的體現(xiàn)出構(gòu)造法的魅力。而西方數(shù)學(xué)的幾何原本就像九章算術(shù)那樣也把它用的出神入化。 構(gòu)造法的發(fā)展主要經(jīng)歷了三個重要的階段。一是直覺數(shù)學(xué)階段；二是算法數(shù)學(xué)階段；三是現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)階段。 直覺數(shù)學(xué)階段的代表人是19世

5、紀(jì)末德國的克隆尼克，他明確提出并強(qiáng)調(diào)了能行性，主張沒有能行性就不得承認(rèn)它的存在性。他這樣認(rèn)為“定義應(yīng)當(dāng)包括由有限步驟所定義對象的計算方法，而存在性的證明對于要確立其存在的那個量，應(yīng)當(dāng)許可計算到任意的精確度?！迸c克隆尼克一樣，彭加勒堅持“所有的定義和證明都必須是構(gòu)造性的”。 這一階段中的主要人物還有海丁和魏爾。他們在數(shù)學(xué)工作中的基本立場是：第一，認(rèn)為數(shù)學(xué)的出發(fā)點不是集合論，而是自然數(shù)論。這就是海丁所說的：“數(shù)學(xué)開始于自然數(shù)及自然數(shù)相等概念形成之后?！彼运麄儾辉试S一般集合論概念進(jìn)入數(shù)學(xué)，而將全部數(shù)學(xué)都?xì)w約為自然數(shù)算術(shù)和一種利用“展形”建造起來的構(gòu)造性連續(xù)統(tǒng)概念的假定。第二，否認(rèn)傳統(tǒng)邏輯的普遍有效

6、性而重建直覺派邏輯。第三，批判傳統(tǒng)數(shù)學(xué)缺乏構(gòu)造性，創(chuàng)立具有構(gòu)造性的“直覺數(shù)學(xué)”。 布勞威創(chuàng)立直覺數(shù)學(xué)的想法是“解決集合悖論引起的問題的唯一徹底的方法就是把所有的一般集合論概念都從數(shù)學(xué)中排除掉，只限于研究那些可以能行的定義或構(gòu)造的對象”。 他丟棄了許多通用的數(shù)學(xué)術(shù)語，引進(jìn)各種超數(shù)學(xué)原理方法，從而使得直覺數(shù)學(xué)難以讓人讀懂。同時直覺數(shù)學(xué)絕對排斥非構(gòu)造性數(shù)學(xué)和傳統(tǒng)邏輯的錯誤做法，無法解釋后者在一定范圍內(nèi)的應(yīng)用上的有效性。在這一點上，遭到了絕大多數(shù)數(shù)學(xué)家的反對。所以“對數(shù)學(xué)家來說，布勞威理論一直是稀奇的古董，而主要為邏輯家們感興趣”。因而產(chǎn)生了另外幾種構(gòu)造性傾向，不象直覺數(shù)學(xué)那么走極端，它們的方案是把可

7、容許數(shù)學(xué)對象的范圍限制到某個多少是任意選定的類，而不象直覺數(shù)學(xué)那樣去向傳統(tǒng)的證明規(guī)則挑戰(zhàn)。其中以馬爾科夫及其合作者創(chuàng)立的“算法數(shù)學(xué)”，尤為引人注目。 1967年，比肖泊的書出版以后，宣告了構(gòu)造法進(jìn)入“現(xiàn)代構(gòu)造數(shù)學(xué)”階段。從而構(gòu)造法已發(fā)展到了一定的頂端。第二章 構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 數(shù)學(xué)構(gòu)造法有兩類用途：一用于對經(jīng)典數(shù)學(xué)的概念、定理尋找構(gòu)造性解釋。在大多數(shù)情況下，猜測經(jīng)典定理所對應(yīng)的構(gòu)造性內(nèi)容二用于開發(fā)構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，組合數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)中所涉及的數(shù)學(xué)，都是構(gòu)造性數(shù)學(xué)的新領(lǐng)域，尤其是圖論更是構(gòu)造數(shù)學(xué)發(fā)展的典型領(lǐng)域之一。因為圖的定義就是構(gòu)造性的，同時圖的許多應(yīng)用問題，如計算機(jī)網(wǎng)絡(luò)，程序

8、的框圖，分式的表達(dá)式等，也都是構(gòu)造性很強(qiáng)的問題。 本章主要敘述構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用，并通過案例說明該方法的作用。 2.1 構(gòu)造方程（組）在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 方程是解數(shù)學(xué)題的一個重要工具,根據(jù)數(shù)學(xué)題設(shè)中的量的關(guān)系，構(gòu)造出方程，使原來復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得直觀合理，變得簡潔易解。數(shù)學(xué)題中的有些問題表面上看似乎與方程無關(guān),但通過分析題中的各個量之間的關(guān)系就可以構(gòu)造出方程(主要是一元二次方程)。然后通過方程中的判別式和韋達(dá)定理來巧解數(shù)學(xué)問題。下面通過實例來見證構(gòu)造方程的巧妙解題。例1: 已知x= (n為整數(shù)），求的值 。 分析：遇到求這樣看似復(fù)雜的代數(shù)是的值，首先得看清已知條件是什么，通過已知條件

9、看采用怎樣的方式去解容易。就本題來說，待求代數(shù)是比較復(fù)雜，有根式和冪。要是我們通過直接把已知條件代入式子是很難求出值。而仔細(xì)觀擦我們就能發(fā)現(xiàn)與是成倒數(shù)關(guān)系。而代數(shù)式的括號部分看著就很像我們求一元二次方程的求根公式的右邊部分。如果我們設(shè)a= , b=- 那么就有x=。即有a+b=4x ,a*b=-1,根據(jù)韋達(dá)定理不難發(fā)現(xiàn)a與b就可以看為時一元二次方程的兩個根。用求根公式就能發(fā)現(xiàn)所求代數(shù)式與該方程之間的關(guān)系。 解：設(shè)a= , b=- 則x=。即有a+b=4x ,a*b=-1,故a,b 是方程的兩個實數(shù)根?，F(xiàn)求得，而ab,所以a=.則=（）=2013 。 例2： 求的值。分析:看本題如果直接求解是算

10、不出來的，對于三角函數(shù)式的化簡求值，我們最熟悉的就是和差角公式，所求式子與和差角公式結(jié)構(gòu)一致，故我們盡量構(gòu)造和差角公式。解：令，。則 由+得：，故所以，例3：求的最大值分析；這樣的題型如果按找一般的方法去找y的最值，我們是很難找到的，因為x的取值范圍是整個實數(shù)部分，要取哪個值才能使得y的值取到最值我們便不知道，也難也找出來。因此我們一般就會利用構(gòu)造方程的方法來求出結(jié)論。如該題我們只要把它看成是關(guān)于x的一元二次方程就輕易解出此題。解：因為，故構(gòu)造關(guān)于x的一元二次方程，由題意得： 又因為 = =所以（y-7)-4（y-12)解得 ，因而y取得最大值。例4：已知，求z的取值范圍 分析：根據(jù)韋達(dá)定理不

11、難發(fā)現(xiàn)，題設(shè)中所給的條件都有加與積的形式，我們只要把z看微常數(shù)就可得x,y是關(guān)于某個一元二次方程的兩個實根。 解： 由已知得x+y=-z,. 故x,y是方程（z看微常數(shù)）的兩個實數(shù)根。 所以 ，解得或 。 2.2構(gòu)造函數(shù)在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用函數(shù)是數(shù)學(xué)中的常量與變量之間的關(guān)系橋梁，通過構(gòu)造函數(shù)，能解決很多數(shù)學(xué)命題中繁冗復(fù)雜的問題。本節(jié)就如何構(gòu)造函數(shù)解決一些數(shù)學(xué)難題加以闡釋。我們現(xiàn)在就來看看相關(guān)的例題，通過例題學(xué)習(xí)構(gòu)造函數(shù)解數(shù)學(xué)難題。例1 已知、,求證:.分析 首先將不等式化為并整理為可將其看成是關(guān)于的一次式。證明:構(gòu)造函數(shù),這里、,則。因為所以,一次函數(shù),當(dāng)時,圖象在軸的上方.這就是說,當(dāng)、時

12、,有,即。例2 ：學(xué)校組織學(xué)生到距離學(xué)校6km的海洋科技館參觀，小亮因有事沒能乘上學(xué)校的包車， 于是他準(zhǔn)備在學(xué)校門口乘出租車去。 出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是： 行駛里程不超過3km，收費(fèi)8元；超過3km，每增加1km，加收18元。小亮只有14元錢，他乘出租車到海洋科技館，車費(fèi)夠不夠？分析；通過讀題知道，小明所花的費(fèi)用與乘車的里程數(shù)有關(guān)，因此不妨構(gòu)造一個路程與費(fèi)用的函數(shù)式出來，就能輕易的知道他的錢能否夠乘車用。解： 設(shè)小明所花車費(fèi)記為y元，乘車路程記作x km .由題意可以構(gòu)建函數(shù)式 y=8+1.8（x-3）=8+1.8x-5.4=1.8x+26 （其中x3) 現(xiàn)在把x=6帶入上式解得 y=13.414

13、 因此 小明帶著的錢夠他乘出租車到海洋科技館。例3：比較和的大小。分析：和都可以看成是的兩個函數(shù)值，因此可以利用冪函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行比較。解：設(shè)冪函數(shù)， 因為， 所以函數(shù) 在上是減函數(shù)， 又因為5 例4：證明當(dāng)x-1時，恒成立。分析：在證明不等式時候，通常的做法就是把不等式的兩邊中的一邊轉(zhuǎn)換到另一邊去，即是的某一邊的值為零。在經(jīng)過函數(shù)的單調(diào)性來證明不等式在什么范圍都滿足怎樣的關(guān)系進(jìn)而證明命題。如本題我們通過建立兩個函數(shù)就能解決該命題證明。 解： 根據(jù)命題，構(gòu)造第一函數(shù)為， 對g(x)求導(dǎo)得 ， 當(dāng)時，函數(shù) , 當(dāng)時，函數(shù)， 即：g(x)在上為減函數(shù)，g(x)在上為增函數(shù)。 故函數(shù)g(x)在定義域

14、內(nèi)取得最小值個g（0）=0，所以函數(shù)在x-1時，有 ,則證明左邊；再來構(gòu)造第二個函數(shù) ，對t(x)求導(dǎo)得，當(dāng)時，當(dāng)時，。所以函數(shù)t(x)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，在上時單調(diào)遞減函數(shù)。那么函數(shù)t(x) 在定義域內(nèi)取得最大值t(0)=0因此有，即宗上所訴，當(dāng)x-1時，恒成立。 2.3 構(gòu)造數(shù)列在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用數(shù)列是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的一個重要部分。在現(xiàn)在的高考題中免不了它的考查?？梢姅?shù)列是數(shù)學(xué)中的一個很重要的工具。在求許多數(shù)列的通項時，往往不能直接的求出來，因此就需要在構(gòu)造一個新的數(shù)列來完成解題。通常構(gòu)造的數(shù)列有等差數(shù)列，等比數(shù)列等。1. 構(gòu)造等差數(shù)列在解題中，如果某列數(shù)出現(xiàn)相鄰兩項的差是某一個定值，我

15、們就可以給這列數(shù)構(gòu)造一個相應(yīng)的數(shù)列，通過數(shù)列來求解相關(guān)的問題。例1：已知數(shù)列的前n項和（n為正整數(shù)）,求 分析；看本題所給條件，給了與之間的關(guān)系。因此我們就可以求出，然后再根據(jù)條件寫出與的關(guān)系式?？磧申P(guān)系式的結(jié)構(gòu)從而構(gòu)造出新的數(shù)列。解：通過前n項和公式，求出=因為，所以，則因此得，等式兩邊同時乘以得現(xiàn)構(gòu)造新數(shù)列，那么就有。則，例2：已知函數(shù)，當(dāng)，并且 （）時，求分析：要求出，我們就要求出根據(jù)條件知道，n都是取整數(shù)，因此與數(shù)列很近。則我們就把看作一列數(shù)列，求出的通項，那么就可以求得。解：構(gòu)造新數(shù)列，使得數(shù)列在n取整數(shù)時有因為,所以有則是以為首項，為公差的等差數(shù)列。即故，把n=2013帶入上式的

16、2. 構(gòu)造等比數(shù)列 構(gòu)造等比數(shù)列一般是在某個未知項前出現(xiàn)不是1倍的倍數(shù)關(guān)系時。就以倍數(shù)為公比構(gòu)造一個新的等比數(shù)列的方法。例1：已知(p,q為常數(shù)且）且知道的值，求 分析：類似這樣的題型我們就是需要構(gòu)造一個新的數(shù)列（t為待定常數(shù)），求出新數(shù)列的通項，進(jìn)而就能求出。 解：構(gòu)造數(shù)列，使得與為同一個式。則解得 即例2： 已知，并且，求分析：看題中條件，它的相連兩項的與的系數(shù)不相同，我們就需要使得他們系數(shù)統(tǒng)一。如此題，我們只要構(gòu)造新的數(shù)列使得與的系數(shù)相同，這樣就能求得通項。解：根據(jù)題中條件構(gòu)造新數(shù)列（t為常數(shù)），使得新的數(shù)列與是同一式。因此解得t=-。因為所以是以為公比，為首項的等比數(shù)列，即從而得到例3

17、： 已知，求分析： 已知數(shù)列，且（其中，C為常數(shù)），試求。求形如這樣的數(shù)列題，通常是構(gòu)造新的數(shù)列和(t是關(guān)于p與q的常熟），也就是把條件中的等式兩邊取倒數(shù)。求出新數(shù)列再次求倒數(shù)就得到數(shù)列的通項。解：把條件變形為，即構(gòu)造新數(shù)列，使得與同式；解得因此是以為首相，為公比的等比數(shù)列，其通項，那么則2.4 構(gòu)造向量在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用 向量是中學(xué)數(shù)學(xué)里非常有用的一個工具，在一些比較復(fù)雜數(shù)學(xué)問題上，如果能把它轉(zhuǎn)化為向量，用向量的計算方法來解決所求問題，會讓我們省去許多時間。為此，研究如何根據(jù)條件構(gòu)造向量是本節(jié)的突出點，本節(jié)通過實例證實構(gòu)造向量的好處。 例1：設(shè)a,b,c ,x,y,z,且 求的值 分析：

18、要求題中代數(shù)式的值，只要a,b,c均為x,y,z的同一倍數(shù)即可。因此可設(shè)a=m x, b=m y , c=m z,則構(gòu)造兩個向量，應(yīng)有。題目條件明顯的特點，可以構(gòu)造兩個向量，求的模即可得結(jié)果。 解：構(gòu)造向量，則已知條件可化為 ，。例2：已知A（1，-1），B=(3,5), C=(4,8),求證：A,B,C三點共線。 分析：要證明多點共線問題，我們只要能知道幾個點的坐標(biāo)，通過兩個點構(gòu)造一個向量，使得所得的向量中存在關(guān)系即可。 解：由已知條件A（1，-1），B=(3,5), C =(4,8), 所以構(gòu)造向量例3：設(shè)p、q滿足，求證分析：向量在證明不等式中也能取到很好的效果，觀察題目中的條件，根據(jù)條

19、件建立起向量即可方便解題。此題中我們只要構(gòu)造向量就能方便的證明。證明：根據(jù)條件構(gòu)造向量，則 即例4：已知求證 分析：根據(jù)條件我們可以構(gòu)造兩個向量，由結(jié)論想到是利用 證明：構(gòu)造向量，則且例5：如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且.求證：(1) (2)當(dāng)?shù)闹禐槎嗌贂r，能使 分析：本題的問題意圖很明顯，就是需要我們構(gòu)造向量來解決兩線垂直。在中學(xué)數(shù)學(xué)中考察我們怎么應(yīng)用向量解決幾何問題的能力。證明：(1)設(shè)依題意，中兩兩所成的角為。于是.(2) 要證明只需證明. .同理可證明當(dāng)，2.5 構(gòu)造圖形在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用在問題條件中的數(shù)量關(guān)系有明顯的幾何意義，或經(jīng)過某種方式可以把問題條件與幾何

20、圖形建立聯(lián)系時，則可考慮構(gòu)造圖形來尋求問題的解決辦法。在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中，常見的問題有：證明不等式，求最值等，都有可能應(yīng)用到構(gòu)造圖形的方法來解決更有效。一般所給條件中常伴有根式、合式時，通常我們都回想到構(gòu)造點與點、線與線、面積與面積，體積與體積之間的關(guān)系建立解決關(guān)系式。下面我們通過多個例題來說明構(gòu)造圖形法解中學(xué)數(shù)學(xué)題的優(yōu)點和好處。例1：已知求證：x(1-y)+y(1-x)+z(z-x)1.分析：仔細(xì)觀察題中所給的條件，有一個共同的特點，即x,y,z三個變量的取值范圍都是（0,1).所以我們可以把問題條件中的z(z-x)改寫為z(1-x).如果能證明該結(jié)論仍成立，那么所要證明的結(jié)論必定也成立。證明

21、：首先我們先構(gòu)造一個圖形如下：作邊長為1的正，如圖所示，在三邊上分別取點D,E,F，使得DA=x,EB=y,FC=z,則CD=1-x,AE=1-y,BF=1-z.則.由三角形面積公式得到x(1-y)+y(1-x)+z(z-x)1。例2：求函數(shù)的最小值，并求得y取得最小值時x的值為多少？分析：看題中條件有根式，和式，且根式中都是一元二次式。不難想到它與兩點距離公式有著緊密的關(guān)系。只要把改寫成,把改寫成我們就很快發(fā)現(xiàn)如何解答問題。解：如圖所示，構(gòu)造直角坐標(biāo)系，并設(shè)A的坐標(biāo)為（0,3），點B的坐標(biāo)為(5,2），點P位x軸上的一點，其坐標(biāo)為（x,0），則 由于所以y取得最小值，此時，x=3.例3:解方

22、程.分析：此方程中有兩個根號，若用代數(shù)的方法去求解必須對其平方兩次才行，解題過程會很繁且容易出錯，所以我們不妨從幾何的角度去思考。解：先將方程左端根號下的式子配方，得： （1）觀察等式左邊，不難會聯(lián)系到兩點間的距離公式，若假設(shè)，則有 （2） 因此 具有明顯的幾何意義：它表示到兩個定點的距離之和為定值20的動點的軌跡，顯然這是一個半長軸a=10,半焦距 c= ，半短軸b=5的橢圓而表示平行于x軸的兩條直線，因此可知，橢圓與這兩條直線的交點即為方程的解。 解方程組 得： ,即原方程的解為。 2.6 其他構(gòu)造法在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用構(gòu)造法形式是多種多樣的，只要在知識的容量足夠，以具備的能力為基礎(chǔ)，以敏銳

23、的觀察為先導(dǎo)，以聯(lián)想與分析為武器，構(gòu)造的成功，是解題的關(guān)鍵。許多構(gòu)造的成功，精巧的構(gòu)思，靈活的手法，優(yōu)美的形象，簡潔的過程都回令人拍案叫絕。下面我們在看看其他構(gòu)造法在數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用。例1：證明：對于一切大于1的自然數(shù)n, 分析：看條件中右邊帶有一個根式，且不等式右邊的值是大于零的某一個數(shù)值。故首先要把根式去掉，然后再觀察整個不等式的結(jié)構(gòu)看怎樣能把左邊化簡，只要找出化簡的辦法，那么我們就能證明不等式的成立。證明：對不等式兩邊平方得如果能證明成立，則自然原命題也成立。因為有對n為自然數(shù)都成立。故可構(gòu)造一列數(shù)乘于不等式左邊，則，而又有，所以，故此，原命題成立。例2：求的值。分析：在計算數(shù)值復(fù)雜的算

24、式時，通常計算式里有著某些特點，它就是給我們計算帶來簡便的途徑，觀察得當(dāng)，就能準(zhǔn)確快速的計算出算式的值。如本題中，具有四次方的數(shù)的底數(shù)，他們從左往右是具有一定規(guī)律排列的，即后一個數(shù)是前一個數(shù)加4所得。而每個因數(shù)中都是某個數(shù)的四次方加64。我們構(gòu)造這樣就能使部分計算中的數(shù)約去。從而減少遠(yuǎn)算。例3：正數(shù)a , b 滿足 求證：分析：條件中a, b ,的次數(shù)都是3，而結(jié)論中是1次，因此需要降冪，又因為結(jié)論是不等式，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時等號成立.于是考慮構(gòu)造均值不等式證明.解：由均值不等式得， （1）同理得， （2）由（2）+（1）及變形整理，得。例4：命題“如果a,b 都是無理數(shù)，那么也是無理數(shù)”是否正確？請說明理由。分析：在證明命題時，我們可以把原命題的逆否命題寫出來加以證明，若逆否命題是對的，則原命題就是對的。如果我們還能通過觀察給出直接的反例推翻原命題的假設(shè)，即推出原命題中存在使命題不成立的因素，則可以判定原命題不成立。就本題