2019學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊第四章圖形的相似《相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用》知識講解及例題演練北師大版

1、學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精相似三角形的性質(zhì)及應(yīng)用-知識講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、探索相似三角形的性質(zhì)，能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計算；2、通過典型實(shí)例認(rèn)識現(xiàn)實(shí)生活中物體的相似,能運(yùn)用圖形相似的知識解決一些簡單的實(shí)際問題(如何把實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題）.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、相似三角形的應(yīng)用1。測量高度測量不能到達(dá)頂部的物體的高度,通常使用“在同一時刻物高與影長的比例相等”的原理解決.要點(diǎn)詮釋：測量旗桿的高度的幾種方法：平面鏡測量法 影子測量法 手臂測量法 標(biāo)桿測量法2。測量距離測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常構(gòu)造如下兩種相似三角形求解. 1如甲圖所示，通?？上葴y量圖中的線段dc、bd、ce的距離（長度），根

2、據(jù)相似三角形的性質(zhì)，求出ab的長. 2如乙圖所示，可先測ac、dc及de的長,再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算ab的長. 要點(diǎn)詮釋：1比例尺：表示圖上距離比實(shí)地距離縮小的程度，比例尺= 圖上距離/ 實(shí)際距離;2太陽離我們非常遙遠(yuǎn)，因此可以把太陽光近似看成平行光線在同一時刻,兩物體影子之比等于其對應(yīng)高的比；3視點(diǎn)：觀察事物的著眼點(diǎn)（一般指觀察者眼睛的位置）;4. 仰（俯)角:觀察者向上（下）看時，視線與水平方向的夾角要點(diǎn)二、相似三角形的性質(zhì)1相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊的比相等。2. 相似三角形中的重要線段的比等于相似比. 相似三角形對應(yīng)高，對應(yīng)中線，對應(yīng)角平分線的比都等于相似比.要點(diǎn)詮釋：要特別注

3、意“對應(yīng)”兩個字，在應(yīng)用時，要注意找準(zhǔn)對應(yīng)線段.3。 相似三角形周長的比等于相似比. ，則由比例性質(zhì)可得： 4。 相似三角形面積的比等于相似比的平方。，則分別作出與的高和，則要點(diǎn)詮釋：相似三角形的性質(zhì)是通過比例線段的性質(zhì)推證出來的?！镜湫屠}】類型一、相似三角形的應(yīng)用1。 在斜坡的頂部有一鐵塔ab，b是cd的中點(diǎn)，cd是水平的，在陽光的照射下，塔影de留在坡面上。已知鐵塔底座寬cd=12m,塔影長de=18m，小明和小華的身高都是1.6m,同一時刻，小明站在點(diǎn)e處,影子在坡面上,小華站在平地上，影子也在平地上，兩人的影長分別為2m和1m,那么塔高ab為（ ）a.24m b。22m c。20m

4、d。18m 【答案】 a?！窘馕觥窟^點(diǎn)d做dncd交光線ae于點(diǎn)n，則，dn=14.4，又am:mn=1.6：1,am=1.6mn=1。6bd=1。66=9。6(m).塔高ab=am+dn=14.4+9.6=24（m），所以選a.【總結(jié)升華】解決本題的難點(diǎn)是把塔高的影長分為在平地和斜坡上兩部分;關(guān)鍵是利用平地和斜坡上的物高與影長的比得到相應(yīng)的部分塔高的長度舉一反三：【變式】已知：如圖，陽光通過窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1。5m寬的亮區(qū)de.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離ce=1。2m,窗口高ab=1.8m，求窗口底邊離地面的高度bc. 【答案】作efdc交ad于f.adbe，又， ,. abef,

5、 adbe，四邊形abef是平行四邊形，ef=ab=1。8m. m.2。 如圖,直立在b處的標(biāo)桿ab=2。4m，直立在f處的觀測者從e處看到標(biāo)桿頂a、樹頂c在同一條直線上（點(diǎn)f，b,d也在同一條直線上）已知bd=8m，fb=2.5m，人高ef=1.5m，求樹高cd【答案與解析】解：過e作ehcd交cd于h點(diǎn)，交ab于點(diǎn)g，如下圖所示:由已知得,effd，abfd，cdfd，ehcd，ehab，四邊形efdh為矩形，ef=gb=dh=1。5米，eg=fb=2。5米，gh=bd=8米，ag=abgb=2。41。5=0。9米，ehcd,ehab，agch，aegceh，,解得：ch=3.78米，dc

6、=ch+dh=3.78+1。5=5。28米答：故樹高dc為5。2米【總結(jié)升華】本題考查了相似三角形在實(shí)際問題中的運(yùn)用，關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造出相似三角形類型二、相似三角形的性質(zhì)3。如圖，直角三角形紙片的兩直角邊長分別為6、8，按如圖那樣折疊，使點(diǎn)a與點(diǎn)b重合，折痕為de，則sbce：sbde等于（ )。a. 2：5 b14：25 c16:25 d。 4:21 【思路點(diǎn)撥】相似三角形的面積比等于相似比的平方，但是一定要注意兩個三角形是否相似.【答案】b?！窘馕觥坑梢阎傻胊b=10，ad=bd=5,設(shè)ae=be=x, 則ce=8-x，在rtbce中，x2-(8-x)2=62,x=,由adea

7、cb得，sbce：sbde=（64-25-25)：25=14：25，所以選b?！究偨Y(jié)升華】關(guān)鍵是要確定哪兩個是相似三角形。舉一反三【變式】在銳角abc中，ad,ce分別為bc，ab邊上的高，abc和bde的面積分別等于18和2,de=2,求ac邊上的高.【答案】過點(diǎn)b做bfac,垂足為點(diǎn)f， ad,ce分別為bc,ab邊上的高，adb=ceb=90,又b=b,rtadbrtceb，,且b=b，ebdcba,，,又de=2，ac=6，4。 如圖，正方形abcb1中，ab=1ab與直線l的夾角為30，延長cb1交直線l于點(diǎn)a1,作正方形a1b1c1b2，延長c1b2交直線l于點(diǎn)a2，作正方形a2b

8、2c2b3，延長c2b3交直線l于點(diǎn)a3，作正方形a3b3c3b4，,依此規(guī)律，則a2014a2015= 【思路點(diǎn)撥】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知條件得到a1b1=，aa1=2，同理：a2a3=2（）2，a3a4=2（）3，從而找出規(guī)律答案即可求出 【答案與解析】2(）2014 解：四邊形abcb1是正方形,ab=ab1，abcb1,aba1c，ca1a=30，a1b1=,aa1=2,a1b2=a1b1=，a1a2=2,同理:a2a3=2(）2，a3a4=2(）3，anan+1=2（）n，a2014a2015=2（）2014，故答案為:2（)2014【總結(jié)升華】本題是相似性質(zhì)的運(yùn)用與找規(guī)律相結(jié)合的一道題，要注意從特殊到一般形式的變換