2019年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 熱點聚焦與擴展 專題27 向量的數(shù)量積——數(shù)量積的投影定義

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精專題27 向量的數(shù)量積-數(shù)量積的投影定義【熱點聚焦與擴展】平面向量的數(shù)量積是高考考查的重點、熱點，往往以選擇題或填空題的形式出現(xiàn).常常以平面圖形為載體，借助于向量的坐標(biāo)形式等考查數(shù)量積、夾角、垂直的條件等問題；也易同三角函數(shù)、解析幾何等知識相結(jié)合，以工具的形式出現(xiàn)1、向量的投影：(1）有向線段的值：設(shè)有一軸,是軸上的有向線段,如果實數(shù)滿足,且當(dāng)與軸同向時，當(dāng)與軸反向時，則稱為軸上有向線段的值。（2)點在直線上的投影:若點在直線外，則過作于,則稱為在直線上的投影；若點在直線上，則在在直線上的投影與重合.所以說，投影往往伴隨著垂直。（3）向量的投影：已知向量，若的起點在所

2、在軸（與同向）上的投影分別為，則向量在軸上的值稱為在上的投影，向量稱為在上的投影向量.2、向量的投影與向量夾角的關(guān)系:通過作圖可以觀察到，向量的夾角將決定投影的符號，記為向量的夾角（1）為銳角：則投影（無論是在上的投影還是在上的投影）均為正（2）為直角:則投影為零（3）為鈍角：則投影為負(fù)3、投影的計算公式：以在上的投影為例，通過構(gòu)造直角三角形可以發(fā)現(xiàn)（1）當(dāng)為銳角時，,因為,所以（2）當(dāng)為銳角時,因為,所以即（3）當(dāng)為直角時，而，所以也符合綜上可得：在上的投影，即被投影向量的模乘以兩向量的夾角4、數(shù)量積與投影的關(guān)系（數(shù)量積的幾何定義）：向量數(shù)量積公式為,可變形為或,進而與向量投影找到聯(lián)系 （1

3、)數(shù)量積的投影定義：向量的數(shù)量積等于其中一個向量的模長乘以另一個向量在該向量上的投影，即(記為在上的投影)(2）投影的計算公式：由數(shù)量積的投影定義出發(fā)可知投影也可利用數(shù)量積和模長進行求解： 即數(shù)量積除以被投影向量的模長5、數(shù)量積投影定義的適用范圍：作為數(shù)量積的幾何定義，通常適用于處理幾何圖形中的向量問題（1）圖形中出現(xiàn)與所求數(shù)量積相關(guān)的垂直條件，尤其是垂足確定的情況下（此時便于確定投影），例如：直角三角形，菱形對角線，三角形的外心（外心到三邊投影為三邊中點）（2）從模長角度出發(fā)，在求數(shù)量積的范圍中，如果所求數(shù)量積中的向量中有一個模長是定值，則可以考慮利用投影,從而將問題轉(zhuǎn)化為尋找投影最大最小的

4、問題【經(jīng)典例題】例1.【2018屆江西省重點中學(xué)協(xié)作體高三下學(xué)期第一次聯(lián)考】設(shè)向量， 滿足， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ）a. b. c。 d。 【答案】d設(shè)向量和向量的夾角為，則向量在向量方向上的投影為選d例2?！?018屆福建省閩侯縣第八中學(xué)高三上期末】已知的外接圓的圓心為，半徑為2,且,則向量在向量方向上的投影為( ）a. b。 c. d。 【答案】b例3。【2018屆云南省曲靖市第一中學(xué)高三上監(jiān)測卷（四）】已知單位向量與的夾角為，則向量在向量方向上的投影為（ ）x。kw a. b。 c. d. 【答案】a【解析】單位向量與的夾角為， 向量在向量方向上的投影為： ,故選a。例4

5、。設(shè), ， ，且，則在上的投影的取值范圍( )a。 b。 c. d。 【答案】d【解析】由題意可知當(dāng)故當(dāng)時, 取得最小值為，即當(dāng)時， ，即綜上所述故答案選點睛：由已知求得及，代入投影公式,對分類后利用二次函數(shù)求最值,在分類討論時需要討論完整，不要漏掉哪種情況，討論完可以檢查下是否把整個實數(shù)全部取完.例5。如圖，菱形的邊長為為中點,若為菱形內(nèi)任意一點（含邊界)，則的最大值為（ ）a. b。 c. d。 【答案】d 答案d.【名師點睛】（1）從本例也可以看出投影計算數(shù)量積的一個妙用，即在求數(shù)量積最值時，如果其中一個向量位置確定，那么只需看另一向量在該向量處的投影即可，這種方法往往能夠迅速找到取得最

6、值的情況（2）在找到取到最值的點位置后，發(fā)現(xiàn)利用投影計算數(shù)量積并不方便（投影，不便于計算），則要靈活利用其他方法把數(shù)量積計算出來（尋求基底，建系等）.正所謂：尋找最值用投影，而計算時卻有更多方法供選擇.例6?！?018屆衡水金卷四】已知平面向量a,b,a=7,b=4，且a+b=6,則a在b方向上的投影是_【答案】138點睛：本題的核心問題是計算數(shù)量積，求兩個向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運算；利用數(shù)量積的幾何意義具體應(yīng)用時可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時要注意數(shù)量積運算律的應(yīng)用例7【2018屆河南省南陽市第一中學(xué)高三第十四次考】若非零向量a，b滿足|a+b|=|a-b|=2|

7、b|=2,則a-b在b方向上的投影為_【答案】1【解析】分析:先求出|a|、|b|和a與b的夾角，然后根據(jù)投影的定義求解詳解：將a+b=a-b兩邊平方整理得ab=0，ab將|a-b|=2|b|兩邊平方整理得|a|=3又2b=2，故|b|=1設(shè)向量a-b與b的夾角為，則a-b在b方向上的投影為|a-b|cos=|a-b|(a-b)b|a-b|b|=(a-b)b|b|=ab-b2|b|=-1點睛：解答本題的關(guān)鍵是正確掌握一個向量在另一個向量方向上的投影的定義，利用定義可將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)量積的運算另外，數(shù)量積的幾何意義是計算數(shù)量積的一種重要方法 例8已知點在橢圓上，點滿足（）(是坐標(biāo)原點)，且,則線段

8、在軸上的設(shè)影長度的最大值為_【答案】15【解析】，則線段op在x軸上的投影長度為，當(dāng)且僅當(dāng),即時等號成立線段op在x軸上的投影長度的最大值為15。答案：15例9?！?018屆河北省衡水中學(xué)高三第十次模擬】若平面向量， 滿足,則在方向上投影的最大值是_【答案】【解析】由可得： 在方向上投影為故最大值為： 例10.【2018屆河南省中原名校高三上第一次考評】已知p是邊長為2的正abc邊bc上的動點，則ap （abac）_【答案】6【解析】設(shè)bc的中點為d,則adbc，【精選精練】1【2018屆山東省淄博市部分學(xué)校高三12月摸底】已知向量，則向量在向量上的投影是a. 2 b。 1 c. 1 d. -

9、2【答案】d【解析】向量在向量上的投影是 ，選d。2?！?018屆河南省商丘市高三第二次模擬】已知平面向量，且，則在上的投影為（ ）a. b。 2 c. d. 1【答案】a【解析】因為，所以所以所以所以在上的投影為故選a.3【2018屆河北省武邑中學(xué)高三上學(xué)期期末】已知點，則向量在方向上的投影為（ ）a. b。 c. d. 【答案】a【解析】, ，向量在方向上的投影為，故選a4【2018屆貴州省遵義市高三上學(xué)期第二次聯(lián)考】已知向量的夾角為60，且,則向量在向量方向上的投影為（ )a. -1 b. 1 c. 2 d. 3【答案】b5【2018屆江西省南昌市高三第一輪復(fù)習(xí)訓(xùn)練】已知向量, 滿足，且

10、，則向量 在方向上的投影為（）a. b。 c。 d。 【答案】d【解析】由=（1，2）,可得|=, （+）=2，可得+=2，=3，向量在方向上的投影為.故答案為：d。6。已知的外接圓的圓心為，半徑為2，且,則向量在向量方向上的投影為( )a。 3 b. c。 -3 d。 【答案】b【解析】abc的外接圓的圓心為o，半徑為2，且,本題選擇b選項。7【2018屆河南省鄭州市第一中學(xué)高三上學(xué)期入學(xué)】的外接圓的圓心為,半徑為1， ，且，則向量在向量方向上的投影為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】由題意可得： ，即： ，即外接圓的圓心為邊的中點，則是以為斜邊的直角三角形，結(jié)合有: ，則向量在向量方向上的投影為.本題選擇d選項.8。【2018屆湖南?。ㄩL郡中學(xué)、衡陽八中)、江西省(南昌二中）等十四校高三第二次聯(lián)考】已知向量， 滿足, ， ，則向量在向量上的投影為_【答案】9【2018屆廣西桂林、賀州、崇左三市高三第二次聯(lián)合調(diào)研】已知向量, 的夾角為，且， ，則向量在向量方向上的投影為_【答案】【解析】投影為.10【2018屆衡水金卷一】已知向量，若向量與共線，則向量在向量放向上的投影為_【答案】0【解析】向量， ，向量，向量與共線，,即，向量，向量在向量方向上的投影為，故答案為0.11已知向量a=-1,2,b=m,1,